Todennäköisyysteoria
Todennäköisyyslaskennan ja todennäköisyyslaskenta tai todennäköisyyspohjaisiin , on matematiikan että vuodesta virallistaminen, mallintaminen ja analysointi satunnaisia tapahtumia syntynyt. Yhdessä matemaattisten tilastojen kanssa , jotka antavat lausuntoja taustamallista satunnaisten prosessien havaintojen perusteella, ne muodostavat stokastiikan matemaattisen osa-alueen .
Todennäköisyysteorian keskeisiä kohteita ovat satunnaiset tapahtumat , satunnaismuuttujat ja stokastiset prosessit .
Aksiomaattinen rakenne
Kuten jokainen haara modernin matematiikan, todennäköisyys teoria on muotoiltu joukko-opin ja perustuvat aksiomaattinen vaatimukset. Todennäköisyysteorian lähtökohta on tapahtumia , jotka ymmärretään joukkoina ja joille osoitetaan todennäköisyydet; Todennäköisyydet ovat reaalilukuja välillä 0 ja 1; tapahtumien todennäköisyyksien osoittamisen on täytettävä tietyt vähimmäisvaatimukset.
Nämä määritelmät eivät anna viitteitä siitä, miten yksittäisten tapahtumien todennäköisyydet määritetään; he eivät myöskään kerro mitään sattumasta ja todennäköisyydestä . Todennäköisyysteorian matemaattinen muotoilu on siten avoin erilaisille tulkinnoille, mutta sen tulokset ovat kuitenkin tarkkoja ja riippumattomia todennäköisyyden käsitteen ymmärtämisestä.
Määritelmät
Käsitteellisesti oletetaan satunnainen prosessi tai satunnainen koe matemaattisen harkinnan perustana . Kaikki tämän satunnaisen prosessin mahdolliset tulokset on yhteenveto tulosjoukossa . Usein ei kiinnosta ollenkaan tarkka tulos , vaan vain se, onko se tulosjoukon tietyssä osajoukossa, joka voidaan tulkita tarkoittavan tapahtuman tapahtumista vai ei. Joten tapahtuma on määritelty niin osajoukko on . Jos tapahtuma sisältää täsmälleen yhden tulosjoukon elementin, se on alkeistapahtuma . Yhdistetyt tapahtumat sisältävät useita tuloksia. Tulos on siis osa tulosjoukkoa, mutta tapahtuma on osajoukko.
Joten voit määrittää todennäköisyydet tapahtumiin mielekkäällä tavalla, ne luetellaan määrällistä järjestelmässä algebran tapahtumien tai tapahtuman järjestelmän päälle , joukon osajoukkoja , joille: Se sisältää sekä on σ-elin , d . Toisin sanoen se on suljettu liiton ja komplementinmuodostuksen asetettujen toimintojen suhteen (suhteessa suhteessa ) samaan tapaan kuin se on suljettu lukemattomasti monien joukkojen loputtomaan liittoon nähden. Todennäköisyydet ovat sitten kuvia tapahtumistilan tietystä kartoituksesta intervalliin [0,1]. Tällaista kartoitusta kutsutaan todennäköisyysmittariksi . Kolmoista kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi .
Kolmogorovin aksiomit
Todennäköisyysteorian aksiomaattisen perustan kehitti 1930-luvulla Andrei Kolmogorow . Todennäköisyysmittauksen on sen vuoksi täytettävä seuraavat kolme aksiomia:
Aksiomit:
- Kunkin tapahtuman todennäköisyys on todellinen numero välillä 0 ja 1: .
- Tietty tapahtuma on todennäköisyys 1: .
- Lukuisesti yhteensopimattomien tapahtumien yhdistämisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksittäisten tapahtumien todennäköisyyksien summa. Tapahtumia kutsutaan yhteensopimattomiksi, jos ne ovat erillään pareittain, ts. Jos ne ovat kaikille . Siksi se on totta . Tätä ominaisuutta kutsutaan myös σ-additiivisuudeksi .
Esimerkki: Osana fyysistä mallia todennäköisyysmittaria käytetään kuvaamaan kolikonheiton tulosta, mahdolliset tulokset ( kutsutaan tapahtumiksi ) voivat olla numeroita ja päitä .
- Sitten tulos asetetaan .
- Tehosarja voidaan valita tapahtumapaikkana .
- Aksiomien perusteella todennäköisyysmittauksessa on selvää:
Fyysiset lisäoletukset kolikon luonteesta voivat nyt johtaa valintaan .
Johtopäätökset
Aksioomista seuraa välittömästi joitain johtopäätöksiä:
1. additiivisuuteen todennäköisyyden epäjatkuvia tapahtumia seuraa, että vastatapahtuma (vasta-tapahtumat) täydentävät todennäköisyydet ( vastaan todennäköisyydet ) on: .
- Todiste: Se on myös . Näin ollen, mukaan selviö (3): ja sen jälkeen Ax (2): . Muuttuneen seuraavasti: .
2. Tästä seuraa, että mahdoton tapahtuma, tyhjä joukko , todennäköisyys nolla on: .
- Todiste: On , ja niin edelleen Axiom (3): . Tästä seuraa .
3. liitto ei tarvita erillisiä tapahtumia seuraavasti: .
- Todiste: Todistukseen tarvittavat määrät on esitetty yllä olevassa kuvassa. Joukko voidaan sitten esittää kolmen erillisen joukon yhdistelmänä:
- Mukaan (3) seuraa: .
- Toisaalta kohdan (3) mukaan molemmat
- yhtä hyvin kuin
- .
- Lisäyksen saannot:
- .
- Tulosten järjestäminen uudelleen .
- Siebformel Poincarén Sylvester yleistää tämä väite tapauksessa n eri (ei välttämättä erillisiä) osajoukot.
Lisäksi on erotettava toisistaan laskettavat ja laskemattomat tulosjoukot.
Laskettava tulosjoukko
Laskettavien tulosjoukkojen tapauksessa jokaiselle alkutapahtumalle voidaan antaa positiivinen todennäköisyys. Jos on äärellinen tai numeroituvasti ääretön, voidaan valita asetetulla teholla ja varten σ-algebran . Kaikkien luonnollisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on tässä 1.
Laskematon tulosjoukko
Lukemattoman tulosjoukon prototyyppi on reaalilukujoukko. Monissa malleissa ei ole mahdollista merkitä mielekkäästi todennäköisyyttä reaalilukujen kaikille osajoukoille. Tapahtumajärjestelmänä todellisten numeroiden tehojoukon sijasta valitaan yleensä Borel σ-algebra , joka on pienin σ-algebra, joka sisältää kaikki reaalilukujen välit elementteinä. Tämän σ-algebran elementtejä kutsutaan Borel-ryhmiksi tai myös ( Borel -) mitattaviksi. Jos todennäköisyys minkä tahansa Borel asetettu kuin kiinteä
voidaan kirjoittaa todennäköisyystiheyden yli, kutsutaan ehdottoman jatkuvaksi . Tässä tapauksessa (mutta ei vain tässä tapauksessa) kaikilla alkeistapahtumilla { x } on todennäköisyys 0. Absoluuttisen jatkuvan todennäköisyysmittauksen todennäköisyystiheys määritetään vain ainutlaatuisesti melkein kaikkialla, ts. e. niitä voidaan soveltaa mihin tahansa Lebesgue - null - joukkoon , joten Lebesgue - mitta 0: n määrää muutetaan muuttamatta. Jos on olemassa jakelutoiminnon ensimmäinen derivaatti , niin se on P: n todennäköisyystiheys. Todennäköisyystiheyden arvoja ei kuitenkaan tulkita todennäköisyyksinä.
Erityisominaisuudet erillisten todennäköisyystilojen tapauksessa
Laplace-kokeet
Jos oletetaan, että vain rajallinen määrä luonnollisia tapahtumia on mahdollista ja että kaikki ovat samanarvoisia, so. H. esiintyy samalla todennäköisyydellä (kuten heittäessäsi ihanteellista kolikkoa, jossa {hännät} ja {päät} todennäköisyys on 0,5), puhutaan Laplace-kokeesta . Tällöin todennäköisyydet voidaan laskea helposti: Oletetaan äärellinen tulosjoukko, jolla on kardinaali , ts. ts. sillä on elementtejä. Sitten jokaisen luonnon tapahtuman todennäköisyys on yksinkertainen .
- Todiste: Jos on, niin on luonnollisia tapahtumia . Sitten se on toisaalta ja toisaalta kaksi alkeistapahtumaa ovat disjoint (yhteensopimaton: jos yksi tapahtuu, toinen ei voi tapahtua). Joten ehdot aksiomalle (3) täyttyvät, ja meillä on:
- Koska sen oletetaan olevan toisaalta ja siksi järjestetty uudelleen: kuten väitetään.
Tästä seuraa, että tapahtumille, jotka koostuvat useista alkeellisista tapahtumista, sovelletaan vastaavaa moninkertaista todennäköisyyttä. Jos tapahtuma on voimakas , se on alkeistapahtumien liitto . Jokaisella näistä on todennäköisyys , niin on . Joten saat yksinkertaisen yhteyden
Laplace-kokeissa tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtumalle suotuisten lopputulosten määrä jaettuna mahdollisten lopputulosten kokonaismäärällä.
Seuraava on esimerkki noppien heittämisestä ihanteellisilla noppilla.
- ⚀⚁⚂⚃⚄⚅
- ⚄⚅
Tapahtuman = suuri luku (5 tai 6) todennäköisyys on 1/3.
Tyypillinen yritys Laplace on myös piirustus kortin peliä kortteja tai piirtämällä pallon peräisin uurnan kanssa palloja. Täällä jokaisella luonnon tapahtumalla on sama todennäköisyys. Kombinatorian menetelmiä käytetään usein alkutapahtumien määrän määrittämiseen Laplace-kokeissa .
Laplace-kokeiden käsite voidaan yleistää jatkuvan tasaisen jakauman tapaukseen .
Ehdollinen todennäköisyys
Ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys tapahtuman , edellyttäen, että toinen tapahtuma on jo tiedossa. Tietenkin sen on pystyttävä tapahtumaan, joten se ei voi olla mahdoton tapahtuma. Sitten tai harvemmin yksi kirjoituksia varten ”todennäköisyys olettaen ”, lyhyesti ” on , mikäli ”.
Esimerkki: Todennäköisyys piirtää sydänkortti Skat-arkista (tapahtuma ) on 1/4, koska kortteja on 32 ja niistä 8 on sydänkortteja. Sitten on . Vastatapahtuma on silloin timantteja, lapioita tai mailoja, ja siksi sillä on todennäköisyys .
Jos kuitenkin "Kortti on punainen" -tapahtuma on jo tapahtunut (sydän- tai timanttikortti on vedetty, mutta ei tiedetä, kumpi näistä kahdesta väristä), sinulla on vain valinta 16 punaisen kortin välillä, niin todennäköisyys on se, että se on sitten sydänlehti.
Tämä huomio kohdistui Laplace-kokeeseen. Varten yleisessä tapauksessa , ehdollinen todennäköisyys ” jos ” määritellään
Tämän määritelmän järkevyyden osoittaa se tosiasia, että tällä tavoin määritelty todennäköisyys tyydyttää Kolmogorovin aksiomit, jos rajoitetaan itseään uuteen tulosjoukkoon; d. ts. seuraavaa:
- Jos parit ovat irti, niin on
Todiste:
-
on niiden kahden todennäköisyyden osamäärä, joille aksioma (1) pätee ja . Koska mahdottoman tapahtuman ei ole tarkoitus olla, niin se onkin . Sama pätee myös osamäärään . Lisäksi ja ovat irti, ja heidän liittonsa on . Joten Axiom (3): . On , seuraa ja siksi .
- se on
- Lisäksi se johtaa:
- Tämä oli tarkoitus näyttää.
Esimerkki: Olkoon se tapahtuman "Sydänkortin piirtäminen" ja tapahtuman "Se on punainen kortti" yläpuolella . Sitten:
ja
Siten:
Ehdollisen todennäköisyyden määrittelystä seuraavat seuraavat seuraukset:
Yhdistelmän todennäköisyys (tapahtumien risteykset)
Kahden tapahtuman samanaikainen esiintyminen ja vastaa joukko-teoriassa yhdistetyn tapahtuman esiintymistä . Sen todennäköisyys lasketaan yhteisen todennäköisyyden tai yhteisen todennäköisyyden perusteella
Todiste: Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan toisaalta
ja toisaalta myös
Siirtyminen sitten antaa väitteen välittömästi.
Esimerkki: Kortti vedetään 32 kortista. olla tapahtuma: "On kuningas". olla tapahtuma: "Se on sydänkortti". Sitten samanaikainen esiintyminen ja siten tapahtuma: "Kortti on sydämen kuningas". Ilmeisesti se on . Lisäksi koska neljän kuninkaan joukossa on vain yksi sydänkortti. Todellakin, todennäköisyys on siis sydämen kuninkaalla.
Bayesin lause
Ehdollinen todennäköisyys ehto voi olla, että ehdollinen todennäköisyys sillä ehdolla , jonka
ilmaista jos yksi tietää koko todennäköisyydet ja ( Bayesin teoreema ).
Riippuvuus ja riippumattomuus tapahtumista
Tapahtumien sanotaan olevan toisistaan riippumattomia, jos yhden esiintyminen ei vaikuta toisen todennäköisyyteen. Päinvastaisessa tapauksessa niitä kutsutaan riippuvaisiksi. Yksi määrittelee:
- Kaksi tapahtumaa ja ovat riippumattomia, jos sovellettavissa.
- Epätarkka, mutta helposti muotoiltu: Itsenäisten tapahtumien tapauksessa todennäköisyydet voidaan kertoa.
Se, että tämä tekee oikeudenmukaisuuden termille "itsenäisyys", voidaan nähdä siirtymällä seuraavaan :
Tämä tarkoittaa: yhteensä todennäköisyys on yhtä suuri kuin todennäköisyys , edellyttäen , joten esiintyminen ei vaikuta .
Esimerkki: Yksi 32 kortista vedetään. olla tapahtuma "Se on sydänkortti". olla tapahtuma "Se on kuvakortti". Nämä tapahtumat ovat itsenäisiä, koska tieto siitä, että piirrät kuvakortin, ei vaikuta todennäköisyyteen, että se on sydänkortti (sydänkorttien osuus kuvakorteista on yhtä suuri kuin sydänkorttien osuus. ). Ilmeisesti on ja . on tapahtuma "Se on sydänkuvakortti". Koska niitä on kolme, on . Ja itse asiassa löydät sen .
Toinen esimerkki hyvin pienistä ja erittäin suurista todennäköisyyksistä löytyy Äärettömän apinan lauseesta .
Dimensioteorian näkökulma
Klassinen todennäköisyyslaskenta ottaa huomioon todennäköisyydet vain erillisissä todennäköisyysavaruudessa ja jatkuvissa malleissa, joissa on tiheysfunktioita. Nämä kaksi lähestymistapaa voidaan yhtenäistää ja yleistää nykyaikaisella todennäköisyysteorian muotoilulla, joka perustuu mitta- ja integraatioteorian käsitteisiin ja tuloksiin .
Todennäköisyyspaikat
Tässä näkymässä, todennäköisyysavaruus on toimenpide tila todennäköisyydellä toimenpide . Tämä tarkoittaa, että tulosjoukko on mielivaltainen joukko, tapahtuma-alue on σ-algebra, jossa on perusjoukko, ja on mitta, jonka avulla normalisoidaan.
Tärkeitä todennäköisyysvälien vakiotapauksia ovat:
- on laskettava joukko ja on tehosarja . Sitten jokainen todennäköisyys , jonka arvot määrittelevät yksilöllisesti yhden elementin osajoukoille ja kaikille tosi
- .
- on osajoukko ja on Borel σ-algebran päälle . Jos todennäköisyys toimenpide on täysin jatkuva suhteen Lebesguen mitta , sitten mukaan radonin-nikodymin lause se on Lebesgue tiheys , ts h., kaikki totta
- .
- Kääntäen tämä kaava määrittelee todennäköisyyden mittarin ei-negatiiviselle mitattavalle funktiolle, joka täyttää normalisointiehdot .
- on karteesinen tuote ja on tuote σ-algebran ja σ-algebroja päälle . Jos todennäköisyys toimenpiteet on annettu, niin tuote toimenpiteen määrittää todennäköisyys toimenpide, joka malleja riippumaton toteuttamista yksittäisten kokeiden yksi toisensa jälkeen.
Satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttuja on matemaattinen käsite määrälle, jonka arvo riippuu sattumasta. Alkaen maßtheoretischer kannalta se on mitattavissa funktio on todennäköisyys tila tulee mittaustilan , joka koostuu sarjasta ja σ-algebran päälle . Mitattavuus tarkoittaa sitä, että kaikille archetype on elementti σ-algebran . Jakauma on ei niin mikään muu kuin kuvakoko
- ,
joka indusoituu mittaustilassa ja tekee siitä todennäköisyysavaruuden .
Odotusarvo reaaliarvoinen satunnaismuuttuja keskiarvoistaa mahdolliset tulokset. Se voidaan määritellä abstraktisti kuin integraali on suhteessa todennäköisyys toimenpide :
- .
Todennäköisyysteoria ja tilastot
Todennäköisyysteoriaa ja matemaattista tilastoa kutsutaan yhdessä stokastiksi . Molemmat alueet liittyvät läheisesti toisiinsa:
- Tilastollisia jakaumia mallinnetaan säännöllisesti olettaen, että ne ovat satunnaisten prosessien tulosta.
- Tilastolliset menetelmät voivat antaa viitteitä todennäköisyysjakaumien käyttäytymisestä numeerisella tavalla.
käyttöalueet
Todennäköisyysteoria syntyi hylättyjen onnenpelien osuuksien oikeudenmukaisen jakautumisen ongelmasta . Muut varhaiset käyttötarkoitukset tulivat myös uhkapelien alueelta.
Nykyään todennäköisyysteoria on tilastojen perusta . Sovelletut tilastot käyttävät todennäköisyysteorian tuloksia tutkimustulosten analysointiin tai talousennusteiden tekemiseen.
Suuret fysiikan alueet, kuten termodynamiikka ja kvanttimekaniikka, käyttävät todennäköisyysteoriaa tulosten teoreettisessa kuvauksessa.
Se on myös perusta matemaattisille tieteenaloille, kuten luotettavuus-, uusiutumisteoria- ja jonoteoria sekä analyysityökalu näillä alueilla.
Todennäköisyysteorialla on keskeinen merkitys myös mallintunnistuksessa .
Todennäköisyysteoria koulussa
Todennäköisyysteoriaa opetetaan kaikentyyppisissä oppilaitoksissa matemaattisten oppituntien puitteissa erilaisista käyttöalueista ja jopa nuorten opiskelijoiden jokapäiväisestä merkityksestä. Vaikka ala-asteella on vielä kyse todennäköisyyslaskennan peruskäsitteiden tuntemisesta ja ensimmäisten satunnaiskokeiden arvioinnista niiden voittomahdollisuuksien suhteen, ala-asteen koulussa todennäköisyyden käsitettä tutkitaan yhä enemmän sen monimuotoisuudessa analyyttisesti ja yhä monimutkaisempia satunnaiskokeita tutkitaan. kiinnostuksen painopiste. Ylemmän keskiasteen tasolla aiempaa tietämystä laajennetaan sisältämään tiettyjä näkökohtia, kuten Bernoulli-ketjut, ehdollinen todennäköisyys ja Laplace-kokeet.
Katso myös
Kirjallisuus (valinta)
- Robert B. Ash : Todellinen analyysi ja todennäköisyys (= Todennäköisyys ja matemaattinen tilasto . Volyymi 11. ). Academic Press, Inc. , New York (et ai.) 1972, ISBN 0-12-065201-3 . MR0474442
- Krishna B.Atreya , Soumendra N.Lahiri : Mittaa teoria ja todennäköisyysteoria . Springer Verlag , New York 2006, ISBN 978-0-387-32903-1 . MR2247694
- Heinz Bauer : Todennäköisyysteoria ja mittausteorian perusteet . 4. painos. de Gruyter , Berliini 1991, ISBN 3-11-012191-3 .
- Heinz Bauer: Todennäköisyysteoria . Viides, uudistettu ja parannettu painos. de Gruyter, Berliini, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 . MR1902050
- Kai Lai Chung : Todennäköisyysteorian kurssi . Academic Press, San Diego (et ai.) 2001, ISBN 0-12-174151-6 . MR1796326
- Bruno de Finetti : Todennäköisyysteoria . Johdanto synteesi kriittisellä liitteellä. 4. painos. R. Oldenbourg Verlag , München (muun muassa) 1981, ISBN 3-486-44701-7 . MR0742141
- Harald Cramér : Tilastojen matemaattiset menetelmät (= Princeton Mathematical Series ). 11. painos. Princeton University Press , Princeton 1966.
- Richard M. Dudley : Todellinen analyysi ja todennäköisyys (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics . Volume 74 ). Cambridge University Press , Cambridge 2002, ISBN 0-521-00754-2 . MR1932358
- P. Gänssler , W. Stute : Todennäköisyysteoria (= yliopistoteksti . Nide 91 ). Springer Verlag, Berliini Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5 . MR0501219
- Marek Fisz : Todennäköisyyksien laskeminen ja matemaattiset tilastot (= yliopiston matematiikan kirjat . Volyymi 40 ). 8. painos. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , Berliini 1976.
- Boris Vladimirovich Gnedenko : Todennäköisyysteorian oppikirja . Verlag Harri Deutsch , Thun, Frankfurt am Main 1997, ISBN 3-8171-1531-8 .
- Hans-Otto Georgii : Stokastiikka . Johdanto todennäköisyysteoriaan ja tilastoihin. 5. painos. de Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-035969-5 .
- J. Hoffmann-Jørgensen : Todennäköisyys näkymällä tilastoihin . Volume I (= Chapman & Hall todennäköisyys Series . Äänenvoimakkuus 91 ). Chapman ja Hall , New York 1994, ISBN 0-412-05221-0 . MR1278485
- Achim Klenke : Todennäköisyysteoria . Kolmas, tarkistettu ja täydennetty painos. Springer Spectrum , Berliini, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-36018-6 .
- Oleg Klesov : Limit teoreemojen Multi-indeksoitu summia Satunnaismuuttujat . Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, Lontoo 2014, ISBN 978-3-662-44387-3 , doi : 10.1007 / 978-3-662-44388-0 . MR3244237
- A. Kolmogoroff : Todennäköisyyden laskennan peruskäsitteet . Uusintapainoksia (= tuloksia matematiikan ja sen raja-alueilla . Volume 3 ). Springer Verlag, Berliini, Heidelberg, New York 1973, ISBN 3-540-06110-X . MR0494348
- A. Kolmogoroff: Tietoja summista sattumalta tietyistä itsenäisistä määristä . Julkaisussa: Mathematical Annals . nauha 99 , 1928, s. 309-319 , doi : 10.1007 / BF01459098 . MR1512588
- AJ Khintchine ja AN Kolmogoroff: Sarjojen lähentymisestä, jonka ehdot määritetään sattumalta . Julkaisussa: Recueil mathématique de la Société mathématique de Moscou [Matematicheskii Sbornik] . nauha 32 , 1925, s. 668-677 .
- Ulrich Krengel : Johdanto todennäköisyysteoriaan ja tilastoihin . Opinnot, ammatillinen harjoittelu ja opetus (= Vieweg Studium: matematiikan jatkokurssi ). 8. laajennettu painos. Vieweg , Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5 .
- Norbert Kusolitsch : Mittaa ja todennäköisyysteoria . Johdanto (= Springer-oppikirja ). 2., uudistettu ja laajennettu painos. Springer-Verlag, Berliini, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , doi : 10.1007 / 978-3-322-96418-2 .
- RG Laha , VK Rohatgi : Todennäköisyysteoria (= Wiley-sarja todennäköisyys- ja matemaattisissa tilastoissa ). John Wiley & Sons , New York (et ai.) 1979, ISBN 0-471-03262-X . MR0534143
- Michel Ledoux , Michel Talagrand : Todennäköisyys Banach Spacesissa . Isoperimetry ja prosessit (= tuloksia matematiikan ja sen raja-alueilla (3. osa) . Äänenvoimakkuus 23 ). Springer Verlag, Berliini (muun muassa) 1991, ISBN 3-540-52013-9 . MR1102015
- Richard von Mises : Todennäköisyys, tilastot ja totuus . Uusintapainos vuoden 1957 englanninkielisestä painoksesta. Dover Publications, Inc. , New York 1981, ISBN 0-486-24214-5 . MR0668875
- Jacques Neveu : Todennäköisyysteorian matemaattinen perusta . Kääntäjä ranskasta Karl Bosch . R. Oldenbourg Verlag, München, Wien 1969. MR0245056
- Alfréd Rényi : Todennäköisyysteoria . Liitteenä informaatioteoria (= yliopiston matematiikkakirjat . Nide 54 ). 5. painos. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berliini 1977. MR0474442
- AN Širjaev : Todennäköisyys (= yliopiston matematiikkakirjat . Volyymi 91 ). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berliini 1988, ISBN 3-326-00195-9 . MR0967761
- Vladimir Spokoiny , Thorsten Dickhaus : Nykyaikaisen matemaattisen tilastotieteen perusteet (= Springer-tekstit tilastoissa ). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, Lontoo 2015, ISBN 978-3-642-39908-4 . MR3289985
- JV Uspensky : Johdatus matemaattiseen todennäköisyyteen . MacGraw-Hill Book Company, Inc. , New York, Lontoo 1937.
- NN Vakhania , VI Tarieladze , SA Chobanyan : jakaumat on Banach spaces (= Matematiikan ja sen sovellusten (Soviet sarja) . Äänenvoimakkuus 14 ). Reidel Publishing Company , Dordrecht, Boston, Lancaster, Tokio 1987, ISBN 90-277-2496-2 .
- Walter Vogel : Todennäköisyysteoria (= Studia Mathematica . Volume XXII ). Vandenhoeck & Ruprecht , Göttingen 1970. MR0286145
nettilinkit
Yksittäiset todisteet
- ↑ https://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/primarstufe/mathematik
- ↑ https://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/sekundarstufe-i/mathematik
- ↑ https://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/gymnasiale-oberstufe-12