Analyyttinen geometria

Analyyttisen geometrian (myös vektori geometria ) on haara geometria , algebrallinen työkalut (erityisesti lineaarialgebraa ) säädetään ratkaista geometrinen ongelmia. Monissa tapauksissa se mahdollistaa geometristen tehtävien ratkaisemisen puhtaasti aritmeettisesti ilman visualisointia apuvälineenä.

Sitä vastoin geometriaa, joka muodostaa lauseensa aksiomaattisesti ilman numerojärjestelmää, kutsutaan synteettiseksi geometriaksi .

Analyyttisen geometrian menetelmiä käytetään kaikissa luonnontieteissä , mutta ennen kaikkea fysiikassa , kuten planeetan kiertoradojen kuvauksessa . Alun perin analyyttinen geometria käsitteli vain taso- ja spatiaalisen ( euklidisen ) geometrian kysymyksiä. Yleisessä mielessä analyyttinen geometria kuvaa kuitenkin mielivaltaisten ulottuvuuksien affinitiloja mielivaltaisten kappaleiden yli .

Koordinaattijärjestelmä

Koordinaattijärjestelmä on ratkaiseva apu analyyttisessä geometriassa. Käytännössä käytetään yleensä suorakulmaista koordinaatistoa . Muutamia yksinkertaisia kysymyksiä, kuten määritys suora risteyksiä, tutkittaessa suoria viivoja varten yhdensuuntaisuuden tai laskettaessa osittain suhteissa , vino koordinaatisto olisi riittävä. Karteesinen koordinaatisto on välttämätön etäisyyksien tai kulmien laskemiseksi.

Vektorit

Monet analyyttisen geometrian laskelmat on standardoitu ja yksinkertaistettu vektorilaskentamenetelmillä. Vaikka kaikki analyyttinen geometria keksittiin ilman vektoreita ja tietysti sitä voidaan silti harjoitella ilman vektoreita, ja päinvastoin vektoritila voidaan määritellä abstraktiksi-algebralaiseksi rakenteeksi, jossa ei ole geometrista viitetta, vektoreiden käyttö suorakulmaisissa koordinaatistoissa näyttää niin luonnolliselta, Lineaarinen algebra ja analyyttinen geometria ”lukiossa ja matemaattis-fyysinen-tekninen perustutkinto yleensä yhtenä kurssina.

Koordinaatti- ja parametriyhtälöt

Monimutkaisemmat geometriset rakenteet, kuten suorat viivat , tasot , ympyrät , pallot, ymmärretään pisteinä ja ne kuvataan yhtälöillä . Nämä voivat olla koordinaattiyhtälöitä tai parametrisia yhtälöitä.

Implisiittinen koordinaattiyhtälö

Koordinaateista riippuva laskulauseke asetetaan 0: ksi.${\ displaystyle (x, y, \ dotsc)}$

Esimerkki (piirtotason suora viiva)

${\ displaystyle 2x-3y + 7 = 0}$

Selkeä koordinaattiyhtälö

Yksi koordinaateista ilmaistaan ​​toisella.

Esimerkki (avaruuden taso)

${\ displaystyle z = 2x-5y + 3}$

Selkeillä koordinaattiyhtälöillä on se haitta, että tapauserot on usein tehtävä; niin se on esimerkiksi

tasossa on mahdotonta näyttää muodoltaan -akselin suuntaista .${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y = mx + t}$

Parametrinen yhtälö

Asema vektori on minkä tahansa rakenteen annetaan vektori aritmeettinen lauseke, joka sisältää yhden tai useamman parametrin.${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ overrightarrow {OX}}}$${\ displaystyle X}$

Esimerkki (suoraan huoneeseen): ${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ - 4 \\ - 3 \ end {pmatrix}} + \ lambda {\ begin {pmatrix} -2 \\ 0 \\ 5 \ loppu {pmatrix}}}$

Tason analyyttinen geometria

Pisteet tasossa

Jokainen tason piste kuvataan kahdella koordinaatilla , esim. B. . Koordinaatit ovat yleensä kutsutaan (tässä järjestyksessä) -coordinate (myös: abskissa ) ja -coordinate (myös: ordinaatta ). Termejä ja käytetään myös . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P (2 \ puolivälissä -1 {,} 5)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Yhdistetyt pisteiden koordinaatit muodostavat järjestetyt parit litteässä tapauksessa .

Suorat viivat tasossa

Koordinaattiyhtälö (implisiittinen)

${\ displaystyle n_ {x} x + n_ {y} y + n_ {0} = \, \! 0}$

Puhutaan myös suoran yhtälön normaalista (en) muodosta , koska vektori on kohtisuorassa (normaalissa) suorassa.${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} n_ {x} \\ n_ {y} \ end {pmatrix}}}$

Parametrinen yhtälö

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OX}} = {\ overrightarrow {OA}} + \ lambda {\ vec {u}}}$

Tässä on minkä tahansa suoran viivan (tukipisteen) mielivaltaisen mutta kiinteän pisteen sijaintivektori; on ns. suuntavektori , so. vektori, jonka suunta on suoran kanssa yhdensuuntainen .${\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ vec {A}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$

Toisen asteen käyrät tasossa

Toisen asteen (implisiittisen koordinaatin) yhtälöllä

${\ displaystyle Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cxy + Dx + Ey + F = 0}$

kartiomainen osa annetaan yleensä . Kerrointen arvoista riippuen se voi olla ellipsi (erikoistapaus: ympyrä ), paraboli tai hyperboli .

Euklidisen avaruuden analyyttinen geometria

Pisteet avaruudessa

Jokainen avaruuspiste määritetään kolmella koordinaatilla , esim. B. . Jokainen piste on liitetty sen asema vektori , joka on yhteys vektori välillä alkuperän koordinaatiston ja tietyn pisteen. Sen koordinaatit vastaavat pisteen koordinaatteja , mutta ne kirjoitetaan sarakevektorina: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P = P (4 \ puolivälissä -0 {,} 5 \ puolivälissä -3)}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ ylisuuri {OP}}}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}} = {\ begin {pmatrix} 4 \\ - 0 {,} 5 \\ - 3 \ end {pmatrix}}}$

Koordinaatit kutsutaan nimellä -, - ja -koordinaatit tai -, - ja -koordinaatit (tässä järjestyksessä) . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {3}}$

Yhdistetyt pisteiden koordinaatit muodostavat paikkatapauksessa 3 joukkoa .

Suorat viivat avaruudessa

Koordinoi yhtälöt

Suoria viivoja avaruudessa ei voida kuvata yhdellä koordinaattiyhtälöllä. Suora viiva voidaan aina ymmärtää kahden tason leikkauksena (leikkauksena), ja näiden kahden tason (katso alla) koordinaattiyhtälöitä voidaan käyttää määrittämään suora viiva.

Parametrinen yhtälö

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OX}} = {\ overrightarrow {OA}} + \ lambda {\ vec {u}}}$

Joten yhtälöllä on sama muoto kuin kaksiulotteisessa tapauksessa.

Tasot avaruudessa

Koordinaattiyhtälö (implisiittinen)

${\ displaystyle n_ {x} x + n_ {y} y + n_ {z} z + n_ {0} = \, \! 0}$

Tämän tyyppistä tasoyhtälöä kutsutaan normaalimuodoksi , koska vektori on kohtisuorassa (normaalissa) tasoon nähden.${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ aloita {pmatrix} n_ {x} \\ n_ {y} \\ n_ {z} \ end {pmatrix}}}$

Parametrinen yhtälö

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OX}} = {\ overrightarrow {OA}} + \ lambda {\ vec {u}} + \ mu {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ vec {A}}}$on minkä tahansa mielivaltaisen mutta kiinteän pisteen tasovektori (tukipiste); ja ovat lineaarisesti riippumattomia suunnasta vektorit (tai span vektoreita ), joka on, vektorit yhdensuuntainen tasoon nähden, että "span" tasoon.${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

Toisen kertaluvun pinnat avaruudessa

Toisen asteen yleinen koordinaattiyhtälö

${\ displaystyle Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0}$

kuvaa toisen asteen pinnan . Tärkeimmät erikoistapaukset ovat:

Ellipsoidi , elliptinen paraboloidi , hyperbolinen paraboloidi , yksikuorinen hyperboloidi , kaksoiskuorinen hyperboloidi , kartio , elliptinen sylinteri , parabolinen sylinteri , hyperbolinen sylinteri .

Yleistys: minkä tahansa affinisen tilan analyyttinen geometria

Analyyttisen geometrian käsitteet voidaan yleistää sallimalla koordinaatit mistä tahansa kappaleesta ja mitasta .

Jos on vektori tila kappaleen yli ja liittyvän affiinisen tilaan , sitten ulotteinen aliavaruus voidaan kuvata parametrin yhtälö ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OX}} = {\ overrightarrow {OA}} + \ lambda _ {1} {\ vec {v_ {1}}} + \ dotsb + \ lambda _ {k} {\ vec {v_ {k}}}}$.

Tässä on minkä tahansa mielivaltaisen mutta kiinteän alatilan (tukipisteen) pistevektori; vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia vektoreita, mikä on sen alatilan pohja , johon tarkastelun alatila kuuluu. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ vec {A}}}$${\ displaystyle {\ vec {v_ {1}}}, \ dotsc, {\ vec {v_ {k}}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle R}$

Sillä on suoran yhtälö tason yhtälölle. Jos 1 on pienempi kuin tai , voidaan puhua hypertasosta . ${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle V}$

Analogisesti tasogeometrian toisen asteen käyrien (kartioleikkausten) ja avaruusgeometrian toisen asteen pintojen kanssa niin sanottuja kvadrikkeleita pidetään myös -ulotteisissa affinitiloissa , ts. Toisen asteen hyperpinnoissa (ulottuvuuden kanssa ). , jotka on luotu toisen asteen koordinoida yhtälöt on määritelty: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n-1}$

${\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ summa _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} x_ {i} x_ {j} + \ summa _ {i = 1} ^ { n} B_ {i} x_ {i} + C = 0}$

Tyypillisiä tehtäviä analyyttisessä geometriassa

Ilmaantuvuuskatsaus

Tavoitteena on määrittää, kuuluuko tietty piste tietylle pistejoukolle (esim. Suoralle).

Kaksiulotteisessa tilassa

Esimerkiksi suora viiva nimenomaisella koordinaattiyhtälöllä

${\ displaystyle y = 2 \ cdot x-3}$

katsottava nimellä.

Piste on tällä suoralla, kuten voidaan nähdä lisäämällä koordinaatit ja (pistenäyte): ${\ displaystyle P (2 | 1)}$${\ displaystyle x = 2}$${\ displaystyle y = 1}$

${\ displaystyle 1 = 2 \ cdot 2-3}$

Piste ei kuitenkaan ole suoralla viivalla. Sillä ja on nimittäin ${\ displaystyle S (4 | 2)}$${\ displaystyle x = 4}$${\ displaystyle y = 2}$

${\ displaystyle 2 \ neq 2 \ cdot 4-3}$.

Kolmiulotteisessa tilassa

Seuraavalla parametrimuodolla on tarkistettava, onko piste suoralla viivalla : ${\ displaystyle Q (-1 \ keski 9 \ puolivälissä -2)}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} -7 \\ 7 \\ - 6 \ end {pmatrix}} + t {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \ end { matriisi}}}$ .

Jos asema vektori on on käytetty, tämä johtaa seuraavat 3 yhtälöt: ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {OQ}}}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} -1 & = & - 7 & + & t \ cdot 3 & \ Rightarrow & t = 2 \\ 9 & = & 7 & + & t \ cdot 1 & \ Rightarrow & t = 2 \\ - 2 & = & - 6 & + & t \ cdot 2 & \ Rightarrow & t = 2 \\\ end {matriisi}}}$

Koska sillä on sama arvo kaikissa kolmessa tapauksessa (tässä ), se on suoralla viivalla. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle Q}$

Kahden pisteryhmän leikkauspisteen määrittäminen

Kahden pistejoukon (esim. Kahden suoran leikkauspisteen) leikkauksen määrittäminen tarkoittaa yhtälöjärjestelmän ratkaisemista . Menettely vaihtelee hieman sen mukaan, missä muodossa kaksi pistejoukkoa kuvataan:

tapaus 1

Molemmat pistejoukot annetaan koordinaattiyhtälöillä .

Tässä tapauksessa leikkauspiste kuvataan koordinaattiyhtälöiden kokonaisuudella.

Tapaus 2

Molemmat pistejoukot annetaan parametriyhtälöillä .

Risteys saadaan yhtälöimällä näiden yhtälöiden oikeat puolet.

Tapaus 3

Yksi pistejoukoista annetaan koordinaattiyhtälöllä , toinen parametrisilla yhtälöillä.

Tällöin vektoriparametriyhtälön yksittäiset koordinaatit lisätään vektoriyhtälöön.

Kaksiulotteisessa tilassa

On tarkistettava, leikkaavatko toiminnot ja missä ne käyvät. Ja vastaa : ${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x) = 2x ^ {2} -2}$${\ displaystyle f (x) = 2x + 2}$

Ristipisteiden laskemiseksi kahden funktion yhtälöiden funktiotermit asetetaan nyt yhtä suuriksi. Tällä tavalla löydetään koordinaatit, joille kahdella toiminnolla on sama koordinaatti: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 2x ^ {2} & - & 2 & = & 2 \ cdot x & + & 2 \\ 2x ^ {2} & - & 2 \ cdot x & - & 4 & = & 0 \\ x ^ {2} & - & x & - & 2 & = & 0 \\\ end {matriisi}}}$

Tämän toisen asteen funktion ratkaiseminen johtaa ratkaisuihin: ja . ${\ displaystyle x_ {1} = - 1}$${\ displaystyle x_ {2} = 2}$

Korvaamalla se jompaan kumpaan ensimmäisestä yhtälöstä saadaan leikkauspisteet: ja . ${\ displaystyle S_ {1} (- 1 | 0)}$${\ displaystyle S_ {2} (2 | 6)}$

Kolmiulotteisessa tilassa

Olisi tarkistettava, ja missä vaiheessa kaksi suoraa viivaa ja leikkaavat. Kaksi suoraa määritellään seuraavasti: ${\ displaystyle g_ {1}}$${\ displaystyle g_ {2}}$

${\ displaystyle g_ {1}: \; {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} 20 \\ - 30 \\ 1200 \\\ end {pmatrix}} + s \ cdot {\ begin {pmatrix} -100 \\ 225 \\ - 3 \\\ end {pmatrix}} \ qquad \ left (s \ sisään \ mathbb {R} \ oikea)}$

${\ displaystyle g_ {2}: \; {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} -2480 \\ 105 \\ 1167 \\\ end {pmatrix}} + t \ cdot {\ begin {pmatrix} 150 \\ 120 \\ 1 \\\ end {pmatrix}} \ qquad \ left (t \ sisään \ mathbb {R} \ oikea)}$

Kuten kaksiulotteisessa avaruudessa, myös nämä kaksi yhtälöä rinnastetaan tähän:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 20 \\ - 30 \\ 1200 \\\ end {pmatrix}} + s \ cdot {\ begin {pmatrix} -100 \\ 225 \\ - 3 \\\ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} -2480 \\ 105 \\ 1167 \\\ end {pmatrix}} + t \ cdot {\ begin {pmatrix} 150 \\ 120 \\ 1 \\\ end {pmatrix}} }$

${\ displaystyle s \ cdot {\ begin {pmatrix} -100 \\ 225 \\ - 3 \\\ end {pmatrix}} - t \ cdot {\ begin {pmatrix} -150 \\ - 120 \\ - 1 \ \\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -2500 \\ 135 \\ - 33 \\\ end {pmatrix}}}$

Vektoriyhtälö voidaan jakaa seuraaviin 3 yhtälöön:

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccccl | l} -100 \ kertaa s & - & 150 \ kertaa t & = & - 2500 & \ kertaa 3/50 \\ 225 \ kertaa s & - & 120 \ kertaa t & = & 135 &: 5 \\ -3 \ cdot s & - & 1 \ cdot t & = & - 33 & \ cdot (-2) \\\ end {array}} \ Leftightarrow {\ begin {array} { ccccl} -6 \ cdot s & - & 9 \ cdot t & = & -150 \\ 45 \ cdot s & - & 24 \ cdot t & = & 27 \\ 6 \ cdot s & + & 2 \ cdot t & = & 66 \\\ end {array}}}$

Ensimmäisen ja viimeisen yhtälön lisääminen tuottaa tai . Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan näin käyttämällä niin . Tämä ratkaisu täyttää myös toisen yhtälön, koska . ${\ displaystyle -7 \ cdot t = -84}$${\ displaystyle t = 12}$${\ displaystyle -6 \ cdot s = -42}$${\ displaystyle s = 7}$${\ displaystyle 45 \ kertaa 7-24 \ kertaa 12 = 27}$

Suorien leikkauspisteen sijaintivektori saadaan lisäämällä yksi kahdesta lasketusta parametrista ( ) vastaavaan suoraan ( ): ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle g_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 20 \\ - 30 \\ 1200 \\\ end {pmatrix}} + 7 \ cdot {\ begin {pmatrix} -100 \\ 225 \\ - 3 \\\ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} -680 \\ 1545 \\ 1179 \\\ end {pmatrix}} \ Rightarrow S \ left (-680 | 1545 | 1179 \ right)}$

historia

Analyyttisen geometrian perusti ranskalainen matemaatikko ja filosofi René Descartes . Suurimmat parannukset johtuvat Leonhard Eulerista , joka käsitteli erityisesti toisen asteen käyriä ja pintoja. Vektorilaskennan kehittäminen (muun muassa Hermann Graßmannin toimesta ) mahdollisti nykyään yleisen vektorimerkinnän.

David Hilbert on osoittanut, että kolmiulotteinen analyyttinen geometria vastaa täysin (synteettistä) euklidista geometriaa määrittelemässään muodossa . Käytännössä se on paljon parempi kuin tämä. 1900-luvun alkupuoliskolla pidettiin siis näkemystä, että geometrialla sillä tavalla, kuin sitä on opetettu Eukleidin jälkeen, on ollut vain historiallista mielenkiintoa.

Nicolas Bourbaki meni jopa askeleen pidemmälle: hän luopui täysin geometrisista käsitteistä, kuten piste, suora, jne., Ja katsoi, että kaikki tarvittava on sanottu lineaarisen algebran hoidossa . Kuten aina Bourbakin kohdalla, soveltavan matematiikan tarpeita ei tietenkään oteta huomioon.

Katso myös

• Dynaaminen spatiaalinen geometria
• Analyyttinen geometrian kaavan kokoelma
• Suora yhtälö
• Tasoyhtälö
• Pyöreä yhtälö
• Subtangentti

kirjallisuus

• Gerd Fischer : Analyyttinen geometria: Johdanto uusille opiskelijoille . Vieweg, 2001
• Wilhelm Blaschke : Analyyttinen geometria . Springer, 1953

nettilinkit

• Ina Kersten : Analyyttinen geometria ja lineaarinen algebra . Käsikirjoitus, Göttingenin yliopisto
• Joachim Gräter: Analyyttinen geometria . Käsikirjoitus, Potsdamin yliopisto
• A. Täyteaine: Analyyttinen geometria Spektrum.de-sivustossa