Risti polytop

Oktaedri on kolmiulotteinen ristipolytooppi

Rajat polytooppia tai hyperoctahedron on polytooppia on geometria , joka edustaa yleistys, joka oktaedrin välillä kolmiulotteisessa avaruudessa tiloihin tahansa ulottuvuus . Ristipolytooppi dimensiotilassa on kupera viivojen runko , jotka kaikki leikkaavat samassa leikkauspisteessä. Kun kyseessä on säännöllisesti rajan polytop , nämä ulottuu ovat kaikki sama pituus ja kumpikin leikkaavat keskitetysti ja kohtisuoraan . Symmetria ryhmä säännöllisen syötön polytop on hyperoctahedral ryhmä . Paitsi hyperkuutio ja säännöllinen simplices , säännöllisesti rajan polytooppeina ovat ainoa säännöllinen polytooppeina että olemassa missään ulottuvuuksia. Ristipolytooppeja käytetään muun muassa lineaarisessa optimoinnissa . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Yhtenäisyyden polytop

Kaksiulotteinen yksikkö ristipolytooppi koordinaattiakseleilla

määritelmä

Ulotteinen laite rajat polytooppia on kupera rungon kulmat : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle \ pm e_ {1}, \ ldots, \ pm e_ {n}}$

${\ displaystyle P = \ operaattorin nimi {conv} ({e_ {1}, \ ldots, e_ {n}, - e_ {1}, \ ldots, -e_ {n}}) \ subseteq \ mathbb {R} ^ { n}}$.

Tarkoittaa tässä : nnen yksikön vektorin vektoriavaruudessa . ${\ displaystyle e_ {i} = (0,0, \ pistettä, 1,0, \ pistettä 0)}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Esimerkkejä

• Yksidimensionaalinen yksikköristopolytooppi on suljetun yksikön väli .${\ displaystyle [-1.1]}$
• Kaksiulotteinen yksikköristopolyto on neliö (käännetty ylösalaisin) .
• Kolmiulotteisen yksikön ristipolytooppi on oktaedri ja siten yksi platonilaisista kiinteistä aineista .

esitys

Yksikön poikkipolytooppi voidaan myös esittää pisteenä, joka asetetaan dimensiotilaan seuraavasti: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle P = \ {(v_ {1}, v_ {2}, \ dotsc, v_ {n}) \ sisään \ mathbb {R} ^ {n} \ mid | v_ {1} | + | v_ {2 } | + \ pistepiste + | v_ {n} | \ leq 1 \}}$.

Yksikköristiputooppi on siis yksikköpallo suhteessa summa-normiin . Tätä absoluuttista eriarvoisuutta voidaan kuvata myös lineaarisen eriarvoisuuden järjestelmänä . Siksi yksiköristipolytooppi on rajattu tarkasti hypertasoilla . ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {1}}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$

Komponentit

Yksikön poikkipolytooppi on kupera , suljettu ja kytketty (suhteessa euklidiseen metriikkaan ). Se koostuu seuraavista osista:

• Siinä on kulmat, vain (positiiviset ja negatiiviset) yksikkövektorit.${\ displaystyle 2n}$
• Siinä on reunat, koska jokainen kulma , vastakulmaa lukuun ottamatta, on liitetty toisiinsa reunalla.${\ displaystyle 2n (n-1)}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle -e_ {i}}$
• Se on puolia, jotka simplices on olemassa.${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1}}$

Yleensä yksikön ristipolytooppi koostuu

${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} \ cdot {n \ valitse {k + 1}}}$

Ulottuvuuden komponentit . ${\ displaystyle k}$

Symmetriat

Symmetriataso kolmiulotteiselle ristipolytoopille

Yksikön rajat polytooppia on pistesymmetrinen suhteessa koordinoida alkuperä , joka on kaikkien totta ${\ displaystyle v \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ in P \ Rightarrow (-v_ {1}, \ ldots, -v_ {n}) \ in P}$.

Lisäksi se on symmetrinen suhteessa koordinaattitasojen heijastuksiin , toisin sanoen

${\ displaystyle (v_ {1}, \ ldots, v_ {i}, \ ldots, v_ {n}) \ in P \ Rightarrow (v_ {1}, \ ldots, -v_ {i}, \ ldots, v_ { n}) \ in P}$

varten . Koordinoida tasot jakaa yksikön rajat polytooppi osaksi yksikkö implices ja . ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Tuloksena olevat "leikatut pinnat" (ulottuvuuden n-1 hypertasojen leikkaaminen) "koordinaattitasoilla" (koordinaattitasojen tasot, n = 3 koordinaattitasolle, n = 2 koordinaattiakselille) ovat kukin ulottuvuuden n-1 poikkipolytooppeja.

äänenvoimakkuus

Ulotteinen tilavuus yksikön rajat polytooppia on ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ operaattorin nimi {vol} (P) = {\ tfrac {2 ^ {n}} {n!}}}$.

Siksi määrä on mielivaltaisesti pieni kasvavan ulottuvuuden kannalta.

Säännölliset ristipolytoopit

määritelmä

Säännöllinen ristipolytooppi on polytooppi, joka syntyy yksikköristiputopista skaalaamalla , kiertämällä ja kääntämällä . Polytooppi on siis säännöllinen ristipolytooppi, jos on reaaliluku , kohtisuora matriisi ja vektori siten, että ${\ displaystyle Q \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ lambda> 0}$ ${\ displaystyle A \ sisään \ mathbb {R} ^ {n \ kertaa n}}$${\ displaystyle b \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle Q = \ lambda AP + b}$

sovelletaan.

ominaisuudet

Säännöllisillä ristipolytoopeilla on sama määrä pisteitä, reunoja ja puolia kuin yksikköristipolypilla. Niillä on myös samat symmetriaominaisuudet, vain symmetriakeskus ja peilitasot muunnetaan vastaavasti. Tilavuuskaava säilyy myös ja sisältää vain lisäkertoimen : ${\ displaystyle \ lambda ^ {n}}$

${\ displaystyle \ operaattorin nimi {vol} (Q) = \ lambda ^ {n} \ cdot {\ tfrac {2 ^ {n}} {n!}}}$.

Ristipolytooppi (tai hyperoktaedri) ja ulottuvuuspolytooppi (tai hyperkuutio) ovat kaksoisvuorossa . Siksi myös heidän symmetriaryhmänsä vastaavat.

Yleiset ristipolytoopit

Reuna kuvaaja neljän ulotteinen cross polytooppia

määritelmä

Yleensä kaikkia polytooppeja, jotka ovat kombinatorisesti samanarvoisia yksiköristipolytoopin kanssa, kutsutaan ristipolytoopeiksi. Tarkemmin sanottuna tämä tarkoittaa:

Polytooppia kutsutaan syötön polytooppia, jos on bijektio päässä joukko kulmat päälle joukko kulmat yksikön rajat polytooppia siten, että kaksi kulmat ja päässä on yhdistetty reunaan, jos ja vain jos , ja tämä on .${\ displaystyle Q \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n}, - e_ {1}, \ ldots, -e_ {n} \}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle f (v)}$${\ displaystyle f (w)}$${\ displaystyle P}$

ominaisuudet

Yleisellä ristipolytoopilla on sama määrä pisteitä, reunoja ja puolia kuin yksikön ristipolytoopilla, mutta symmetriat menetetään.

käyttää

Ristipolytoopin katsotaan olevan prototyyppi polytoopista, jolla (suhteessa ulottuvuuteen) on hyvin vähän kulmia, mutta hyvin monia puolia. Tämä ominaisuus on erityisen tärkeä lineaarisessa optimoinnissa, koska simplex-algoritmi , standardimenetelmä lineaaristen optimointiongelmien ratkaisemiseksi, tarkistaa erityisesti kulmien optimaalisuuden. Tämän vastine on hyperkuutio , jonka kulmien määrä kasvaa eksponentiaalisesti, mutta puolien määrä kasvaa vain lineaarisesti . ${\ displaystyle n}$

nettilinkit

• Kaksi esitystä (grafiikkaa) (PDF-tiedosto, 32 kt) Stuttgartin yliopistolta
• Lyhyt määritelmä professori Dr. Rolfdieter Frank Koblenz-Landaun yliopistosta Hampurin yliopiston kotisivulla
• Kuparit polytoopit - WS 2003/2004 (PDF-tiedosto, 416 kB), kirjoittanut Achill Schürmann Otto von Guericken yliopiston Magdeburgin algebran ja geometrian instituutista
• Polyhedran polynomiset esitykset (PDF-tiedosto, 320 kt), kirjoittanut Martin Henk Magdeburgin yliopistosta