Seksimaalinen järjestelmä

Seksagesimaaliluvut järjestelmä (myös hexagesimal järjestelmä tai sixties järjestelmä ) on paikka, arvo, joka perustuu tukiasemassa 60 ( Latinalaisen sexagesimus 'kuudentenakymmenentenä' ).

Sitä käytetään edelleen kulmien ja maantieteellisten pituus- ja leveysasteiden osoittamiseen . Asteella on 60 kaariminuuttia ja minuutilla 60 sekuntia . Se on myös selvinnyt alalla ajanotto . Tunti on 60 minuuttia ja minuutin on 60 sekuntia . Myöhään keskiajalla jotkut matemaatikot jakoivat sekunnit edelleen tertiaeiksi laskelmissaan . Tämä ei kuitenkaan ole tarttunut.

alkuperä

Ensimmäiset todisteet kirjallisesta sukupuolen laskentajärjestelmästä, joka oli vielä lisäysjärjestelmä , ulottuvat sumerien aikaan noin vuonna 3300 eaa. EKr takaisin. Babylonian matematiikan jatkokurssilla n. Käytetty seksimaalipaikkajärjestelmä. Matematiikan tärkeimmät lähteet ovat vuodelta 1900 eaa. Eaa. - 1600 eaa Eaa., Mutta vanhimmat taulukkotekstit ovat uuden sumerin aikakaudelta. Jälkeinen Aleksandriassa ajalta osoittaa yhä Kreikan vaikutteita alla Seleucids , joka on tehnyt synergiaa Babylonian tietämystä, jotta myöhemmin täysin viedä kokemuksia sumerilaisten, Akkadians, assyrialaiset ja babylonialaiset Kreikkaan. Arabi -tähtitieteilijät käyttivät tähtikarttoissaan ja taulukoissaan kuuluisan kreikkalaisen tähtitieteilijän Ptolemaioksen oikeinkirjoitusta , joka perustui seksuaalisiin murto -osiin. Varhaiset eurooppalaiset matemaatikot, kuten Fibonacci, käyttivät myös tällaisia ​​murto -osia , kun he eivät voineet operoida kokonaislukuilla.

Monet historioitsijat nähdä motiivi käyttöönoton seksagesimaaliarvon järjestelmän tähtitieteen , sillä Babylonian vuosien koostuu kahdentoista kuukauden 30 päivää, mutta siellä oli myös ylimääräinen 13 harppaus kuukaudessa noin kolmen vuoden välein  . Lisätietoja on kuun kuukausien varhaisessa laskennassa, joka on peräisin 35 000 eaa. Voidaan todistaa (kalenteritikku). Vuonna Tšekissä pinna luu nuoren suden havaittiin noin 30000 eaa. Löydetty, jossa on yhteensä 55 lovi, 9., 30. ja 31. lovi ovat noin kaksi kertaa pitempiä kuin muut lovet. Koska kuun vaiheiden keskimääräinen ajanjakso on 29,53 päivää, merkit voivat liittyä kuun vaiheisiin .

Muut tiedemiehet näkevät syyn valita numero 60 laskentajärjestelmän perustaksi voidakseen yksinkertaisesti ilmaista tai laskea mahdollisimman paljon käytännön laskennassa ja mittauksessa (kaupassa) esiintyviä osia. Osoitus tästä on se, että 60 12 jakoluvut kuuluu erittäin pahentaa numerot (nro 9 sarjassa A002182 sisään OEIS ).

Yhden ja kahden käden laskenta falangeilla ja sormilla

Tavallisessa desimaalijärjestelmässä (kymmeniä) lasketaan molempien käsien kymmenellä sormella (kaksi kertaa viisi). Joissakin osissa maailmaa, kuitenkin, oli laskenta avulla ja rivistö , joka johti numero kaksitoista ( duodecimal ) yhdellä kädellä , mutta johti numero 60, jossa on kaksi kättä.

Laskee yhdellä kädellä 12: een

Laskenta suoritetaan peukalolla osoittimena ja saman käden falangeilla kuin laskentaobjekti.

• Yhden käden laskeminen alkaa koskettamalla ensimmäisen käden saman käden pienen sormen kärkeä eli ylempää falanksia.
• Toista esinettä varten pienen sormen keskimmäistä falanksia kosketetaan peukalolla; joten luotat peukalolla raajasta ja sormesta.
• Kolme → pienen sormen alaleuka
• Neljä → etusormen ylälenkki
• Viisi → nimetön sormen keskilinkki
• Kuusi → nimetön sormen alaleuka
• Seitsemän → keskisormen ylempi falanksi
• Kahdeksan → keskisormen keskimmäinen falanksi
• Yhdeksän → keskisormen alaleuka
• Kymmenen → etusormen ylempi phalanx
• Yksitoista → etusormen keskilinkki
• Kaksitoista → etusormen alaleuka

Toisin sanoen: neljä sormea, joissa on kolme falangiaa, on 12.

Kahden käden laskenta jopa 60

Kun ensimmäinen kymmenkunta on laskettu käyttämällä peukaloa osoittimena saman käden jäljellä olevien neljän sormen kolmen falangin kanssa (4 × 3 = 12), yhden käden laskentakapasiteetti on alkanut.

• Toinen käsi puristetaan nyrkkiin. Muistaaksemme, että tusinaa on laskettu, ojennetaan nyt sormi, esim. B. peukalo ulos.
• Nyt voit jatkaa laskemista aloittamalla uudestaan yhdellä kädellä . On kaksitoista , toinen tusina on täynnä.
• Muistaaksemme, että kaksi tusinaa on laskettu, yksi ojentaa nyt toisen käden seuraavan sormen, esim. B. peukalon jälkeen etusormi.
• Ensimmäisen käden viidellä sormella voit laskea viisi kertaa tusinaa, joten 5 × 12 = 60.
• Nyt voit laskea seuraavan tusinan uudelleen ensimmäisellä kädellä, ts. Laskea 72 kahdella kädellä (12 ensimmäisellä plus 60 toisaalta).

Tämä sormien laskentajärjestelmä on edelleen olemassa osissa Turkkia , Irakia , Intiaa ja Indokiinaa .

Voit myös laskea enintään 12 × 12 = 144 ( suuri ) tai 156 (13 × 12) laskemalla falanksilla toisella kädellä.

Suuria määriä laskettaessa voidaan käyttää apuvälineitä, kuten tikkuja, kiviä, viivoja tai auttajan kymmenen sormea. Viisi tusinaa kerrallaan, eli 60, merkitään yhdellä apuvälineestä. Ihmisen auttajan kymmenellä sormella voit laskea jopa 10 × 60 = 600, muiden apuvälineiden avulla vielä pidemmälle.

Sumerit

Sumerilaisten keskuudessa 60: tä kutsuttiin geschiksi .

• 120: gesch-min (60 × 2)
• 180: gesch-esch (60 × 3)
• 240: gesch-limmu (60 × 4)
• 300: gesch-iá (60 × 5)
• 360: gesch-asch (60 × 6)
• 420: gesch-imin (60 × 7)
• 480: kuva (60 × 8)
• 540: gesch-ilummu (60 × 9)
• 600: gesch-u (60 × 10)
• Nyt sumerit eivät laskeneet 60 askeleella ( gesch- askeleet), vaan 600 askeleella ( gesch-u- askeleet), nimittäin kuusi kertaa 600, eli jopa 3600, jota kutsuttiin schàriksi .
• 3600 nostettiin sitten kymmenen kertaa schàr-u (3600 × 10) 36 000: een.
• 36 000 laskettiin kuusi kertaa 216 000 schàr-gal , kirjaimellisesti suuri 3600 ( eli 60 × 60 × 60).
• 216 000 laskettiin kymmenen kertaa 2160 000 schàr-gal-u: ksi (= (60 × 60 × 60) × 10)
• Schàr-gal-u kerrottiin aluksi viisi kertaa. Kuudes monikerta 12 960 000, eli 60 × 60 × 60 × 60, sai jälleen oman nimensä, nimittäin schàr-gal-shu-nu-tag (suuri schàr-pääyksikkö).

Numerot 10-60 on desimaalin (30 = uschu = esch-u = 3 x 10), ja joskus jopa vigesimaalijärjestelmä rakenne (40 = nischmin = nischmin = 2 x 20).

Seksimaalijärjestelmä babylonialaisessa käytössä

Sumerilaiset käytetty ennen nuolenpääkirjoitus merkkien numerot 1-60 kukin eri kokoisia puoli ellipsejä ja numerot 10 ja 3600 = 60² kukin erikokoisia piireissä , joissa sylinterimäinen kyniä puristettiin savitauluja. Näistä symboleista 600 = 10 60 ja 36 000 = 10 60² symbolit yhdistettiin vastaavasti. Siellä oli myös toinen järjestelmä, jonka desimaalitasot olivat 1, 10 ja 100, sekä kolmas järjestelmä Akkadian aikaan. Kunnes myöhään Sumerian aikana, yksittäisten merkkien muuttaa muotonsa, mutta säilyttivät yksilöllinen ja muodostettu lisäksi järjestelmä on samanlainen kuin roomalaisin numeroin . Vain myöhemmässä babylonialaisessa sukupuoliomaisessa järjestelmässä oli todellinen paikka -arvojärjestelmä, jossa oli vain kaksi yksittäistä merkkiä: yhdelle ja kymmenelle. Näiden avulla numerot 1-59 voitaisiin muodostaa additiivisesti, mikä puolestaan ​​sai todellisen arvon kuten desimaalijärjestelmän numerot sijaintinsa kautta.

Numerot

Syitä sukupuoli -pienimuotoisen järjestelmän käyttämiseen ovat tehokkaassa laskentamenetelmässä ja hyvin rajallisessa määrässä yksittäisiä numeromerkkejä, joista numerot muodostettiin. Muutama esimerkki babylonialaisesta cuneiform -käsikirjoituksesta:

Seksimaalijärjestelmä cuneiform -muodossa

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	30	40	50

Lisää numeerisia esimerkkejä:

= 62, = 122 ja = 129.

Numerot koostuvat vain kahdesta yksittäisestä numerosta. Tältä osin todellisten numeroiden määrää ei rajoitettu, vaikka viitattiin vain kahteen yksittäiseen numeroon, joiden kokoja muutettiin tarpeen mukaan. Kuitenkin lukemisessa on aina ongelmia, koska numeron numerot, jotka johtuivat enimmäkseen kontekstista, eivät olleet yksiselitteisiä: z. B. voi tarkoittaa 30, 30x60 tai 30/60 ja niin edelleen. Samoin ei ollut nollaa, joten toisinaan puuttui numero - mikä oli kuitenkin hyvin harvinaista - ja eri numerot kirjoitettiin samalla tavalla. Myöhemmin aukko jätettiin joskus puuttuvaan kohtaan, 6. vuosisadalta eaa. Tila , jossa arvo on nolla esiintyi ylimääräinen numero merkki. Tätä tilaa ei kuitenkaan käytetty suoraan laskennassa eikä se näkynyt erillisenä numerosymbolina, joten sillä ei ollut numeron nolla merkitystä . Toisaalta intiaanit antoivat aluksi tilalle merkityksen numeron nolla symbolina .

Seksimaaliluvut esitetään arabialaisilla numeroilla kirjoittamalla pilkku kahden yksittäisen seksuaalisen pienen paikan väliin. Toisaalta koko sukupuolipaikka erotetaan rikkoutuneista puolipisteellä, ja jos paikkoja tai välilyöntejä puuttuu, kirjoitetaan ”0” (tämä on sitten tulkinta). B. 30,0 = 30 * 60 ja 0; 30 = 30/60.

Tietotekniikka

Lisää ja vähennä

Kuten desimaalijärjestelmämme , myös paikkatietojärjestelmä mahdollisti edellisen numeron laajentamisen tai pienentämisen yhdellä. Kiilojen muoto helpotti sukupuolijärjestelmää, koska vain kiilat oli koottava yhteen. Teknisten termien käytetään lisäksi ja vähennyslaskua olivat ”lisääntyä” ja ”siirrä pois” (matemaattinen symbolit + ja - otettiin ensimmäisen kerran käyttöön Johannes Widmann 15-luvulla jKr). Negatiivinen ero kahden luvun ilmaistaan "vähentäjä ylittää". Yhdistäminen ja vähentäminen toimii aivan kuten nykyään desimaalijärjestelmässä.

Esimerkki lisäyksestä:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rr} 59 & \\ + \ 11 & \\ + \ 20 & \\\ hline 1 {,} 30 & (= 90), \ end {array}}}$

sukupuolijärjestelmän merkinnöissä. Desimaalipilkun edessä oleva 1 osoittaa arvon 1 60, johon lisätään desimaalipilkun jälkeinen luku 30.

Esimerkki vähennyksestä:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} 4 {,} 40 & (= 280) \\ - \ 1 {,} 40 & (= 100) \\ - \ 1 {,} 50 & (= 110) \\\ hline 1 {,} 10 & (= 70), \ end {array}}}$

sukupuolijärjestelmän merkinnöissä. 4 ja 1 desimaalipilkun edessä osoittavat arvot 4 60 ja 1 60, joihin lisätään numerot 40, 50 ja 10 vastaavasti desimaalin jälkeen.

Kerro

Kertomiseen käytettiin samaa menettelyä kuin desimaalijärjestelmässä. Mutta kun desimaalin järjestelmässä täytyy olla kerto taulukko 1 · 1-9 · 9 mielessä, babylonialaiset olisi voinut muistaa kertotaulun 1 · 1-59 · 59. Asioiden helpottamiseksi käytettiin kertotaulukoita , joista vaaditut tuotteet voitiin lukea: Kukin taulukon jokainen rivi alkoi samalla päänumerolla, esim. B. 2, jota seuraa ilmaisu "ajat" ja kerroin, esim. B. 1 ja lopuksi tulos, esim. B. 2. Kertoimet vaihtelivat 1: stä 20: een ja sitten tulivat 30, 40 ja 50.

Koska sukupuoli -pienimuotoisessa järjestelmässä 60 luokiteltiin askelin 10 (katso edellä numeroiden alla) ja yleensä päivittäisen elämän desimaaliluvut olivat paljon käytössä. B. 1,40 = 100 ja 16,40 = 1000 luotua kertolaskua. Toinen syy on vuorovaikutus vastavuoroisten taulukoiden arvojen kanssa (katso alla jako). Jos muita arvoja vaadittiin, numerot yhdistettiin.

Pään numerot:

1.15	1.20	1.30	1.40	2	2.13.20	2.15	2.24	2.30	3	3.20	3.45	4	4.30	5	6	6.40	7	7.12	7.30	8
8.20	9	10	12	12.30	15	16	16.40	18	20	22.30	24	25	30	36	40	44.26.40	45	48	50

Esimerkki kertolaskusta:

${\ displaystyle 29 \ cdot 1 {,} 12 = 29 \ cdot 1 {,} 0 + 20 \ cdot 0 {,} 12 + 9 \ cdot 0 {,} 12 = 29 {,} 00 + 4 {,} 00 +1 {,} 48 = 34 {,} 48}$.

Jakaa

Babylonialaisia jaettuna useita useiden jossa ne kanssa vastavuoroinen on kerrottu:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle a: n = a \ cdot {\ frac {1} {n}}}$.

Käänteisluku useita voisi löytyä kertomalla taulukossa pää numero , jos teho on 60 jaettuna. Koska se oli siellä , d. H. 60, niin vastaava kerroin oli etsimäsi vastavuoroinen arvo ( ja sinulla on sama esitys babylonialaisessa seksimaalijärjestelmässä): ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}}}$

${\ displaystyle n \ cdot m = 60 ^ {l}}$, niin .${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}} = {\ frac {1} {n}}}$

Luonnollisten lukujen vastavuoroiset arvot (vastavuoroiset) koottiin jälleen vastavuoroisiin taulukoihin helpottaakseen asioita . Tällaisiin taulukoihin kirjoitettiin arvot, joilla ei ollut vastavuoroisuutta kertolaskustaulukossa, "ei" vastavuoroisen sijasta. Näille epäsäännöllisille numeroille, joiden alkutekijät ovat ≥ 7, käytettiin likimääräisiä arvoja kuten irrationaalilukuja .

Pääasiassa käytetty vastavuoroinen taulukko sisältää seuraavat numeroparit:

n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n
2	30	3	20	4	15	5	12	6	10	8	7.30	9	6.40	10	6	12	5	15	4
16	3.45	18	3.20	20	3	24	2.30	25	2.24	27	2.13.20	30	2	32	1.52.30	36	1.40	40	1.30
45	1.20	48	1.15	50	1.12	54	1640	60	1	1.4	56.15	1.12	50	1.15	48	1.20	45	1.21	44.26.40

Vastavuoroisesta taulukosta voidaan lukea paljon, mukaan lukien tai tai , mutta myös toisinpäin jne. ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0; 20}$${\ displaystyle {\ frac {1} {3 {,} 0}} = {\ frac {1} {180}} = 0; 0 {,} 20}$${\ displaystyle 1: 0; 3 = 60: 3 = 20}$${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} = 0; 3}$

Esimerkkejä jakoista:

${\ displaystyle 4: 3 = 4 \ cdot {\ frac {1} {3}} = 4 \ cdot 0; 20 = 1; 20}$.

${\ displaystyle 0; 12: 25 = 0; 12 \ cdot {\ frac {1} {25}} = 0; 12 \ cdot 0; 2.24 = 0; 0.28.48}$.

Juuren laskeminen

Antiikin kreikkalainen matemaatikko ja insinööri Heron Aleksandrialainen käytti menetelmää tunnettiin jo antiikin Babylonian valtakunnan hänen Metrica varten laskettaessa juuret

${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ pm b}} \ noin a \ pm {\ frac {b} {2a}}}$.

${\ displaystyle a}$otettiin neliöpöydästä. Saamme (irrationaaliselle) neliöjuurelle 2:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {1; 20 ^ {2} +0; 13.20}} \ noin 1; 20 + 0; 5 = 1; 25}$,

d. H.

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ vasen ({\ frac {4} {3}} \ oikea) ^ {2} + {\ frac {2} {9}}}} \ noin {\ frac {4} {3}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {17} {12}} \ noin 1 {,} 41666667}$.

Babylonian savitaululla (Yale Babylonian Collection 7289) on myös parempi lähentäminen neliön diagonaaliin:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ noin 1; 24,51,10 \ vasen (= {\ frac {305470} {216000}} \ noin 1 {,} 41421296 \ oikea)}$.

Koska

${\ displaystyle 1; 25> {\ sqrt {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}}> {\ frac {2} {1; 25}} \ noin 1; 24,42, 21 ( \ noin 1 {,} 41176389)}$,

on 1, 25 ja 1; 24,42,21 niiden aritmeettinen keskiarvo

${\ displaystyle (1; 25 + 1; 24,42,21) \ cdot 0; 30 \ noin 1; 24,51,10}$

lähempänä

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ noin 1 {,} 41421356}$.

Nyt savitaulussa olevan neliön sivupituus on 30 ja lävistäjien pituus 42.25.35, mikä voidaan tulkita seuraavasti:

${\ displaystyle 0; 30 \ cdot 1; 24,51,10 = 0; 42,25,35}$.

Esimerkki osoittaa, että babylonialaisilla oli algebrallisia ja geometrisia tietoja (tässä olisi voitu käyttää ” Pythagoraan lauseita ”).

lisäinformaatio

Sukupuolimaalijärjestelmän suora sukulainen on kaksois desimaalijärjestelmä, jossa on kanta 12.

kirjallisuus

• Robert Kaplan: Nollan historia. Kovakantinen: Campus Verlag, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-593-36427-1 . Nid . Painos: Piper Verlag, 2003, ISBN 3-492-23918-8 .
• Richard Mankiewicz: Matematiikan aikamatka - lukujen alkuperästä kaaosteoriaan. VGS Verlagsgesellschaft, Köln 2000, ISBN 3-8025-1440-8 .
• Kurt Vogel : Pre-kreikkalainen matematiikka. Osa II: Babylonialaisten matematiikka. Schroedel, Hannover ja Schöningh, Paderborn 1959.

nettilinkit

• Christoph Grandt: Babylonian seksuaalinen systeemi . (PDF; 215 kt)

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ JP McEvoy: Auringonpimennys. Berlin-Verlag, 2001, s. 43. K. Vogel: Osa II , s. 22 f.
2. ↑ K. Vogel: Pre-kreikkalainen matematiikka. Osa I: Esihistoria ja Egypti. Schroedel, Hannover ja Schöningh, Paderborn 1958. s. 16, kuva 11.
3. ↑ K. Vogel: Osa II , s.23.
4. ↑ Georges Ifrah: Yleinen numeroiden historia . Lisensoitu painos kaksituhatta ja yksi painos. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, s. 69–75 ja 90–92 (ranskaksi: Histoire universelle des chiffres . Kääntäjä Alexander von Platen). 
5. ↑ Ifrah: Yleinen numeroiden historia . 2. painos. Campus, Frankfurt am Main ja New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, s. 69 ff . (Ensimmäinen painos: 1991). 
6. ↑ Thureau-Thangin kutsui sitä "vigesimaaliseksi saareksi sumerilaisessa numerojärjestelmässä" vuonna 1932. Ifrah: Yleinen numeroiden historia . 2. painos. S. 71 . 
7. ↑ K. Vogel: Osa II , s. 18 f.
8. ↑ K. Vogel, osa II , s. 34 f.