Osittainen differentiaaliyhtälö

Osittaisdifferentiaaliyhtälö (lyhenne PDG , PDGL tai PDGln tai PDE varten Englanti osittaisdifferentiaaliyhtälö ) on differentiaaliyhtälö , joka sisältää osittaisderivaatat . Tällaisia ​​yhtälöitä käytetään monien fyysisten prosessien matemaattiseen mallintamiseen . Osittaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuteoriaa on tutkittu laajasti lineaarisille yhtälöille, mutta epälineaarisille yhtälöille on edelleen monia aukkoja. Ratkaisujen käytännön laskennassa käytetään yleensä numeerisia menetelmiä .

esittely

Esitys kaksiulotteisesta pallomaisesta aallosta

Joitakin fyysisiä prosesseja voidaan kuvata tarkastelemalla muuttujan muutosta yhden muuttujan suhteen. Esimerkiksi massapisteen liike avaruudessa kuvataan liikeyhtälöllä , joka sisältää vain ajan suhteen johdannaisia (eli nopeutta ja kiihtyvyyttä ). Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan tavallisiksi differentiaaliyhtälöiksi .

Monia muita fyysisiä prosesseja voidaan kuvata vain, jos tarkastellaan muuttujan muutosta useiden riippumattomien muuttujien suhteen. Jos esimerkiksi vesipisara putoaa veden pinnalle säännöllisin väliajoin , syntyy pallomainen aalto, joka on samanlainen kuin oikealla oleva kuva. Tuloksena oleva aalto riippuu sekä aikajohdannaisesta (aallon nopeus) että spatiaalisesta derivaatasta (aallon profiili). Koska johdannaiset esiintyvät useiden muuttujien mukaan, prosessin, aaltoyhtälön, kuvaamiseen tarvitaan osittainen differentiaaliyhtälö .

Esitys yhden ulottuvuuden siirtoyhtälön ratkaisusta annetuille alkuarvoille

Hyvin yksinkertainen osittainen differentiaaliyhtälö on lineaarinen siirtoyhtälö avaruusulottuvuudessa. Hänellä on muoto

${\ displaystyle {\ frac {\ osittain u (x, t)} {\ osittain t}} + c {\ frac {\ osittain u (x, t)} {\ osittain x}} = 0}$

vakio -parametrilla . ${\ displaystyle c}$

Funktion etsit riippuu kahdesta muuttujasta, yleensä paikka ja aika. ${\ displaystyle u (x, t)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

Oletetaan, että funktio tunnetaan tiettynä aikana (suunnilleen tuolloin ). Niin kaikille on verkkotunnus on määritelmän, suhde, joka on muotoa sovelletaan , ja mielivaltaisesti ennalta toiminto, joka voi olla eriyttää vähintään kerran ( ensimmäinen edellytys ). ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u (x, 0) = g (x)}$${\ displaystyle g}$

Tällöin lineaarisen siirtoyhtälön ratkaisu mielivaltaisille ajoille annetaan . Tämä yhtälö ei tarkoita muuta kuin sitä, että lähtötietoja siirretään ("kuljetetaan") muuttumattomassa muodossa nopeudella positiivisen akselin suuntaan ( yhtälön ominaisuuksia pitkin ), katso viereinen kuva. Sovellusesimerkki olisi veteen liuenneen aineen kuljettaminen veden virtauksen yhteydessä, esimerkiksi epäpuhtauksien kuljettaminen joessa (jolloin aineen leviäminen jätetään huomiotta). ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle u (x, t) = g (x-ct)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle x}$

Muita esimerkkejä osittaisista differentiaaliyhtälöistä ovat

• Poissonin yhtälön tai Laplacen yhtälö
• lämmönjohto-
• aaltoyhtälön
• hampurilaiset yhtälöä .

Mille sovelluksille on suuri merkitys

• Euler ja Navierin-Stokesin yhtälöt
• Maxwellin yhtälöt
• Schrödingerin yhtälö
• magnetohydrodynamiikan yhtälöt
• huokoisten välineiden yhtälö
• KORTEWEG-de-Vries yhtälö .

määritelmä

Osittainen differentiaaliyhtälö on yhden tai useamman tuntemattoman funktion yhtälö (tai yhtälöjärjestelmä), joka täyttää seuraavat kriteerit:

• tuntematon funktio riippuu vähintään kahdesta muuttujasta (jos se riippuu vain yhdestä muuttujasta, sitä kutsutaan tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi tai lyhyesti vain differentiaaliyhtälöksi)
• Osittaisia ​​johdannaisia ​​esiintyy yhtälössä vähintään kahdelle muuttujalle
• vain funktio ja sen osajohdannaiset, joista jokainen on arvioitu samassa kohdassa, näkyvät yhtälössä.

Osittaisen differentiaaliyhtälön implisiittinen muoto toiminnolle, joka riippuu kahdesta muuttujasta ja on: ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle F \ vasen (x, y, u (x, y), {\ frac {\ osittainen u (x, y)} {\ osittainen x}}, {\ frac {\ osittainen u (x, y) } {\ osittainen y}}, \ pisteitä, {\ frac {\ osittainen ^ {2} u (x, y)} {\ osittainen x \ osittainen y}}, \ pisteitä \ oikea) = 0,}$

missä on jokin toiminto. Moniulotteisessa tapauksessa ( kuvaa tässä vektoria ) myös kirjoitetaan ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ piste, x_ {n}) ^ {t}}$

${\ displaystyle F \ vasen (x, u (x), \ operaattorin_nimi {D} u, \ operaattorinimi {D} ^ {2} u, \ pisteet, \ toiminimi {D} ^ {k} u, \ ldots \ oikea ) = 0}$

kanssa osittaisderivaatat astetta . ${\ displaystyle D ^ {k} u}$ ${\ displaystyle k}$

Yhtälöitä, joissa integraaleja esiintyy osittaisten derivaattojen lisäksi, kutsutaan integro-differentiaaliyhtälöiksi .

Luokitus

Osittaiset differentiaaliyhtälöt voidaan luokitella eri kriteerien mukaan. Ratkaisukäyttäytyminen ja siten tällä tavalla luokiteltujen yhtälöiden teoreettinen ja numeerinen käsittely eroavat toisistaan ​​huomattavasti käytetystä kriteeristä riippuen.

Johtojen määrä

Yhtälön korkeimman johdannaisen astetta kutsutaan järjestykseksi . Esimerkiksi ensimmäisen asteen yhtälössä esiintyy vain osittaisia ​​ensimmäisiä johdannaisia. Yleensä korkeamman asteen yhtälöitä on vaikeampi ratkaista kuin alemman asteen yhtälöitä.

Muuttujien lukumäärä

Monilla osittaisilla differentiaaliyhtälöillä muuttujien määrällä on rooli teoreettisen tutkimuksen ja numeerisen ratkaisun mahdollisuuksissa. Esimerkiksi Navier-Stokesin yhtälöiden tapauksessa laajat lausumat olemassaolosta, ainutlaatuisuudesta ja säännöllisyydestä voitaisiin todistaa kahdessa tilaulottuvuudessa, kun taas kysymys kolmiulotteisen tapauksen sileiden ratkaisujen olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta on avoin. Tämä ongelma on lisätty vuosituhannen ongelmien luetteloon .

Lineaariset ja epälineaariset yhtälöt

Puhutaan lineaarisesta osittaisesta differentiaaliyhtälöstä, jos tuntematon funktio ja kaikki johdannaiset esiintyvät lineaarisesti. Tämä tarkoittaa, että kerroinfunktiot tuntemattoman funktion tai sen johdannaisten edessä riippuvat vain muuttujista (eivät funktiosta itsestään tai sen johdannaisista). Toisen kertaluvun lineaarinen osittainen differentiaaliyhtälö kahdessa muuttujassa on siis seuraava yleinen muoto: ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle {a (x, y) {\ frac {\ osittainen ^ {2} u (x, y)} {\ osittainen x ^ {2}}} + b (x, y) {\ frac {\ osittainen ^ {2} u (x, y)} {\ osittainen x \ osittainen y}} + c (x, y) {\ frac {\ osittainen ^ {2} u (x, y)} {\ osittainen y ^ { 2}}} + d (x, y) {\ frac {\ osittainen u (x, y)} {\ osittainen x}} + e (x, y) {\ frac {\ osittainen u (x, y)} {\ osittainen y}} + f (x, y) u (x, y) = g (x, y)}}$.

Epälineaarista osittaista differentiaaliyhtälöä kutsutaan kvasilineaariseksi yhtälöksi, jos kaikki korkeimman asteen johdannaiset esiintyvät lineaarisesti. Esimerkki on vähimmäispinta -alayhtälö :

${\ displaystyle \ vasen (1 + {\ frac {\ osittainen} {\ osittainen y}} u (x, y) ^ {2} \ oikea) {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen x ^ {2}}} u (x, y) -2 {\ frac {\ partial} {\ osittainen x}} u (x, y) {\ frac {\ partial} {\ osittainen y}} u (x, y ) {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen x \ osittainen y}} u (x, y) + \ vasen (1 + {\ frac {\ osittainen} {\ osittainen x}} u (x, y) ^ {2} \ oikea) {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen y ^ {2}}} u (x, y) = 0}$

tai vaihtoehtoisesti kirjoitettu:

${\ displaystyle \ vasen (1 + u_ {y} ^ {2} \ oikea) u_ {xx} -2u_ {x} u_ {y} u_ {xy} + \ vasen (1 + u_ {x} ^ {2} \ oikea) u_ {yy} = 0}$

Yksi puhuu semilinear osittaisdifferentiaaliyhtälö jos on quasilinear osittaisdifferentiaaliyhtälö kerroin toiminnot ennen korkein johdannainen eivät riipu alempi johdannaisista ja jonka toimintaa ei tunneta. Esimerkki on Korteweg-de-Vriesin yhtälö :

${\ displaystyle u_ {yyy} + u_ {x} + 6u \ cdot u_ {y} = 0}$.

Esimerkki epälineaarisesta osittaisesta differentiaaliyhtälöstä, joka ei ole lähes lineaarinen, on Monge-Ampèren yhtälö :

${\ displaystyle u_ {xx} u_ {yy} -u_ {xy} ^ {2} = f}$.

Epälineaariset yhtälöt kuvaavat yleensä paljon monimutkaisempia ilmiöitä kuin lineaariset yhtälöt, kuten turbulentit virtaukset (verrattuna laminaarivirtoihin ). Epälineaarisia ongelmia on vaikeampi käsitellä kuin lineaarisia ongelmia sekä teoreettisesta että numeerisesta näkökulmasta. Yksinkertainen esimerkki epälineaarisesta osittaisesta differentiaaliyhtälöstä on Burgersin yhtälö :

${\ displaystyle {\ frac {\ osittain u (x, t)} {\ osittain t}} + u (x, t) {\ frac {\ osittain u (x, t)} {\ osittain x}} = 0 }$.

Koska sen ratkaisut ovat täysin tunnettuja, se toimii usein malliongelmana yleisemmille epälineaarisille yhtälöille, kuten Euler -yhtälöille .

Perustyypit

Usein osittaiset differentiaaliyhtälöt määritetään yhdelle kolmesta perustyypistä elliptinen , parabolinen tai hyperbolinen . Tämä luokitus ei ole tyhjentävä; joten kaikkia yhtälöitä ei voida liittää yhteen näistä tyypeistä. On kuitenkin järkevää, koska suuri osa käytännössä esiintyvistä yhtälöistä kuuluu tähän järjestelmään ja kolmella perustyypillä on pohjimmiltaan erilaiset ominaisuudet. Luokitus kuvataan ensimmäisen kerran toisen asteen yhden yhtälön tärkeässä tapauksessa.

Toisen kertaluvun yhtälöt

Kaksi muuttujaa

Esimerkkinä jakautumisesta kolmeen perustyyppiin, elliptisiin, parabolisiin ja hyperbolisiin differentiaaliyhtälöihin, tarkastellaan yleistä lineaarista osittaista differentiaaliyhtälöä, jossa on kaksi muuttujaa

${\ displaystyle {a (x, y) {\ frac {\ osittainen ^ {2} u (x, y)} {\ osittainen x ^ {2}}} + b (x, y) {\ frac {\ osittainen ^ {2} u (x, y)} {\ osittainen x \ osittainen y}} + c (x, y) {\ frac {\ osittainen ^ {2} u (x, y)} {\ osittainen y ^ { 2}}} + d (x, y) {\ frac {\ osittainen u (x, y)} {\ osittainen x}} + e (x, y) {\ frac {\ osittainen u (x, y)} {\ osittainen y}} + f (x, y) \, u (x, y) = 0}}$

ja määritellä . ${\ displaystyle D (x, y): = a (x, y) \, c (x, y) - \ vasen ({\ tfrac {b (x, y)} {2}} \ oikea) ^ {2 }}$

Koskee nyt

• ${\ displaystyle D (x, y)> 0}$, joten yhtälöä kutsutaan pisteessä elliptiseksi ,${\ displaystyle (x, y)}$
• ${\ displaystyle D (x, y) = 0}$, Joten yhtälö on nimeltään parabolinen pisteessä ,${\ displaystyle (x, y)}$
• ${\ displaystyle D (x, y) <0}$, Joten yhtälö on nimeltään hyperbolisen pisteessä .${\ displaystyle (x, y)}$

Tässä luokituksessa, vain kerroin toimintoja , , korkein johdannaisia pidetään. Koska ne riippuvat sijainnista , differentiaaliyhtälön tyyppi riippuu myös sijainnista. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (x, y)}$

Kanssa edellä esitetyn määritelmän saamme elliptisyyden Poissonin yhtälön , parabolicity että lämmön johtuminen yhtälö ja hyperbolicity ja aallon yhtälö . Nämä kolme yhtälöä edustavat kumpikin niiden perustyypin yhtälöiden normaalityyppiä .

Edellä määritelty jako elliptinen, parabolinen ja hyperbolinen voidaan saada myös ottamalla huomioon definiteness on kerroinmatriisin :

${\ displaystyle A (x, y): = {\ begin {pmatrix} a (x, y) & {\ frac {b (x, y)} {2}} \\ {\ frac {b (x, y) )} {2}} & c (x, y) \ end {pmatrix}}}$.

On

• ${\ displaystyle A (x, y)}$positiivinen ehdollinen tai negatiivinen määritelty, yhtälöä kutsutaan pisteessä elliptiseksi ,${\ displaystyle (x, y)}$
• ${\ displaystyle A (x, y)}$positiivisemidefiniitti tai negatiivinen semidefiniitti, mutta ei ole määritelty (yksikkö), yhtälö kutsutaan parabolinen pisteessä ,${\ displaystyle (x, y)}$
• ${\ displaystyle A (x, y)}$toistaiseksi (täsmälleen yksi negatiivinen ominaisarvo ), yhtälö kutsutaan hyperbolisen pisteessä .${\ displaystyle (x, y)}$

Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö kahdessa tuntemattomassa, joilla on todelliset, vakio kerroimet, voidaan määrittää täsmälleen yhdelle näistä tyypeistä. Heti kun kertoimet eivät ole vakioita tai yhtälö on epälineaarinen, on myös yhtälöitä, joita ei voida luokitella tämän kaavan mukaan. Sama koskee alla kuvattuja yleisempiä tapauksia. ${\ displaystyle (x, y)}$

Termien elliptinen , parabolinen ja hyperbolinen alkuperä johtuu kartioleikkausten teoriasta . Yleinen kartioyhtälö

${\ displaystyle a \, x ^ {2} + b \, x \, y + c \, y ^ {2} + d \, x + e \, y + f = 0}$

on rakenteeltaan samanlainen kuin edellä esitetty toisen kertaluvun lineaarinen osittainen differentiaaliyhtälö. Kertoimille , , vastaavia olosuhteita sovelletaan edellä, siten, että yksi vastaavista kartioleikkausten ellipsi , paraabeli tai liioittelu luotu. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

n muuttujaa

Kerroinmatriisiin perustuva tyyppiluokitus voidaan myös siirtää järjestyksen 2 yhtälöihin, joissa on enemmän kuin kaksi muuttujaa. Tässä tapauksessa differentiaaliyhtälöä käytetään luomaan matriisi, jossa on toisen kertaluvun osajohdannaisten kerroinfunktiot syötteinä. Edellä mainitun tapauksen yleistyksessä sovelletaan seuraavaa: ${\ displaystyle A ({\ vec {x}})}$

On

• ${\ displaystyle A ({\ vec {x}})}$positiivinen ehdollinen tai negatiivinen määritelty, yhtälöä kutsutaan pisteessä elliptiseksi ,${\ displaystyle {\ vec {x}}}$
• ${\ displaystyle A ({\ vec {x}})}$puolijohteinen, jossa nolla on yksinkertainen ominaisarvo, yhtälöä kutsutaan pisteessä paraboliseksi ,${\ displaystyle {\ vec {x}}}$
• ${\ displaystyle A ({\ vec {x}})}$toistaiseksi kanssa ominaisarvot eroaa nollasta, yhtälö kutsutaan hyperbolisen pisteessä .${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Reuna- ja alkuarvon ongelmat

Osittaisen differentiaaliyhtälön ratkaisua ei yleensä määritetä yksilöllisesti. Yksiselitteisen ratkaisun saamiseksi vaaditaan tiettyjä lisäehtoja, nimittäin alku- ja / tai reunaehdot . Toisin kuin tavallisten differentiaaliyhtälöiden tapauksessa, vain valittujen perus- ja rajaehtojen valinta, joka on sovitettu vastaavalle perustyypille, johtaa oikein asetettuun ongelmaan .

Tyypillisiä esimerkkejä oikein asetetuista ongelmista ovat:

• elliptisiin ongelmiin:
  • Dirichletin reunaehdot
  • Neumannin rajaehdot
  • kaltevat reunaehdot (myös: Robin reunaehdot)
• Parabolisten ongelmien alku- ja rajaehdot
• Hyperbolisten ongelmien alkutilanne.

teoria

Toiminnallisen analyysin menetelmät

Tavallisilla differentiaaliyhtälöillä Picard-Lindelöfin lause ratkaisee olemassaolon ongelman ja ratkaisun ainutlaatuisuuden erittäin tyydyttävällä tavalla, mutta osittaisilla differentiaaliyhtälöillä ei ole niin laajaa yleistä ratkaisuteoriaa. Cauchyn-Kowalewskaja teoreeman takaa paikallinen olemassaolo ja ainutlaatuisuus liuoksen osittainen differentiaaliyhtälöiden analyyttinen kerroin toimintoja, mutta tämä tulos ei voida laajentaa yleisempiin kerroin toimintoja. Ei-analyyttisille kerroinfunktioille on jo olemassa vastaesimerkki, joka voidaan erottaa niin usein kuin halutaan, Lewyn esimerkki .

Koska osittaisia ​​differentiaaliyhtälöitä ei ole tyydyttävää yhdenmukaista teoriaa, ne on jaettu erilaisiin ratkaisukäyttäytymisestä riippuen . Näitä analysoidaan eri tekniikoilla saadakseen tietoa ratkaisujen olemassaolosta, ainutlaatuisuudesta ja muista ominaisuuksista. Lineaarisia osittaisia ​​differentiaaliyhtälöitä on myös tutkittu riittävän hyvin moniulotteisten järjestelmien tapauksessa, mutta tämä ei koske epälineaarisia osittaisia ​​differentiaaliyhtälöitä.

Osittaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen teoreettisessa tutkimuksessa niin kauan kuin etsitään vain klassisia (toisin sanoen riittävän usein eriytettäviä) ratkaisuja, matemaattisessa teoriassa on erittäin suuria vaikeuksia. Lisäksi joissakin tapauksissa (esim. Iskuaaltoja kuvattaessa ) fyysisistä syistä ei ole odotettavissa jatkuvia tai erilaistuvia ratkaisuja. Näistä syistä klassisessa teoriassa ei ole tai ei ole riittävän hyviä lausuntoja olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta monissa tapauksissa.

Poistumiskeinona käsite "differentiaaliyhtälön ratkaiseminen" heikentyy sopivalla tavalla, ts. H. voidaan sallia myös ratkaisuja, joita (klassisessa mielessä) ei voida erottaa toisistaan. Näiden laajennettujen ratkaisukonseptien avulla riittävän hyvät teoreettiset lausunnot ovat nyt mahdollisia heikossa teoriassa . Lisäksi tämä heikentynyt ratkaisukäsite muodostaa perustan monille numeerisille menetelmille osittaisten differentiaaliyhtälöiden likimääräiselle ratkaisulle .

Osittaisia ​​differentiaaliyhtälöitä tarkasteltaessa esiintyy erilaisia ​​ratkaisuehtoja:

• Klassinen ratkaisu : Ratkaisu on usein jatkuvasti eriytettävä , ja yhtälö täyttyy lisäämällä nämä johdannaiset taustalla olevan alueen jokaiseen pisteeseen.
• vahva ratkaisu : Ratkaisu on usein eriytettävä heikon johdannaisen kannalta , ja yhtälö täyttyy lähes kaikkialla lisäämällä heikot johdannaiset .
• Heikko ratkaisu : Tässä yhtälökerrotaan testitoiminnoilla , integroidaan ja sitten ainakin osittain integroituna . Funktiota sopivasta funktiotilasta (yleensä Sobolev -avaruudesta ), joka täyttää tämän uuden yhtälön kaikille testitoiminnoille, kutsutaan heikoksi ratkaisuksi.
• mieto liuos : Vahvat liuokset täyttävät usein jonkin jatkuvan vaihtelun kaavan. Tämän kaavan ratkaisua kutsutaan miedoksi liuokseksi. Miedon liuoksen ei kuitenkaan tarvitse olla vahva ratkaisu.
• Viskositeettiliuos : Joidenkin yhtälötyyppien ratkaisuja voidaan rakentaa tarkastelemalla häiriintynyttä yhtälöä, joka on helpompi ratkaista pienellä, ylimääräisellä diffuusiolla tai viskoosilla korkeamman asteen termillä, ja harkitsemalla rajoittavaa tapausta, jossa tämä häiriö ( viskositeetti ) lähestyy nollaa . Tämä johtaa viskositeettiliuoksen käsitteeseen.
• Entropiaratkaisu : Joissakin yhtälöissä ainutlaatuisuus häviää siirtymällä heikkoihin ratkaisuihin , mutta se voidaan palauttaa lisäämällä entropiaehto . Tällaisia ​​ratkaisuja kutsutaan entropiaratkaisuiksi. Nimi on motivoi rooli entropian vuonna kaasudynaamisella yhtälöitä.
• Ulottuvuusratkaisu : Joillekin epälineaaristen yhtälöryhmien dimensio -teoreettinen ratkaisukonsepti on hyödyllinen, jotta voidaan kuvata mahdollisia pitoisuusvaikutuksia.
• jakeluratkaisu : Ratkaisu on jakauma ja täyttää yhtälön jakautumisteorian kannalta. Kaikki sanat ovat"kierrätetään" on testitoiminnot oletetaanmielivaltaisesti sileä . Koska epälineaarisia operaatioita ei yleensä määritellä jakaumissa, tämä ratkaisutermi on hyödyllinen vain lineaarisille yhtälöille.

Näitä termejä ei käytetä kirjallisuudessa yhtenäisesti, joten on viitattava aina vastaavaan määritelmään.

Avulla säännöllisyys teorian ja Sobolew n upottaminen lauseet , voidaan usein osoittaa, että jakautumiseen tai heikko saatu liuos on myös vahva tai jopa klassista liuos sopivissa olosuhteissa differentiaaliyhtälön.

Valehteluteoria

Rakenteellista yleistä lähestymistapaa differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen noudatetaan symmetrian ja jatkuvan ryhmäteorian kautta .

Vuonna 1870 Sophus Lie asetti differentiaaliyhtälöiden teorian yleisesti pätevälle pohjalle Lie -teorian kanssa. Hän osoitti, että vanhemmat matemaattiset teoriat differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi voidaan tiivistää ottamalla käyttöön Lie -ryhmiä .

Yleinen lähestymistapa differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen hyödyntää differentiaaliyhtälöiden symmetriaominaisuutta. Jatkuvia äärettömän pieniä muunnoksia käytetään, jotka kartoittavat ratkaisut differentiaaliyhtälön (muihin) ratkaisuihin. Symmetriamenetelmiä käytetään ratkaisemaan differentiaaliyhtälöt tarkasti.

Jatkuvaa ryhmäteoriaa, Lie algebraa ja differentiaaligeometriaa käytetään ymmärtämään lineaarisen ja epälineaarisen (osittaisen) differentiaaliyhtälön syvempää rakennetta ja kartoittamaan suhteet. Katso myös aiheita Lax -parit , rekursiiviset operaattorit, Kontakt- ja Bäcklund -muunnokset , jotka lopulta johtavat differentiaaliyhtälön täsmällisiin analyyttisiin ratkaisuihin.

Perustyypit

Katso luokittelu yllä olevasta perustyyppien osasta .

Elliptiset osittaiset differentiaaliyhtälöt

Laplace -yhtälön ratkaisu pyöreässä renkaassa, jossa Dirichletin raja -arvot u (r = 2) = 0 ja u (r = 4) = 4sin (5 * θ)

Elliptiset osittaiset differentiaaliyhtälöt syntyvät tyypillisesti ajasta riippumattomien ( paikallaan olevien ) ongelmien yhteydessä. Ominaisuus on, että elliptiset yhtälöt kuvaavat usein minimaalisen energian tilaa , eli ne johtuvat alaspäin rajoitetun vaikutuksen vaihteluongelmasta .

Tunnetuimpia esimerkkejä ovat Laplace -yhtälö ja Poisson -yhtälö . Ne kuvaavat esimerkiksi (paikallaan olevaa) lämpötilan jakautumista tai sähköstaattisen varauksen jakautumista kussakin kehossa. Lisäksi (Newtonin) gravitaatiopotentiaali on ratkaisu Poissonin yhtälöön. Epälineaarinen elliptinen yhtälö on yhtälö minimipinnoille (minimipintayhtälö), saippuakalvon muoto kuvaa sitä, joka muodostuu, kun lankakehys upotetaan saippuaveteen.

Elliptisten yhtälöiden tapauksessa yleisimmät reunaehdot ovat:

• Dirichletin reunaehdot ( etsimäsi funktion arvot on annettu rajalla)
• Neumannin reunaehdot ( haetun funktion normaalin derivaatan määrittely ).

Käyttämällä esimerkkiä lämpötilan jakautumisesta ero tulisi näyttää: Jos laitat esineen jääveteen , reunan lämpötila on 0 celsiusastetta. Lämpötilan jakautuminen kohteen sisällä vastaa siis Dirichletin raja -arvo -ongelman ratkaisua. Toinen tapaus ilmenee, kun henkilö eristää kehon . Täällä lämpötila ei ole tiedossa, mutta eristyksen vuoksi lämmön virtaus reunalla on 0. Koska virtaus voi liittyä normaaliin johdannaiseen, tämä johtaa Neumannin ongelmaan.
Sama koskee sähköstaattisuutta : jos tiedät jännitteen, joka syötetään reunaan, tulet Dirichlet -ongelmaan, mutta jos tiedät virran voimakkuuden reunalla, saat Neumannin ongelman.

Paraboliset osittaiset differentiaaliyhtälöt

Kaksiulotteisen lämmönjohtamisyhtälön ratkaisu

Tämäntyyppinen yhtälö kuvaa ilmiöitä, jotka muistuttavat elliptisiä yhtälöitä, mutta epävakaassa tapauksessa.

Ylivoimaisesti tärkein esimerkki parabolisesta yhtälöstä on lämmönjohtamisyhtälö , joka kuvaa rungon jäähdytystä ja lämmitystä. Tämä yhtälö kuvaa myös diffuusioprosesseja . Toinen, epälineaarinen esimerkki parabolisesta yhtälöstä on Korteweg-de-Vriesin yhtälö , joka kuvaa veden aaltoja lähellä rantaa.

Paraboliset yhtälöt edellyttävät avaruuden raja -olosuhteita ja alkuarvoja ajassa. Esimerkiksi lämmönjohtamisyhtälön ollessa alueen (spatiaalisessa) reunassa joko lämpötila tai virtausvirta on määritettävä koko ajan; tämä vastaa Dirichlet- tai Neumann -olosuhteita elliptisessä tapauksessa. Lisäksi lämpötilajakauma on määritettävä alussa, eli ajankohtana . ${\ displaystyle t = 0}$

Hyperboliset osittaiset differentiaaliyhtälöt

Värisevä kalvo ratkaisuna kaksiulotteiseen aaltoyhtälöön

Tyypillinen hyperbolinen yhtälö on aaltoyhtälö . Yleensä tämäntyyppiset yhtälöt kuvaavat aaltoja ja niiden etenemistä. Lisäksi yksittäiset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt ovat aina hyperbolisia (toisin kuin ensimmäisen asteen järjestelmät, joissa eri tapaukset ovat jälleen mahdollisia). Toisin kuin paraboliset ja elliptiset yhtälöt, hyperbolisten yhtälöiden ratkaisuja vaimennetaan vähän tai ei ollenkaan . Tämä johtaa toisaalta monimutkaiseen ratkaisuteoriaan, koska erilaisuutta voidaan odottaa vähemmän . Toisaalta aallot voivat levitä vain pitkiä matkoja tämän vaimennuksen puutteen kautta.

Tämän tyyppiset alku- ja raja -arvot johtavat Cauchyn ongelmiin . Tämä tarkoittaa, että kuten parabolisessa tapauksessa, alkuarvoja tarvitaan tilarajaehtojen lisäksi. Toisen asteen hyperbolisten yhtälöiden ratkaisemiseksi tarvitset kaksi alkuarvoa- funktion arvon ja sen aikajohdannaisen alussa.

Tätä tulisi havainnollistaa käyttämällä esimerkkiä kiinnitetystä merkkijonosta : Merkkijonon taipuma täyttää aaltoyhtälön. Jos naru on puristettu päistä, tämä johtaa avaruuden raja -olosuhteisiin, tässä tapauksessa taipuma reunalla on 0 (koska se on puristettu). Tämä tarkoittaa sitä, että funktion arvo reunalla on tiedossa ja tuloksena on Dirichletin reunaehdot. (Tapauksessa vapaasti värähtelevän esineitä, kuten ilmapatsaan on puupuhaltimia , yksi saapuu Neumann reunaehdot.) Lisäksi kaksi alkuehdot on nyt määriteltävä: taipuma alussa (vastaa funktion arvo) ja nopeus, jolla merkkijono on alussa, kynitetään (vastaa aikajohdannaista). Näissä olosuhteissa taipuma voidaan määritellä selvästi myöhemmin.

Hyperbolisia yhtälöitä, joilla on pareittain eri ominaisarvot, kutsutaan ehdottomasti hyperbolisiksi . Tässä ratkaisuteoria tunnetaan myös epälineaarisista järjestelmistä . Jos yhtälöt eivät ole ehdottomasti hyperbolisia, kuten moniulotteiset Euler -yhtälöt tai magnetohydrodynamiikan yhtälöt , tämä ei ole enää totta.

Numeeriset menetelmät

Yleisimmin käytetyt numeeriset menetelmät ovat äärelliset elementit (FEM), äärelliset erot (FDM) ja äärelliset tilavuudet (FVM). Viime vuosina reunaelementtimenetelmää (REM tai BEM) on käytetty yhä enemmän.

Kaikki nämä menetelmät perustuvat osittaisen differentiaaliyhtälön diskreti- sointiin, jossa ratkaisu lähennetään rajallisen ulottuvuuden rakenteen avulla.

kirjallisuus

Historiallinen kirjallisuus

• Heinrich Weber : Matemaattisen fysiikan osittaiset differentiaaliyhtälöt Riemannin luentojen mukaan , Braunschweig: F. Vieweg ja sohn, 1900–01.
• Jakob Horn : Johdatus osittaisten differentiaaliyhtälöiden teoriaan , Leipzig: GJ Göschen, 1910.
• Richard Courant ja David Hilbert : Matemaattisen fysiikan menetelmät , toinen osa, Berliini: J. Springer, 1937.
• Olga Alexandrovna Ladyschenskaja , Nina Nikolajewna Uralzewa : Elliptisen tyyppiset lineaariset ja kvaasilinaariset yhtälöt . Kääntänyt L. Ehrenpreis, Academic Press, New York / London 1968, ISBN 0-12-432850-4 .
• Olga Alexandrovna Ladyschenskaja, WA Solonnikow, Nina N.Uralzewa: Parabolisen tyypin lineaariset ja lähes lineaariset yhtälöt . Kääntänyt S. Smith, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1968, ISBN 0-8218-1573-3 .

Moderni kirjallisuus

• David Gilbarg , Neil Trudinger : Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Julkaisussa: Matematiikan perusopetukset. Osa 224, Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1977, ISBN 3-540-08007-4 .
• Lawrence Craig Evans : Osittaiset differentiaaliyhtälöt. Julkaisussa: Graduate Studies in Mathematics. Osa 19, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999, ISBN 0-8218-0772-2 .
• Gerhard Dziuk: Osittaisten differentiaaliyhtälöiden teoria ja numeerisuus . de Gruyter, Berliini 2010, ISBN 978-3-11-014843-5 .
• Fritz John : Osittaiset differentiaaliyhtälöt , 4. painos, Springer Verlag 1982, 1991, ISBN 0-387-90609-6
• Jürgen Jost : Osittaiset differentiaaliyhtälöt. Springer, Berliini, 1998, ISBN 3-540-64222-6 .
• Randall J. LeVeque: Äärelliset tilavuusmenetelmät hyperbolisille ongelmille. Cambridgen yliopisto Lehdistö, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00924-3 .
• T. Roubíček: Epälineaariset osittaiset differentiaaliyhtälöt sovelluksineen. Birkhäuser, Basel, 2. painos: 2013, ISBN 978-3-0348-0512-4 , doi: 10.1007 / 978-3-0348-0513-1 .
• Schweizer: Osittaiset differentiaaliyhtälöt. Springer, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40637-9 .

Kirjallisuutta valheteoriasta

• Nail H. Ibragimov CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 CRC-Press 1993 ISBN 0-8493-4488-3 .
• Hans Stephanin differentiaaliyhtälöt: niiden ratkaisu symmetrioita käyttäen. Toimittanut M.MacCallum, Cambridge University Press 1989.
• Peter Olver 1995 Equivalence, Invariants and Symmetry Cambridge Press 1995

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Lawrence C. Evans: Osittaiset differentiaaliyhtälöt . Providence (RI), 1999, s.18
2. ↑ Lawrence C. Evans: Osittaiset differentiaaliyhtälöt . Providence (RI), 1999, s.9.
3. ↑ Jürgen Jost: Osittaiset differentiaaliyhtälöt . Elliptiset (ja paraboliset) yhtälöt (=  mestariluokka ). Springer-Verlag, Berliini Heidelberg 1998, ISBN 978-3-642-58888-4 , s. 3 vrt ., doi : 10.1007 / 978-3-642-58888-4 . 
4. ^ Hans Lewy: Esimerkki sujuvasta lineaarisesta osittaisesta differentiaaliyhtälöstä ilman ratkaisua . Julkaisussa: Annals of Mathematics . Vuosikerta 66, nro 1 (heinäkuu 1957), s. 155-158.
5. ↑ Lawrence C. Evans: Osittaiset differentiaaliyhtälöt (=  Graduate Studies in Mathematics . Volume 19 ). 3. Painos. American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-0772-2 , ISSN  1065-7339 , Osa 1.3 Strategies for Studying PDE , s. 7-9 . 
6. ↑ Ben Schweizer: Osittaiset differentiaaliyhtälöt . Sovelluslähtöinen johdanto. 1. painos. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40637-9 , ratkaisuehdot osiossa 3.3 Sobolev-välilyönnit , s. 62-64 , doi : 10.1007 / 978-3-642-40638-6 . 
7. ↑ Helmut Fischer, Helmut Kaul: Matematiikka fyysikoille, osa 2 . Tavalliset ja osittaiset differentiaaliyhtälöt, kvanttimekaniikan matemaattiset perusteet. 4. painos. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-00476-7 , §13.1 Heikko differentiaaliyhtälöratkaisut, s. 303-305 , doi : 10.1007 / 978-3-658-00477-4 . 
8. ^ Dan Henry: Geologinen teoria puolilinjoisista parabooliyhtälöistä (=  Luennon muistiinpanot matematiikassa . Tilavuus 840 ). 1. painos. Springer-Verlag, 1981, ISBN 978-3-540-10557-2 , ISSN  0075-8434 , osa 3.3: Paikallinen olemassaolo ja ainutlaatuisuus, s. 55 , doi : 10.1007 / BFb0089647 . 
9. ↑ Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel et ai.: Yksiparametriset puoliryhmät lineaarisen evoluution yhtälöille (=  Graduate text in matics . Volume 194 ). 1. painos. Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-1-4757-7409-2 , ISSN  0072-5285 , 6. Well-Posedness for Evolution Equations, Määritelmä 6.3, s. 146 , doi : 10.1007 / b97696 . 
10. ↑ Lawrence C. Evans: Osittaiset differentiaaliyhtälöt (=  Graduate Studies in Mathematics . Volume 19 ). 3. Painos. American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-0772-2 , ISSN  1065-7339 , osa 10.1 Johdanto, viskositeettiliuokset , s. 539-546 . 
11. ↑ Lawrence C. Evans: Osittaiset differentiaaliyhtälöt (=  Graduate Studies in Mathematics . Volume 19 ). 3. Painos. American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-0772-2 , ISSN  1065-7339 , osa 3.4 Johdatus luonnonsuojelulakeihin ja luku 11.4 Entropiakriteerit , s. 136-162, 599-611 . 
12. ↑ Ronald J. DiPerna: Mitta-arvoisia ratkaisuja suojelulakeihin . Julkaisussa: C. Dafermos (toim.): Rational Mechanics and Analysis -arkisto . nauha 88 , ei. 3 . Springer-Verlag, syyskuu 1985, ISSN  1432-0673 , s. 223-270 , doi : 10.1007 / BF00752112 . 
13. ↑ J.Málek, J.Nečas, M.Rokyta, M.Růžička: Heikot ja mitatut ratkaisut evoluution PDE-laitteisiin (=  Sovellettu matematiikka ja matemaattinen laskenta . Volyymi 13 ). 1. painos. Chapman ja Hall, Lontoo Weinheim 1996, ISBN 978-0-412-57750-5 .