Alue

Fyysinen koko
Sukunimi	Pinta- alan poikkileikkausalue
Kaavan symboli	${\ displaystyle A}$ (alue)
Johdettu jostakin	pituus
Koko ja yksikköjärjestelmä yksikkö ulottuvuus SI m 2 L 2 cgs cm 2 L 2 Planck Planckin pinta ħ · G · c −3

Ruudullisella taustalla olevien kolmen luvun pinta -alojen summa on noin 15,57 neliötä

Alue on mitta kokoa alueella . Pinnan ymmärretään tarkoittavan kaksiulotteisia rakenteita, eli rakenteita, joissa voidaan liikkua kahteen itsenäiseen suuntaan. Tämä sisältää tavalliset tasomaisen geometrian luvut , kuten suorakulmio , monikulmio , ympyrä , mutta myös kolmiulotteisten kappaleiden rajapinnat, kuten kuutiot , pallot , sylinterit jne. Nämä pinnat riittävät moniin sovelluksiin, monimutkaisempia pintoja voidaan usein muodostaa niistä tai niiden likimääräisistä .

Pinta -alalla on tärkeä rooli matematiikassa, monien fyysisten suureiden määrittelyssä, mutta myös jokapäiväisessä elämässä. Esimerkiksi paine määritellään voimaksi alaa kohti tai johtosilmukan magneettiseksi momentiksi, kun virta kerrotaan sen ympärillä olevalla alueella. Kiinteistöjen ja asuntojen kokoja voidaan verrata määrittämällä niiden pinta -ala. Materiaalin kulutus, esimerkiksi pellon siementen tai alueen maalaamiseen käytettävän maalin, voidaan arvioida alueen avulla.

Alue normalisoidaan siinä mielessä, että yksikkö neliö , eli neliö, jonka sivun pituus on 1, on alue 1; Ilmaistuna in mittayksiköt , neliö, jonka sivun pituus on 1 m on  alueella 1  m ² . Jotta pinnat olisivat vertailukelpoisia pinta -alansa suhteen, on vaadittava, että yhdenmukaisilla alueilla on sama alue ja että yhdistettyjen alueiden pinta -ala on osittaisten alueiden sisällön summa.

Pinta -alueiden off -mittaus ei tapahdu oikeassa säännössä. Sen sijaan mitataan tietyt pituudet, joista pinta -ala lasketaan. Suorakulmion tai pallopinnan pinta -alan mittaamiseksi mitataan yleensä suorakulmion sivujen pituus tai pallon halkaisija ja saadaan haluttu alue alla lueteltujen geometristen kaavojen avulla.

Joidenkin geometristen lukujen alue

Seuraavassa taulukossa on luettelot joitakin lukuja välillä tasogeometria yhdessä laskentakaavat niiden alueella.

Kuva / esine	Alue ${\ displaystyle A}$	Nimet
neliö-	${\ displaystyle A = a ^ {2}}$
suorakulmio	${\ displaystyle A = a \ cdot b}$
kolmio	${\ displaystyle A = {\ frac {g \ cdot h} {2}}}$
Puolisuunnikas	${\ displaystyle A = {\ frac {a + c} {2}} \ cdot h}$
Rhombus	${\ displaystyle A = {\ frac {d_ {1} \ cdot d_ {2}} {2}}}$
suunnikas	${\ displaystyle A = a \ cdot h_ {a}}$
regul. kuusikulmio	${\ displaystyle A = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2}}$
ympyrä	${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} = {\ frac {\ pi} {4}} d ^ {2}}$
ellipsi	${\ displaystyle A = \ pi from}$
kiinteä	${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x, \ f (x) \ geq 0}$
Leibnizin kaava	${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} (x (t) y ^ {\ prime} (t) -y (t) x ^ {\ prime} (t)) dt}$

Voit määrittää monikulmion alueen kolmioimalla , eli jakaa sen kolmioiksi vetämällä diagonaaleja, määrittää sitten kolmioiden alueen ja lisätä lopuksi nämä osa -alueet. Ovat koordinaatit , polygonin on karteesisen koordinaatiston tunnetaan, alue, jossa Gaussin puolisuunnikassäännöllä lasketaan: ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$${\ displaystyle i = 1 \ piste n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ summa _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i} -x_ {i + 1})}$

Sovelletaan seuraavaa indekseihin: jossa on ja on tarkoitettu. Summa on positiivinen, jos kulmapisteet kulkevat koordinaatiston pyörimissuunnan mukaan . Summa on ehkä valittava , jos tulos on negatiivinen . Pickin teoriaa voidaan käyttää erityisesti monikulmaisille pinnoille, joiden kulmina ovat ruudukkopisteet . Muut alueet voidaan yleensä helposti lähentää monikulmioilla , joten likimääräinen arvo on helppo saada. ${\ displaystyle x_ {n + j}}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle y_ {n + j}}$${\ displaystyle y_ {j}}$

Joidenkin pintojen laskeminen

Seuraavassa on muutamia tyypillisiä kaavoja pintojen laskemiseen:

Kuva / esine	pinta- ${\ displaystyle A}$	Nimet
noppaa	${\ displaystyle A = 6a ^ {2}}$
Kuutiomainen	${\ displaystyle A = 2 (ab + ac + bc)}$
Tetraedri	${\ displaystyle A = {\ sqrt {3}} \, a ^ {2}}$
Pallo ( pallomainen pinta )	${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$
sylinteri	${\ displaystyle A = 2 \ pi r (r + h)}$
kartio	${\ displaystyle A = \ pi r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}})}$
Torus	${\ displaystyle A = 4 \ pi ^ {2} \ cdot R \ cdot r}$
Vallankumouksen pinta	${\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} \! f (x) {\ sqrt {1+ \ left [f '(x) \ right] ^ {2}}} \ mathrm { d} x}$ (Kierto x-akselin ympäri)

Tyypillinen menetelmä tällaisten pintojen määrittämiseksi on ns. "Rullaaminen" tai "purkaminen" tasossa, toisin sanoen yritetään kartoittaa pinta tasossa siten, että pinta-ala säilyy, ja määritetään sitten tuloksena olevien tasojen alue Kuva. Tämä ei kuitenkaan toimi kaikilla pinnoilla, kuten pallon esimerkki osoittaa. Tällaisten pintojen määrittämiseksi pallon esimerkissä käytetyt analyysimenetelmät voivat koskea pyörivien pintojen käyttöä. Usein Guldinin ensimmäinen sääntö johtaa myös nopeaan menestykseen, esimerkiksi toruksen kanssa.

Integroitu laskenta

Käyrän alla oleva alue a: sta b: een on arvioitu suorakulmioilla

Integraalilaskenta kehitettiin muun muassa käyrien alla olevien alueiden eli funktiokaavioiden määrittämiseksi . Ajatuksena on lähentää käyrän ja akselin välistä aluetta kapeilla suorakulmioilla ja antaa näiden suorakulmioiden leveyden lähestyä nollaa rajaprosessissa. Tämän rajan lähentyminen riippuu käytetystä käyrästä. Jos tarkastellaan rajoitettua aluetta, esimerkiksi käyrää rajoitetulla aikavälillä, kuten viereisessä piirustuksessa, analyysilauseet osoittavat, että käyrän jatkuvuus on riittävä takaamaan rajaprosessin lähentyminen. Ilmiö ilmenee, että akselin alapuolella olevat alueet muuttuvat negatiivisiksi, mikä voi olla epätoivottavaa määritettäessä alueita. Jos haluat välttää tämän, sinun on siirryttävä funktion määrään . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle x}$

Gaussin kellokäyrä

Jos haluat välin rajoja ja lupa, määriteltiin aluksi alueet äärellinen rajoja ja kuten juuri on kuvattu, ja sitten lähtee vielä rajan prosessi , tai pyytää molempia. Tässä voi tapahtua, että tämä rajaprosessi ei lähene, esimerkiksi värähtelevien toimintojen, kuten sinifunktion, tapauksessa . Jos rajoitut funktioihin, joiden funktiokaaviot ovat ylemmällä puolitasolla, näitä värähtelyvaikutuksia ei voi enää esiintyä, mutta käy niin, että käyrän ja akselin välinen alue muuttuu äärettömäksi. Koska kokonaispinta -ala on ääretön, tämä on jopa uskottava ja lopulta myös odotettu tulos. Jos kuitenkin käyrä lähestyy -akselia riittävän nopeasti pisteille, jotka ovat kaukana nollasta , voi ilmetä, että äärettömän laajennetulla alueella on myös rajallinen alue. Tunnettu esimerkki, joka on tärkeä todennäköisyysteorian kannalta, on Gaussin kellokäyrän välinen alue${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ to - \ infty}$${\ displaystyle b \ to + \ infty}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} }$

ja akseli. Vaikka alue on alkaen - , alue on yhtä suuri kuin 1. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle + \ infty}$

Kun yritetään laskea lisäalueita, esimerkiksi myös epäjatkuvien käyrien alla, lopulta herää kysymys, mitkä tason tasot pitäisi antaa mielekkäälle alueelle. Tämä kysymys osoittautuu vaikeaksi, kuten ulottuvuusongelmaa käsittelevässä artikkelissa esitetään . On käynyt ilmi, että täällä käytettyä intuitiivista alueen käsitettä ei voida mielekkäästi laajentaa kaikkiin tason osajoukkoihin.

Differentiaaligeometria

In ero geometria , alue on tasainen tai kaareva pinta on laskettu käyttäen koordinaatit kuin alue kiinteä: ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (u, v)}$

${\ displaystyle \ iint _ {F} \ mathrm {d} \ sigma}$

Alue-elementti vastaa intervallin leveyttä yksiulotteisessa integraalilaskennassa . Siellä on tangenttien alue koordinaattiviivoille, jotka ulottuvat yhdensuuntaisesti sivujen kanssa ja edelleen. Pintaelementti riippuu koordinaatistosta ja pinnan Gaussin kaarevuudesta . ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} u}$${\ displaystyle \ mathrm {d} v}$

Alue -elementti on suorakulmaisissa koordinaateissa . Pallomaisella pinnalla, jonka säde ja pituus ja leveys ovat koordinaattiparametreina . Pallon ( ) pinnalle saadaan pinta -ala: ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L}$${\ displaystyle - \ pi / 2 \ leq B \ leq \ pi / 2, - \ pi \ leq L \ leq \ pi}$

${\ displaystyle A = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vasen [\ sin B \ oikea] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \, \ mathrm {d} L = 2r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ mathrm {d} L = 4 \ pi r ^ {2}}$

Pintaelementin laskemiseksi ei ole ehdottoman välttämätöntä tietää tila -alueen sijaintia avaruudessa. Pinta-elementti voi olla peräisin ainoastaan sellaiset mitat, että voidaan mitata sisällä pinta, ja laskee siten, että sisäinen geometria pinnan. Tämä on myös syy siihen, miksi (kehitettävän) pinnan pinta -ala ei muutu, kun sitä kehitetään, ja siksi se voidaan määrittää kehittämällä tasoksi.

Pinnat fysiikassa

Pinnat näkyvät luonnollisesti myös fysiikassa mitattavana suurena. Alueet mitataan yleensä epäsuorasti käyttämällä yllä olevia kaavoja. Tyypillisiä pintojen kokoja ovat:

• Paine = voima alueelta
• Intensiteetti = energiaa aikaa ja aluetta kohti
• Johtosilmukan magneettinen momentti = nykyinen aika peitetyllä alueella
• Pintajännitys = työ, joka on tehty alueen laajentamiseksi lisäaluetta kohti
• Pintavaraustiheys = varaus aluetta kohti
• Virtatiheys = virtaa virtausaluetta kohti

Alue vektorina

Usein pinnalle määritetään myös pintaan kohtisuora suunta, joka tekee pinnasta vektorin ja antaa sille suunnan kahden mahdollisen kohtisuoran valinnan vuoksi . Vektorin pituus on alueen mitta. Jos kyseessä on suunnikas, jota rajoittavat vektorit ja tämä on vektorituote${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ kertaa {\ vec {b}}}$.

Jos on pintoja, käytetään tavallisesti normaalia vektorikenttää , jotta niille voidaan antaa suunta paikallisesti kussakin kohdassa. Tämä johtaa vuon määriin, jotka määritellään vektorikentän ja alueen (vektorina) skalaaritulona . Virta lasketaan virrantiheyden mukaan ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle {\ vec {J}}}$

${\ displaystyle I = \ int \ limits _ {A} {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$,

missä integraalissa skalaarituote

${\ displaystyle {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$

muodostuu. Tällaisten integraalien arvioinnissa pintojen laskentakaavat ovat hyödyllisiä.

Fysiikassa on myös aluekokoja, jotka todella määritetään kokeellisesti, kuten sirontapoikkileikkaukset . Tämä perustuu ajatukseen, että hiukkasvirta osuu kiinteään kohdeobjektiin, niin kutsuttuun kohteeseen, ja hiukkasvirran hiukkaset osuvat kohteen hiukkasiin tietyllä todennäköisyydellä. Makroskooppisesti mitattu sirontakäyttäytyminen mahdollistaa sitten johtopäätösten tekemisestä poikkileikkausalueista, joita kohdehiukkaset pitävät virtauspartikkeleita vasten. Tällä tavalla määritetyn koon koko on alue. Koska sirontakäyttäytyminen ei riipu pelkästään geometrisista parametreista vaan myös muista hajautuskumppaneiden välisistä vuorovaikutuksista, mitattua aluetta ei voida aina rinnastaa suoraan sirontapartnerien geometriseen poikkileikkaukseen. Sitten puhutaan yleisemmin poikkileikkauksesta , jolla on myös alueen ulottuvuus.

Pinta -alan laskenta maanmittauksessa

Maan pinta -alaa, maa -alueita, maita tai muita alueita ei pääsääntöisesti voida määrittää yksinkertaisten geometristen lukujen kaavojen avulla. Tällaiset alueet voidaan laskea graafisesti, osittain graafisesti, kenttämitoista tai koordinaateista.

Graafista prosessia varten on oltava käytettävissä alueen kartoitus. Alueet, joiden rajat muodostavat monikulmion, voidaan jakaa kolmioiksi tai puolisuunnikiksi, joiden perusviivat ja korkeudet mitataan. Näiden mittausten perusteella lasketaan sitten osa -alueiden alue ja lopuksi kokonaispinta -ala. Osittain graafista pinta-alalaskentaa käytetään, kun alue voidaan jakaa kapeiksi kolmioiksi, joiden lyhyt pohjapuoli on mitattu tarkasti kentällä. Koska alueen suhteellinen virhe määräytyy pääasiassa lyhyen pohjapuolen suhteellisen virheen perusteella, peruspuolen mittaaminen kentässä kartan sijasta lisää alueen tarkkuutta puhtaasti graafiseen menetelmään verrattuna.

Epäsäännölliset pinnat voidaan tallentaa neliön muotoisen lasilevyn avulla. Tämän alapuolella on ruudukko ruutuja, joiden sivupituus tiedetään (esim. 1 millimetri). Taulu asetetaan kartoitetulle alueelle ja alue määritetään laskemalla alueen sisällä olevat neliöt.

Planimeterharppua voidaan käyttää pitkänomaisiin pintoihin. Tämä koostuu paperiarkista, jossa on yhdensuuntaiset viivat, joiden tasainen etäisyys tiedetään. Planimeterharppu on sijoitettu pinnalle siten, että viivat ovat suunnilleen kohtisuorassa pinnan pituussuuntaan nähden. Tämän jakaa alue osaksi trapetsoidien, keskilinjat, jotka lisätään , jossa on pari välilevyt. Pinta -ala voidaan laskea keskiviivojen pituuksien ja rivivälien summasta.

Polar planimeter, oikealla suurennuslasilla varustettu kynä, vasemmalla rulla laskurilla, mittauksen aikana kiinnitetty napa

Planimetri , mekaaninen integrointiväline, soveltuu erityisen hyvin kaarevan reunan alueiden pinta -alan määrittämiseen . Raja on ylitettävä planimetrin käyttökynällä. Ajettaessa ympäri aluetta rulla pyörii ja rullan pyöriminen sekä alueen koko voidaan lukea mekaaniselta tai elektroniselta laskurilta. Tarkkuus riippuu siitä, kuinka tarkasti kuljettaja kulkee alueen reunalla ajokynällä. Mitä pienempi kehä suhteessa alueeseen, sitä tarkempi tulos.

Pinta -alan laskemista kentän mitoista voidaan käyttää, jos alue voidaan jakaa kolmioiksi ja puolisuunnikiksi ja pinta -alan laskemiseen tarvittavat etäisyydet mitataan kentällä. Jos pinnan kulmapisteet on käännetty mittauslinjaan ortogonaalista menetelmää käyttäen, pinta voidaan laskea myös Gaussin puolisuunnikkaan kaavalla.

Nykyään alueet lasketaan usein koordinaateista. Tämä voi olla esimerkiksi kiinteistörekisterin rajapisteiden koordinaatit tai alueen kulmapisteet paikkatietojärjestelmässä . Usein kulmapisteet yhdistetään suorilla viivoilla, joskus myös kaarilla. Siksi pinta -ala voidaan laskea Gaussin puolisuunnikkaan kaavalla. Pyöreiden kaarien tapauksessa on otettava huomioon monikulmion sivun ja pyöreän kaaren väliset pyöreät segmentit . Jos epäsäännöllisemmän alueen sisältö on määritettävä paikkatietojärjestelmässä, alue voidaan arvioida monikulmion avulla, jolla on lyhyet sivupituudet.

Katso myös

• Suuruusluokka (alue)

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Heribert Kahmen: Maanmittaus minä . Walter de Gruyter, Berliini 1988.

nettilinkit

Wikisanakirja: alue  - selitykset merkityksistä, sanojen alkuperästä, synonyymeistä, käännöksistä

• Muunnos: Pyöreä kaapeli, vaijeri ja vaijeri-halkaisija pyöreässä poikkileikkauksessa ja poikkileikkaus halkaisijassa
• Eric W. Weisstein : Alue . Julkaisussa: MathWorld (englanti).