Ääretön luku

On matematiikka , positiivinen äärettömän pieni määrä on esine, joka ottaa huomioon järjestyksessä todellinen määrä, on suurempi kuin nolla , mutta pienempi kuin mikä tahansa positiivinen reaaliluku, riippumatta siitä, kuinka pieni.

ominaisuudet

Tämän vaatimuksen täyttävien reaalilukujen joukossa ei tietenkään ole loputtomia pieniä, koska tällaisen äärettömän olisi täytettävä ehto , koska on myös positiivinen reaaliluku. Jotta tällaiset äärettömät määrät voidaan edelleen määritellä, joko yllä olevaa vaatimusta on heikennettävä tai todelliset luvut on upotettava suurempaan, järjestettyyn kenttään , jossa on tilaa tällaisille lisäelementeille. Jälkimmäinen on tapa, jolla algebralliset äärettömät yksilöt määritellään (Coste, Roy, Pollack), ja myös epätyypillisen analyysin (NSA) tapa (Robinson, Nelson). ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0 <x <{\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$

Äärettömän pienellä on se ominaisuus, että mikä tahansa tämän luvun määrän äärimmäisen monien (NSA: ssa vakiona lopullisesti monien) ehtojen summa on alle 1: ${\ displaystyle x \ neq 0}$

${\ displaystyle | x | + \ piste + + | x | <1}$ mihin tahansa rajalliseen määrään kesää.

Tällöin se on suurempi kuin mikään positiivinen reaaliluku (NSA: ssa vakio reaaliluku). Algebrallisille äärettömille tämä tarkoittaa, että siihen liittyvä kenttälaajennus ei ole arkhimedealainen . ${\ displaystyle | 1 / x |}$

kalkki

Ensimmäinen matemaatikko, joka käytti tällaisia ​​lukuja, oli epäilemättä Archimedes , vaikka hän ei uskonut niiden olemassaoloon .

Newton ja Leibniz käyttävät äärettömän pieniä lukuja kehittäen äärettömän pienen laskennan (differentiaali- ja integraalilaskennan) laskennan.

Tyypillisesti he väittivät (oikeastaan ​​vain Newton, Leibniz käyttää monadeja , nykyään karkeasti: päättyneitä tai muodollisia voimasarjoja ):

Funktion derivaatan löytämiseksi oletamme, että se on äärettömän pieni. Sitten ${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ sisään \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {f (x + \ mathrm {d} x) -f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {x ^ {2} + 2x \ cdot \ mathrm {d} x + \ left (\ mathrm {d} x \ right) ^ {2} -x ^ {2}} {\ mathrm {d} x}} = 2x + \ mathrm {d} x = 2x,}$

koska se on äärettömän pieni. ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Vaikka tämä väite on intuitiivinen ja antaa oikeat tulokset, se ei ole matemaattisesti tarkka: Perusongelma on, että sitä pidetään aluksi nollasta poikkeavana (yksi jaetaan ), mutta viimeisessä vaiheessa sitä pidetään nollana. George Berkeley kritisoi äärettömän pienien lukujen käyttöä teoksessaan: Analyytikko: tai uskottomalle matemaatikolle osoitettu keskustelu (1734).${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Historiallinen kehitys

Siitä lähtien kysymys äärettömistä ihmisistä on ollut läheisessä yhteydessä kysymykseen todellisten lukujen luonteesta. Vasta 1800-luvulla Augustin Louis Cauchy , Karl Weierstrass , Richard Dedekind ja muut antoivat todelliselle analyysille matemaattisesti tiukan muodollisen muodon. He esittivät raja-arvoja koskevia näkökohtia, jotka tekivät äärettömän pienien määrien käytön tarpeettomaksi.

Silti äärettömän pienien lukujen käyttöä pidettiin edelleen hyödyllisenä esitysten ja laskelmien yksinkertaistamiseksi. Siten, jos ominaisuus merkitsee olevan ääretön pieni ja vastaavasti ominaisuus olla ääretön , voidaan määritellä: ${\ displaystyle x \ noin 0}$${\ displaystyle N \ noin \ infty}$

• A (standardi) tulos on nolla sekvenssiin, jos kaikki pätee: .${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle N \ noin \ infty}$${\ displaystyle a_ {N} \ noin 0}$
• A (standardi) toiminto on rajoitettu aikaväli on tasaisesti jatkuva, jos ja vain jos kaikki , että sovelletaan seuraavaa: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x, y \ sisään I}$${\ displaystyle xy \ noin 0}$${\ displaystyle f (x) -f (y) \ noin 0}$

1900-luvulla löydettiin reaalilukujen lukualueiden laajennukset , jotka sisältävät äärettömän pieniä lukuja muodollisesti oikeassa muodossa. Tunnetuimmat ovat hyperreaaliluvut ja surrealistiset luvut .

Kun standardista poikkeava analyysi mukaan Abraham Robinson (1960), joka sisältää hyperreaaliluku erityistapauksena, äärettömän numerot ovat oikeutettuja määriä. Tässä analyysissä edellä mainitut johtaminen voi olla perusteltua pienin muutoksin: Me puhumme standardin osa tasauspyörästön osamäärä ja tavallinen osa on (jos on vakio määrä, lisätietoja on linkitetty artikkeli). ${\ displaystyle f \ kaksoispiste \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ sisään \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2x + \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle x}$

turvota

1. ↑ Koko teksti löytyy (uusi) ladattuna [1]