Matematiikan osa-alueet
Tämän artikkelin tarkoituksena on antaa yleiskatsaus matematiikan osa-alueista .
Matematiikan ominaispiirre on läheinen yhteys sen osa-alueiden välillä, mikä näkyy monissa, usein yllättävissä ristikytkentöissä ja joka asettaa rajat kaikille järjestelmille.
Kirjastoissa ja päiväkirjoissa käytetään erilaisia matemaattisten aiheiden luokituksia; yleisimmin käytetty on matematiikan aiheluokitus .
Katsaus matematiikan ydinalueisiin
Seuraava perustuu karkeasti Bourbakin Éléments de Mathématiqueen .
Logiikka ja joukko-teoria
Matematiikka on aina tarvinnut logiikkaa , mutta sen perustietojen käsitteleminen kesti kauan.
Asetettu teoria muutti tämän. Tämä oli kehittynyt huolesta topologiasta , tarkemmin sanottuna äärettömyyden paradoksista ( Bernard Bolzano ), kun joku koki heidät reaalilukujen käsittelyssä . Kun äärettömät joukot oli hallittu joukko-teorian avulla, tämä oli samalla uuden matematiikan syntymäaika, joka oli vapautunut itsestään lukujen ja geometristen rakenteiden säännöstä. Ihmiset eivät halunneet enää ajautua pois "asetetun teorian paratiisista" ( David Hilbert ).
Kun niin kutsuttu naiivi joukko-teoria osoittautui kestämättömäksi, matemaattisen logiikan kenttä yhtäkkiä sai kiinnostuksen, jonka Leibniz ja Frege olivat kieltäytyneet , ja se kukoisti nopeasti. Logiikan virallistaminen palvelee yksittäisten todistusvaiheiden eristämistä ja todisteiden täydellistä esittämistä perustoimintojen sekvensseinä, jotta niitä voidaan sitten tutkia matemaattisilla (esimerkiksi aritmeettisilla ) keinoilla ( Gödel ). Aksiomaattisia teorioita tarkasteltaessa kiinnostaa niiden johdonmukainen rakenne ja suhde toisiinsa.
Samaan aikaan matematiikassa ja sen ulkopuolella on syntynyt useita osa-alueita ja sovelluksia, mukaan lukien tietojenkäsittelytieteet ja todistusjärjestelmät .
Joukko-oppi on nyt täydennetty kuin kielenä matematiikan luokan teoriassa , joka kehittyi algebraic topology vuonna 1940 .
algebra
Nykyaikaisessa algebrassa, kuten sitä on opetettu 1920-luvulta lähtien, kaikkialla esiintyvien monoidien , ryhmien , renkaiden ja kiintoaineiden algebrallisia perusrakenteita kehitetään peräkkäin alkaen joukosta, jolla on vain yksi sisäinen toiminto ( magma ). , koska eri numerojoukoilla on tällaiset rakenteet. Polynomit ja moduulit / ihanteet liittyvät läheisesti tähän .
Lineaarialgebraa on moduuleja objektina. Yksinkertaisimmassa tapauksessa nämä ovat vektoritiloja , ts. H. Rungot, enimmäkseen tai . Nämä ovat klassisen geometrian ja analyysin tilat . Mutta on myös paljon monimutkaisempia tilanteita. Usean muuttujan algebra ulottuu tutkimuksen aikana tensoritulo ja siihen liittyviä ilmiöitä. On läheinen yhteys renkaan teoriaan ja homologiseen algebraan ; klassinen kysymys on muuttumaton teoria .
Galois teoria on yksi kohokohdista matematiikan 19th century ja alussa alalla teoriassa. Alkaen kysymys ratkeavuutta ja algebrallisia yhtälöitä , hän tutkii kehon laajennukset (ja näin keksii ryhmä teoria ).
- Muita alueita: edustusteoria , ryhmateoria , kommutatiivinen algebra , ristikkoteoria , universaali algebra
Analyysi
Analyysi tarkastelee differentioituva kuvaukset välillä topologinen avaruus, mistä useita kenttiä ja jopa pakosarjat ja Hilbert tilat (ja sen jälkeen). Se oli ja on edelleen 1600- ja 1700-lukujen luonnontieteiden matematiikka.
Painopiste analyysi on äärettömän pieni hammaskivi : Tällä differentiaalilaskenta kuvaa funktio pieni avulla on johdannainen ; Kääntäen, integraalilaskentaa ja teorian differentiaaliyhtälöiden avulla on mahdollista päätellä funktion derivaatta.
Algebrallisesti määritellyn järkevä toimintoja on täydennetty eksponentiaalifunktiolla ja sen sukulaiset ja monet muut erikoistoimintoja antanut jonka differentiaaliyhtälöistä ja potenssisarjat .
Jos tarkastellaan funktioita, jotka edustavat kompleksilukukenttää itsessään, syntyy monimutkaisen monimutkaisuuden vaatimus , jolla on kauaskantoisia seurauksia. Tällaiset toiminnot ovat aina analyyttisiä ; H. voidaan edustaa pienillä alueilla tehosarjoilla . Heidän tutkimustaan kutsutaan toimintateoriaksi ; se on yksi 1800-luvun suurimmista saavutuksista.
Kuinka maapinta voidaan kuvata kappaleittain tai, kuten sanotaan, paikallisesti tasokartoilla, jakotukit määritellään Hausdorff-tiloiksi yhdessä yhteensopivien karttojen atlasen kanssa, joka kuvaa kunkin pisteen ympäristöä tietyssä mallitilassa. Joitakin lisäoletuksia kartoista voidaan tehdä analyysi jakotukista. Nykyään Cartanin differentiaalimuotoinen laskenta on perusta analyyttisten käsitteiden siirtämiselle jakotukkeihin; On tärkeää määritellä uudet termit luonnostaan, ts. Riippumatta siitä, mitä karttoja niiden toteuttamiseen käytetään. Tämä voidaan tehdä suurelle osalle termejä, vaikka se ei ole aina helppoa ja johtaa moniin uusiin käsitteisiin. Yksi esimerkki on Stokesin lause , joka yleistää analyysin perustavan teeman . Tällä teorialla on tärkeä rooli erilaisessa kuvassa, kuten vektorianalyysi ja Ricci-laskenta fysiikassa. Erilaiset jakotukit ovat myös topologian aihe (vrt. De Rham -kohomologia ja differentiaalinen topologia ); ylimääräisiä rakenteita, muun muassa Riemannin jakotukit ovat aiheena differentiaaligeometriaan .
Ikivanhasta mitta- ja painokysymyksestä mittausteoria syntyi vasta 1900-luvun alussa sisällyttämällä siihen topologiset termit , jotka ovat nykyisen, erittäin voimakkaan integraalitermin ja sen sovellusten, mutta myös todennäköisyyden laskennan perustana. .
Noin samaan aikaan integraali- ja differentiaaliyhtälöiden tutkimus kehittyi funktionaaliseksi analyysiksi funktiotilojen ja niiden kartoitusten ( operaattoreiden ) tutkimiseksi. Ensimmäiset esimerkit tällaisista huoneista olivat Hilbert- ja Banach- huoneet . Ne osoittautuivat tutkittaviksi algebrallisilla ja topologisilla välineillä, ja täältä syntyi laaja teoria.
- Muut alueet: tavalliset differentiaaliyhtälöt , osittaiset differentiaaliyhtälöt , monimutkainen analyysi , operaattorin algebrat , globaali analyysi
topologia
Topologia on laaja ja perustava ala, jolla on monia käyttötarkoituksia. Ääni tuli analyyseistä ( reaaliluvut ), varhaisesta algebrallisesta topologiasta ja funktioteoriasta ( Riemannin pinnat ).
Ensin esitellään topologisten tilojen luokka ja menettelyt niiden rakentamiseksi. Läheiset toisiinsa liittyvät termit ovat yhteys , jatkuvuus ja raja-arvo . Muita tärkeitä kysymyksiä ovat erotusominaisuudet ja kompakti . Yhtenäisillä tiloilla on topologia, joka ( metristen tilojen yleistämisessä ) määritetään etäisyyden tyypillä. Tässä voidaan määritellä Cauchy-suodattimet ja siten täydellisyyden käsite ja menetelmä topologisen tilan täydentämiseksi .
Topologiset ryhmät , renkaat ja kiinteät aineet ovat vastaavia algebrallisia objekteja (katso yllä), joille on lisäksi järjestetty topologia, jonka suhteen linkit (ts. Renkaiden ja kiinteiden aineiden yhteenlasku ja kertolasku) ovat jatkuvia. Historiallisesti ja käytännöllisesti tärkeä esimerkki ovat reaaliluvut : ne muodostetaan täydentämällä rationaaliluvut normaalimäärästä tulevaan topologiaan nähden. Niin sanottu p-adic-määrä voidaan kuitenkin ottaa käyttöön myös kiinteälle alkuluvulle p, mikä johtaa p-adic-numeroiden kenttien täydentämiseen . Esimerkiksi numeroteoria on kiinnostunut tästä .
Metriset huoneet ovat yhtenäisiä huoneita, joiden topologia on johdettu metristä, ja ovat siksi erityisen selkeitä ja selkeitä. Tunnetaan myös monia muita huoneluokkia.
Topologiset vektoritilat ovat perustavanlaatuisia sovelluksissa analyysissä ja toiminnallisessa analyysissä . Paikallisesti kuperat tilat (ja niiden kaksoistilat ), joista on olemassa mukava teoria, jolla on tärkeät tulokset, ovat erityisen mielenkiintoisia .
- Muita alueita: Algebrallinen topologia
Muut aakkosjärjestyksessä olevat alueet
Algebrallinen geometria
Algebrallinen geometria on erittäin aktiivinen alue, joka syntyi kartion osien tutkimuksesta ja jolla on lähin suhde kommutatiiviseen algebraan ja lukuteoriaan . Vanhemman teorian aihe on algebralliset lajikkeet vuoteen 1950 asti ; H. Ratkaisu sarjaa algebrallinen järjestelmien yhtälöt Affiininen tai projektiivinen (kompleksi) tilaa puolestaan vahva yleistys kysymyksiin ja menetelmät on tapahtunut.
Algebrallinen topologia ja differentiaalinen topologia
Algebrallinen topologia syntyi ongelma luokittelussa topologinen avaruus . Taustalla olevat kysymykset olivat usein hyvin spesifisiä: vapaa-aika (Königsbergerin sillan ongelma , Leonhard Euler ), sähköverkot, analyyttisten toimintojen käyttäytyminen ja differentiaaliyhtälöt laajamittaisesti ( Riemann , Poincaré ). Emmy Noetherin ehdotuksesta tuli tärkeä tutkia taustalla olevia algebrallisia objekteja numeeristen invarianttien ( ulottuvuus , Betti-luvut ) sijaan. Nyt hyvin laaja alue voidaan kuvata enemmän kärjistäen kuin tutkinnan functors välillä topologinen algebraic luokkia .
Ero topologia on topologia (differentiable) pakosarjat . Nyt jakotukki näyttää paikallisesti kaikkialla kuin mallitila ; Jotta niitä voidaan tutkia ollenkaan, otetaan käyttöön lisärakenteita, mutta ne ovat vain instrumentaalisesti kiinnostavia.
Edustusteoria
Esitysteoria tutkittiin algebrallinen esineitä, kuten ryhmät , algebrat tai Lie algebras , esittämällä elementit lineaarinen kuvia vektoriavaruudet. Jos sinulla on riittävä määrä tällaisia esityksiä objektille, he voivat kuvata sen kokonaan. Lisäksi esitysjoukon rakenne heijastaa itse esineiden ominaisuuksia.
Differentiaaligeometria
Ero geometria tutkitaan geometrisia kohteita, kuten käyriä tai pinnoista menetelmiä käyttäen ero hammaskiven . Perustyö palaa Carl Friedrich Gaußiin . Riemannin geometrian osa-alue vaaditaan yleisen suhteellisuusteorian muotoilemiseksi .
Diskreetti matematiikka
On diskreetti matematiikka , äärellinen tai numeroituvasti ääretön rakenteita tutkitaan. Tämä vaikuttaa moniin matematiikan alueisiin, mukaan lukien kombinatorika , lukuteoria , koodausteoria , joukko-teoria , tilastot , graafiteoria , peliteoria ja kryptografia .
Kokeellinen matematiikka
Kokeellinen Matematiikka on tieteenala välillä klassisen matematiikan ja numeerisia matematiikka .
Toiminnallinen analyysi
Toiminnallinen analyysi koskee tutkimuksen topologinen vektorin tilojen , kuten Banach ja Hilbert tilat , samoin kuin ominaisuudet toiminnallisia ja operaattoreiden näistä vektoriavaruudet . Toiminnallinen analyysi on vaikuttanut merkittävästi kvanttimekaniikan matemaattiseen muotoiluun operaattoreiden kanssa .
Geomatematiikka
Termiä geomatematiikka käytetään nykyään yhteenvetona niistä matemaattisista menetelmistä, joita käytetään geofysikaalisten tai geoteknisten määrien määrittämiseen. Koska satelliittien mittaamia tietoja arvioidaan enimmäkseen, on kehitettävä menetelmiä, jotka soveltuvat käänteisongelmien ratkaisemiseen.
geometria
Historiallisesti euklidinen geometria oli ensimmäinen esimerkki aksiomaattisesta teoriasta, vaikka Hilbert ei pystynyt suorittamaan tätä aksiomatisointia vasta 1900-luvun vaihteessa. Kun Descartes oli asettanut ohjelman geometristen ongelmien algebraizointiin , he löysivät uuden kiinnostuksen ja kehittyivät algebralliseen geometriaan. 1800-luvulla kehitettiin ei-euklidista geometriaa ja differentiaaligeometriaa. Suuri osa klassisesta geometriasta tutkitaan nyt algebrassa tai topologiassa. Synteettinen geometria edelleen tutkia klassisen aksioomat geometrian moderneilla menetelmillä.
Ryhmäteoria
Ryhmäteoria , alkunsa matemaattinen kurinalaisuutta 19th century, on edelläkävijä modernin matematiikan, koska se. Erottamisen edustuksen (esimerkiksi todelliset luvut) sisäisestä rakenteesta on (lait ryhmille)
Kommutatiivinen algebra
Kommutatiivinen algebra on kommutatiivisten renkaiden ja niiden yläpuolella olevien moduulien algebra. Se on algebrallisen geometrian paikallinen vastine, samanlainen kuin analyysin ja differentiaaligeometrian suhde.
Monimutkainen analyysi
Vaikka useiden muuttujien todellisten toimintojen tutkiminen ei ole iso ongelma, monimutkaisessa tapauksessa se on täysin erilainen. Vastaavasti useiden muuttujien toimintateoria tai monimutkainen analyysi , kuten sanotaan tänään, kehittyi vain hyvin hitaasti. Tämä alue on kehittynyt vasta 1940-luvulta lähtien, lähinnä Henri Cartanin ja Heinrich Behnken koulujen avustuksella Pariisissa ja Münsterissä.
Valheiden ryhmät
Lie-ryhmät kuvaavat tyypillisiä geometrian ja fysiikan symmetrioita. Toisin kuin "paljaat" ryhmät, niillä on topologinen rakenne (tarkemmin sanottuna: ne ovat moninaisia ) ja ne mahdollistavat jatkuvien muunnosten kuvaamisen, esimerkiksi rotaatiot tai käännökset muodostavat sellaisen ryhmän.
numeerinen matematiikka
Numeerinen analyysi on suunniteltu ja analysoitiin algoritmeja ratkaista jatkuvasti ongelmia matematiikan. Vaikka algoritmit oli alun perin tarkoitettu manuaalisiin laskelmiin, nykyään tietokoneita käytetään. Tärkeitä työkaluja ovat lähentämisteoria , lineaarinen algebra ja toiminnallinen analyysi . Ennen kaikkea tehokkuuskysymyksillä on merkitys, ja myös laskennassa esiintyvät virheet on otettava huomioon.
Matematiikan filosofia
Matematiikan filosofia, puolestaan kysymyksiä menetelmiä matematiikan.
Stokastiikka
Alkuja on jo antiikin ajoissa. Tämä alue kehittyi ensin ja pitkään vakuutusmatemaattisesta matematiikasta , v. a. ruokitaan myös uhkapeliteorian erityistapauksesta . Yksi erottaa:
- Todennäköisyysteoria (todennäköisyyden laskenta) stokastisten kokeiden teoriana. Tavoitteena on määrittää satunnaismuuttujien jakauma tietylle kokeelle ja tehdä ennusteita tulevista tapahtumista. Moderni todennäköisyysteoria on ollut tärkeä mittausteorian sovellus Andrei Kolmogorovin työstä lähtien .
- Tämän perusteella matemaattiset tilastot , jotka kokeen puutteellisella tuntemuksella haluavat päätellä taustalla olevan jakauman tietyistä tuloksista (näyte). Painopiste on kahdessa kysymyksessä:
- Parametrien määrittäminen (estimointiteoria)
- Tapausten luokittelu (ratkaisuteoria)
- Tällöin nämä tehtävät esitetään optimointiongelmina, mikä on ominaista tilastoille.
- Muut alueet: ergodinen teoria , tilastomekaniikka , informaatioteoria , operaatiotutkimus
Numeroteoria
Vanha aihe, joka kukoisti muinaisina aikoina ja jonka lähtökohtana ovat luonnollisten lukujen yllättävät ominaisuudet (kutsutaan myös aritmeettisiksi ). Ensimmäinen kysymys on jaettavuus ja ensisijaisuus . Monet matematiikkapelit kuuluvat myös tähän. Monet numeroteorian lauseet on helppo muotoilla, mutta vaikea todistaa.
Vuonna nykyaikana , lukuteoria tapasi ensin uudistettu ja tulevaisuuteen kiinnostusta in Fermat . Gauss ' Disquisitiones Arithmeticae huipentui vuonna 1801 ja kiihdyttänyt tutkimusta. Nykyään on mukaan käytetyt resurssit alkeis analyyttistä , algebrallinen , geometriset ja algoritminen lukuteoria liittyy. Numeroteoriaa pidettiin pitkään (käytännöllisesti katsoen) täysin hyödyttömänä, kunnes se yhtäkkiä tuli kiinnostuksen kohteeksi epäsymmetrisen salauksen kehittämisen myötä .
kirjallisuus
- Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner : 12 × 12 avainkäsitettä matematiikassa. Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2297-2 .
