kertolasku

Kertominen ( Latin moninkertaist alkaen multiplicare , kerrotaan', vaikka Kertominen kutsuttu) on yksi neljästä peruslaskutoimitusta on aritmeettinen . Sen käänteinen toiminta on jako . Laskutoimitukset kerrottavaksi on merkki "·" tai "X".

Nimeäminen

Luonnollisten lukujen kertominen ja tulokset saman summan toistuvasta lisäyksestä ( laskeminen ylös ) : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle n \ cdot m = \ underbrace {m + m + \ cdots + m} _ {n {\ text {-mal}}}}$ .

${\ displaystyle n}$ja niitä kutsutaan tekijöiksi , joita kutsutaan myös kertoimiksi ja myös kertoimiksi . Laskua, lausutaan " kertaa " tai " kertaa ", kutsutaan kertolaskuksi. Tuloksena oleva tuote . Esimerkiksi eräs kirjoittaa sillä ja puhuu tätä termiä "kolme kertaa neljä" tai "kolme kertaa neljä". Tai joskus kirjoitetaan sen sijaan . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 3 \ cdot 4}$${\ displaystyle 4 + 4 + 4}$${\ displaystyle 3 \ cdot 4}$${\ displaystyle 3 \ kertaa 4}$${\ displaystyle 3 * 4}$

Kun kerrotaan muuttujilla , kohta jätetään usein pois . Katso oikeinkirjoitus Malzeichenista . ${\ displaystyle (5x, xy)}$

Kun kerrot useita tai monia numeroita, voit käyttää tuotemerkkiä (johdettu suuresta kreikkalaisesta pi ): ${\ displaystyle \ prod}$

${\ displaystyle \ prod _ {i = m} ^ {n} a_ {i}: = a_ {m} \ cdot a_ {m + 1} \ cdot \ ldots \ cdot a_ {n-1} \ cdot a_ {n }}$

${\ displaystyle n, m}$ovat kokonaislukuja, on kutsutaan ajaa muuttuja . Siinä tapauksessa tuote on tyhjä , joka määritellään seuraavasti . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n <m}$${\ displaystyle 1}$

Esimerkkejä:

${\ displaystyle 3 \ kertaa 5 \ kertaa 7 \ kertaa 9 \ kertaa 11 = \ prod _ {i = 1} ^ {5} (2i + 1) = 10 \, 395}$

tai

${\ displaystyle {\ frac {3} {1}} \ cdot {\ frac {4} {2}} \ cdot {\ frac {5} {3}} \ cdot \; \ ldots \; \ cdot {\ frac {n + 2} {n}} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {i + 2} {i}} = {\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2}}}$

Tiedekunnan usein vuonna combinatorics, muun muassa on erityinen kertomalla luonnolliset luvut:

${\ displaystyle 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n = \ prod _ {i = 1} ^ {n} i =: n!}$

Toistuva kertominen samalla tekijällä johtaa eksponentisointiin , esim. Oletko

${\ displaystyle 2 \ kertaa 2 \ kertaa 2 \ kertaa 2 \ kertaa 2 \ kertaa 2 = 2 ^ {6} = 64}$

Kertolaskun ja sen laskentasääntöjen selkeä yleistys järkeviin ja todellisiin lukuihin saavutetaan katsomalla suorakulmiota , jonka sivupituudet ja (tietyssä pituusyksikössä). Tämän suorakulmion alue (vastaavalla pinta -alayksiköllä) määritellään tuotteeksi . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ cdot b}$

Järkevien lukujen kertolasku voidaan myös muodollisesti määrittää murtolukujen avulla. Samoin voidaan määritellä kertolasku todellisen rakentamisen aikana rationaaliluvuista.

Käänteinen toiminta kertomiseen on jako , joka voidaan ymmärtää myös niin kertominen vastavuoroisesti arvo .

Laskelman lait

Joka runko (eli erityisesti , tai ) sovelletaan kaikkiin (ks matematiikka ) ${\ displaystyle K \}}$${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a, b, c \ in K}$

Assosiatiivinen laki	${\ displaystyle a \ cdot (b \ cdot c) = (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot b \ cdot c}$
Kommutatiivinen laki	${\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a}$
Jakelulaki	${\ displaystyle a \ cdot (b \ pm c) = a \ cdot b \ pm a \ cdot c}$
neutraali elementti	${\ displaystyle \ olemassa \ 1 \ K \ quad a \ cdot 1 = a}$
käänteinen elementti	${\ displaystyle \ forall \ a \ neq 0 \ quad \ olemassa \ (a ^ {- 1}) \ in K \ quad a \ cdot a ^ {- 1} = 1}$
imukykyinen elementti	${\ displaystyle \ olemassa \ 0 \ K \ quad a \ cdot 0 = 0}$

Kommutatiivisuus

Kun otetaan huomioon toisaalta kertojan (kerroin) ja toisaalta kertojan (kerroin) eri roolit , ei ole täysin itsestään selvää, että kertolasku on kommutoiva, ts. H. sama asia tulee esiin rooleja vaihdettaessa. Täydellisen induktion kautta sekä vasemman ja oikean jakelulain (joka voidaan itse todistaa uudelleen täydellä induktiolla) avulla saamme: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle (a + 1) bb (a + 1) = (ab + b)-(ba + b) = (ab-ba) + (bb) = ab-ba}$

pienemmällä ja induktiohypoteesilla ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle ab-ba = 0}$.

algoritmi

Kertomalla kaksi luonnollisia lukuja voidaan laskea seuraavan algoritmin, jossa kantaluku (emäs) ja numeroita ovat: ${\ displaystyle A \ cdot B}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n, m}$

${\ displaystyle A = a_ {n-1} a_ {n-2} \ ldots a_ {0} = \ summa _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ cdot r ^ {i}}$

${\ displaystyle B = b_ {m-1} b_ {m-2} \ ldots b_ {0} = \ summa _ {j = 0} ^ {m-1} b_ {j} \ cdot r ^ {j}}$

${\ displaystyle A \ cdot B = \ summa _ {i = 0} ^ {n-1} (a_ {i} \ cdot r ^ {i}) \ cdot B = \ summa _ {i = 0} ^ {n -1} r ^ {i} \ cdot (a_ {i} \ cdot B)}$

${\ displaystyle A \ cdot B = A \ cdot \ sum _ {j = 0} ^ {m-1} (b_ {j} \ cdot r ^ {j}) = \ summa _ {j = 0} ^ {m -1} r ^ {j} \ cdot (b_ {j} \ cdot A)}$

Algoritmi perustuu siihen tosiasiaan, että luvun yksittäiset numerot kerrotaan toisella numerolla ja siirretään. Lopuksi lisätään kerrotut ja siirretyt numerot.

Gaussin summakertoimen sääntö

Kun kerrotaan useita mielivaltaisia ​​tekijöitä, suurin mahdollinen tulos saavutetaan, jos tekijöiden välinen kokonaisero on mahdollisimman pieni ja tekijöiden summa pysyy samana. Kokonaisero lasketaan laskemalla yhteen kaikki tekijöiden väliset erot.

esimerkki

Kolmen tekijän tuote. Tekijöiden summa on 30.
Kun tekijöiden välinen kokonaisero kasvaa, tuote pienenee (yleensä).

                        Gesamtdifferenz
10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000     0 ( 0 + 0 + 0 )
 9 ∙ 10 ∙ 11 =  990     4 ( 1 + 2 + 1 )
 8 ∙ 11 ∙ 11 =  968     6 ( 3 + 3 + 0 )
 8 ∙ 10 ∙ 12 =  960     8 ( 2 + 4 + 2 )
 7 ∙ 11 ∙ 12 =  924    10 ( 4 + 5 + 1 )
 7 ∙ 10 ∙ 13 =  910    12 ( 3 + 6 + 3 )
 …
 0 ∙  1 ∙ 29 =    0    58 ( 1 + 29 + 28)
 0 ∙  0 ∙ 30 =    0    60 ( 0 + 30 + 30)

Summakertoimen Gaussin sääntö vastaa väitettä, jonka mukaan geometrisen kuvan sisältö on maksimaalinen, kun sen sivut ovat yhtä pitkiä. Samalla kehällä neliö on suorakulmio, jolla on suurin pinta -ala.

Lisää lisääntymislakeja

• Monimutkaista termiä laskettaessa sovelletaan sääntöä " sulkeet ennen pistettä ennen viivaa ".
• Tuotteen arvo on 0, jos ainakin yksi tekijä on 0 , esim. B. 3 * 5 * 0 = 0.
• Jos kerrot luvun yhdellä, sen arvo pysyy muuttumattomana (x * 1 = x) . Tämä koskee myös jakoa.
• Jos kerrot kaksi numeroa samalla merkillä, tuote on positiivinen. Jos niissä on erilaisia ​​merkkejä, tuote on negatiivinen. Tämä koskee myös jakoa.
• Jos kerrot parittoman numeron toisella parittomalla numerolla, tuote on myös pariton. Jos kerrot kaksi parillista numeroa tai yhden parillisen ja parittoman luvun, tuote on parillinen.
• Kun kerrotaan kaksi murtolukua, ensimmäisen jakeen lukija kerrotaan toisella murtoluvulla ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä kerrotaan toisen murto -osan lukijalla. Murtoluvun nimittäjä, vaikka se sisältää muuttujia, ei voi olla enintään 0.
• Eriarvoisuuksissa eriarvoisuusmerkki kääntyy ympäri, kun kerrotaan (tai jaetaan) negatiivisella luvulla, esim. B.

-0,5 x < 10 | * (-2)

x > -20

Enemmän tai vähemmän kuin kaksi tekijää

Yli kahden tekijän tulo määritellään kertomalla kaksi tekijää vasemmalta alkaen ja jatkamalla kunnes yksi numero on jäljellä. Assosiatiivinen laki sanoo, että voit aloittaa milloin tahansa; myös oikealta. Kommutatiivisen lain vuoksi järjestyksellä ei myöskään ole merkitystä, joten voit aloittaa mistä tahansa kahdesta tekijästä (joiden ei tarvitse olla suoraan yhteydessä toisiinsa).

Määritellään myös yksittäisen tekijän tai ei ollenkaan tekijän tulo, vaikka sinun ei enää tarvitse kertoa: luvun luku on itse tämä luku ja ei tekijän tulo on 1 (yleensä kertomisen neutraali elementti ) .

On myös mahdollista muodostaa loputon tuote. Tekijöiden järjestyksellä on kuitenkin tässä oma merkityksensä, joten tekijöitä ei voi enää vaihtaa keskenään, ja osittaisten tuotteiden mielivaltaiset yhdistelmät eivät aina ole mahdollisia. (Samanlainen kuin ääretön summa.)

Kirjallinen kertolasku

Kirjallisen kertolaskun perusidea on:

• Valitun sijoitusjärjestelmän perusta määrittää kahden tekijän hajoamisen numerot.
• Yhden tekijän jokainen numero kerrotaan toisen tekijän jokaisella numerolla. Tuloksena olevat siirrot tallennetaan asianmukaisesti.
• Kaikki nämä osittaiset tulokset lasketaan yhteen mahdollisen siirron kanssa sijainnin mukaan.

Summa on kahden tekijän tulos.

Kertoaminen sormilla

Ei vain lisäämistä, vaan myös kertomista voidaan tehdä rajoitetusti sormilla. Tätä varten molempien tekijöiden on oltava yhdellä ja samalla vuosikymmenen puoliskolla, eli molemmat päättyvät numeroihin 1–5 tai numeroihin 6–0.

Ensimmäisessä tapauksessa sormet on numeroitu pienestä sormesta alkaen 10 ( d -1) + 1-10 ( d -1) + 5 peukalolle, missä d tarkoittaa vastaavan numeron vuosikymmentä (esim. 15 toista vuosikymmentä). Pidä sitten kahta sormea, joiden tuloksen haluat laskea, yhdessä. Vastaava tuote saadaan laskemalla alempi sormi (kaksi yhdessä pidettyä sormea ​​laskemalla ne) ja d kerrottuna x 10 vasemman käden alemman sormen tuotteeseen oikean käden alemmilla sormilla (molemmilla sormilla yhdessä ) ja lopuksi lisätään lisäysvakio ( d -1) ² x 100.

Toisessa tapauksessa sormet on numeroitu 10 · ( d -1) + 6–10 · d (esim. 16–20). Pidä sitten, kuten ensimmäisessä tapauksessa, haluttujen tekijöiden kahta sormea ​​yhdessä, laske alemmat sormet, mutta kerro ne nyt d · 10: llä ja lisää tähän ylempien sormien tuote (jälleen ilman sormia). jolloin lisäysvakio osoittautuu ( d -1) · d · 100.

• Jos esimerkiksi haluat laskea 7 kertaa 8, lasket alemmat sormet - tässä 5 - ja kerrot ne 10: llä ( d = 1). Saat 50. Nyt kerrot toisen käden yläsormet - tässä 3 - toisen käden - tässä 2 - ja saat 3,2 = 6. Lisää nyt kaksi välitulosta, joten 50 + 6 = 56, ja saat lopputuloksen. Lisäysvakio ( d -1) d 100 on tässä 0 1100 = 0.

• Kun kerrot 24 ja 22, lasket alemmat sormet kuuteen, kerro tämä 20: llä (( d -1) · 10 = 2 · 10) 120: een, lisää alempien sormien tulo 4,2 = 8 ja lisäysvakio ( d -1) ² x 100 = 400 ja saa siten 528.

Tämä menetelmä soveltuu erityisesti neliönumeroiden nopeaan laskemiseen ilman taskulaskinta. Tätä menetelmää voidaan edelleen käyttää eri vuosikymmenien ja vuosipuoliskon tekijöihin jakamalla tekijät summiksi.

Tämän prosessin taustalla on se, että tällaiset tuotteet voidaan kirjoittaa seuraavasti:

${\ displaystyle (a + x) \ cdot (a + y) = a ^ {2} + (x + y) \ cdot a + x \ cdot y}$

ja voi laskea vuosikymmenen toisen puoliskon tuotteet ottamalla viimeisen numeron täydennykset suhteessa 10. Viimeinen numero on täydennysten tulo, kymmenet ovat täydennysten summan täydennyksiä.

Vedic -kertolasku

Tämä aritmeettinen tyyppi tulee Intiasta ja on osa niin sanottua Vedic-matematiikkaa . Tässä tietokonejärjestelmässä numerot analysoidaan ensin ja sitten valitaan sopiva menetelmä niiden laskemiseksi. Siellä on siis mm. B. Menetelmä, joka soveltuu aina suurten tekijöiden ”salaman” kertomiseen, kun nämä ovat juuri saman kymmenen tehon alapuolella tai yläpuolella.

Laskentamenetelmä perustuu seuraavaan suhteeseen: ja ovat kaksi numeroa, jotka ovat alle kymmenen tehon ja / tai niiden väliset erot. Sitten ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 10 ^ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {a}} = a-10 ^ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {b}} = b-10 ^ {n}}$

${\ displaystyle a \ cdot b = (10 ^ {n} + {\ bar {a}}) \ cdot (10 ^ {n} + {\ bar {b}}) = (10 ^ {n} + {\ bar {a}} + {\ bar {b}}) \ cdot 10 ^ {n} + {\ bar {a}} {\ bar {b}} = (a + {\ bar {b}}) \ cdot 10 ^ {n} + {\ palkki {a}} {\ palkki {b}}}$

Jos se on nyt , voit yksinkertaisesti kirjoittaa kaksinumeroiset sekvenssit ja vierekkäin saavuttaaksesi kertolaskun. (Huomio: Toisen termin nolla on kirjoitettava.) ${\ displaystyle {\ bar {a}} {\ bar {b}} <10 ^ {n}}$${\ displaystyle (a + {\ bar {b}})}$${\ displaystyle {\ bar {a}} {\ bar {b}}}$

Esimerkkejä

95 ∙ 97 = 9215          992 ∙ 988 = 980096        12 ∙ 13 = 156        98 ∙ 102 = 9996

 Fakt.   Diff.            Fakt.   Diff.             Fakt.  Diff          Fakt.  Diff
  a,b   zu 100             a,b   zu 1000            a,b   zu 10           a,b   zu 100
–––––––––––––––         –––––––––––––––––         ––––––––––––––         ––––––––––––––
    95  -5                  992  - 8                 12   +2               98   - 2
       \ ∙                      \  ∙                    \  ∙                   \   ∙
    97  -3                  988  -12                 13   +3              102   + 2
–––––––––––––––         –––––––––––––––––         ––––––––––––––         ––––––––––––––
    92  15                  980  096                 15    6              99    96

(95-3)(-5∙-3)          (992-12) (-8∙-12)           (12+3) (3∙2)       ( 98+2-1) (100+(-2)∙2)
(97-5) (5∙3)           (988- 8)  (8∙12)            (13+2) (3∙2)       (102-2-1) (100-2∙2)

Jälkimmäisessä tapauksessa yksi numero on yli ja yksi alle 100. Koska tässä tapauksessa kyseessä on tuote, siirto on tehtävä vasemmasta numerosta eli vasemmalta oikealle . ${\ displaystyle {\ bar {a}} {\ bar {b}} <0}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle + 10 ^ {2} = + 100}$

Tietenkin tekijöiden vaihtaminen antaa saman tuloksen, koska: on, katso esimerkin viimeinen rivi. Koska samoista merkeistä tulee aina +, kun kerrotaan kaksi numeroa, ne voidaan jättää pois myös näissä tapauksissa, kuten viimeisellä rivillä on osoitettu. ${\ displaystyle (a + {\ bar {b}}) = (10 ^ {n} + {\ bar {a}} + {\ bar {b}}) = (b + {\ bar {a}}) }$

Voit myös käyttää ja perustana . Laskenta on sama kuin , lukuun ottamatta sitä, että se lasketaan oikealle tai erotuksena ja kerrotaan 2 vasemmalla (pohja 20) tai jaetaan 2: lla (pohja 50). Jos pohja 50, jos vasemmanpuoleinen summa on pariton, käytetään vain kokonaislukuosaa jakamisen jälkeen 2: lla ja lisätään oikealle siirtona . Todiste lisätä ja muuttaa sen mukaisesti . ${\ displaystyle 20 \ cdot 10 ^ {n-1}}$${\ displaystyle 50 \ cdot 10 ^ {n-2}}$${\ displaystyle 10 ^ {n}}$${\ displaystyle 20-a}$${\ displaystyle 50-a}$${\ displaystyle 50 \ cdot 10 ^ {(n / 2) -2}}$${\ displaystyle 10 ^ {n}}$

Venäläinen panttilainaus

A ja B ovat olennaisia ​​tekijöitä. Tuote P = A · B voidaan määrittää myös seuraavalla - näyttävällä tavalla - tavalla:

1. Vaihe: Jaa A ja tulokset kahdella, kunnes tulos on 1. Tulos, joka ei ole kokonaisluku, pyöristetään alaspäin lähimpään kokonaislukuun ja jatketaan jakamista 2: lla.
2. Vaihe: Tuplaa B jatkuvasti.
3. Vaihe: Poista kaikki rivit, joissa sarakkeessa A on parillinen luku.
4. Vaihe: Yhdistä sarakkeeseen B kaikki numerot, joita ei ole yliviivattu. Saatu summa on tuote, jota etsit P.

Esimerkki: 11 3 =?

Spalte A    Spalte B
   11     ·     3
    5           6
    2          12         gestrichen wegen (2 = gerade) in Spalte A
    1          24
_______________________
       Summe   33

Selitys

Sarakkeessa A tehdään poistot, joissa desimaaliluku 11 binääriesityksessä sisältää nollia: 11 (desimaali) = 1011 (binaarinen). Sarake A on luettava alhaalta ylös. Tämä menetelmä on myös helpoin tapa muuntaa desimaaliluvut binääriluvuiksi. Sarakkeen B peräkkäiset kaksinkertaistukset vastaavat kahden binaarilukujärjestelmän tehoja kerrottuna toisella kertoimella. Jos sarakkeessa A on nolla, B: n vastaava luku kerrotaan 0: lla ja poistetaan. Kaikki muut sarakkeen B numerot kuuluvat tuotteeseen ja lasketaan yhteen.

Voit helposti muotoilla tämän eri tavalla.

${\ displaystyle 11 \ kertaa 3 = 3 + 6 + 24 \ vasen nuoli 11 \ kertaa 3 = 3 \ kertaa (1 + 2 + 8) \ vasen nuoli 11 = 1 + 2 + 8 \ vasen nuoli 11 = 2 ^ {0} +2 ^ {1} +2 ^ {3} = 1 \ kertaa 2 ^ {3} +0 \ kertaa 2 ^ {2} +1 \ kertaa 2 ^ {1} +1 \ kertaa 2 ^ {0}}$

Viimeinen yhtälö on samanlainen kuin kuvion 1 binäärinen esitys 1011.

Kaksinkertaistuminen

Duplation (kohteesta Latinalaisen duplare 'double ) on kertolasku menetelmä, jossa ensimmäinen taulukon vasen rivi kokonaisluku kerrannaisia ensimmäisen tekijän F ₁ (mukaan lukien yksi kertaa, niin kerroin itsensä), ja oikealla on kirjoitettu vastaaviin linja moninaisuus olla. Oletusarvoisesti yllä olevat arvot kaksinkertaistetaan (tästä syystä nimien kaksoiskappale), eli 1, 2, 4, 8, 16-kertainen jne., Kunnes toinen kerroin saavutetaan moninkertaisuudella. Toinen tekijä hajotetaan sitten additiivisesti summana havaituista monikertoista ja tuotteen arvo määritetään lisäämällä ensimmäisen kerroimen vastaavat kerrannaiset.

Toinen tekijä F ₂ voidaan aina "kanonisesti" ja siten jakaa yksiselitteisesti sen binääriseen esitykseen kahden voiman summana, joten tuplaaminen johtaa aina tavoitteeseen. Kahden valtuuksien käyttö ei kuitenkaan ole ehdottoman välttämätöntä. Itse asiassa F ₂ voidaan jakaa myös muihin kutsuihin, esim. B. Kymmenen voimaa, joka voi olla helpompi laskea kuin tuplaamalla jatkuvasti. Jos toinen tekijä on esim. Esimerkiksi jos "1105" on, olisi mahdollista, mutta epätaloudellista, tuplata jopa 512 kertaa. Pikemminkin voidaan rajoittua kaksinkertaisiin vaiheisiin 2-kertainen ja 4-kertainen ja ottaa helposti laskettavat 100- ja 1000-kertaiset ensimmäisestä kertoimesta ja siten edustaa F _2: ta 1000 + 100 + 4 + 1 = 1105. Toisen tekijän taitava hajoaminen on laskimen intuitio ja kokemus.

Loppuun asti (mutta ei todistettu) riittäisi vain laskea 2, 4 ja 8 kertaa ensimmäinen kerroin kaksoiskappaleella ja määrittää tarvittavat suuret kutsut kertomalla tarvittaessa kymmenkertaisesti.

Kertolasku kompassilla ja viivaimella

Joukko sointuja voidaan käyttää graafisen kertominen kompassi ja hallitsija A vedetään suora pisteen kautta O ja O pituudet kerrottava ja vastakkaisiin suuntiin piirretään. Tämä luo kaksi uutta pistettä syntyy ja B . Toinen suora viiva vedetään O: n läpi . Tämä yksi kantaa useista pituus yksi, jolloin toinen kohta E on tuotettu. Toinen suora on ympyrä pisteiden A , B ja E läpi pisteen C leikkauksessa. Sointujen mukaan O: n ja C: n välisellä etäisyydellä on etsimäsi pituus ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle a \ cdot b = {\ overline {OA}} \ cdot {\ overline {OB}} = \ underbrace {\ overline {OE}} _ {= 1} \ cdot \, {\ overline {OC}} }$

Vaadittu ympyrä voidaan rakentaa kehäksi A: n , B: n ja E: n kattaman kolmion ympärille. Sointujoukon lisäksi sekanttisarja on hyödyllinen myös kahden numeron tuloksen muodostamisessa . Kun käytetään sekantin lause, lähtökohtana O piilee ympyrän ulkopuolelle, ja määrät ja b on piirretty samaan suuntaan katsottuna alkaen O. Vastaavasti, kun katsottuna mistä O , C sitten myös piilee samaan suuntaan, jossa yksi poistettiin.

Toinen mahdollisuus graafiseen kertomiseen kompassien ja viivaimen avulla johtuu säteiden lauseesta . Täällä kuljetat ensin pituudet 1 ja b palkeilla, joiden lähtöpiste on A , jotka molemmat alkavat kohdasta A. Sitten, päätepisteestä E etäisyyden pituus 1, joka on etäisyys, jonka pituus on a: piirretään ja toinen säde vedetään sen loppupisteen C ja , niin että A on jälleen lähtökohta säteen. Sitten vetää suuntaiseen suoraan ja loppupisteen kautta B segmentin b . Leikkaa toisen säteen D: ssä . Viivan BD pituus vastaa a: n ja b: n tuloa .

Yleistykset

Tunnettu reaalilukujen kertolasku voidaan yleistää muodon monimutkaisten lukujen kertomiseksi käyttämällä jakelulakia : ${\ displaystyle a + \ mathrm {i} b}$

${\ displaystyle (a + b \ mathrm {i}) \ cdot (c + d \ mathrm {i}) = ac + ad \ mathrm {i} + bc \ mathrm {i} + bd \ mathrm {i} ^ { 2} = ac-bd + (mainos + bc) \ mathrm {i}}$

Vaatimalla joitain edellä annetuista matemaattisista laeista päästään algebrallisiin rakenteisiin, joissa on kaksi linkkiä, yksi lisäys ja yksi kertolasku. Vuonna rengas on lisäys, jolla joukko muodostaa Abelin ryhmä , ja kertominen, joka on assosiatiivinen ja jakelu. Jos kertolaskussa on neutraali elementti, rengasta kutsutaan yhtenäiseksi . Jos jakaminen on myös aina mahdollista, saat vinon rungon . Jos kertolasku on myös kommutoiva, saadaan kenttä .

Ei pidä sekoittaa tähän kertolaskuun muita linkkejä, joita kutsutaan yleisesti tuotteiksi, esim. B. skalaarituote Euklidisen vektoritiloissa , skalaarinen kertolasku vektoriavaruuksissa, matriisin kertolasku ja ristitulo kolmiulotteisessa avaruudessa . Kertolaskua käytetään myös, kun viitataan fyysisten suureiden kokoarvoihin. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Katso myös

• Lineaarinen tekijä , ensisijainen tekijä

Tehokkaat kertoalgoritmit:

• Schönhage Strassenin algoritmi , Karatsuba -algoritmi , Toom Cookin algoritmi

nettilinkit

• Kuka todella keksi kertolaskun? (PDF, 169 KiB)