Joukko-teoria

Joukko-oppi on keskeinen matematiikan , joka käsittelee tutkimus määrästä eli tiivistelmät kohteiden palveluksessa. Kaikki matematiikka, sellaisena kuin sitä nykyään yleensä opetetaan, on muotoiltu joukko-teorian kielellä ja se perustuu joukko-teorian aksiomeihin . Useimmat matemaattiset objektit, joita käsitellään osa-alueilla, kuten algebra , analyysi , geometria , stokastiikka tai topologia , muutamia mainitakseni, voidaan määritellä joukkoiksi. Tätä mitattuna joukko-teoria on hyvin nuori tiede; Vasta sen jälkeen, kun matematiikan peruskriisi oli voitettu 1900-luvun alussa, joukko-teoria pystyi ottamaan nykyisen, keskeisen ja perustavanlaatuisen asemansa matematiikassa.

tarina

1800-luku

Määrä esineiden henkisenä yhteenvetona

Joukkoteorian perusti Georg Cantor vuosina 1874-1897. Termin määrä sijasta hän käytti aluksi sanoja, kuten "epitomi" tai "moninkertainen"; Hän puhui joukkoista ja joukko-teoriasta vasta myöhemmin. Vuonna 1895 hän muotoili seuraavan määrien määritelmän:

Cantor luokitteli sarjat, erityisesti äärettömät, niiden paksuuden mukaan . Äärellisille ryhmille tämä on niiden elementtien lukumäärä. Hän kutsui kaksi yhtä tehokasta , jos ne voidaan kartoittaa bijectively jotta toisiinsa, eli jos on yksi-yhteen suhde niiden elementtejä. Tasaisuus on määritelty tällä tavoin on ekvivalenssirelaatio ja kardinaliteetti tai perusluku on joukko M on, mukaan Cantor, vastaavuus luokan sarjaa yhtä suuri teho ja M. Hän havaitsi todennäköisesti ensimmäisenä, että on olemassa monia äärettömiä voimia. Luonnollisten lukujen joukkoa ja kaikkia niille yhtä voimakkaita joukkoja kutsutaan Cantorin mukaan laskettaviksi , kaikkia muita äärettömiä joukkoja kutsutaan lukemattomiksi .

Tärkeitä tuloksia Cantorilta

• Sarjat luonnon , rationaalinen ( Cantor ensimmäinen diagonaalinen väite ) ja algebrallinen luku voidaan laskea ja ovat siten yhtä suuret.
• Joukko todellinen määrä on suurempi voima kuin luonnollisia lukuja, joten se ei ole laskettavissa ( Cantor toinen diagonaalinen argumentti ).
• Joukon M joukon alajoukoilla (niiden tehojoukko ) on aina suurempi teho kuin M , tämä tunnetaan myös nimellä Cantorin lause.
• Jokaisesta kahdesta joukosta ainakin yksi on yhtä suuri kuin toisen osajoukko. Tämä on todistettu Cantorin yksityiskohtaisesti käsittelemän hyvän järjestyksen avulla .
• On monia voimia, joita ei voida laskea.

Cantor nimitti jatkuvuusongelman : ”Onko luonnollisten numeroiden joukon ja reaalilukujen joukon välillä voimaa?” Hän yritti ratkaista sen itse, mutta epäonnistui. Myöhemmin kävi ilmi, että kysymystä ei voida periaatteessa ratkaista.

Cantorin lisäksi Richard Dedekind oli myös tärkeä joukko-teorian edelläkävijä. Hän puhui järjestelmistä joukkojen sijasta ja vuonna 1872 hän kehitti joukon teoreettisen reaalilukujen rakentamisen ja vuonna 1888 verbaalisen joukko-teoreettisen luonnollisten lukujen aksiomatisoinnin. Hän muotoili ensimmäisenä ekstensionalismin aksiooman joukko-teoriasta.

Giuseppe Peano , joka viittasi ryhmiin luokkina , loi ensimmäisen muodollisen luokan logiikkalaskelman perustaksi aritmeettiselle Peano-aksiomien kanssa , jonka hän muotoili ensimmäisen kerran tarkalla joukko-teoreettisella kielellä jo vuonna 1889 . Siksi hän kehitti perustan nykyiselle joukko-teoriakaavan kaavakielelle ja esitteli monia nykyään käytössä olevia symboleja, ennen kaikkea elementtimerkin , joka on sanallinen "on osa". Se on sanan ἐστί ( kreikka "is") pieni alkukirjain ε ( epsilon ).${\ displaystyle \ sisään}$${\ displaystyle \ sisään}$

Hieman myöhemmin Gottlob Frege yritti laskutoimituksessaan 1893 toista joukko-teoreettista perustetta laskutoimitukselle . Tässä laskennassa Bertrand Russell löysi vuonna 1902 ristiriidan, joka tunnettiin nimellä Russellin antinomia . Tämä ristiriita ja muut ristiriidat syntyvät rajoittamattoman joukon muodostumisen takia, minkä vuoksi joukko-teorian varhaista muotoa kutsuttiin myöhemmin naiiviksi joukko-teoriaksi . Kanttori määritelmä asetetaan, ei kuitenkaan aio tällaista naiivi joukko-oppi, hänen todiste universaali luokan kuin ei-set by Cantor n toinen antinomy todistaa.

Hänen aikalaisensa eivät tuskin tunnustaneet Cantorin asetettua teoriaa sen merkityksen suhteen, eikä sitä pidetty missään nimessä vallankumouksellisena edistysaskeleena, mutta jotkut matemaatikot, kuten Leopold Kronecker , hylkäsivät sen. Sitä heikennettiin entisestään, kun antinomiat tulivat tunnetuksi, joten esimerkiksi Henri Poincaré pilkasi: "Logiikka ei ole enää steriili - se aiheuttaa nyt ristiriitaisuuksia."

20. vuosisata

1900-luvulla Cantorin ideoista tuli yhä suositumpia; Samalla kehittyvässä matemaattinen logiikka, axiomatization set theory tapahtui , joilla aiempien ristiriitoja voitaisiin ratkaista.

Vuonna 1903/1908 Bertrand Russell kehitti hänen tyyppi teoria , jossa asetetaan aina korkeampi tyyppiä kuin niiden osia, jotta ongelmallinen joukko muodostelmiin olisi mahdotonta. Hän osoitti ensimmäisen ulospääsyn ristiriidoista ja Principia Mathematicassa vuosina 1910–1913 osoitti myös osan sovelletun tyyppiteorian tehokkuudesta. Viime kädessä se osoittautui kuitenkin riittämättömäksi Cantorin joukko-teoriaan, eikä sen monimutkaisuuden vuoksi voinut vallita.

Toisaalta Ernst Zermelon vuonna 1907 kehittämä aksiomaattinen joukko-teoria, jonka hän loi erityisesti Cantorin ja Dedekindin joukko-teorian johdonmukaiseksi perustelemiseksi, oli kätevämpi ja onnistuneempi . Abraham Fraenkel totesi vuonna 1921, että tämä vaati myös hänen korvausaksiomiaan . Zermelo lisäsi sen vuoden 1930 Zermelo-Fraenkel-järjestelmäänsä , jota hän kutsui lyhyesti ZF-järjestelmäksi. Hän suunnitteli sen myös alkuselementeille, jotka eivät ole joukkoja, mutta joita voidaan pitää joukkoelementteinä ja ottaa huomioon Cantorin "havaintokohteemme". Päivän Zermelo-Fraenkel -joukkoteoria on sen sijaan Fraenkelin mukaan puhdas joukko-teoria, jonka kohteet ovat yksinomaan joukkoja.

Johdonmukaisen aksiomatisoitumisen sijaan monet matemaatikot luottavat käytännön joukko-teoriaan, joka välttää ongelmakokonaisuuksia, kuten Felix Hausdorffin vuodelta 1914 tai Erich Kamken vuodelta 1928 teoriat. Vähitellen yhä useammat matemaatikot tulivat tietämään, että joukko-teoria on välttämätön perusta matematiikan jäsentämiselle. ZF-järjestelmä on osoittautunut käytännössä, minkä vuoksi suurin osa matemaatikoista tunnustaa sen nykyajan matematiikan perustaksi; ZF-järjestelmästä ei enää voitu johtaa ristiriitoja. Sakeus voi vain osoittautunut asetetun teorian rajallinen sarjaa, mutta ei täydellistä ZF järjestelmä, joka sisältää Cantor asetetun teoria ääretön sarjaa; Mukaan Gödelin epätäydellisyydestä lauseen 1931 tällainen todiste johdonmukaisuus ei ole periaatteessa mahdollista. Gödelin löydöt vain asettivat rajan Hilbertin matematiikan sijoittamisohjelmalle ja asettivat teorian todistettavasti johdonmukaiselle aksiomaattiselle pohjalle, mutta eivät millään tavoin estäneet joukko-teorian menestystä, joten matematiikan perustavanlaatuinen kriisi , josta intuitionismin kannattajat puhuivat, oli todellisuudessa mitään ei tuntunut.

ZF-sarjan teorian lopullinen tunnustaminen käytännössä kuitenkin kesti pitkään. Matemaatikkoryhmä salanimellä Nicolas Bourbaki edisti merkittävästi tätä tunnustusta; hän halusi edustaa matematiikkaa yhtenäisellä tavalla joukko-teorian perusteella ja toteutti tämän onnistuneesti matematiikan keskeisillä alueilla vuodesta 1939 eteenpäin. 1960-luvulla tuli yleisesti tiedoksi, että ZF-sarjateoria soveltuu matematiikan perustaksi. Oli jopa väliaikainen jakso, jolloin joukko-teoriasta keskusteltiin peruskoulussa .

Joukkoryhmän menestystarinan rinnalla keskustelu joukkoaksioomeista ammattimaailmassa pysyi kuitenkin ajankohtaisena. Oli myös vaihtoehtoisia aksiomaattisia joukko-teorioita , noin vuonna 1937 Willard Van Orman Quinen joukko-teoria hänen uusista säätiöistään (NF), joka ei perustunut Cantoriin tai Zermelo-Fraenkeliin, vaan tyyppiteoriaan , ja vuonna 1940 Neumann-Bernays- Gödelin joukko-teoria , ZF yleistyi luokkiin tai vuonna 1955 Ackermannin joukko-teoria , joka liitettiin hiljattain Cantorin joukko-määritelmään.

Määritelmät

Puhtaassa joukko-teoriassa elementin predikaatti (read on osa ) on ainoa välttämätön perussuhde. Kaikki joukko-teoreettiset käsitteet ja lauseet määritellään siitä predikaattilogiikan loogisten operaattoreiden kanssa . ${\ displaystyle \ sisään}$

Luettelomerkintä

Joukon elementit ryhmitellään yhteen joukon suluissa { ja } muodostamaan kokonaisuus, joukko.

Joukko, joka koostuu elementeistä to , sisältää elementin vain ja vain, jos se vastaa jotakin . Muodollisesti: ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x_ {k}}$

${\ displaystyle a \ sisään \ {x_ {1}, \ dotsc, x_ {n} \}: \ Longleftrightarrow a = x_ {1} \ vee a = x_ {2} \ vee \ dotsb \ vee a = x_ {n }}$

Esimerkiksi lausunto on

${\ displaystyle a \ sisään \ {1,2,3,4 \}}$

vastaa lausumaa

${\ displaystyle a = 1 \ vee a = 2 \ vee a = 3 \ vee a = 4.}$

Kuvaava merkintätapa

Joukko , johon predikaatti koskee, sisältää elementin vain ja vain, jos predikaatti koskee. Muodollisesti: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a \ sisään \ {x \ keskellä P (x) \}: \ Longleftrightarrow P (a)}$

Tästä rajoittamattomasta kuvauksesta on myös rajoitettu muunnos:

${\ displaystyle \ {x \ in M ​​\ mid P (x) \}: = \ {x \ mid (x \ in M) \ wedge P (x) \}}$

Usein on myös lyhyt muoto

${\ displaystyle \ {f (x) \ keskellä P (x) \}: = \ {y \ keski \ on olemassa x \, (y = f (x) \ kiila P (x)) \}}$

ennen, jolloin tarkoitetaan toiminnallista termiä.${\ displaystyle f (x)}$

Kahden joukon yhdenvertaisuuden määritelmän mukaan lausunto

${\ displaystyle A = \ {x \ keskellä P (x) \}}$

nyt loogisessa lausekkeessa

${\ displaystyle \ forall x (x \ in A \ vasenkätinen nuoli P (x))}$

liukenee.

Alajoukko

${\ displaystyle A}$ on (todellinen) osajoukko ${\ displaystyle B}$

Joukko kutsutaan osajoukko joukko , jos jokainen elementti on myös osa . Muodollisesti: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ subseteq B \: \ Longleftrightarrow \ forall x \ left (x \ in A \, \ rightarrow x \ in B \ right)}$

Tyhjä sarja

Joukkoa, joka ei sisällä elementtiä, kutsutaan tyhjäksi joukoksi. Se on myös viittasi nimellä tai . ${\ displaystyle \ emptyyset}$${\ displaystyle \ {\}}$

${\ displaystyle A = \ emptyyset: \ Longleftrightarrow \ forall x (\ neg \, x \ in A)}$

Kirjoita lyhyempi varten negaatio .${\ displaystyle \ neg \, x \ in A}$${\ displaystyle x \ notin A}$

Risteys

Risteys ja${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Annetaan ei-tyhjä joukkojoukko. Risteys (myös keskimääräinen joukko ) on joukko esineitä, jotka sisältyvät jokaiseen elementtiin - se on puolestaan ​​joukko. Muodollisesti: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ bigcap U: = \ {x \ mid \ kaikki \ sisällä U \ kaksoispiste \; x \ in \}}$

Unioni asetettu

Liitto  ja ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Tämä on kaksinkertainen termi leikkauspisteelle : Joukkojoukko (ei välttämättä ei-tyhjä) joukkojoukko on joukko esineitä, jotka sisältyvät ainakin yhteen ryhmän elementtiin . Muodollisesti: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ bigcup U: = \ {x \ mid \ on olemassa \ in U \ kaksoispiste \; x \ in \}}$

Sarjojen tasa-arvo

Kahta sarjaa kutsutaan samoiksi, jos ne sisältävät samoja elementtejä.

Tämä määritelmä kuvaa joukkojen laajuutta ja siten perusominaisuutta. Muodollisesti:

${\ displaystyle A = B: \ Longleftrightarrow \ forall x \ left (x \ in A \, \ vasen oikealle x \ in B \ right)}$

Ero ja täydennys

${\ displaystyle A}$ ilman ${\ displaystyle B}$

Ero määritetään yleensä vain kahdelle joukolle: Erojoukko (myös loppuosa ) ja (puhekielessä myös A ilman B: tä , katso kuva) Onko joukko elementtejä, jotka sisältyvät mutta eivät sisällä . Muodollisesti: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ setminus B: = \ {x \ mid \ left \ (x \ in A \ right} \ land \ left \} x}$

Eroa kutsutaan myös B: n komplementiksi A: n suhteen . Jos joukko A oletetaan perusjoukoksi ja B on A: n osajoukko , puhutaan yksinkertaisesti joukon B komplementista ja kirjoitetaan esim. B.:

${\ displaystyle B ^ {\plement}: = \ {x \ mid x \ not \ in B \}}$

Symmetrinen ero

Symmetrinen ero ja${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Joskus vaaditaan edelleen "symmetristä eroa":

${\ displaystyle A \ kolmio B: = \ {x \ keskellä vasemmalla (x \ sisällä A \, \ maa \, x \ ei \ B \ oikealla) \ lor \ vasen (x \ B: ssä, \ maa \ , x \ ei \ sisällä A \ oikea) \} = (A \ kuppi B) \ setminus (A \ korkki B) = (A \ setminus B) \ kuppi (B \ setminus A)}$

Virta asetettu

Voima joukko on asetettu kaikkien subsets . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A): = \ {X \ mid X \ subseteq A \}}$

Joukon tehojoukko sisältää aina tyhjän joukon ja itsensä , joten se on yksielementtinen joukko.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ emptyyset) = \ {\ tyhjennä \}}$

Järjestetty pari

Tilatun parin käsite on myös jäljitetty . Mukaan Kuratowski , tämä tapahtuu kahdessa vaiheessa: ${\ displaystyle \ sisään}$

Kahden sarjan sarja:   ${\ displaystyle c = \ {a, b \} \ ,: \ Longleftrightarrow \, \ forall x (x \ in c \, \ leftrightarrow (x = a \ lor x = b))}$

Järjestetty pari:    ${\ displaystyle (a, b): = \ {\ {a, a \}, \ {a, b \} \}}$

karteesinen tuote

Tuotesarja tai karteesinen tuote , vanhemmassa terminologiassa myös yhdistelmäjoukko tai toisen tyyppinen tuote, olisi myös määriteltävä linkkinä kahden joukon välillä:

Tuotesarja ja on joukko kaikkia tilattuja pareja, joiden ensimmäinen elementti on pois päältä ja joiden toinen elementti on pois päältä. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ kertaa B: = \ vasen \ {(a, b) \ keskellä a \ sisällä A, b \ B \ oikealla \}}$

Suhteet ja toiminnot

Suhde välillä ja on osajoukko .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle R \ osajoukko A \ kertaa B}$

Toiminto kohteesta kohteeseen , on merkkejä , on suhde , jossa on ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste A \ oikeanpuoleinen nuoli B}$${\ displaystyle f \ osajoukko A \ kertaa B}$

${\ displaystyle \ kaikki a \, (a \ in A \ oikeanpuoleisessa sarakkeessa \ on olemassa b \, (b \ in B \ maa (a, b) \ sisään f))}$    (ts. jokaiselle on vähintään yksi funktion arvo)${\ displaystyle a \ sisään A}$

${\ displaystyle \ forall a \, \ forall b \, \ forall c \, ((((a, b) \ in f \ land (a, c) \ in f) \ rightarrow b = c)}$    (ts. kullekin on enintään yksi funktion arvo).${\ displaystyle a \ sisään A}$

Sillä yksi kirjoittaa enemmän ehdotuksia . Tämä tarkoittaa, että nämä termit voidaan myös jäljittää suhteeseen. Tämä antaa mahdollisuuden määritellä muita termejä, kuten ekvivalenssisuhde , injektiofunktio , surjektiivifunktio , bijektiivinen funktio ja paljon muuta.${\ displaystyle (a, b) \ in f}$${\ displaystyle f (a) = b}$${\ displaystyle \ sisään}$

Määrä

Jos on olemassa vastaavuus suhteessa , vastaavuutta luokan elementti voidaan ensin määritellään: ${\ displaystyle a \ sim b}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle [a]: = \ {x \ in M ​​\ mid a \ sim x \}}$

Kaikkien vastaavuusluokkien joukkoa kutsutaan osamääräjoukoksi:

${\ displaystyle M / {\ sim}: = \ {[a] \ mid a \ in M ​​\}}$

Sano ekvivalenssisuhteen z. Oletetaan esimerkiksi, että kaksi opiskelijaa menee samaan luokkaan, silloin opiskelijan vastaavuusluokka on hänen koululuokkansa ja osamääräjoukko on koululuokkien lukumäärä.

Luonnolliset luvut

Mukaan John von Neumann , The luonnolliset luvut set theory voidaan määritellä seuraavasti:

${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {3} 0 &: = && \ quad \ \ emptyyset \\ 1 &: = \ {0 \} && = \ {\ tyhjennä \} \\ 2 &: = \ {0.1 \} && = \ {\ tyhjennä, \ {\ tyhjennä \} \} \\ 3 &: = \ {0,1,2 \} && = \ {\ tyhjennä, \ {\ tyhjennä \}, \ {\ tyhjennä , \ {\ emptyyset \} \} \} \ ldots \\\ mathbb {N} &: = \ {0,1,2,3, \ ldots \}, && {{text {where}} \ bigcup \ mathbb {N} = \ mathbb {N} \ loppu {tasattu}}}$

Joten pitäisi olla selvää, miten yllä olevia määritelmiä voidaan käyttää pelkistämään kaikki muut matemaattiset käsitteet joukkoiksi.

Kardinaalinumero ja kardinaalinumero

Bijektiivisen funktion ja ekvivalenttisuhteen termeillä voidaan myös määritellä joukon edellä mainittu voima . Kardinaliteetti tai kardinaliteetti joukko on merkitty mukaan (joskus myös # ). Joukkoa kutsutaan rajalliseksi, jos se on yhtä suuri kuin luonnollinen luku, niin alkioiden lukumäärä on . Termi kardinaalinumero on siten yleistys (äärellisen) joukon elementtien lukumäärästä. Kun otetaan huomioon kardinaalilukujen aritmeettisuus, tehosarjan tehoa , jopa äärettömien joukkojen kanssa, merkitään.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle | A |}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle | A |}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 2 ^ {| A |}}$

Säännöllisyys

Joukko on osittain järjestetty suhteeseen nähden , koska seuraava koskee kaikkia : ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle \ subseteq}$ ${\ displaystyle A, B, C \ subseteq X}$

• Heijastavuus :${\ displaystyle A \ subseteq A}$
• Antisymmetria : pois päältä ja seuraa${\ displaystyle A \ subseteq B}$${\ displaystyle B \ subseteq A}$${\ displaystyle A = B}$
• Transitiivisuus : ulos ja seuraa${\ displaystyle A \ subseteq B}$${\ displaystyle B \ subseteq C}$${\ displaystyle A \ subseteq C}$

Asetetut operaation leikkaukset ja yhdistäminen ovat kommutatiivisia, assosiatiivisia ja jakautuvia toisilleen: ${\ displaystyle \ cap}$${\ displaystyle \ cup}$

• Assosiaatiolaki :
  • ${\ displaystyle \ vasen (A \ kuppi B \ oikea) \ kuppi C = A \ kuppi \ vasen (B \ kuppi C \ oikea)}$ ja
  • ${\ displaystyle \ left (A \ cap B \ right) \ cap C = A \ cap \ left (B \ cap C \ right)}$
• Kommutatiivinen laki :
  • ${\ displaystyle A \ kuppi B = B \ kuppi A}$ ja
  • ${\ displaystyle A \ cap B = B \ cap A}$
• Jakelulaki :
  • ${\ displaystyle A \ kuppi \ vasen (B \ korkki C \ oikea) = \ vasen (A \ kuppi B \ oikea) \ korkki \ vasen (A \ kuppi C \ oikea)}$ ja
  • ${\ displaystyle A \ korkki \ vasen (B \ kuppi C \ oikea) = \ vasen (A \ korkki B \ oikea) \ kuppi \ vasen (A \ korkki C \ oikea)}$
• De Morganin lait :
  • ${\ displaystyle \ left (A \ cup B \ right) ^ {\plement} = A ^ {\plement} \ cap B ^ {\plement}}$ ja
  • ${\ displaystyle \ left (A \ cap B \ right) ^ {\plement} = A ^ {\plement} \ cup B ^ {\plement}}$
• Absorptiolaki:
  • ${\ displaystyle A \ kuppi \ vasen (A \ korkki B \ oikea) = A}$ ja
  • ${\ displaystyle A \ korkki \ vasen (A \ kuppi B \ oikea) = A}$

Seuraavia periaatteita sovelletaan eroon:

• Assosiatiiviset lait:
  • ${\ displaystyle (A \ setminus B) \ setminus C = A \ setminus (B \ cup C)}$ ja
  • ${\ displaystyle A \ setminus (B \ setminus C) = (A \ setminus B) \ cup (A \ cap C)}$
• Jakelulakit:
  • ${\ displaystyle (A \ cap B) \ setminus C = (A \ setminus C) \ cap (B \ setminus C)}$ ja
  • ${\ displaystyle (A \ kuppi B) \ setminus C = (A \ setminus C) \ kuppi (B \ setminus C)}$ ja
  • ${\ displaystyle A \ setminus (B \ cap C) = (A \ setminus B) \ cup (A \ setminus C)}$ ja
  • ${\ displaystyle A \ setminus (B \ cup C) = (A \ setminus B) \ cap (A \ setminus C)}$

Symmetriseen eroon sovelletaan seuraavia periaatteita:

• Assosiaatiolaki: ${\ displaystyle (A \ kolmio B) \ kolmio C = A \ kolmio (B \ kolmio C)}$
• Kommutatiivinen laki: ${\ displaystyle A \ kolmio B = B \ kolmio A}$
• Jakelulaki: ${\ displaystyle (A \ kolmio B) \ cap C = (A \ cap C) \ triangle (B \ cap C)}$

${\ displaystyle A \ kolmio \ emptyyset = A \ quad A \ kolmio A = \ emptyyset}$

Katso myös

• Luettelo matematiikan symboleista
• Kuvaava joukko-teoria

kirjallisuus

• Felix Hausdorff : Joukkoteorian perusteet . Chelsea Publ. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2 .
• Adolf Fraenkel : Johdanto joukko-teoriaan . Springer, Berliini / Heidelberg / New York, NY 1928. Uusintapaino: Martin Sendet oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4 .
• Paul R.Halmos : Naivisjoukon teoria . Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8 .
• Erich Kamke : joukko teoria. 7. painos. Walter de Gruyter & Co., Berliini 1971, ISBN 3-11-003911-7 .
• Kenneth Kunen : Aseta teoria: Johdatus itsenäisyystodistuksiin. Pohjois-Hollanti, 1980, ISBN 0-444-85401-0 .
• Arnold Oberschelp : Yleinen joukko-teoria . BI-Wissenschaft, Mannheim / Leipzig / Wien / Zurich 1994, ISBN 3-411-17271-1 .
• Oliver Deiser: Johdanto joukko-teoriaan . Georg Cantorin joukko teoria ja sen aksiomatisointi, kirjoittanut Ernst Zermelo. 3. painos. Springer, Berliini / Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4 . 
• André Joyal, Ieke Moerdijk: Algebraic Set Theory . Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55830-1 .
• Heinz-Dieter Ebbinghaus : Johdanto joukko-teoriaan . Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg / Berliini 2003, ISBN 3-8274-1411-3 .

nettilinkit

Wikisanakirja: joukko teoria  - selitykset merkityksille, sanan alkuperälle, synonyymeille, käännöksille

• Christian SPANNAGEL : Joukko-oppi . Luentosarja, 2010.

Yksittäiset todisteet

1. ^ Georg Cantor: Osuudet transfinitejoukon teorian perustamiseen. Julkaisussa: Mathematische Annalen 46 (1895), s.481. Verkkoversio . Katso tekstikohta Georg Cantor.png : n määritellyllä määritelmällä saadaksesi kuvan vastaavasta tekstiosasta.
2. ↑ Richard Dedekind: Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut. Brunswick 1872.
3. ↑ Richard Dedekind: Mitä numerot ovat ja mitkä ovat? Brunswick 1888.
4. ^ Giuseppe Peano: Arithmetices Principia nova methodo exposita. Torino 1889.
5. ↑ Ingmar Lehmann , Wolfgang Schulz: "Määrät - suhteet - toiminnot" (3. painos, 2007), ISBN 978-3-8351-0162-3 .
6. ^ Cantorin 31. elokuuta 1899 päivätty kirje Dedekindille julkaisussa: Georg Cantor: Koottuja matemaattisen ja filosofisen sisällön tutkielmia . toim. E.Zermelo, Berliini 1932, s.448.