aksioma

Selviö (kreikan ἀξίωμα Axioma "kysynnän tahdon; päätöksen periaatetta, Philos. (...) lause, joka ei vaadi todisteita", "arvostusta, tuomio, periaatteessa hyväksytty tosi") on periaate teoria , Science tai itsestään selvää järjestelmä , joka tässä järjestelmässä ei ole perusteltua eikä deduktiivisesti johdettu, vaan vapaaehtoisesti hyväksyä tai asettaa perustaksi.

Rajoitukset

Teoriassa, joka voidaan muodostaa, opinnäytetyö on ehdotus, joka on osoitettava. Aksiomi on toisaalta ehdotus, jonka ei oleteta todistuvan teoriassa, mutta joka oletetaan ilman todisteita. Jos valitut teorian aksioomat ovat loogisesti riippumattomia , mitään niistä ei voida johtaa muista. Tämän laskennan aksioomat voidaan aina johtaa muodollisen laskennan puitteissa . Muodollisessa tai syntaktisessa mielessä tämä on todiste ; Semanttisesta näkökulmasta se on pyöreä argumentti . Muuten seuraava pätee: "Jos johdanto perustuu laskennan aksiomeihin tai oikeisiin lauseisiin, puhutaan todisteesta."

Aksiomia käytetään lauseen vastakohtana (kapeammassa merkityksessä). Lauseet ja aksioomat ovat formalisoidun laskennan lauseita, jotka on kytketty johdannaissuhteilla. Lauseet ovat lauseita, jotka johdetaan aksiomeista muodollisten todisteiden avulla. Joskus termejä opinnäytetyö ja lause käytetään kuitenkin laajemmassa merkityksessä kaikkiin muodollisen järjestelmän päteviin ehdotuksiin, ts. H. yleisenä terminä, joka sisältää sekä aksioomat että lauseet alkuperäisessä mielessä.

Aksiomit voidaan siten ymmärtää koko teorian ehdoin , sikäli kuin ne voidaan ilmaista virallisessa laskennassa. Tulkitun virallisen kielen sisällä eri teoriat voidaan erottaa aksioomien valinnalla. Muodollisen logiikan tulkitsemattomien laskelmien kohdalla puhutaan teorioiden sijasta loogisista järjestelmistä, jotka ovat täysin määritettyjen aksiomien ja päättelysääntöjen avulla . Tämä relativoi käsitteen vähennyskelpoisuus tai todistettavuus: se on olemassa vain suhteessa tiettyyn järjestelmään. Aksioomat ja johdetut lauseet kuuluvat objektikielelle , säännöt metallikielelle .

Laskenta ei kuitenkaan välttämättä ole aksiomaattinen laskenta, joka siis koostuu "joukosta aksiomia ja pienimmistä mahdollisista päättelysäännöistä". Siellä on myös todiste- ja tabletti-kivejä .

Immanuel Kant kutsuu aksiomia "synteettisiksi periaatteiksi a priori, edellyttäen että ne ovat heti varmoja", ja tällä määritelmällä suljetaan ne pois filosofian alalta. Tämä perustuu käsitteisiin, joilla abstrakteina kuvina ei koskaan ole todisteita välittömän intuition kohteena. Siksi hän erottaa filosofian diskursiiviset periaatteet matematiikan intuitiivisista periaatteista: Ensimmäisten tulisi "olla tyytyväisiä perustelemaan auktoriteettinsa niiden perusteella perusteellisilla vähennyksillä", eivätkä ne siten a priori täytä kriteerejä.

Erot

Termillä aksioma on kolme perusmerkitystä. Hän kuvaa

  1. heti valaiseva periaatteessa - Classic (materiaalin) selviö käsite,
  2. luontolaki, joka voidaan postuloida periaatteeksi empiirisesti hyvin vahvistetuille säännöille - aksiomien tieteellinen (fyysinen) käsite,
  3. lähtöaineena lause, jonka oletetaan olevan voimassa on calculus virallisen kielen - moderni (muodollinen) käsite aksioomat .

Klassinen aksioomatermi

Classic aksiooma on jäljittää elementtejä geometrian Eukleides ja Analytican posteriora ja Aristoteles . Tässä näkemyksessä aksiomi tarkoittaa välittömästi valaisevaa periaatetta tai viittausta tällaiseen periaatteeseen. Aksioma tässä essentsialistisessa mielessä ei tarvitse mitään todisteita empiirisen todistuksensa vuoksi. Aksioomat nähtiin ehdottoman oikeina ehdotuksina olemassa olevista esineistä, jotka vastustavat näitä ehdotuksia objektiivisina todellisuuksina. Tämä merkitys oli vallalla 1800-luvulle saakka.

1800-luvun lopulla tapahtui ”narun katkaisu todellisuudesta”. Eri aksiomajärjestelmien systemaattisen tutkimuksen eri geometrioille ( euklidean , hyperbolisen , pallomaisen geometrian jne.), Jotka eivät kaikki pystyneet kuvaamaan todellista maailmaa, piti johtaa aksioomakonseptin ymmärtämiseen formalistisemmin ja aksiomien kokonaisuutena tavanomainen merkki määritelmien merkityksessä. Tienraivaajana kirjoitukset osoittivat David Hilbertin olevan aksiomaattinen, että empiirisistä tiedeistä saatu tuote postuloi todisteet täydellisyyden ja johdonmukaisuuden muodollisista kriteereistä . Vaihtoehtoinen tapa ymmärtää selviö järjestelmä ei siis ole pelkästään viitata todelliseen maailmaan, mutta seuraa ohjelmassa: Jos jokin rakenne täyttää aksioomat, niin se täyttää myös johdannaisena aksioomat (niin sanotut lauseet ). Tällaiset näkemykset voivat sijaita implicitismissä, deduktivismissa tai eliminoivassa strukturalismissa.

Aksiomatisoiduissa laskelmissa nykyaikaisen muodollisen logiikan merkityksessä voidaan jättää pois klassiset epistemologiset (todisteet, varmuus), ontologiset (viittaus ontologisesti perustavanlaatuisempiin asioihin) tai tavanomaiset (hyväksyntä tietyssä yhteydessä) kriteerit aksiomien merkitsemiseksi. Aksioomat eroavat vain muodollisesti lauseista siinä mielessä, että ne ovat tietyn laskennan loogisten päätelmien perusta. "Perus" ja " itsenäinen " periaatteena niitä ei voida johtaa muista aksiomajärjestelmän alkulauseista, eivätkä ne vaadi virallista todistusta a priori .

Tieteellinen aksioomakonsepti

Empiirisissä tieteissä aksioomat viittaavat myös moniin empiirisesti vahvistettuihin peruslakeihin. Newtonin mekaniikan aksiomit on annettu esimerkkinä .

Tieteelliset teoriat, erityisesti fysiikka, perustuvat myös aksioomiin. Näistä päätellään teorioita, joiden lauseet ja seuraukset ennustavat kokeiden lopputulosta . Jos teorian lausunnot ovat ristiriidassa kokeellisen havainnon kanssa, aksioomat mukautetaan. Esimerkiksi Newtonin aksiomit tarjoavat vain hyvät ennusteet "hitaille" ja "suurille" järjestelmille, ja ne on korvattu tai täydennetty erityisen suhteellisuusteorian ja kvanttimekaniikan aksiomeilla . Siitä huolimatta Newtonin aksiomia käytetään edelleen tällaisissa järjestelmissä, koska johtopäätökset ovat yksinkertaisempia ja tulokset riittävän tarkkoja useimmille sovelluksille.

Muodollinen aksioomakonsepti

Jota Hilbert muodollinen aksiooma termi oli hallitseva (1899): selviö on jokin unabgeleitete lausuma. Tämä on puhtaasti muodollinen laatu. Aksiooman todisteilla tai ontologisella tilalla ei ole merkitystä, ja ne jätetään erilliseen tulkintaan .

Aksiooma on niin perustavanlaatuinen maininta siitä, että

  • On osa virallista lausejärjestelmää,
  • hyväksytään ilman todisteita ja
  • josta kaikki muut aksioomat yhdessä järjestelmän ehdotusten (lauseiden) kanssa johdetaan loogisesti.

Joskus väitetään, että aksioomat ovat täysin mielivaltaisia ​​tässä ymmärryksessä: aksioma on "todistamaton ja siksi ymmärtämätön lause", koska onko aksioma oivallukseen perustuva ja siksi aluksi "ymmärrettävä", ei ole väliä. On totta, että aksiomi - joka liittyy teoriaan - on todistamaton. Mutta se ei tarkoita, että aksiooman on oltava todistamaton. Aksiooman laatu on suhteessa muodolliseen järjestelmään. Mikä on aksioma yhdessä tieteessä, voi olla lause toisessa.

Aksioomaa ymmärretään väärin vain siltä osin kuin sen totuutta ei ole muodollisesti todistettu, mutta oletettu. Nykyaikainen aksioomakäsite palvelee aksioomiomaisuuden irrottamisen todistusongelmasta, mutta se ei välttämättä tarkoita, ettei todisteita ole. Aksiomaattisen menetelmän määrittävä piirre on kuitenkin se, että lauseiden vähennyksessä tehdään johtopäätöksiä vain muodollisten sääntöjen perusteella ja että aksiomaattisten merkkien tulkintaa ei käytetä.

Kysymys siitä, onko olemassa (matemaattisia, loogisia, todellisia) objekteja, joihin aksiomajärjestelmää sovelletaan, ei aluksi kiinnosta, mutta se on suunnilleen sama kuin johdonmukaisuus. Tietenkin esimerkkiobjektit, joiden kanssa voidaan työskennellä menestyksekkäästi aksiomajärjestelmän kanssa, ovat päteviä todisteeksi tällaisten kohteiden olemassaolosta ja aksiomajärjestelmän johdonmukaisuudesta.

Esimerkkejä aksioomista

Perinteinen logiikka

Klassinen logiikka

Alkuperäinen muotoilu tulee naiivi joukko teorian Georg Cantor ja vain tuntui selkeästi ilmaista välisen yhteyden laajennus ja aikomus aikavälillä . Se oli suuri järkytys, kun kävi ilmi, että axiomatization jonka Gottlob Frege sitä ei voida lisätä ilman ristiriitaa muihin aksioomia, mutta antoi aihetta Russellin antinomy .

matematiikka

Aksioomat ovat matematiikan perusta.

Yleensä matematiikan termeillä, kuten luonnolliset luvut , monoidi , ryhmä , rengas , runko , Hilbert-tila , topologinen tila jne., On ominaista aksioomajärjestelmä. Yksi puhuu, esimerkiksi, on peanon aksioomat (ja luonnolliset luvut), ryhmä aksioomia , rengas aksioomia , jne. Joskus yksilölliset vaatimukset (mukaan lukien johtopäätökset) järjestelmässä kutsutaan myös oikeuden (esimerkiksi assosiatiivisia laki ).

Mainittujen esimerkkien erityinen aksiomajärjestelmä - luonnolliset luvut, joissa Peano-aksioomat on mahdollisesti suljettu pois (katso alla) - on ymmärrettävä määritelmänä . Jotta voidaan kohdistaa tietty matemaattinen kohde esimerkiksi monoidina (ja sitten päätellä lisää ominaisuuksia), on osoitettava (muiden aksiomien tai lauseiden avulla), että monoidin aksiomajärjestelmässä muotoillut vaatimukset koske kohdetta. Tärkeä esimerkki on toimintojen suorittaminen peräkkäin, joille assosiatiivisuuden todistus ei ole täysin triviaali. Jos tämä todiste on riittämätön jommallekummalle aksioomasta, kyseistä esinettä ei voida pitää monoidina. ( Todiste Fibonacci-kertolaskun assosiatiivisuudesta , joka palaa D. Knuthiin , on äärimmäisen vaikeaa .)

Tältä osin monet nimetyistä "aksiomajärjestelmistä" eivät ole lainkaan (ja ovat melkein vastakkaisia) perustavanlaatuisille lausunnoille , jotka " hyväksytään ilman todisteita" "pääteltyinä lausumina" .

  • Alalla aksioomat yhteydessä järjestely aksioomat ja täydellisyyden selviö määritellä todellinen määrä .
  • Axiom yhtäläisyyksiä : "Sillä jokainen suoraviivaisesti ja jokainen piste , joka ei ole tässä suoraviivaisesti, on tasan yksi suora viiva läpi tämän pisteen, joka on yhdensuuntainen sen suoran linjan." Tämä olettamus on Euklidinen geometria pidettiin aina vähemmän uskottava kuin toiset. Koska sen pätevyys on kyseenalaistettu, sitä on yritetty johtaa muista määritelmistä ja postulaateista. Geometrian aksiomatisoinnin aikana 1800-luvun vaihteessa kävi ilmi, että tällainen johtaminen ei ole mahdollista, koska se on loogisesti riippumaton muiden postulaattien aksiomatisaatiosta . Tämä avasi tien muiden kuin euklidisten geometrioiden tunnistamiseen .
  • Termi "todennäköisyys" on määritelty täsmällisesti implisiittisesti vuodesta 1933 lähtien Kolmogorowin perustaman aksiomajärjestelmän avulla . Tämä tarjosi ensimmäistä kertaa yhtenäisen teorian kaikille erilaisille stokastisille kouluille - ranskalaisille, saksalaisille, brittiläisille, frekvenssiläisille, bayesilaisille, todennäköisyysasiantuntijoille ja tilastotieteilijoille.

Vaikka on olemassa muita perusjärjestelmiä ( ensimmäisen asteen teorioita ), Peano-aksiomia käytetään useimmiten perustana laskettaessa luonnollisia lukuja ilman lisäviittauksia. Esimerkiksi:

fysiikka

Ehdotuksia tärkeiden osa-alueiden aksiomatisoimiseksi

Empiiristen tieteiden teoriat voidaan myös rekonstruoida "aksiomaattisesti" . Vuonna tieteenfilosofia kuitenkin olemassa erilaisia käsityksiä siitä, mitä se todella tarkoittaa ”axiomatize teoria”. Aksiomatisaatioita on ehdotettu eri fysikaalisille teorioille. Hans Reichenbach omistautui muun muassa. kolmessa monografiassa ehdotuksensa suhteellisuusteorian aksiomaattiseksi , jolloin Hilbert vaikutti häneen erityisen voimakkaasti. Jopa Alfred Robb ja Constantin Carathéodory tekivät Axiomatisierungsvorschlägen aikaisemmin erityisen relatiivisuusteorian . Sekä erityistä että yleistä suhteellisuusteoriaa varten on nyt suuri määrä aksiomatisointiyrityksiä, joista on keskusteltu tieteen ja fysiikan filosofiassa . Patrick Suppes ja muut ovat ehdottaneet paljon keskusteltu axiomatic jälleenrakentamiseen nykyaikaisessa mielessä on klassisen hiukkasen mekaniikka heidän Newtonisen muotoiluun, ja Georg Hamel , opiskelija Hilbert, ja Hans Hermes ovat jo esittäneet axiomatizations klassisen mekaniikan. Günther Ludwigin yritys on edelleen yksi suosituimmista ehdotuksista kvanttimekaniikan aksiomatisoimiseksi . Sillä itsestään selvää Kvanttikenttäteoria vastaan. a. Arthur Wightmanin muotoilu 1950-luvulta on tärkeä. Kosmologian alalla lähestymistavat aksiomatisointiin olivat muun muassa. Edward Arthur Milne oli erityisen vaikutusvaltainen. Aksiomatisointiehdotuksia on olemassa muun muassa klassiselle termodynamiikalle . esittäjä (t): Giles, Boyling, Jauch, Lieb ja Yngvason. Kaikille fysiikan teorioiden jotka toimivat todennäköisyyksillä, erityisesti tilastollinen mekaniikka , The axiomatization on todennäköisyyslaskutoimitusvalikko mukaan Kolmogorovin tuli tärkeä.

Kokeilun ja teorian suhde

Fysikaalisen teorian aksioomat eivät ole muodollisesti todistettavissa eivätkä nykyään yleisen näkemyksen mukaan suoraan ja kollektiivisesti todennettavissa tai väärennettävissä havaintojen avulla . Teorioiden ja niiden suhde kokeisiin ja siitä johtuvaan idioomiin, joka on erityisen yleistä epistemologisessa strukturalismissa , tietyn todellisuusteorian testit liittyvät yleensä lausuntoihin, joiden muoto on "tämä järjestelmä on klassinen hiukkasmekaniikka". Jos vastaava teoriakoe onnistuu, z. Jos annetaan esimerkiksi oikein mitattujen arvojen ennusteet, tämä tarkistus voi olla vahvistus siitä, että vastaava järjestelmä laskettiin oikein vastaavan teorian aiottuihin sovelluksiin, ja toistuvien vikojen sattuessa aiottujen sovellusten lukumäärä voidaan ja pitäisi vähentää vastaavilla järjestelmätyypeillä.

kirjallisuus

Artikkelit tietosanakirjoissa ja sanakirjoissa

Monografiat

  • Evandro Agazzi : Esittely ai problemi dell'assiomatica. Milano 1961.
  • Robert Blanché : Axiomatics. Routledge, Lontoo 1962.
  • Euclid : Elementit. Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 4. ulk. Painos. 2005.
  • David Hilbert ym.: Geometrian perusteet. Teubner 2002, ISBN 3-519-00237-X .
  • Árpád Szabó : Kreikan matematiikan alku. Oldenbourg 1969, ISBN 3-486-47201-1 .
  • Bochenski: Nykyaikaiset ajattelutavat. 10. painos. 1993, s. 73 ja sitä seuraavat.
  • Carnap: Johdanto symboliseen logiikkaan. 3. painos. 1968, s. 172 ja sitä seuraavat.
  • Hilbert / Ackermann: Teoreettisen logiikan perusteet. 6. painos. 1972, s.24.
  • Kutschera: Frege. 1989, s. 154 f.
  • Hermann Schüling: Aksiomaattisen menetelmän historia 1500-luvulla ja 1700-luvun alussa. Muutos tieteen ymmärtämisessä . [Filosofian historiaa koskevat tutkimukset ja materiaalit; 13]. Georg Olms, Hildesheim 1969.
  • Nagel, Newmann: Gödelin todiste. Julkaisussa: Meixner (toim.): Logiikan filosofia. 2003, s. 150 (169).
  • Tarski: Johdatus matemaattiseen logiikkaan. 5. painos. 1977, s. 126 ja sitä seuraavat.

nettilinkit

Wikisanakirja: Aksiomi  - selitykset merkityksille, sanan alkuperälle, synonyymeille, käännöksille

Yksittäiset todisteet

  1. ↑ Duden | Aksiomi | Oikeinkirjoitus, merkitys, määritelmä, alkuperä. Haettu 22. marraskuuta 2019 .
  2. ↑ Määrä, Hermann: Langenscheidts Large Dictionary Kreikan saksa, Berliini, 1979 (23. painos)
  3. ^ Peter Prechtl: Aksiomi . Julkaisussa: Helmut Glück (Toim.): Metzler Lexikon Sprache . JB Metzler Verlag GmbH, Stuttgart 2016, ISBN 978-3-476-02641-5 , s. 81 .
  4. ↑ opinnäytetyö . Julkaisussa: Regenbogen, Meyer: Filosofisten termien sanakirja. 2005.
  5. ↑ johdanto . Julkaisussa: Regenbogen, Meyer: Filosofisten termien sanakirja. 2005.
  6. ↑ Kuten Tarskissa: Johdatus matemaattiseen logiikkaan. 5. painos. (1977), s. 127.
  7. ↑ Vrt. Carnap: Johdatus symboliseen logiikkaan. 3. painos. (1968), s. 172.
  8. ↑ Joten z. B. Paul Ruppen: Johdatus muodolliseen logiikkaan. Oppimis- ja harjoituskirja muille kuin matemaatikoille. Peter Lang, Bern 1996, s. 125.
  9. B a b Bochenski: Nykyaikaiset ajattelutavat. 10. painos (1993), s. 79.
  10. ^ Bußmann: Kielitieteen sanasto . 3. painos, 2002, calculus.
  11. ↑ Immanuel Kant: Puhtaan järjen kritiikki . Julkaisussa: Benno Erdmann (Toim.): Preussin tiedeakatemian painos . nauha III . Georg Reimer, Berliini 1904, s. 480 f .
  12. ↑ Ulrich Felgner: Hilbertin "Geometrian perusteet" ja niiden asema peruskeskustelun historiassa . Julkaisussa: German Mathematicians Associationin vuosikertomus . nauha 115 , ei. 3 , 2014, s. 185-206 , doi : 10.1365 / s13291-013-0071-5 .
  13. ↑ vrt. B. Michael Potter: Aseta teoria ja sen filosofia. Kriittinen johdanto. Oxford University Press, Oxford / New York 2004, s.8.
  14. ↑ Vrt. Joseph Maria Bocheński : Nykyaikaiset ajattelutavat. 10. painos 1993, s. 78 f.
  15. ↑ Rainbow / Meyer: Filosofisten termien sanakirja (2005) / Axiom.
  16. ^ A b Seiffert: Tieteen teoria IV. 1997, alku.
  17. ↑ Seiffert: Tieteen teoria IV. 1997, aksiomi.
  18. ↑ Carnap: Johdatus symboliseen logiikkaan. 3. painos, 1968, s.174.
  19. ↑ Spree, vuonna: Rehfus: Lyhyt sanakirja filosofiaa. 2003, aksioma.
  20. ↑ Vrt. Tuolloin käyty keskustelun tilanne, Wolfgang Stegmüller : Tieteenfilosofian ja analyyttisen filosofian ongelmat ja tulokset, osa II: Teoria ja kokemus, toinen osa: Teoriorakenteet ja teoriadynamiikka. Springer, Berlin et ai., 2. painos, 1985, s. 34 ja sitä seuraavat.
  21. ↑ Vrt. Erityisesti H.Reichenbach: Relativistisen avaruus-aikateorian aksiomatia. Vieweg, Braunschweig 1924.
  22. ↑ Katso nykyajan keskustelupisteistä K. Brading, T. Ryckman: Hilbertin 'Fysiikan perusteet': Gravitaatio ja sähkömagneettisuus aksiomaattisessa menetelmässä. Julkaisussa: Modernin fysiikan historian ja filosofian tutkimukset 39. 2008, 102–53.
  23. ↑ Katso AA Rob: Avaruus ja aika. Cambridge University Press, Cambridge 1914.
  24. ↑ Vrt. C. Carathéodory: Suhteellisuusteorian aksiomaatikoista. Julkaisussa: Preussin tiedeakatemian kokousraportit. Fyysinen-matemaattinen luokka 5. 1924, 12–27.
  25. ↑ Katso JCC McKinsey, AC Sugar, P.Suppes: Axiomatic Fundations of Classical Particle Mechanics. Julkaisussa: Journal of Rational Mechanics and Analysis 2. 1953, s. 253-272. Tämä lähestymistapa on koottu hieman muunnellussa muodossa ja käsitelty julkaisussa Stegmüller, l. c., s. 106 ja sitä seuraavia.
  26. ↑ Vrt . G.Hamel: Mekaniikan aksiomit. Julkaisussa: H.Geiger, K.Scheel (Hrsg.): Handbuch der Physik, osa 5: Pisteiden ja jäykkien kappaleiden mekaniikka. Springer, Berliini 1927, s. 1-42.
  27. ↑ H. Hermes: axiomatization Yleisen mekaniikka. Tutkimus logiikasta, Uusi sarja 3, Hirzel, Leipzig 1938. Ders.: Mekaniikan aksiomatisaatiosta. Julkaisussa: L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski (Toim.): Axiomatic Method. Amsterdam 1959, s.282-290 ( archive.org ).
  28. F Vrt. G.Ludwig: Tulkinta termille "fysiikan teoria" ja kvanttimekaniikan Hilbert-avaruusrakenteen aksiomaattiselle perustalle mittauksen pääperiaatteiden avulla. Luennotiedotteet fysiikassa 4, Springer, Berliini 1970 ja Ders.: Aksiomaattinen perusta kvanttimekaniikalle. Vuosikerta 1/2, Springer, Berliini 1985/1987.
  29. ↑ Julkaistu vuonna 1964 julkaisussa A.Wightman, Ray Streater : PCT, Spin, Statistics and all that. BI University Pocket Book 1964 ( PCT, Spin, Statistics and all that. Benjamin, New York 1964.)
  30. ↑ Katso George Gale:  kosmologia: metodologiset keskustelut 1930- ja 1940-luvuilla. Julkaisussa: Edward N.Zalta (Toim.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  31. ↑ Katso R.Giles: Termodynamiikan matemaattiset perusteet. Pergamon, Oxford 1964.
  32. ↑ Katso JB Boyling: Aksiomaattinen lähestymistapa klassiseen termodynamiikkaan. Julkaisussa: Proceedings of the Royal Society of London 329. 1972, 35-71.
  33. ↑ Katso J. Jauch: Uusi tasapainotermodynamiikan perusta. Julkaisussa: Fysiikan perustukset 2. (1972), 327-332.
  34. ↑ Katso EH Lieb, J.Yngvason: Termodynamiikan toisen lain fysiikka ja matematiikka . Julkaisussa: Physics Reports 310.1999, 1-96.314.669, arxiv : cond-mat / 9708200 .
  35. ↑ Vrt. NA Kolmogorov: Todennäköisyyden peruskäsitteet. Springer, Berliini 1933. Johdatus nykyisiin todennäköisyyksien filosofisiin tulkintoihin ja Kolmogorovin perusteisiin: Alan Hájek:  Todennäköisyyden tulkinnat. Julkaisussa: Edward N.Zalta (Toim.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .; Thomas Hochkirchen: Todennäköisyysteorian ja sen kontekstien aksiomatisointi. Hilbertin kuudennesta ongelmasta Kolmogoroffin peruskäsitteisiin. Vandenhoeck ja Ruprecht, Göttingen 1999.