aritmeettinen

Aritmeettinen (kohteesta kreikkalainen ἀριθμός Arithmos , " numero ", johdettu adjektiivi ἀριθμητικός arithmētikós "laskentaa varten tai laskemiseksi, jotka kuuluvat" ja τέχνη Techne , " Art ", kirjaimellisesti "assosioituneet laskentaa tai laskettaessa Art"), on osa-alue matematiikasta . Se sisältää laskemisen numeroilla, erityisesti luonnollisilla numeroilla . Se käsittelee aritmeettisia perustoimintoja , eli yhteenlaskua (laskenta ylös), vähennys (vähennys), kertolaskua(Kerro), jako (jaa) ja niihin liittyvät laskentalait ( matemaattiset operaattorit tai laskurit ). Aritmetiikka sisältää myös jakautumisteorian kokonaislukujen jaottavuuden ja lopun jakamisen lakien kanssa. Aritmetiikka voidaan ymmärtää osana algebraa , esimerkiksi "lukujen algebrallisten ominaisuuksien teoriana". Aritmetiikka johtaa lukuteoriaan , joka käsittelee laajimmassa merkityksessä numeroiden ominaisuuksia. Aritmetiikka on lasku.

tarina

Tieteenä aritmeettiset perusti kreikkalaiset. Esimerkiksi ennen kreikkalaista aikaa egyptiläiset ja babylonialaiset ovat antaneet meille vain empiirisiä sääntöjä käytännön elämän ongelmien ratkaisemiseksi. Sillä Pythagoralaiset , luonnolliset luvut ovat pohjimmiltaan asioita. Euclid's Elementsin kirjoissa VII-X tuolloin tunnetut aritmeettiset / algebralliset / lukuteoreettiset tulokset esitetään yhteenvetona ensimmäistä kertaa. Erityisesti Toledon kaatumisen (1085) jälkeen arabien keräämä kreikkalainen matematiikka, jota on rikastettu intiaanien esittämällä numerolla 0 ja desimaalijärjestelmä, joka on täysin kehitetty tällä lisäyksellä , palasi länteen. Aikana Renaissance on herätys kreikkalaisen matematiikan.

Tämän perusteella aritmetiikkaa kehitettiin edelleen 1500- ja 1700 -luvuilla pääasiassa ottamalla käyttöön hyödyllinen viittomakieli numeroille ja toiminnoille. Tämä mahdollistaa yhdistämisen, joka näyttää erittäin läpinäkymättömältä, kun se toistetaan suullisesti yhdellä silmäyksellä. François Viète (Vieta, 1540–1603) jakaa aritmeettisen taiteen, joka tunnettiin silloin nimellä ”logistiikka”, logistiseksi numerosaksi , meidän mielestämme aritmeettiseksi, ja logistica speciosaksi , josta algebra kehittyy. Hän käyttää kirjaimia numerokokoja varten ja + -lisää, - vähennyslaskua varten ja murtopalkkia jakamiseen operaatiomerkiksi. William Oughtred (1574–1660) käyttää x: ää kertolaskuna, jonka hän joskus jättää pois. Nykyään yleinen kertolasku on peräisin Gottfried Wilhelm Leibniziltä (1646–1716). John Johnson on käyttänyt kaksoispistettä (:) jaossa vuodesta 1663. Thomas Harriot (1560–1621) käyttää nykyään yleisesti käytettyjä symboleja "suurempi kuin" (>) ja "vähemmän kuin" (<) sekä pieniä kirjaimia muuttujina numeroille. Robert Recorde (1510–1558) esitteli yhtäläisyysmerkin (=). Neliöiden oikeinkirjoitus on peräisin René Descartesilta (1596–1650). Leibniz ennakoi ajatuksia nykyaikaisesta matematiikan perustutkimuksesta yrittämällä aksiomaattista perustetta laskea luonnollisilla numeroilla.

Carl Friedrich Gaußia (1777–1855) siteerataan usein sanomalla: "Matematiikka on tieteiden kuningatar ja aritmeettinen on matematiikan kuningatar." - Tämä sananluonti osoittaa CF Gaußin rakkauden lukuteoriaa kohtaan ja osoittaa kuinka matemaatikot voivat omistautua tälle osa-alueelle. Kuten Gauss itse huomauttaa kuuluisan ”Korkeamman aritmeettisen tutkimuksensa” esipuheessa (ks. Kirjallisuus), ympyröiden tai säännöllisten monikulmioiden jakautumisteoria , jota käsitellään seitsemännessä osassa, ei kuulu sinänsä aritmeettinen; mutta sen periaatteet on johdettava yksinomaan korkeammasta aritmetiikasta. Koska nykypäivän lukuteoria on kehittynyt paljon pidemmälle tätä, vain alkeet lukuteoria on myös nimitystä aritmeettinen lukuteoriaan (= suurempi aritmeettinen mukainen Gauss). Termi "aritmeettinen" (alkeisaritmeettinen Gaussin mukaan) varsinaisessa mielessä on varattu pääasiassa aritmetiikalle.

Leopold Kroneckerille (1823-1891) on sanottu: "Jumala loi kokonaisluvut, kaikki muu on ihmisen työtä."

Sisältö

1. Luonnonluvut ja niiden merkintä.

Avainsanat: perusluku , järjestysluku on 0 tai 1 pienimpänä luonnollinen luku, luonnollinen luku , peanon aksioomat , desimaalijärjestelmällä , paikka arvojärjestelmä , numero fontteja , numeroin . Kysymys luonnollisten lukujen perustasta johtaa matematiikan , erityisesti joukkoteorian , perustaan .

2. Neljä aritmeettista perusoperaatiota ja numeroiden vertailua.

Avainsanat: eristäminen vastaavan aritmeettisen perusasteen suhteen , kommutoiva laki , assosiatiivinen laki , neutraali elementti , käänteinen elementti , käänteinen toiminta , jakelulaki , vertailu . Yleistäminen ja abstraktio johtavat algebraan .

3. Maksualueen laajennukset.

Avainsanat: Numero nolla (0) (ellei se ole jo otettu käyttöön pienin luonnollinen luku), kokonaislukuja , vastapäätä määrä , määrä useita , etumerkin , murto , vastavuoroinen , järkevä määrä , teho numeron sarjaa. Yleistäminen ja abstraktio johtavat algebraan. Lukujoukot, kuten reaaliluvut , kompleksiluvut tai kvaternionit, eivät enää kuulu aritmeettiin.

4. Jakajat ja jakautuvuus.

Avainsanat: jakajat, jakautuvuus , jakautumislauseet, suurin yhteinen jakaja (GCF), pienin yhteinen moninkertainen (lcm), Euklidinen algoritmi , alkuluku , Eratosthenesin seula , Sundaramin alkuluvun seula , alkutekijä , aritmeettinen peruslause , voima alkulukujen joukko. Yleistäminen ja abstraktio johtavat lukuteoriaan.

Katso myös

• Kaavan kokoelman aritmeettinen

kirjallisuus

• Klaus Denecke & Kalčo Todorov: Aritmetiikan algebralliset perusteet. Heldermann, Berliini 1994, ISBN 3-88538-104-4 .
• Friedrich Ernst Feller ja Carl Gustav Odermann , toimittaneet Abraham Adler ja BR. Taistelee: Koko kaupallinen aritmeettinen , osat 1 ja 2, BG Teubner Verlag, Leipzig ja Berliini 1924
• Carl Friedrich Gauß: Korkeamman aritmeettisen tutkimuksen. Toimittaja Hermann Maser. Springer, Berliini 1889; Kessel, Remagen-Oberwinter 2009, ISBN 978-3-941300-09-5 .
• Gottlob Frege: Aritmetiikan perusteet: Loogis-matemaattinen tutkimus numeron käsitteestä . Wilhelm Koebner, Breslau 1884.
• Donald E. Knuth : Aritmetiikka. Springer, Berliini [a. a.] 2001, ISBN 3-540-66745-8 .
• Gerhard Kropp: Matematiikan historia. Ongelmat ja muodot. Quelle ja Meyer, Heidelberg 1969; Aula-Verlag, Wiesbaden 1994, ISBN 3-89104-546-8 .
• Reinhold Remmert & Peter Ullrich: Peruslukuteoria. 2. painos. Birkhäuser, Basel / Boston / Berliini 1995, ISBN 3-7643-5197-7 .

nettilinkit

Wikisanakirja: Aritmeettinen  - selitykset merkityksille, sanojen alkuperälle, synonyymeille, käännöksille

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Opiskelija Duden: Matematiikka. 1, s.30.
2. ↑ Oliver Deiser: Todelliset numerot: klassinen jatkumo ja luonnolliset sekvenssit. S. 79 ( books.google.de ).
3. ↑ Kropp, s.19.
4. ↑ Kropp, s.23.
5. ↑ Kropp, s. 35/6.
6. ↑ Kropp, s.75.
7. ^ H. Weber: Leopold Kronecker . Julkaisussa: German Mathematicians Association (Toim.): Saksan matemaatikkoyhdistyksen vuosikertomus . nauha 2 . Reimer, 1893, ISSN  0012-0456 , s. 5–31 ( uni-goettingen.de - lainaus s. 19).