Säännöllinen kiertorata

Harmonisen oskillaattorin liike johtaa jaksottaiseen kiertoradalle vaihetilassa .

Planeetan kiertorata ei ole tarkalleen jaksollinen, koska apsi kiertää , animaatio liioittelee tätä vaikutusta hyvin paljon.

Matemaattinen teoria dynaamisten järjestelmien , joka on jaksollisen kiertoradan tai määräajoin kiertoradalla (myös: suljettu kiertorata ) on liike polku , joka aina palaa alkupisteeseen tietyn ajanjakson ajan ( " aikana "), joka on siis suljettu itse ja siten yksi toistuvaa, jaksollista liikettä. Jaksollisten kiertoradojen pisteitä kutsutaan jaksollisiksi pisteiksi .

Esimerkkejä jaksollisista kiertoradoista ovat harmonisen oskillaattorin liike tai planeetan kiertoradat (jotka eivät kuitenkaan ole enää tarkalleen jaksollisia, jos otetaan huomioon apsin kiertyminen ).

määritelmä

Jatkuvan ajan dynaamisessa järjestelmässä, so. H. kanssa : ${\ displaystyle t \ sisään \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ varphi \ kaksoispiste X \ kertaa \ mathbb {R} \ - X}$

virtaus on tila-avaruus . kiertoradalla${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (x, \ varphi): = \ vasen \ {\ varphi (x, t) | t \ sisään \ mathbb {R} \ oikea \}}$

Pisteen kutsutaan määräajoin kiertoradalla , jos sellainen on sellainen, että ${\ displaystyle x \ X: ssä}$${\ displaystyle T> 0}$

${\ displaystyle \ varphi (x, t + T) = \ varphi (x, t)}$

koskee kaikkia . Pienintä mahdollista positiivista lukua kutsutaan kiertoradan jaksoksi . ${\ displaystyle t \ sisään \ mathbb {R}}$${\ displaystyle T}$

Samaa määritelmää käytetään erillisissä dynaamisissa järjestelmissä, silloin ja ne ovat kokonaislukuja . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T> 0}$

Kronologisesti jatkuvien järjestelmien jaksollisilla kiertoradoilla on ympyrän topologia, kun taas erillisissä järjestelmissä (iteroitu kartoitus) ne koostuvat jaksoa vastaavista pisteistä, jotka on kartoitettu toisiinsa syklisesti.

Seifert-arvelu

Kysymys siitä, onko kolmiulotteisen pallon kaikkien jatkuvien vektorikenttien vuoksilla jaksoittainen kiertorata, tunnettiin Seifert-olettamuksena . Tälle oletukselle on vastaesimerkkejä, vaikka vektorikentän erilaistuvuudella olisi mielivaltaisesti vahvat ehdot.

Reeb kiertää

Seifert-oletuksen vastaesimerkit osoittavat, että kolmiulotteisen pallon vektorikentillä voi olla hyvin patologinen dynamiikka. Yksi on enemmän säännöllinen käyttäytyminen ns Reeb vektori aloilla tavallinen kosketus rakenne on 3-alalla. Näille voidaan osoittaa, että jaksollisten kiertoradojen laskemiseksi on aina olemassa jaksollisia kiertoratoja (ns. Reeb -kiertoradat ) ja menetelmiä (esim. Kontaktihomologia ).

nettilinkit

• Säännöllinen kiertorata (Scholarpedia)

Yksittäiset todisteet

1. ↑ Fysiikan sanasto. Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg 1998.
2. ↑ Artikkeli vasta-esimerkeillä:
   • V. Ginzburg, B. Gürel: A- sileä vasta-esimerkki Hamiltonin Seifert-${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle R ^ {4}}$ oletukselle ]. Julkaisussa: Ann. Math. (2) 158, no. 3, 2003, s. 953-976.
   • J. Harrison: Vasta-esimerkkejä Seifert-arveluista. Julkaisussa: Topology. 27, nro 3, 1988, s. 249 - 278.${\ displaystyle C ^ {2}}$
   • G. Kuperberg: Volyymiä säilyttävä vastaesimerkki Seifert-oletukselle. Julkaisussa: Kommentti. Math. Helv. 71, nro 1, 1996, s. 70-97.
   • K. Kuperberg: Sujuva vasta-esimerkki Seifert-arveluista. Julkaisussa: Ann. Math. (2) 140, nro 3, 1994, s. 723-732.
   • G. Kuperberg, K. Kuperberg: Yleistettyjä vasta-esimerkkejä Seifert-olettamuksista . Julkaisussa: Ann. Math. (2) 143, no. 3, 1996, s. 547-576.
   • H. Seifert: Suljetut integraalikäyrät 3-avaruudessa ja isotooppiset kaksiulotteiset muodonmuutokset. Julkaisussa: Proc. Amer. Math. Soc. 1, 1950, sivut 287-302.
   • PA Schweitzer: Vasta-esimerkkejä Seifert-olettamuksista ja sulkeutuneiden lehtien avaamisesta. Julkaisussa: Ann. Math. (2) 100, 1974, sivut 386-400.