Ryhmä (matematiikka)

Rubikin kuution pyöritykset muodostavat ryhmän.

On matematiikka , joka on ryhmä on joukko on elementtejä yhdessä linkki , joka osoittaa kolmasosa elementti samat jokaiselle kahden elementin joukon ja siten täyttää kolme olosuhteissa ryhmä aksioomat : assosiatiivisia laki , että on olemassa neutraalialkio ja käänteisten elementtien olemassaolo .

Yksi tunnetuimmista ryhmistä on kokonaislukujoukko, johon on lisätty linkki. Matemaattista osa-aluetta, joka on omistettu ryhmärakenteen tutkimiseen, kutsutaan ryhmän teoriaksi . Se on algebran haara . Ryhmien käyttöalueet, myös matematiikan ulkopuolella, tekevät niistä keskeisen käsitteen nykyaikaisesta matematiikasta.

Ryhmillä on perustavanlaatuinen sukulaisuus symmetrian kanssa . Esimerkiksi symmetria ryhmä geometrinen objekti edustaa sen symmetrinen ominaisuuksia. Se koostuu joukosta niitä kuvia (esim. Kierrot ), jotka jättävät objektin muuttumattomaksi, ja tällaisten kuvien suorittamisesta peräkkäin linkkinä. Lie ryhmät ovat symmetriaa ryhmät standardimallin of Particle Physics , pisteryhmät käytetään ymmärtämään symmetria on molekyylitasolla on kemian ja Poincarén ryhmät voivat ilmaista symmetrioihin johon erityistä Suhteellisuusteoria on perustuu.

Ryhmän käsite syntyi Évariste Galois'n tutkimuksista polynomiyhtälöistä 1830-luvulla. Muiden matemaattisten alueiden, kuten lukuteorian ja geometrian , osallistumisen jälkeen ryhmän käsite yleistettiin. Se perustettiin vankasti noin vuonna 1870, ja sitä käsitellään nyt itsenäisellä ryhmäteorian alalla . Ryhmien tutkimiseksi matemaatikot ovat kehittäneet erityisehtoja ryhmien jakamiseksi pienempiin, helpommin ymmärrettäviin kappaleisiin, kuten: B. Alaryhmät , tekijäryhmät ja yksinkertaiset ryhmät . Abstraktien ominaisuuksiensa lisäksi ryhmäteoreetikot tutkivat myös tapoja, joilla ryhmät voidaan ilmaista konkreettisesti ( edustusteoria ), sekä teoreettisiin tutkimuksiin että konkreettisiin laskelmiin. Äärillisille ryhmille kehitettiin erityisen rikas teoria , joka huipentui vuonna 1983 äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokitteluun . Näiden merkitys ryhmille, jotka on verrattavissa alkuluvut varten luonnollisille luvuille .

Johdantoesimerkki

Yksi tunnetuimmista ryhmistä on kokonaislukujoukko , johon yleensä viitataan yhdessä lisäyksen kanssa . ${\ displaystyle \ {\ ldots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ ldots \}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Lukujoukko yhdessä lisäyksen kanssa täyttää joitain perusominaisuuksia:

• Kahdelle kokonaislukuja ja summa on jälleen kokonaisluku. Jos toisaalta jaetaan kaksi kokonaislukua keskenään , tulos olisi enimmäkseen rationaaliluku eikä enää kokonaisluku. Koska tätä ei voi tapahtua summauksen kanssa, sanotaan, että kokonaisluvut suljetaan lisäyksen alla.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a + b}$
• Kaikkiin kokonaislukuihin , ja assosiaatiolaki pätee${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}$.

Laita sanoen sillä ei ole väliä, onko lisäät ja tai sekä ensimmäinen , tulos on sama. Tätä ominaisuutta kutsutaan assosiatiivisuudeksi .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

• Seuraava koskee kaikkia kokonaislukuja${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle 0 + a = a + 0 = a}$.

Nolla lisääminen ei muuta alkuperäistä numeroa. Siksi nollaa kutsutaan neutraaliksi lisäyselementiksi .

• Jokaiselle kokonaisluvulle on sellainen kokonaisluku , että . Tämä tarkoittaa, että jokaiselle kokonaisluvulle on kokonaisluku siten, että niiden summa on nolla. Tässä tapauksessa numero on nimeltään käänteinen elementti on , ja on huomattava, kanssa .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a + b = b + a = 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle -a}$

Nämä neljä kokonaislukujoukkoa yhdessä niiden lisäyksen kanssa yleistetään ryhmän määritelmässä muille joukkoille sopivalla toiminnolla .

määritelmä

ryhmä

Ryhmä on pari , joka koostuu määrästä ja sisempi kaksinumeroinen pikavalinta päälle . Luku (kirjoitettu infix-merkinnällä ) täyttää${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle * \ kaksoispiste \, {\ alkaa {tapaukset} G \ kertaa G & \ - & G \\ (a, b) & \ mapsto & a * b \ loppu {tapaukset}}}$

seuraavat vaatimukset , joita kutsutaan ryhmän aksioomiksi :

Joten ryhmä on monoidi , jossa jokaisella elementillä on käänteinen.

Heikot ryhmän aksioomat

Ryhmän aksiomia voidaan muodollisesti heikentää korvaamalla neutraalin ja käänteisen elementin aksiomit seuraavasti:

On vasemmanpuoleinen elementti , jotta: ${\ displaystyle e \ G: ssä}$

• Seuraava koskee kaikkia ryhmän elementtejä :${\ displaystyle a}$${\ displaystyle e * a = a.}$
• Kunkin on vasen-käänteinen elementin kanssa .${\ displaystyle a \ in G}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1} \ G: ssä$${\ displaystyle a ^ {- 1} * a = e}$

Tämä muodollisesti heikompi määritelmä vastaa alkuperäistä määritelmää.

Ryhmä algebrallisena rakenteena

Ryhmä voidaan määritellä myös tietyksi algebralliseksi rakenteeksi . Heikkojen ryhmien aksioomien avulla saamme sitten:

Ryhmä on nelinkertainen koostuu sarjasta sekä assosiatiivisia, sisempi kaksinumeroinen linkki , joka on nolla-numeroinen linkki ja yksi- numero linkin päälle , niin että ja sovelletaan kuhunkin . ${\ displaystyle (G, *, e, {^ {- 1}})}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle *}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle ^ {- 1}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle a \ in G}$${\ displaystyle e * a = a}$${\ displaystyle a ^ {- 1} * a = e}$

Täten ryhmä on erityinen monoidi , jossa kaikki elementit ovat käänteisiä.

Abelin ryhmä

Ryhmää kutsutaan abelialaiseksi tai kommutatiiviseksi, jos myös seuraava aksioma täyttyy: ${\ displaystyle (G, *)}$

• Kommutatiivisuus : koskeekaikkia ryhmän elementtejäja.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a * b = b * a}$

Muuten, i. ts. jos on ryhmäelementtejä , joista on, ryhmää kutsutaan ei-abelilaiseksi (tai ei-kommutatiiviseksi ). ${\ displaystyle a, b \ G: ssä}$${\ displaystyle a * b \ neq b * a}$${\ displaystyle (G, *)}$

Ryhmäjärjestys

Ryhmän tapauksessa paksuuteen viitataan myös ryhmän järjestyksessä . Joten varten äärellinen ryhmä järjestys on yksinkertaisesti numero ryhmän elementtejä. ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle | G |}$ ${\ displaystyle G = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc, a_ {n} \}}$${\ displaystyle n}$

Elementin järjestys

Elementin järjestys määritetään siten , että neutraali elementti edustaa ryhmää . ${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle \ operaattorin nimi {ord} (g): = \ min (\ {n \ sisään \ mathbb {N} \ keskellä g ^ {n} = e \} \ kuppi \ {\ infty \})}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle G}$

Huomautukset:

• Jokaisessa ryhmässä tarkalleen neutraalilla elementillä on järjestys 1.
• Seuraava koskee rajallisia ryhmiä :${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ forall g \ in G \ kaksoispiste \ operaattorin nimi {ord} (g) \ mid | G |}$(puhuttu: järjestys jakaa ryhmäjärjestyksen )${\ displaystyle g}$${\ displaystyle | G |}$

Huomautuksia merkinnästä

Symbolia käytetään usein linkkiin ; sitten puhutaan kerrottavasti kirjoitetusta ryhmästä. Neutraalia elementtiä kutsutaan sitten yhtenäisyyselementiksi ja sitä symboloi myös. Kuten tavallisessa kertolaskussa tavallista , maalauspiste voidaan jättää pois monissa tilanteissa . Tuotesymbolia käytetään sitten linkittämään useita elementtejä . Varten kertainen yhteys ryhmän elementin kanssa itse kirjoitetaan teho ja yksi määritellään samoin . ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n \ sisään \ mathbb {N}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {n}}$${\ displaystyle a ^ {0} = 1}$${\ displaystyle a ^ {- n} = (a ^ {- 1}) ^ {n}}$

Ryhmän ominaisuudet voidaan myös huomata additiivisesti käyttämällä linkin symbolia . Neutraalia elementtiä kutsutaan sitten nollaelementiksi ja sitä symboloi. Elementti, joka on käänteinen ryhmään elementti ei symboloi mukaan vaan ryhmässä kirjallinen lisäaineena . A- kertainen summa merkitään tässä merkillä ja panostat myös . Tällä tavalla Abelin ryhmä voidaan ymmärtää moduulina kokonaislukujen renkaan yli . Lisäaineiden merkinnät ovat yleisiä vain abelilaisille ryhmille, kun taas ei-abelialaiset tai muut ryhmät kirjoitetaan useimmiten kerrannaisina.${\ displaystyle *}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {- 1}}$${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a + a + \ dotsb + a}$${\ displaystyle n \ cdot a}$${\ displaystyle 0 \ cdot a = 0}$${\ displaystyle (-n) \ cdot a = n \ cdot (-a)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Jos yhteys on selvä asiayhteydestä, kirjoitetaan usein vain ryhmälle . ${\ displaystyle G}$

Esimerkkejä

Seuraavassa on joitain esimerkkejä ryhmistä. Annetaan numeroryhmät , ryhmä, jossa on täsmälleen yksi elementti, ja esimerkkejä syklisistä ryhmistä . Muita esimerkkejä ryhmistä löytyy pienten (äärellisten) ryhmien luettelosta .

Numerosarjat

• Kokonaislukujoukko yhdessä lisäyksen kanssa muodostaa (abelin) ryhmän. Yhdessä kertolasku, kuitenkin , joukko kokonaislukuja ei ole ryhmä, (käänteinen elementti 2 olisi 1/2).
• Joukko rationaaliluvut tai joukko todellinen määrä yhdessä Lisäksi on ryhmä. Yhdessä kertolasku, määrät ja ovat myös ryhmiä.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

Triviaali ryhmä

Joukkoa, jossa on vain yksi elementti, voidaan tarkastella ryhmänä. Koska jokaisella ryhmällä on neutraali elementti, juuri tämä yksi elementti on sitten ymmärrettävä neutraaliksi elementiksi. Joten sitten pätee . Tämän tasa-arvon avulla voidaan todistaa myös jäljellä olevat ryhmän aksioomat. Ryhmää, jolla on täsmälleen yksi elementti, kutsutaan triviaaliksi ryhmäksi. ${\ displaystyle \ {e \}}$${\ displaystyle e * e = e}$

Sykliset ryhmät

Syklinen ryhmä on ryhmä, jonka elementit voidaan esittää yhden sen elementin voimana . Käyttämällä kerrannaismerkintää syklisen ryhmän elementit ovat

${\ displaystyle \ ldots, a ^ {- 3}, a ^ {- 2}, a ^ {- 1}, e = a ^ {0}, a, a ^ {2}, a ^ {3}, \ ldots}$,

missä tarkoittaa ja tarkoittaa ryhmän neutraalia elementtiä. Elementtiä kutsutaan ryhmän tuottajaksi tai primitiiviseksi juureksi . Lisäaineiden merkinnässä elementti on primitiivinen juuri, kun ryhmän elementit käyvät läpi ${\ displaystyle a ^ {- 2} = a ^ {- 1} \ cdot a ^ {- 1}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ ldots, -aa, -a, 0, a, a + a, \ ldots}$

voidaan edustaa.

Ykseyden kuudennet kompleksiset juuret voidaan ymmärtää syklisenä ryhmänä.

Esimerkiksi ensimmäisessä osassa tarkasteltu kokonaislukujen additiivinen ryhmä on syklinen ryhmä, jolla on primitiivinen juuri . Tässä ryhmässä on ääretön määrä elementtejä . Sen sijaan ykseyden n: nnen kompleksisen juuren multiplikatiivisella ryhmällä on lopullisesti monia elementtejä . Tämä ryhmä koostuu kaikista kompleksiluvuista, jotka muodostavat yhtälön ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle z ^ {n} = 1}$

täyttää. Alkuaineita voidaan visualisoida kuin nurkkiin säännöllisen n nurkkaan . Sillä tämä on tehty kaaviossa oikealla. Ryhmäoperaatio on kompleksilukujen kertolasku. Oikea kuva niin, että kertolasku vastaa pyörimisen monikulmio on vastapäivään järjestyksessä . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 6}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle 60 ^ {\ circ}}$

Syklisillä ryhmillä on ominaisuus määritellä selvästi niiden alkuaineiden lukumäärällä. Toisin sanoen kaksi syklistä ryhmää, joista jokaisella on elementtejä, ovat isomorfisia , joten näiden kahden ryhmän välillä voi esiintyä ryhmän isomorfismi . Erityisesti kaikki sykliset ryhmät, joissa on ääretön määrä elementtejä, vastaavat kokonaislukujen syklistä ryhmää . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$

Symmetriset ryhmät

Symmetrinen ryhmä koostuu kaikista permutaatioista (vaihdot) on -elementary asetettu . Ryhmäoperaatio on permutaatioiden koostumus (toteutus), neutraali elementti on identtinen kartoitus . Symmetrinen ryhmä on rajallinen ja siinä on järjestys . Se ei ole abelialainen. ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n \ geq 3}$

Ryhmän perusominaisuudet

• Ryhmän neutraali elementti on määritelty selkeästi. Nimittäin, jos ja ovat neutraaleja elementtejä, niin niiden on oltava, da on neutraali ja , da on neutraali. Joten se seuraa .${\ displaystyle e}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle e * f = f}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle e * f = e}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle e = f}$
• Lyhennesääntö pätee: Ryhmäelementeistä tai ryhmien kanssa seuraa . Voit nähdä tämän läpi ${\ displaystyle a * b = a * c}$${\ displaystyle b * a = c * a}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle b = c}$

  ${\ displaystyle a * b = a * c \; \ Rightarrow \; \ underbrace {\ left (a ^ {- 1} * a \ right)} _ {e} * b = \ underbrace {\ left (a ^ { -1} * a \ oikea)} _ {e} * c \; \ Leftightarrow \; e * b = e * c \; \ Leftightarrow \; b = c}$.

Tästä seuraa, että (äärellisen) ryhmän linkitystaulukko on latinankielinen neliö , jossa jokainen ryhmäelementti esiintyy täsmälleen kerran jokaisessa rivissä ja sarakkeessa.

• Yhtälö on aina ainutlaatuisesti ratkaistavissa ja ratkaisu on . Samoin on selkeä ratkaisu .${\ displaystyle a * x = b}$${\ displaystyle x = a ^ {- 1} * b}$${\ displaystyle x * a = b}$${\ displaystyle x = b * a ^ {- 1}}$
• Ryhmäelementtiin käänteinen elementti on määritelty selkeästi. Jos ja molemmat ovat käänteisiä, se seuraa:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {- 1}}$${\ displaystyle a '}$${\ displaystyle a ''}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a '= a' * \ underbrace {\ left (a * a '' \ right)} _ {e} = \ underbrace {\ left (a '* a \ right)} _ {e} * a' '= a' '\ Rightarrow a' = a ''}$

• Sitä sovelletaan ja .${\ displaystyle e ^ {- 1} = e}$${\ displaystyle \ vasen (a ^ {- 1} \ oikea) ^ {- 1} = a}$
• Seuraava koskee kaikkia elementtejä . Tämä seuraa yhtälöketjusta${\ displaystyle \ vasen (a * b \ oikea) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ left (a * b \ right) * \ left (b ^ {- 1} * a ^ {- 1} \ right) = a * \ underbrace {\ left (b * b ^ {- 1} \ oikea)} _ {e} * a ^ {- 1} = a * a ^ {- 1} = e}$.

Joten on liian käänteinen.${\ displaystyle b ^ {- 1} * a ^ {- 1}}$${\ displaystyle a * b}$

Ryhmähomorfismi

Ryhmähomorfismit ovat kuvia, jotka säilyttävät ryhmärakenteen . Kuva

${\ displaystyle \ varphi \ kaksoispiste G \ H}$

kahden ryhmän välillä ja sitä kutsutaan ryhmähomomorfismiksi tai lyhyesti homomorfismiksi, jos yhtälö ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$${\ displaystyle (H, *)}$

${\ displaystyle \ varphi (a \ cdot b) = \ varphi (a) * \ varphi (b)}$

koskee kaikkia elementtejä . Jos kartoitus on myös bijektiivinen , sitä kutsutaan ryhmän isomorfismiksi. Tässä tapauksessa ryhmät kutsutaan ja ovat isomorfisia toisilleen. ${\ displaystyle a, b \ G: ssä}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle (G, \ cdot)}$${\ displaystyle (H, *)}$

Kun ryhmähomomorfismi kuin morphisms The luokan kaikkien ryhmien muodostaa luokan , joka on yleensä kutsutaan Grp tai Gr .

Vastustava ryhmä

Jokaiselle ryhmälle lähtee vastakkainen ryhmä, joka muodostuu yhdistämällä operandit päinvastaisiin:${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (G ^ {\ mathrm {op}}, \ circ): = (G, \ circ)}$${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle a \ circ b: = b \ cdot a}$kaikille (sama perusmäärä ).${\ displaystyle a, b \ G: ssä}$ ${\ displaystyle G}$

Onko Abelian, niin on . ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {op}} = G}$

${\ displaystyle G}$on laskuri ryhmä laskurin tapauksessa ryhmän : . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (G ^ {\ mathrm {op}}) ^ {\ mathrm {op}} = G}$

Antihomomorphism kahden ryhmän välillä on homomorfismi vastaavasti . ${\ displaystyle G \ oikeanpuoleinen nuoli H}$${\ displaystyle G \ oikeanpuoleinen nuoli H ^ {\ mathrm {op}}}$${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {op}} \ oikealle nuolelle H}$

Tuotteet ryhmittäin

Ryhmäteoriassa tarkastellaan ryhmien eri tuotteita:

• Suora tuote saadaan karteesinen tuote kantaja määrät yhdessä komponentin viisasta linkki.

• Osittain suora tuote on yleistys suoraan tuotteen, jossa on yksi ryhmä, joka toimii toisella. Se voidaan toteuttaa myös sisäisenä puolisuorana tuotteena normaalin jakajan ja tietyn ryhmän alaryhmän välillä.

• Seppele tuote on erityinen osittain suoraan tuotteen.

• Monimutkainen tuote kahden alaryhmän tietyn ryhmälle annetaan yhdistämällä alaryhmä pareissa. Tämä tuote on yleisesti hyödyllinen ryhmän kahdelle alaryhmälle.

• Ilmainen tuote edustaa kategorisen yhteistyössä tuote kategoriassa ryhmien.

• Yhdistetyn tuote on yleistys vapaan tuotteen, jossa elementit yhteisen alaryhmän ovat fuusioituneet yhteen ( "yhdistettävä").

Yksittäiset todisteet

1. ↑ George G.Hall: Sovelletun ryhmän teoria . American Elsevier, New York 1967, s.1.
2. ^ Heinz-Wilhelm Alten : 4000 vuotta algebraa. Historia, kulttuurit, ihmiset . Springer, Berliini et ai. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , s. 358 . 
3. ^ Siegfried Bosch : Algebra . 6. painos. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4 , s.11 .
4. ↑ Tämä tarkoittaa, että kirjoitus ilman suluita on hyvin määritelty .${\ displaystyle a * b * c: = (a * b) * c}$
5. ↑ Ainutlaatuisuuden vaatimus on tarpeeton, koska määräyksestä seuraa: Jos neutraali elementti, niin on${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = f * e = e.}$
6. ↑ Ainutlaatuisuuden vaatimus on tarpeeton, koska määräyksestä seuraa: Jos elementti on liian käänteinen, niin${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b = b * e = b * (a * a ^ {- 1}) = (b * a) * a ^ {- 1} = e * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} .}$
7. ^ Siegfried Bosch: Lineaarinen algebra . 3. painos. Springer-oppikirja, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3 , s. 14 . 
8. ^ Siegfried Bosch: Algebra . 6. painos. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4 , s. 11-12.
9. ↑ Gerd Fischer : Algebran oppikirja . 1. painos. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2 , s.6 .
10. ^ Siegfried Bosch: Algebra . 6. painos. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4 , s.13 .
11. ^ Nicolas Bourbaki , Eléments de Mathématique , Algèbre , ch. I, § 4, nro 1; Pariisi, Hermann, 1970, s.29.
12. ↑ PlanetMath.org -ryhmä