Bobby Unser aloitti kilpailun vuonna 1949. Vuonna 1957 hän voitti ensimmäisen kerran Pikes Peak International Hill Climbin , jonka hän voitti vielä kaksitoista kertaa uransa aikana. Vuonna 1963 hän ajoi Indianapolis 500 : lla ensimmäistä kertaa ja sijoittui kilpailun lopussa 33. sijalle. Ensimmäisen voittonsa hän saavutti Indianapolis 500: lla vuonna 1968. Hän saavutti kaksi uutta voittoa Indianapolisissa vuosina 1975 ja 1981. Hän on Rick Mearsin lisäksi ainoa kuljettaja, joka on voittanut tämän kilpailun kolmella eri vuosikymmenellä. Vuonna 1975 hän voitti International Race of Champions -kilpailusarjan , jossa hän voitti kaksi neljästä järjestetystä kilpailusta. Vuosina 1968 ja 1974 hän voitti USAC: n kansallisen mestaruuden .
Bobby Unser tulee tunnetusta kilpaperheestä. Hänen veljensä Al Unser on yksi menestyvimmistä kuljettajista Indianapolis 500: n historiassa neljällä voitolla, ja veljenpoika Al Unser Jr. voitti 500 mailia kahdesti. Hänen poikansa Robby Unser oli myös Indycar-kuljettaja, mutta ei ollut siellä yhtä menestyvä kuin hänen isänsä.