Ackermann asettaa teorian

Ackermann joukko-oppi on itsestään selvää joukko-oppi , joka annettiin vuonna 1955 Wilhelm Ackermann . Siinä hän yritti kääntää Cantorin joukko-määritelmän tarkaksi aksioomajärjestelmäksi.

Ackermannin joukko-teoria laajentaa Zermelo-Fraenkelin joukko-teoriaa ZFC luokittain (siellä: kokonaisuudet), mutta eroaa tunnetummasta Neumann-Bernays-Gödelin joukko-teoriasta siinä, että todelliset luokat voivat olla myös muiden luokkien elementtejä ja siksi myös pieniä todellisia Luokat siellä. ZFC-aksioomat ovat voimassa vain todellisella osa-alueella, joka täyttää perustaaksion (se voidaan selvittää Neumannin kumulatiivisen hierarkian avulla ). Ackermannin joukko-teoria sisältää siis laajennetun joukon joukkoa, joissa on perusteettomia joukkoja, ja sitä voidaan pitää yleistyksenä tavallisesta ZFC-joukko-teoriasta ja Zermelo-joukko-teoriasta .

Ackermannin aksioomat

Ackermannin huomattavan yksinkertainen aksiomajärjestelmä perustuu ensiluokkaiseen predikaattilogiikkaan, jossa on identiteetti, kahden paikan elementtisuhde ja yhden paikan predikaatti, ja siinä on aksiomakaavio ja aksiomi luokille ja ryhmille: ${\ displaystyle \ sisään}$${\ displaystyle \, {\ text {on määrä}}}$

• Luokan ymmärtäminen : Joukkoluokkia on olemassa:

Seuraava koskee yksinumeroisia predikaatteja :${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ forall A \ kaksoispiste (\ varphi (A) \ to A {\ text {is number}}) \ \ \ olemassa \ B kaksoispiste \ forall C \ kaksoispiste (C \ B-kirjaimessa \ vasenkätinen nuoli \ varphi (C) )}$

Luokka on merkitty.${\ displaystyle \, B}$${\ displaystyle \ {C \ mid \ varphi (C) \}}$

• Luokan laajuus : Luokat, joissa on samat elementit, ovat samat:

${\ displaystyle \ kaikki C \ kaksoispisteet (C \ A: ssa \ vasen nuoli C \ B: ssä) \ arvoon A = B.}$

• Joukon ymmärtäminen : Joukot, jotka on osoitettu yksinomaan joukkoille, ovat sarjaa:

Kaavoille , joissa muuttujat esiintyvät täsmälleen vapaasti ja joissa predikaattia ei esiinny, sovelletaan seuraavaa:${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle A, T_ {1}, \ ldots, T_ {n}}$${\ displaystyle \, {\ text {on määrä}}}$

${\ displaystyle T_ {1} {\ text {on määrä}} \ maa \ pisteet \ maa \; T_ {n} {\ teksti {on määrä}} \ maa \; \ kaikki A \ kaksoispiste (\ varphi (A) \ to A {\ text {is number}}) \ to}$ ${\ displaystyle \ olemassa B \ kaksoispiste (B {\ text {on määrä}} \ maa \; \ kaikki A \ kaksoispiste (A \ B: ssä \ vasenkätinen nuoli \ varphi (A))}}$

• Sarjojen elementit ja alaluokat ovat sarjoja:

${\ displaystyle A {\ text {on määrä}} \ maa (B \ A: ssa \ lor \ kaikissa C \ kaksoispisteissä (C \ B: stä C: hin A: ssa)) \ B: hen {\ text {on määrä}} }$

Huomautus: Tämä aksioma sulkee pois sen, että todelliset luokat ovat asetettuja jäseniä, mutta ei sitä, että todelliset luokat ovat todellisten luokkien jäseniä.

Valinta Axiom korvattu Ackermann kautta ε-selviö Hilbert , aksiooma kaava on jonka predikaatti laajennettu kieli: ${\ displaystyle \ varepsilon _ {x} \ varphi (x)}$

• Jokainen ei-tyhjä luokka sisältää valitun elementin:

Seuraava koskee yksinumeroisia predikaatteja :${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ olemassa X \ kaksoispiste \ varphi (X) \ leftrightarrow \ varphi (\ varepsilon _ {X} \ varphi (X))}$

Säätiö aksiooma ei ollut tietoinen Ackermann.

vaihtoehtoja

Ackermann muotoili myös aksiomia, jotka ottavat huomioon Cantorin havaintokohteet hänen joukko-määritelmistään ja tarjoavat joukkojen lisäksi myös joukot, jotka eivät ole joukkoa. Objektit ovat määrän elementtejä, ja ne tallennetaan määriteltävän predikaatin avulla:

${\ displaystyle A {\ text {is object}} = \ olemassa M \ kaksoispiste (A \ sisällä M \ maa M {\ text {on määrä}})}$.

• Luokan ymmärtäminen : Objektiluokkia on olemassa:

Seuraava koskee yksinumeroisia predikaatteja :${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ forall A \ kaksoispiste (\ varphi (A) \ to A {\ text {is object}}) \ to \ olemassa B \ kaksoispiste \ forall C \ kaksoispiste (C \ B-kirjaimessa \ vasenkätinen nuoli \ varphi (C) )}$

• Luokan laajuus kuten yllä.

Huomautus: Objektit, jotka eivät ole sarjaa, eivät ole Zermelo-mielessä ensisijaisia ​​elementtejä . Koska tässä on laajennuksen aksioman vahvin muoto , joka sallii vain yhden tyhjän luokan eikä muita tyhjiä primitiivisiä elementtejä. Joten lisäobjektit ovat todellisia luokkia .

• Joukon ymmärtäminen : Vain kohteille määritetyt objektiluokat ovat sarjoja:

Kaavoja , joissa täsmälleen muuttujat esiintyvät vapaasti ja jossa predikaatteja ja ei esiinny, pätee seuraava:${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle A, T_ {1}, \ ldots, T_ {n}}$${\ displaystyle \, {\ text {on määrä}}}$${\ displaystyle \, {\ text {is object}}}$

${\ displaystyle T_ {1} {\ text {is object}} \ maa \ pisteet \ maa \; T_ {n} {\ teksti {on esine}} \ maa \; \ kaikki A \ kaksoispiste (\ varphi (A) \ to A {\ text {is object}}) \ to}$ ${\ displaystyle \ olemassa B \ kaksoispiste (B {\ text {on määrä}} \ maa \; \ kaikki A \ kaksoispiste (A \ B: ssä \ vasenkätinen nuoli \ varphi (A))}}$

• Sarjojen elementit ja alaluokat ovat esineitä:

${\ displaystyle A {\ text {on määrä}} \ maa (B \ A: ssa \ lor \ kaikissa C \ kaksoispisteissä (C \ B: stä C: hin A: ssa)) \ B: hen {\ text {is object}} }$

Kolmantena vaihtoehtona Ackermann antoi tyyppiteoriaan perustuvan version.

kirjallisuus

• Wilhelm Ackermann: Joukkuteorian aksiomaattisuudesta , 1955. julkaisussa: Mathematische Annalen . Voi. 131, 1956, s. 336-345.

nettilinkit

• Klaus Gloede: Joukkoteorian käsikirjoitus WS 2000/01, luku Ackermannin joukko-teoriasta (PDF-tiedosto; 23 kt)

Yksittäiset todisteet

1. ↑ David Hilbert: Matematiikan perustamisen ongelmat , 1929, julkaisussa: Mathematische Annalen 102 (1930), 1–9, s. 3.