algebra

Aryabhata I.

Sivu kirjasta al-Kitab al-Muchtasar fi hisab al-Jabr wa-l-muqabala

Algebran (maasta arabialainen الجبر, DMG al-ǧabr ”rikkoutuneiden osien yhdistäminen”) on yksi matematiikan perusala -alueista ; se käsittelee aritmeettisten toimintojen ominaisuuksia . Yleisesti algebraa kutsutaan usein laskemiseksi tuntemattomien kanssa yhtälöissä (esimerkiksi ); tuntematon on (tai tuntemattomat) edustettu kirjaimilla. Aleksandrian kreikkalaista Diophantosta pidetään algebran perustajana , joka asui joskus 100 eaa. EKr. Ja 350 jKr. On täytynyt elää. Hänen 13 kirjaansa, Arithmetica, ovat vanhin (osittain) säilynyt teos, joka käyttää algebrallista menetelmää (laskeminen kirjaimilla).${\ displaystyle x + 1 = 2}$

tarina

Sanahistoria

Toinen esitys algebran mukaan Diophant on Aryabhattiya, matemaattisen oppikirja Intian matemaatikko Aryabhata peräisin 5. vuosisadalla ; käytetty menetelmä oli nimeltään Bijaganitam . Yhdeksännestä vuosisadasta lähtien arabiankielisen maailman tutkijat ottivat haltuunsa ja paransivat tätä menetelmää, jota he kutsuivat al-ǧabriksi (arabiasta: "lisääminen" / "perustaminen"). Termi on peräisin persialaisen matemaatikon aritmeettisen oppikirjan otsikosta al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa-ʾl-muqābala (" Lyhyt kirja laskentamenetelmistä täydentämällä ja tasapainottamalla", peräisin noin vuodesta 825). ja polymath al-Chwarizmi , joka työskenteli Bagdadissa 9. vuosisadalla . Neljä vuosisataa kirjan julkaisun jälkeen ilmestyi sen latinalainen käännös Ludus algebrae almucgrabalaeque . Nykyinen sana "algebra" kehittyi "al-ǧabr".

Babylonialaisten aika

Jo 2000 vuotta ennen aikakauttamme muinaiset babylonialaiset pystyivät luomaan muodon yhtälöjärjestelmiä

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x + y & = p \\ xy & = q \ ,, \ end {aligned}}}$

jotka vastaavat ratkaistavaa muodon yhtälöä . Tällaisilla yhtälöillä voi olla irrationaalisia numeroita ratkaisuna. Babylonialaiset eivät kuitenkaan olleet kiinnostuneita tarkista ratkaisuista, vaan laskivat likimääräisiä ratkaisuja, enimmäkseen lineaarisen interpoloinnin avulla. Myöskään babylonialaiset eivät vielä käsitelleet negatiivisia lukuja . Yksi babylonialaisten tunnetuimmista savitaulukoista on Plimpton 322 , joka valmistettiin vuosina 1900-1600 eaa. Luotiin. Siinä luetellaan Pythagoraan kolmoiset , mikä tarkoittaa, että babylonialaiset tiesivät näiden numeroiden merkityksen jo 1000 vuotta ennen Pythagorasta. ${\ displaystyle x ^ {2} + q = px}$

Egyptiläisten aika

Babylonian algebra oli edistyneempi kuin Egyptin algebra. Vaikka babylonialaiset tutkivat toisen asteen yhtälöitä, egyptiläiset tutkivat pääasiassa lineaarisia yhtälöitä.

Papyrus Rhind , yksi tärkeimmistä lähteistä nykypäivän tietämystä matematiikan muinaisessa Egyptissä , julkaistiin noin 1650 eaa. Käännetty by Ahmes vanhemmasta työstä. Vuonna papyrus, lineaariset yhtälöryhmät muotoa ja , jossa , ja ovat tunnettuja ja tuntematonta saavutetaan geometrinen menetelmillä.${\ displaystyle x + ax = b}$${\ displaystyle x + ax + bx = c}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle x}$

Kreikkalaisten aika

Kuten egyptiläiset ja babylonialaiset, muinaiset kreikkalaiset tutkivat myös algebrallisia yhtälöitä . He eivät kuitenkaan olleet kiinnostuneita vain käytännön asioista, vaan he pitivät myös geometrisia kysymyksiä keskeisenä osana filosofiaansa etenkin alkuvaiheessa . Tämä oli alku algebran ja geometrian ja siten matematiikan kuin tiedettä . Kreikkalaisille algebrallisten yhtälöiden termit edustivat geometristen objektien sivuja, enimmäkseen viivoja. Käyttämällä rakennusmenetelmiä kompassien ja hallitsijoiden kanssa he määrittivät ratkaisuja tiettyihin algebrallisiin yhtälöihin. Koska antiikin Kreikan algebra perustui geometriaan, sitä kutsutaan geometriseksi algebraksi. Viime aikoina tämä tulkinta on kuitenkin ollut kiistanalainen. Käsitys kreikkalaisten geometrisesta algebrasta on peräisin Hieronymus Zeuthenilta , ja pitkään suositeltu teoria oli, että kreikkalaiset saivat algebran alkuperäiset tiedot babylonialaisilta, mutta sen jälkeen kun pythagoralaiset löysivät irrationaalisuuden, he pukeivat sen geometristen teoreemien muoto ( Bartel Leendert van der Waerden ja muut). Tätä kritiikkiä saivat erityisesti filologit ja filosofit ( Jacob Klein , Árpád Szabó , Sabetai Unguru ja 1970-luvulla tunnettu kiista, Wilbur Richard Knorr ).

Eukleidesin elementtien toinen kirja sisältää joukon algebrallisia lausuntoja, jotka on muotoiltu geometrian kielellä. Eukleides käsitteli muun muassa pintasovelluksen teoriaa, joka ulottuu muinaisiin pythagoralaisiin . Tällä menetelmällä voidaan ratkaista tiettyjä lineaarisia ja toisen asteen yhtälöitä, jotka ovat määrittämättömiä nykyaikaisen algebran näkökulmasta. Kymmenennessä elementtikirjassa Eukleides osoitti 2: n juuren järjettömyyden . Irrationaaliset mittasuhteet olivat myös tiedossa pythagoralaisille (lukuun ottamatta lukukäsitystä), jotka olivat myös todistaneet Eukleidesin lauseen yleisemmässä muodossa.

Aleksandrian Diophantosta pidetään antiikin tärkeimpänä algebralistina. Hänen ensimmäinen ja tärkein teoksensa, Arithmetica , koostui alun perin kolmetoista kirjaa, joista vain kuusi on säilynyt. Tällä työllä hän poisti kokonaan aritmeettisen ja algebran geometriasta, kun on kyse positiivisten, järkevien ratkaisujen löytämisestä ongelmiin. Diophantoksen matematiikka poikkesi myös babylonialaisten matematiikasta, koska hän oli ensisijaisesti kiinnostunut täsmällisistä ja ei-likimääräisistä ratkaisuista.

Klassinen ja moderni algebra

Euroopassa varhaisella uudella aikakaudella aritmeettisten kirjojen lisäksi oli myös korkeampi aritmeettinen edustusaste , jota harjoittivat kosistit (symbolinen manipulointi yhtälöillä). Lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisua laajennettiin Italiassa renessanssin aikana (1500 -luku) kuutiollisiin ja kvarttiyhtälöihin ( Scipione dal Ferro , Niccolò Tartaglia , Lodovico Ferrari , Gerolamo Cardano ). Ranskalainen François Viète (Viëta) on tärkeä algebran perustaja ja sen soveltaminen geometriaan käyttämällä jatkuvasti muuttujia ja niiden välisiä yhtälöitä. Yhtälöteoriaa laajennettiin edelleen 1700-luvulla ( Leonhard Euler , Joseph-Louis Lagrange ) ja erityisesti kompleksin ratkaisu sisällytettiin siihen. Ennen kaikkea, Carl Friedrich Gauss osoitti Fundamental Algebran (1799), jossa todetaan, että algebrallinen yhtälö : nnen asteen on tarkka ratkaisuja. Tuolloin algebra oli suurelta osin algebrallisten muotoyhtälöiden tutkimus ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ piste + + a_ {1} x + a_ {0} = 0}$

ominaisuuksista niiden ratkaisuja , minkä vuoksi yksi puhuu ja klassisen algebran . Noin 1830, Évariste Galois (1811-1832) kehitti Galois-teorian . Tämä voidaan ymmärtää nykyaikaisen algebran aluksi . Galois ja itsenäisesti Niels Henrik Abel ratkaisivat pitkään avoimen ongelman ratkaista yli neljännen asteen algebralliset yhtälöt, jolloin ratkaisu ymmärrettiin tuolloin tavanomaisten aritmeettisten operaatioiden ja juurilausekkeiden ("radikaalien") esittämiseksi osoittamalla, että tämä oli viidennestä asteesta, ei yleensä ole enää mahdollista ( Abel-Ruffinin lause ). Tässä yhteydessä ryhmäteorian (permutaatioryhmät, abstrakti ryhmätermin otti myöhemmin käyttöön Arthur Cayley ) ja kehoteorian (äärelliset kappaleet, joita kutsutaan myös Galois -kentiksi, kehonlaajennukset ) alku on peräisin Galoisilta . Galois'n ryhmäteoriaa laajensi erityisesti Camille Jordan 1800-luvulla Otto Hölderin ( Jordan-Hölderin lause ) ja muiden kirjoitusten avulla . Sophus Lie perusti 1800 -luvulla jatkuvien ryhmien teorian ( Lie -ryhmät ) , ja Wilhelm Killing ja Élie Cartan tekivät rakenteellisia lauseita ja Lie algebras -teorian 1800 -luvun loppua kohti.

Edelleen algebrallinen rakenne lisättiin, jolloin eri algebrat olivat osittain geometrisesti motivoitunut ( Hermann Grassmann kanssa vektori käsite ja Grassmann algebran kuin perusteella ero muotojen mukaan Élie Cartan, quaternions mukaan William Rowan Hamilton , Clifford algebran mukaan William Kingdon Clifford , ensimmäinen sai tärkeää sovelluksissa paljon myöhemmin kanssa spinori käsite ) tai tuli logiikan ( Boolen algebran ), joskus yksinkertaisesti kysymys laajentaa kompleksilukujen ( hypercomplex numerot , jako algebras, jotka sisältävät myös quaternions). Tärkeitä luokituslauseita algebroille olivat Wedderburnin lause ja Frobenius -lause .

Lineaarialgebraa peräisin teorian matriisit ja determinantteja ( Augustin Louis Cauchy , Cayley, James Joseph Sylvester ). Laajentuminen moniriviseen algebraan ( tensorikonsepti ) alkoi 1800-luvun lopulla differentiaaligeometrian ( Gregorio Ricci-Curbastro , Tullio Levi-Civita ) ja fysiikan aloilla.

Esitysteoria, erityisesti ryhmien, myös kehittänyt lopusta 19th century ( Ferdinand Georg Frobenius , Issai Schur ). Se on erityisen tärkeä ryhmäteorian sovelluksille luonnontieteissä sekä äärellisten ryhmien että valeryhmien osalta ( Elie Cartanin esitysteoria spinor -käsitteellä, Hermann Weyl ja muut).

Ihanteellinen teoria perustettiin vuonna 19. luvulla Richard Dedekind ja Leopold Kronecker (jossa sovellukset algebrallinen lukuteoria ja toiminnan aloilla ). Muut tärkeät abstraktin algebran periaatteet ovat peräisin Dedekindistä (kuten Galois -ryhmän käsitys ruumiiden automorfismin ryhmästä, renkaan ja moduulin käsitteet ). Teoria polynomi -ihanteista (kommutatiiviset renkaat kommutatiivisen algebran yhteydessä ) perustettiin David Hilbertin koulussa , ja Emmy Noether , Emanuel Lasker , Francis Macaulay ja myöhemmin Wolfgang Krull kehittivät sitä . Vuoteen Ernst Steinitz algebrallinen teoria kori on suunniteltu 1909th Emmy Noetherin koulu Göttingenissä, josta syntyi van der Waerdenin vakio-oppikirja Modern Algebra , oli keskeinen nykyaikaisen algebran kehittämisen kannalta . Tästä lähtien sovellukset muilla aloilla, kuten topologiassa (algebrallinen topologia) ja kommutatiivisessa algebrassa, tulivat algebrallisen geometrian perustaksi. Muita tärkeitä algebran edustajia Saksassa olivat tuolloin Emil Artin ja Helmut Hasse .

Toisen maailmansodan jälkeen toinen abstraktion taso ( homologinen algebra , kategoriateoria ) alkoi voittaa sekä algebrallisessa topologiassa ( Samuel Eilenberg , Norman Steenrod , Saunders MacLane ) että algebrallisessa geometriassa ( Alexander Grothendieck ).

Ryhmäteorian kohokohta 1900 -luvulla oli äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokituksen valmistuminen ja äärettömien ulottuvuusesitysten teorian kehittäminen, esimerkiksi Lie -ryhmät ( Harish Chandra , sovellus kvanttiteoriassa ja Langlands -ohjelmassa ) .

Algebra matematiikan haarana: määritelmä ja rakenne

Algebran sisältö ja menetelmät ovat laajentuneet historian aikana niin paljon , että algebran käsitteen antaminen on tullut vaikeaksi. Seuraavassa mainitaan joitain algebran osa-alueita ja joitakin muita algebran viereisiä osa-alueita. Nämä eivät kuitenkaan ole mitenkään jyrkästi rajattuja toisistaan.

• Alkeis algebra on algebra siinä mielessä koulun matematiikan. Se sisältää säännöt luonnollisten, kokonais-, murto- ja todellisten lukujen laskemiseen, muuttujia sisältävien lausekkeiden käsittelyyn ja yksinkertaisten algebrallisten yhtälöiden ratkaisutapoihin.
• Abstraktin algebran on keskeinen kuria modernin matematiikan. Hän käsittelee erityisiä algebrallisia rakenteita , kuten ryhmiä , renkaita , kappaleita ja niiden yhteyksiä.
• Lineaarialgebraa käsiteltiin ratkaista lineaarisia yhtälöitä , tutkimus vektoriavaruuksia ja määrittää ominaisarvot ; se on analyyttisen geometrian perusta .
• Toisin kuin tensori -analyysi, monirivinen algebra tutkii tensoreiden ja muiden monirivisten kuvausten algebrallisia ominaisuuksia .
• Kommutatiivinen algebra koskee vaihdannaisia renkaat ja niiden ihanteita , moduulit ja algebrat ja on läheistä sukua algebrallinen geometria hampainen.
• Todellinen algebran tutkittu lukukunta, johon järjestely voidaan määritellä. Sitten tutkitaan positiivisia polynomeja.
• Tietokone algebra käsittelee symbolinen manipulointi algebralausekkeissa. Yksi painopiste on tarkka laskenta kokonaisilla, järkevillä ja algebrallisilla numeroilla sekä polynomeilla näiden lukualueiden yli. Teoreettiselta kannalta tälle osa-alueelle voidaan osoittaa tehokkaiden algoritmien etsiminen ja näiden algoritmien monimutkaisuuden määrittäminen. Käytännössä on kehitetty erilaisia tietokonealgebrallisia järjestelmiä, jotka mahdollistavat algebrallisten lausekkeiden tietokoneavusteisen käsittelyn.
• Universaali tai yleinen algebran pidetään yleisesti algebrallinen rakenne.
• Algebrallinen geometria tutkittu nollia järjestelmien algebraic yhtälöitä .
• Algebrallinen lukuteoria tutkii kysymyksiä lukuteoria avulla menetelmiä algebran.
• Homologinen Algebra sisältää menetelmiä, jotka alun perin myöntää topologian osana algebraic topology on katsottu johtuvan algebrallinen tosiasioita.

kirjallisuus

Tietoja historiasta

• Heinz-Wilhelm Alten muun muassa: 4000 vuotta algebraa. Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43554-9 , doi: 10.1007 / 978-3-540-85551-4 .
• Yu. I. Merzlyakov & AI Shirshov: Algebra . Julkaisussa: Michiel Hazewinkel (Toim.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag and EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englanti, verkossa ). Malli: EoM / id
• Bartel Leendert van der Waerden : Algebran historia. Springer Verlag, 1985, ISBN 978-3-642-51601-6 , doi: 10.1007 / 978-3-642-51599-6
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra Galoisista lähtien. Vuosikertomus DMV, Volyymi, 68, 1966, s. 155-165 ( online ).

Oppikirjat

• Michael Artin : Algebra. Prentice Hall, 1991.
• Jörg Bewersdorff : Algebra aloittelijoille: yhtälöratkaisusta Galois -teoriaan. 2004, 6. painos, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1 , doi: 10.1007 / 978-3-658-26152-8 .
• Siegfried Bosch : Algebra. 9. painos 2020, Springer-Verlag, ISBN 978-3-662-61648-2 , doi: 10.1007 / 978-3-662-61649-9 .
• Gerd Fischer : Algebran oppikirja. 4. painos, Wiesbaden 2917, ISBN 978-3-658-19217-4 , doi: 10.1007 / 978-3-658-19218-1 .
• Christian Karpfinger , Kurt Meyberg: Algebra. Ryhmät - renkaat - elimet. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3 , doi : 10.1007 / 978-3-8274-2601-7 .
• Serge Lang : Algebra. 3. painos, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-1-4612-6551-1 , doi: 10.1007 / 978-1-4613-0041-0
• BL van der Waerden : Algebra I, II. Springer-Verlag, Berliini 1993, ISBN 978-3-662-01514-8 , ISBN 978-3-642-63446-8 , doi : 10.1007 / 978-3-662-01513 -1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-58038-3 (ensin Modern Algebra , 1930, 1931).

nettilinkit

Wikisanakirja: Algebra  - selitykset merkityksistä, sanojen alkuperästä, synonyymeista, käännöksistä

• Kirjallisuus algebrasta Saksan kansalliskirjaston luettelossa
• Vaughan Pratt :  Entry in Edward N.Zalta (Toim.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .Malli: SEP / Huolto / Parametri 1 ja parametri 3, ei parametri 2

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Vrt. Alten et ai.: 4000 vuotta algebrasta. Berliini / Heidelberg 2003, s. 95 ja sitä seuraava.
2. ^ John Stillwell: Matematiikka ja sen historia . Springer, New York, NY 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8 , s. 88-89 , doi : 10.1007 / 978-1-4419-6053-5_6 . 
3. ^ ^{A b} John Stillwell: Matematiikka ja sen historia . Springer, New York, NY 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8 , s. 92 , doi : 10.1007 / 978-1-4419-6053-5_6 . 
4. ^ ^{A b} Carl B. Boyer: Matematiikan historia . Wiley, New York, NY 2010, ISBN 978-0-470-52548-7 , s. 30 ( verkossa ). 
5. ^ Carl B. Boyer: Matematiikan historia . Wiley, New York, NY 2010, ISBN 978-0-470-52548-7 , s. 15-16 ( verkossa ). 
6. ^ Heinz-Wilhelm Alten : 4000 vuotta algebrasta. Historia, kulttuuri, ihmiset . Springer, Berliini et ai. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , s. 60 . 
7. ^ Heinz-Wilhelm Alten : 4000 vuotta algebrasta. Historia, kulttuuri, ihmiset . Springer, Berliini et ai. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , s. 62 . 
8. ^ Carl B. Boyer: Matematiikan historia . Wiley, New York, NY 2010, ISBN 978-0-470-52548-7 , s. 198 ( verkossa ). 
9. ^ Heinz-Wilhelm Alten : 4000 vuotta algebrasta. Historia, kulttuuri, ihmiset . Springer, Berliini et ai. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , s. 57 . 
10. ^ Carl B. Boyer: Matematiikan historia . Wiley, New York, NY 2010, ISBN 978-0-470-52548-7 , s. 201 ( verkossa ).