Leibniz-sektorikaava

Sektori, jolla on kaava Leibniz , nimetty Leibniz , laskee pinta-suuntautunut, palkki kulkee käynnissä käyrä osa, erityisesti se on mahdollista niiden pinta-alat alueilla, jotka on kuvattu suljetun käyrän, laske.

kaava

Olla kanssa sileä käyrä , sitten se kulkee alkuperää koulutettuja ajo palkki suuntautunut alueen seuraavat koko: ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle t \ mapsto (x (t), y (t))}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle F (\ gamma) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} (x (t) y ^ {\ prime} (t) -y (t) x ^ {\ prime} (t)) dt}$

Hieman sileät käyrät

Jos on paloittain sileä käyrä päälle ja osio , niin että on osaintervallien varten on sileä, niin: ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle \ {t_ {0}, \ ldots, t_ {n} \}}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle [t_ {k-1}, t_ {k}]}$${\ displaystyle k = 1, \ ldots n}$

${\ displaystyle F (\ gamma) = F (\ gamma _ {1}) + \ ldots + F (\ gamma _ {n})}$

Tässä aikavälille rajoitettu käyrä merkitsee . ${\ displaystyle \ gamma _ {k}}$${\ displaystyle [t_ {k-1}, t_ {k}]}$

Yhteys kolmioihin

Sektorikaava voidaan ymmärtää yleiskuvana determinanttikaavasta kolmiopinta-alan laskemiseksi. Ovat , , kärkipisteet kaikki kolmion, niin tämä ilmaistaan seuraavasti paloittain sileä käyrä kuvattu: ${\ displaystyle A = (x_ {1}, y_ {1})}$${\ displaystyle B = (x_ {2}, y_ {2})}$${\ displaystyle C = (x_ {3}, y_ {3})}$ ${\ displaystyle [0,3] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ gamma (t): = {\ aloita {tapaukset} \ gamma _ {a} (t) = (x_ {1} + (x_ {2} -x_ {1}) t, \, y_ {1 } + (y_ {2} -y_ {1}) t) & {\ text {if}} 0 \ leq t \ leq 1 \\\ gamma _ {b} (t) = (x_ {2} + (x_) {3} -x_ {2}) (t-1), \, y_ {2} + (y_ {3} -y_ {2}) (t-1)) ja {\ text {if}} 1 \ leq t \ leq 2 \ gamma _ {c} (t) = (x_ {3} + (x_ {1} -x_ {3}) (t-2), \, y_ {3} + (y_ {1 } -y_ {3}) (t-2)) ja {\ teksti {putoaa}} 2 \ leq t \ leq 3 \ loppu {tapaukset}}}$

Sitten kolmion pinta-alan laskemiseen sovelletaan seuraavaa:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} F (\ triangle) & = {\ frac {1} {2}} \ left | {\ begin {matrix} 1 & x_ {1} & y_ {1} \\ 1 & x_ {2} & y_ {2} \\ 1 & x_ {3} & y_ {3} \ end {matrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} [(x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ { 2}) + (x_ {2} y_ {3} -y_ {2} x_ {3}) + (x_ {3} y_ {1} -y_ {3} x_ {1})] \\ & = \ quad {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} [(x_ {1} + (x_ {2} -x_ {1}) t) (y_ {2} -y_ {1} ) - (y_ {1} + (y_ {2} -y_ {1}) t) (x_ {2} -x_ {1})] dt \\ & \ quad + {\ frac {1} {2}} \ int _ {1} ^ {2} [(x_ {2} + (x_ {3} -x_ {2}) (t-1)) (y_ {3} -y_ {2}) - (y_ {2 } + (y_ {3} -y_ {2}) (t-1)) (x_ {3} -x_ {2})] dt \\ & \ quad + {\ frac {1} {2}} \ int _ {2} ^ {3} [(x_ {3} + (x_ {1} -x_ {3}) (t-2)) (y_ {1} -y_ {3}) - (y_ {3} + (y_ {1} -y_ {3}) (t-2)) (x_ {1} -x_ {3})] dt \\ & = F (\ gamma _ {a}) + F (\ gamma _ { b}) + F (\ gamma _ {c}) \\ & = F (\ gamma) \ end {tasattu}}}$

Yhteys kiinteisiin lauseisiin

Suljetun käyrän tapauksessa Leibnizin sektorikaava on Greenin integraalilauseen erityistapaus . Integroitu lause käyrälle, jolla on suljettu alue ja kaksi erottuvaa funktiota , seuraava yhtälö: ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ gamma (a) = \ gamma (b)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int _ {B} {\ Bigl [} g_ {x} (x, y) -f_ {y} (x, y) {\ Bigr]} dxdy = \ int _ {a} ^ {b} {\ Bigl [} f {\ bigl (} x (t), y (t) {\ bigr)} \ cdot x ^ {\ prime} (t) + g {\ bigl (} x (t), y ( t) {\ bigr)} \ cdot y ^ {\ prime} (t) {\ Bigr]} dt}$

Jos valitsemme paikalliset toiminnot ja niin totta ja saat: ${\ displaystyle f (x, y) = - y}$${\ displaystyle g (x, y) = x}$${\ displaystyle f_ {y} (x, y) = - 1}$${\ displaystyle g_ {x} (x, y) = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} & \ int _ {B} (1 - (- 1)) dxdy = \ int _ {a} ^ {b} {\ Bigl [} -y (t) \ cdot x ^ {\ prime} (t) + x (t) \ cdot y ^ {\ prime} (t) {\ Bigr]} dt \\\ Vasen oikeanpuoleinen nuoli & \ int _ {B} 1dxdy = {\ frac {1} {2 }} \ int _ {a} ^ {b} {\ Bigl [} x (t) \ kertaa y ^ {\ prime} (t) -y (t) \ kertaa x ^ {\ prime} (t) {\ Bigr]} dt \ loppu {tasattu}}}$

Koska integrointi alueelle, jossa on 1, tuottaa alueen itse, sovelletaan seuraavaa:

${\ displaystyle F (\ gamma) = \ int _ {B} 1dxdy = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} {\ Bigl [} x (t) \ cdot y ^ {\ prime} (t) -y (t) \ cdot x ^ {\ prime} (t) {\ Bigr]} dt}$.

Vaihtoehtoinen kaava

Kirjallisuudessa toista kaavaa kutsutaan toisinaan Leibnizin sektorikaavaksi. Tämä on paljon erikoisempaa ja koordinaatintoimintojen ja parametrikäyrän sijasta käytetään toimintoa, joka kuvaa käyrän pisteen ja tähtimäisen joukon keskipisteen välistä etäisyyttä . Näin pätee: ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$${\ displaystyle r (t)}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle F (B) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} r (t) ^ {2} \ dt}$

Koska tämä kaava ei käytä suuntautunutta aluetta toisin kuin edellinen, se pätee vain tähtimäisiin sarjoihin. Jos tähtimäisen joukon keskipiste on, r (t) voidaan laskea käyttämällä parametrikäyrän koordinaattifunktioiden suhdetta . ${\ displaystyle (x_ {z}, y_ {z})}$${\ displaystyle r (t) = {\ sqrt {(x (t) -x_ {z}) ^ {2} + (y (t) -y_ {z}) ^ {2}}}}$

esimerkki

Sydän käyrä on seuraava parametri esitys: ${\ displaystyle \ gamma: [0.2 \ pi] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle x = a \ cos (t) (1+ \ cos (t)) \ qquad y = a \ sin (t) (1+ \ cos (t))}$

Sektorikaava antaa sitten seuraavan alueen:

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} F (\ gamma) & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} a \ cos (t) ( 1+ \ cos (t)) a (\ cos (t) +2 \ cos (t) ^ {2} -1) + a \ sin (t) (1 + 2 \ cos (t)) a \ sin ( t) (1+ \ cos (t)) {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} (1 + \ cos (t)) ^ {2} a ^ {2} {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {3} {2}} a ^ {2} \ pi \ end {tasattu}}}$

Vaihtoehtoista kaavaa käytettäessä voidaan valita keskukseksi ja saada sitten: ${\ displaystyle (0,0)}$

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} F (\ gamma) & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} {\ bigl (} a \ cos (t) (1+ \ cos (t)) {\ bigr)} ^ {2} + {\ bigl (} a \ sin (t) (1+ \ cos (t)) {\ bigr)} ^ { 2} {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} (1+ \ cos (t)) ^ { 2} a ^ {2} (\ cos (t) ^ {2} + \ sin (t) ^ {2}) {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} (1+ \ cos (t)) ^ {2} a ^ {2} {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {3} { 2}} a ^ {2} \ pi \ end {tasattu}}}$

kirjallisuus

• Konrad Königsberger : Analyysi 1 . 2. painos, Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6 , s.343
• Wolfgang Walter: analyysi I . 2. painos, Springer 1985, ISBN 3-540-51708-1 , s.285-286
• Harro Heuser : Analyysin oppikirja - osa 2 . 5. painos, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0 , s.498

nettilinkit

• J. Weikert: Käyrät ja kaaren pituus (PDF; 595 kB). Vuonna matematiikka tietotekniikan tutkijoita I , käsikirjoitus Uni Saarlandin
• Moniulotteinen integraalilaskenta . Vuonna korkeampi matematiikka II (yliopisto käsikirjoitus)