Maxwellin yhtälöt

Maxwellin yhtälöt mukaan James Clerk Maxwell (1831-1879) kuvaavat ilmiöitä elektromagnetismin . Siksi ne ovat tärkeä osa nykyaikaista fyysistä maailmankuvaa .

Yhtälöt kuvaavat, miten sähkö- ja magneettikentät liittyvät toisiinsa ja sähkövarauksiin ja sähkövirtaan tietyissä raja -olosuhteissa . Yhdessä Lorentzin voiman kanssa ne selittävät kaikki klassisen elektrodynamiikan ilmiöt . Siksi ne muodostavat myös optiikan ja sähkötekniikan teoreettisen perustan . Yhtälöt on nimetty skotlantilaisen fyysikon James Clerk Maxwellin mukaan, joka käsitteli ne vuosina 1861–1864. Hän yhdisti lain vuon ja Gaussin laki kanssa lain induktion ja, jotta eivät rikkoisi jatkuvuusyhtälö , esitteli myös siirtymävirta nimetty hänen mukaansa .

Maxwellin yhtälöt ovat erityinen ensimmäisen luokan lineaaristen osittaisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmä. Ne voidaan esittää myös integraalimuodossa, differentiaalisessa geometrisessa muodossa ja kovarianssimuodossa.

Maxwell -yhtälöt kenttäviivan kuvassa

Sähkö- ja magneettikentät voidaan esittää kenttäviivoilla . Sähkökenttää edustavat sähkökentän voimakkuuden ja sähköisen vuon tiheyden kentät, kun taas magneettikenttää edustavat magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuon tiheyden kentät . ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {D}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {H}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

Sähkökentän voimakkuutta ja magneettivuon tiheyttä voidaan periaatteessa havainnollistaa panoksen voimalla. Suhteet kuvataan tarkemmin artikkelissa Lorentzin voimasta . Sähkökentän tapauksessa sähkökentän voimakkuuden kulku osoittaa kentän aiheuttaman voiman suunnan (voima vaikuttaa kulloisenkin kenttäviivan tangentin suuntaan), kenttäviivan tiheyden ( kenttäviivojen läheisyys toisiinsa) edustaa kentänvoimakkuutta tällä alueella Magneettikentän tapauksessa voima vaikuttaa normaalisti magneettivuon tiheyden suuntaan ja normaali varauksen liikesuuntaan nähden. ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

Seuraavassa kuvassa kenttäviivat on esitetty positiivisella ja negatiivisella varauksella. Sähkökenttä on vahvin varauskantajilla ja pienenee etäisyyden kasvaessa:

In lähde aloilla , kenttäviivat on tunnusomaista alku ja loppu (tai kadota äärettömyyteen). Vuonna pyörre aloilla , kenttäviivat ovat suljettuja käyriä.

• Gaussin sähkökenttälaki sanoo, että sähkövaraukset ovat sähkövuototiheyden kentän lähteitä ja nieluja , eli ne edustavat niihin liittyvien kenttälinjojen alkua ja loppua. Toisaalta induktioprosesseissa esiintyy sähkökenttiä ilman lähteitä ja nieluja, niin sanottuja pyörrekenttiä.${\ displaystyle {\ vec {D}}}$
• Gaussin magnetismilaki sanoo, että magneettivuon tiheyden kentällä ei ole lähteitä. Magneettivuon tiheydessä on siksi vain kenttäviivoja, joilla ei ole päätä. Magneettikenttälinja on siis joko äärettömän pitkä tai johtaa takaisin suljettuun polkuun.${\ displaystyle {\ vec {B}}}$
• Faradayn induktiolaki : Magneettivuon muutokset ajan myötä johtavat sähköiseen pyörrekenttään.
• Laajennettu Ampèren laki , jota kutsutaan myös läpivirtaukseksi tai Maxwell -Ampèren laiksi: Sähkövirrat - mukaan lukien muutos sähkövirran tiheydessä ajan myötä - johtavat magneettiseen pyörrekenttään.

Yhtälöt

Kapeammassa mielessä Maxwellin yhtälöt ovat näiden lakien matemaattinen kuvaus. Suoraan analoginen lakien kanssa, niitä voidaan kuvata neljällä kytketyllä differentiaaliyhtälöllä, mutta on myös muita vastaavia formulaatioita.

merkintä

Menetelmät vektori analyysi (ja niihin liittyvien pinta kiinteä , käyrä kiinteä ) käytetään. tarkoittaa Nabla -operaattoria . Erooperaattorit tarkoittavat: ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}$

• ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} \ equiv \ operaattorinimi {div} {\ vec {E}}}$tarkoittaa eroavuus on${\ displaystyle {\ vec {E}}}$
• ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {E}} \ equiv \ operaattorinimi {red} {\ vec {E}}}$tarkoittaa kierto on${\ displaystyle {\ vec {E}}}$

Mikroskooppiset Maxwellin yhtälöt

Mikroskooppisen Maxwellin yhtälöt yhdistävät sähkökentän voimakkuus ja magneettivuon tiheys kanssa varaustiheys (maksu per tilavuus) ja sähkövirran tiheys (virran määrä virtauspinta-ala). ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ ${\ displaystyle \, \ rho}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

Sukunimi	SI	Fyysinen sisältö
Gaussin laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$	Sähkökenttälinjat poikkeavat toisistaan ​​sähkövarauksen läsnä ollessa; varaus on sähkökentän lähde .
Gaussin laki magneettikentille	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$	Magneettikentän linjat eivät poiketa toisistaan , magneettivuon tiheyden kenttä on lähdevapaa; magneettisia monopoleja ei ole .
Induktiolaki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t}}}$	Muutokset magneettivuon tiheydessä johtavat sähköiseen pyörrekenttään . Miinusmerkki heijastuu Lenzin sääntöön .
Laajennettu tulvien laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {j}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ osittainen {\ vec {E}}} {\ osittainen t}}}$	Sähkövirrat - mukaan lukien siirtovirta - johtavat magneettiseen pyörrekenttään.

Tätä voidaan myös käyttää. ${\ displaystyle \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} = {\ frac {1} {c ^ {2}}}}$

Makroskooppiset Maxwellin yhtälöt

Aineen läsnä ollessa mikroskooppiset Maxwell -yhtälöt ovat toisaalta hankalia, koska viime kädessä jokainen varauksen kantaja väliaineen jokaisessa atomissa on otettava huomioon. Toisaalta magneettisia ominaisuuksia (esimerkiksi kestomagneetti) ei periaatteessa voida johtaa mikroskooppisista Maxwell -yhtälöistä ilman fyysistä lisätietoa kvanttimekaniikasta.

Makroskooppiset Maxwellin yhtälöt ottaa huomioon ominaisuudet aineen muodossa materiaalin parametrien, jolloin parametrit permittiivisyys ja permeabiliteetti on määritetty tyhjä tila . Maxwell itse ei lähtenyt tyhjästä tilasta, vaan - kuten hänen aikanaan oli tapana - niin sanotulla ”eetterillä” täytetystä tilasta. Termi "makroskooppinen" tulee siitä, että aineen ominaisuudet viime kädessä luonnehtivat aineen paikallisesti keskiarvoistettuja ominaisuuksia. Varausten osalta erotetaan vapaat varauskantajat (esim. Johtimen elektronit sähköjohtimessa) ja sidotut varauskantajat (esim. Kuorielektronit), ja oletetaan, että sidotut varauskantajat johtavat makroskooppiseen polarisaatioon tai magnetointiin mikroskooppisen prosesseja . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {P}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$

Aineen läsnäolo edellyttää, että sähkö- ja magneettikenttä kuvataan kumpikin kahdella lisävektorikentällä , sähkövirran tiheydellä ja magneettikentän voimakkuudella  . ${\ displaystyle {\ vec {D}}: = {\ varepsilon _ {0}} {\ vec {E}} + {\ vec {P}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {H}}: = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} - {\ vec {M}}}$

Sukunimi	SI	Fyysinen sisältö
Gaussin laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {D}} = \ rho _ {\ text {free}}}$	Varaus on sähkökentän lähde .
Gaussin laki magneettikentille	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$	Magneettivuon tiheyden kenttä on lähde-vapaa; magneettisia monopoleja ei ole.
Induktiolaki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t}}}$	Magneettikentän muutokset johtavat sähköiseen pyörrekenttään.
Laajennettu tulvien laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = {\ vec {j}} _ {\ text {free}} + {\ frac {\ partial {\ vec {D}} } {\ osittainen t}}}$	Sähkövirrat - mukaan lukien siirtovirta - johtavat magneettiseen pyörrekenttään.

ja se on z. B.${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {free}} = \ rho - \ rho _ {\ mathrm {pol}} = \ rho + \ operaattorinimi {div} {\ vec {P}} \,.}$

Differentiaali- ja integraalirakenne

Seuraavissa osissa ja taulukoissa käytetään semanttisesti vastaavaa käytäntöä varauksen ja virran indeksoinnissa: nimittäin kirjallinen tai ilman indeksiä ja josta käytetään nimitystä "todelliset maksut" tai "todelliset virrat", kun taas päinvastoin mikroskooppisten yhtälöiden esiintyvät indeksoimattomat suuret kirjoitetaan tehokkaina suuruuksina tai vastaavasti . Tyhjiössä sovelletaan "mikroskooppisia yhtälöitä" ja indeksointi voidaan jättää pois. Seuraavat yhtälöt sitä vastoin pätevät aineeseen, ja on luotettava yhdenmukaiseen merkintään, lähinnä alla olevaan, vaikka tässä ei myöskään suljeta pois erilaisia ​​käytäntöjä. ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {free}}}$${\ displaystyle {\ vec {j}} _ {\ mathrm {free}}}$${\ displaystyle \ rho _ {E}}$${\ displaystyle {\ vec {j}} _ {B}}$

yleiskatsaus

Tässä on muun muassa. Maxwell -yhtälöt annetaan SI -yksiköissä. Muiden yksikköjärjestelmien formulaatiot luetellaan lopussa tai selitetään tekstin kommenteilla.

Symbolit, jotka on annettu seuraavassa oikeassa sarakkeessa yhden tai kahden integraalin keskellä, korostavat, että kyseessä ovat suljetut   käyrät tai pinnat.

Maxwellin yhtälöt SI -yksiköissä

differentiaalinen muoto	yhdistävän integraalin lause			Integroitu muoto
Fyysinen Gaussin laki kenttä on lähde kenttä. Varaus (varaustiheys ) on sähkökentän lähde. ${\ displaystyle {\ vec {D}}}$${\ displaystyle \ rho}$		Gauss	Tilavuuden suljetun pinnan läpi kulkeva (sähköinen) virtaus on suoraan verrannollinen sisällä olevaan sähkövaraukseen. ${\ displaystyle \ osittainen V}$${\ displaystyle V}$
${\ displaystyle \ operaattorinimi {div} {\ vec {D}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {D}} = \ rho}$		${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$	${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} {\ vec {D}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}} = \ iiint _ {V} \ rho \ \ mathrm {d} V = Q (V)}$
Lähteet vapaa B-kentän -kenttä on vapaa lähteistä . Magneettisia monopoleja ei ole. ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$		Gauss	Magneettivuo tilavuuden suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin sen sisällä oleva magneettinen varaus, nimittäin nolla, koska magneettisia monopoleja ei ole.
${\ displaystyle \ operaattorinimi {div} {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$		${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$	${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}} = 0}$
Induktiolaki Jokainen muutoskentässä johtaa vastakkaiseen sähkökenttään. Sähkökentän pyörteet riippuvat magneettivuon tiheyden muutoksesta ajan mittaan. ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$		Stokes	(Sähköinen) kierto pinnan reunakäyrän yli on yhtä suuri kuin pinnan läpi kulkevan magneettivuon negatiivinen ajallinen muutos.${\ displaystyle \ partial A}$${\ displaystyle A}$
${\ displaystyle \ operaattorinimi {rot} {\ vec {E}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} { \ osittainen t}}}$		${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$	${\ displaystyle \ oint _ {\! \ osittainen A} \! \! \! {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}} = - \! \! \ iint _ { A} \! {\ Frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$
Tulvalaki Magneettikentän pyörret riippuvat johtavuusvirran tiheydestä ja sähkövirran tiheydestä . Ajallista muutosta kutsutaan myös siirtymävirran tiheydeksi, ja johtosähkötiheyden summana tuloksena saadaan kokonaisvirrantiheys${\ displaystyle \ texttyle {\ vec {j}} _ {\ mathrm {l}}}$${\ displaystyle \ texttyle {\ vec {D}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {D}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} _ {\ mathrm {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {j}} _ {\, {\ text {total}}} = {\ vec {j}} _ {\ mathrm {l}} + {\ vec {j}} _ {\ mathrm {v}}}$		Stokes	Pinnan reunakäyrän yli kulkeva magneettikierto on yhtä suuri kuin johtavuusvirran ja pinnan läpi kulkevan sähkövirran muutos ajan myötä.${\ displaystyle \ partial A}$${\ displaystyle A}$
${\ displaystyle \ operaattorinimi {rot} {\ vec {H}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = {\ vec {j}} _ {\ mathrm {l}} \ ; + \; {\ frac {\ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen}}}$		${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$	${\ displaystyle \ oint _ {\! \ osittainen A} \! \! \! {\ vec {H}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}} = \ iint _ {A} \! { \ vec {j}} _ {\ mathrm {l}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}} \; \; + \; \; \ iint _ {A} \! {\ frac {\ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen t}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$

Selitykset

On huomattava, että kaikki määrät on mitattava mistä tahansa inertiajärjestelmästä , joka on sama kaikille määrille . Pitäisi käyttää yllä olevaa Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöitä, indusoitua jännitettä liikkuvassa johtosilmukassa, on hyödyllistä muuntaa järjestelmän liikkuvien osien muuttujat lepojärjestelmäksi käyttämällä Lorentzin muunnosta .

Tässä yhteydessä on mainittava, että jotkut oppikirjat huomauttavat seuraavan lähentämisen induktiolain sijasta:

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial A} {\ vec {E}} '\ cdot {\ text {d}} {\ vec {s}} = - \ iint _ {A} {\ frac {\ partial { \ vec {B}}} {\ osittainen t}} \ cdot {\ text {d}} {\ vec {A}} + \ oint _ {\ osittainen A} {\ vec {v}} kertaa {\ vec {B}} \ cdot {\ text {d}} {\ vec {s}} \ qquad \ left (= - {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} \ iint _ {A} {\ vec {B}} \ cdot {\ text {d}} {\ vec {A}} \, \ oikea),}$

jolloin kentänvoimakkuus mitataan vertailujärjestelmässä, jossa linjaelementti on levossa. Tämä yhtälö koskee vain nopeuksia, jotka ovat pieniä valon nopeuteen verrattuna,${\ displaystyle {\ vec {E}} '}$${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {s}}}$${\ displaystyle | {\ vec {v}} | \ ll c.}$

Sähkövirta

Puhtaasti muodollisesti sekä tavanomainen sähkövirran tiheys, joka vastaa sähkövarauskantajien virtausta, että siirtymävirran tiheys ( sähkövirran tiheyden muutos ajan myötä) voidaan tiivistää sähkövirran tiheyteen , jolla oli tärkeä rooli Maxwellin Maxwellin yhtälöiden löytäminen. Yleensä kuitenkin siirtymävirta luetellaan erikseen. Sähkövirran tiheys liitetään sähkökentän voimakkuuteen elektrodynamiikan materiaaliyhtälöiden ja esiintyvän sähkönjohtavuuden kautta . ${\ displaystyle {\ vec {j}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ vec {E}}}$

Sähkökenttä

${\ displaystyle {\ vec {D}}}$on sähkövirran tiheys, joka tunnetaan historiallisesti ja hieman hämmentävästi myös nimellä sähköinen siirtymätiheys tai sähköinen viritys . Tämä on sähkövarausten aiheuttaman sähkövirran tiheys. Sähkövirran tiheys liittyy sähkökentän voimakkuuteen elektrodynamiikan materiaaliyhtälöiden ja tuloksena olevan dielektrisen johtavuuden kautta . Sähköisellä polarisaatiolla sähköinen dipolimomentti tilavuutta kohti on vielä yleisempi . ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle {\ vec {E}}}$${\ displaystyle {\ vec {D}} = \ varepsilon _ {0} \, {\ vec {E}} + {\ vec {P}}}$${\ displaystyle {\ vec {P}}}$

Magneettikenttä

${\ displaystyle {\ vec {B}}}$on magneettivuon tiheys, joka tunnetaan myös historiallisesti induktiona . Tämä on liikkuvien sähkövarausten tai kestomagneettien aiheuttaman magneettivuon tiheys. Magneettivuon tiheys liittyy magneettikentän voimakkuuteen elektrodynamiikan materiaaliyhtälöiden ja siitä johtuvan magneettisen johtavuuden kautta . Kun magneettinen polarisaatio , magneettinen dipolimomentti per tilavuus pätee vielä yleisemmin (jäljempänä koko , joka on oltava yhtä seuraavassa on tarkoitettu kuin magnetoinnin ). ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ vec {H}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {H}} + {\ vec {J}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$${\ displaystyle {\ vec {J}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ vec {J}} {\ mu _ {0}}}}$

Magneettista polarisaatiota ei pidä sekoittaa virrantiheyteen (tarkemmin sanottuna: johtavuusvirran tiheyteen ). Pikemminkin sovelletaan seuraavaa: ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {red} {\ frac {{\ vec {B}} - {\ vec {J}}} {\ mu _ {0}}} = {\ vec {j}} + {\ frac { \ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen t}}}$

Maxwellin yhtälöiden selitys aineen kanssa

Kaikilla kolmella alueella esiintyviä aineellisia yhtälöitä ei lasketa suoraan Maxwellin yhtälöihin, vaan pikemminkin kolmeen yhtälöryhmään:

• Maxwellin yhtälöt
• Elektrodynamiikan materiaaliyhtälöt
• Jatkuvuusyhtälöt elektrodynamiikassa

Elektrodynamiikan kenttäteorian perusta yhdessä ja toisiaan täydentäen.

Historiallisista syistä, ja joskus erityistä edustamaan tiettyjä laskennan prosesseja, materiaali ja yhtälöillä siinä kolme johtavuus ovat kulloinkin osuus tyhjää tilaa tai osa johtavuus, joka johtuu asiaan, ja jakaa. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ mu _ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {r}}}$${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {r}}}$

Sähkökentän osalta dielektrisen johtavuuden jakaminen johtaa mahdollisuuteen ottaa käyttöön toinen vektorikenttä, sähköpolarisaatio (itse asiassa dielektrinen polarisaatio, jota kutsutaan myös sähköpolarisaatioksi, koska se on määritetty sähkökenttään). ${\ displaystyle {\ vec {P}}}$

Vastaavasti magneettinen polarisaatio kuvaa magneettikentän aineen suhteita, jotka irrotetaan tyhjän tilan ominaisuuksista. Magnetointi johtuu magneettisesta polarisaatiosta . (Tässä CGS järjestelmä, suhteet ovat sekava: ja viitataan samalla tavalla kuin CGS magnetointia , ja eroavat toisistaan vain yksi tekijä , riippuen siitä, onko tai on tarkoitettu.) ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ tfrac {\ vec {J}} {\ mu _ {0}}}}$${\ displaystyle {\ vec {J}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}}}$${\ displaystyle 4 \ pi}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {H}}}$

Periaatteessa sähköpolarisaation ja magneettisen polarisaation (tai sitä vastaavan magnetoinnin ekvivalenttien ) vektorikenttien käyttöönotosta voidaan luopua häviöttömästi . Sen sijaan materiaaliyhtälöiden riippuvuudet ja vastaavat yleiset johtavuudet otetaan huomioon ylemmän asteen tenoreiden muodossa. Lisäksi johtavuus voi edustaa myös toimintoja, jotta voidaan tallentaa kohteen epälineaarisia ominaisuuksia. Nämä voivat jopa riippua esikäsittelystä, eli ne voivat olla nimenomaan ajasta riippuvaisia. Tätä menettelyä suositellaan myös järjestelmälliseen lähestymistapaan, jos tämä tehdään käyttämällä SI -yksikköjärjestelmää . Historiallisista syistä, mutta myös tietyillä fysiikan osa -alueilla, - ja - (tai -) vektorikenttiä käytetään joskus erittäin intensiivisesti , minkä vuoksi tämä seikka esitetään yksityiskohtaisemmin alla. ${\ displaystyle {\ vec {P}}}$${\ displaystyle {\ vec {J}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}}}$${\ displaystyle {\ vec {P}}}$${\ displaystyle {\ vec {J}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}}}$

Asiassa se on yleensä totta

${\ displaystyle {\ vec {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} + {\ vec {P}}}$

kuten

${\ displaystyle {\ vec {H}} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} - {\ vec {M}}}$

vastaavasti.

${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ mu _ {0} ({\ vec {H}} + {\ vec {M}}) = \ mu _ {0} {\ vec {H}} + { \ vec {J}} \ ,,}$edellä esitetyllä "magneettisella polarisaatiolla" ,${\ displaystyle {\ vec {J}} = \ mu _ {0} {\ vec {M}}}$

missä erikoistapaus lineaarisuuden kanssa isotrooppisuus tai kuutio järjestelmien seuraavat yksinkertaistamisen tulokset:

${\ displaystyle {\ vec {D}} = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {\ mathrm {r}} \, {\ vec {E}}}$

ja

${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ mu _ {0} \ mu _ {\ mathrm {r}} \, {\ vec {H}}}$.

Homogeenisissa isotrooppisissa materiaaleissa (eli määrät ja ovat skalaarisia ja vakioita) saadaan Maxwellin yhtälöt ${\ displaystyle \ varepsilon \, \, (= \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {\ mathrm {r}}) \,}$${\ displaystyle \ mu \, \, (= \ mu _ {0} \ mu _ {\ mathrm {r}})}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = \ varepsilon \, {\ frac {\ semi {{vec {E}}} {\ osittainen t}} + \ sigma \, {\ vec {E}}}$

${\ displaystyle - {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {E}} = \ mu \, {\ frac {\ osittainen {\ vec {H}}} {\ osittainen t}}}$

${\ displaystyle \ varepsilon \, {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} = \ rho}$

${\ displaystyle \ mu \, {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {H}} = 0}$.

In anisotrooppinen kuin kuutio lineaarisia asia, skalaarikerrointen ja tulla kiristimet ja 2. asteen, jolloin suhteet ovat edelleen voimassa. Epälineaarisissa materiaaleissa johtavuus riippuu kentänvoimakkuuksien hetkellisistä arvoista tai yleisimmässä tapauksessa niiden koko historiasta (ks. Hystereesi ). - ja - aloilla, kutsutaan sähkö- tai magneettisten polarisaatio, katoavat ulkopuolella ainesta, jolla erityinen mainituissa tapauksissa on sama kuin ilmoitus, että tulee. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {r}}}$${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {r}}}$${\ displaystyle {\ vec {P}}}$${\ displaystyle {\ vec {J}}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {r}} = \ mu _ {\ mathrm {r}} = 1}$

Dielektrinen polarisaatio on sitten liitetty sähköinen alttius tai suhteellisen permittiivisyyden ja tyhjiön permittiivisyys ( dielektrisyysvakio ), kuten seuraavat (SI, eli yksikössä ): ${\ displaystyle \ chi _ {e}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ mathrm {\ tfrac {A \, s} {V \, m}}}$

${\ displaystyle {\ vec {P}} = \ varepsilon _ {0} \ chi _ {e} {\ vec {E}} = \ varepsilon _ {0} \ cdot ({\ varepsilon _ {\ mathrm {r} }} - 1) {\ vec {E}}}$,

kanssa

${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {r}} = 1 + \ chi _ {e}}$.

Magneettisen polarisaation tai magnetoinnin , vastaava yhtälö pätee kanssa magneettinen alttius tai suhteellinen permeabiliteetti ja tyhjiön permeabiliteetti ( magneettikenttä vakio ) kanssa yksikkö : ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ tfrac {\ vec {J}} {\ mu _ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {m}}$${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {r}}}$${\ displaystyle \ mu _ {0}}$${\ displaystyle \ mathrm {\ tfrac {V \, s} {A \, m}}}$

${\ displaystyle {\ vec {J}} = \ mu _ {0} \, \ chi _ {m} \, {\ vec {H}} = \ mu _ {0} \ cdot \ left (\ mu _ { \ mathrm {r}} -1 \ oikea) \, {\ vec {H}}}$,

kanssa

${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {r}} = 1 + \ chi _ {m}}$.

(Varoitus: ovat CGS järjestelmä ja että moninkertaisesti!) ${\ displaystyle \ chi _ {e}}$${\ displaystyle \ chi _ {m}}$${\ displaystyle 4 \ pi}$

Taitekerroin on myös määritelty kanssa

${\ displaystyle n: = {\ sqrt {\ varepsilon _ {\ mathrm {r}} \, \ mu _ {\ mathrm {r}}}}}$

ja valon nopeuden ja sähkö- ja magneettikenttävakion välinen suhde

${\ displaystyle c = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon _ {0} \, \ mu _ {0}}}}}$.

Tämä yhdistää valon etenemisen aineessa väliaineen vakioihin. Samoin on vaiheen nopeus väliaineessa

${\ displaystyle c_ {p} = {\ frac {c} {n}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon _ {0} \, \ mu _ {0} \, \ varepsilon _ {\ mathrm {r}} \, \ mu _ {\ mathrm {r}}}}}}$,

joka on yhtä suuri kuin ryhmän nopeus ilman hajontaa .

yhteenveto

Maxwellin yhtälöt aineessa SI -yksiköissä

Tulvalaki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = {\ frac {\ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen}} + {\ vec {j}}}$
Induktiolaki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t}}}$
Gaussin laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {D}} = \ rho}$
Gaussin magnetismin laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$
katso selitys	${\ displaystyle {\ vec {D}} = \ varepsilon _ {0} \, {\ vec {E}} + {\ vec {P}} \ quad}$(tai myös ) ${\ displaystyle {\ vec {D}} = \ varepsilon \, {\ vec {E}}}$
katso selitys	${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ mu _ {0} \, ({\ vec {H}} + {\ vec {M}}) \ quad}$ (tai myös ) ${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ mu \, {\ vec {H}}}$

Selitys:
Viimeksi määritetyt sulkeissa olevat suhteet koskevat vain lineaarista suhdetta. Määritelmiä ja annettu edellä ovat yleisiä. ${\ displaystyle {\ vec {P}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}}}$

Perinteisesti kaksi viimeistä ns. Materiaalilakia ja Ohmin laki ( tässä on erityinen sähkönjohtavuus ) eivät yleensä sisälly Maxwellin yhtälöihin. Jatkuvuusyhtälö kuin kuvaus säilyttämisen varauksen seuraa Maxwellin yhtälöt. ${\ displaystyle {\ vec {j}} = \ sigma \, {\ vec {E}}}$${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ osallinen \ rho} {\ osittainen t}} + \ operaattorinimi {div} \, {\ vec {j}} = 0 \,}$

Sähkökentän voimakkuudet ja magneettivuon tiheydet tulkitaan fyysisesti olemassa oleviksi voimakentiksi. Maxwell on jo yhdistänyt nämä voimakentät sähköpotentiaalikenttään ja vektoripotentiaaliin : ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle \, \ phi}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

${\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} \, \ phi - {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} \ ,,}$

${\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {A}} \,.}$

Suhde kentänvoimakkuuksia ja mahdollisuuksia on vain määritelty lukuun ottamatta mittari muunnoksia , mutta mahdollisuudet ovat olennaisen tärkeitä quantum theory.

Maxwellin yhtälöt differentiaalimuodoilla (differentiaalinen geometrinen muotoilu)

Vektori -analyysin kuvauksella on suuri haittapuoli

• rajoittuu asuntoon tai pikemminkin${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$
• on pääasiassa ”metrisesti saastunut”, koska joko euklidinen tai Minkowskin metriikka on rakennettu osaksi operaattorit , vaikka Maxwellin yhtälöt on määritelty ilman metrics
• taustalla olevan jakotukin kartan valinta on epäfyysistä, koska luonnonlakien on oltava oikeita valituista koordinaateista riippumatta .

Siksi on parempi kirjoittaa yhtälöt vaihtelevilla differentiaalimuodoilla ja siten käyttää differentiaaligeometrian menetelmiä .

Kolmiulotteinen lähestymistapa

Tässä kolmiulotteisessa lähestymistavassa aikaa käsitellään ulkoisena parametrina, kuten klassisen mekaniikan tapauksessa.

Epähomogeeniset Maxwell -yhtälöt

Antaa olla differentiaalimuoto ulottuvuuden 3 mielivaltaisella sileällä jakotukilla ja olla Cartanin ulompi johdannainen . Siis pätee ${\ displaystyle \ rho \ in \ Lambda ^ {3} ({\ mathcal {M}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle \ mathrm {d}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ rho = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ rho {\ text {on suljettu differentiaalilomake}} \ ,,}$

koska kolmiulotteisella jakotukilla ei voi olla muuta asteen 4 differentiaalimuotoa kuin 0. On tähden muotoinen alue , Poincarén lemman varmistaa , että mahdollinen muoto on olemassa sellainen, että ${\ displaystyle D \ \ Lambda ^ {2} ({\ mathcal {M}})}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} D = \ rho \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ int _ {\ mathcal {M}} \ mathrm {d} D = \ int _ {\ mathcal {M}} \ rho \ quad { \ pino {\ teksti {Stokes}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad \ oint _ {\ osittainen {\ mathcal {M}}} D = \ int _ {\ mathcal {M}} \, \, \ rho \ quad }$ (Gaussin laki).

Lisäksi oletetaan, että jakoputken varauksen aikajohdannainen on vastakkainen rajan läpi kulkevalle virralle (eli kaiken, joka haluaa päästä ulos "tilavuudesta", on virtaava rajapinnan läpi ). ${\ displaystyle \ partial _ {t} Q}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle \ osittainen {\ mathcal {M}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} Q = -I \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ partial _ {t} \ int _ {\ mathcal {M}} \ rho + \ oint _ {\! \ osittainen {\ mathcal { M}}} j = 0 \ quad {\ stackrel {\ text {Stokes}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad \ int _ {\ mathcal {M}} \ underbrace {\ left (\ partial _ {t} \ rho + \ mathrm {d} j \ oikea)} _ {\ teksti {jatkuvuusyhtälö}} = 0 \,.}$

Tämä lausunto vastaa siis jatkuvuusyhtälöön kuuluvan kokonaismaksun säilyttämislakia (jakotukin mielivaltaisuus takaa Gaussin lain mukaisesti, että tämä pätee myös ilman integraaleja). kutsutaan virrantiheydeksi (kaksimuotoinen). Niin: ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle j \ in \ Lambda ^ {2} ({\ mathcal {M}})}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} \ rho + \ mathrm {d} j = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ mathrm {d} (\ osittainen _ {t} D + j) = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad (\ osittainen _ {t} D + j) {\ teksti {on suljettu differentiaalilomake}} \,.}$

Kuitenkin Poincarén lauseen mukaan tämä matemaattinen lausunto viittaa siihen, että asteen 1 differentiaalinen muoto on olemassa tähtimäisellä alueella , joten ${\ displaystyle H \ \ Lambda ^ {1} ({\ mathcal {M}})}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} H = \ osittainen _ {t} D + j \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ int _ {\ mathcal {S}} \ mathrm {d} H = \ int _ {\ mathcal {S }} \ vasen (\ osittainen _ {t} D + j \ oikea) \ quad {\ nippu {\ teksti {Stokes}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad \ oint _ {\ osittainen {\ mathcal {S}}} H = \ int _ {\ mathcal {S}} \ vasen (\ osittainen _ {t} D + j \ oikea) \ quad}$(Maxwell-Ampèren laki).

On huomattava, että Gaussin laki seuraa puhtaasti ongelman geometriasta, eli sillä ei lopulta ole fyysistä merkitystä: Ainoa fyysinen panos on sähkövarausten olemassaolo tai jatkuvuusyhtälö, joka johtaa Maxwell-Ampèren lakiin. Epähomogeeniset yhtälöt ovat siis seurausta varauksen säilymisestä. Periaatteessa vain ns. Spinmagneetti ei vaikuta, ts. H. ne magneettiset ilmiöt, jotka eivät ole  peräisin Ampèren kiertovirroista ( j: n pyörteistä ) , joita käsitellään yksinomaan täällä (katso kvanttimekaniikan matemaattinen rakenne , erityisesti spin- osio , sekä artikkeli ns. gyromagneettinen suhde ). Tämä vaikuttaa pysyvän magneettisuuden hallitsevaan osaan . Pohjimmiltaan tämä osoittaa vain, että klassinen elektrodynamiikka ei ole itsenäinen, vaikka matemaattisesti ja teoreettisesti-fyysisesti se näyttää siltä.

Homogeeniset Maxwell -yhtälöt

Samoin kuin jatkuvuusyhtälö, induktion laki oletetaan. Pinnan läpi kulkevan magneettivuon muutokseen ajan myötä liittyy vastakkaisen rengasjännitteen induktio sen reunalla . Tämä on täysin analoginen jatkuvuusyhtälölle, vain yksi ulottuvuus syvemmälle. ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle \ osittainen S}$

${\ displaystyle U = - \ osittainen _ {t} \ Phi _ {\ text {mag}} \ quad \ Oikovalo \ quad \ oint _ {\! \ osittainen {\ mathcal {S}}} E = - \ int _ {\ mathcal {S}} \ partial _ {t} B \ quad {\ stackrel {\ text {Stokes}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad \ int _ {\ mathcal {S}} \ left (\ mathrm {d } E + \ osittainen _ {t} B \ oikea) = 0 \ quad {\ text {(induktiolaki)}}}$

Siten magneettivuon tiheys (kaksimuotoinen) ja sähkökenttä. Pinnan mielivaltaisuus varmistaa, että induktiolaki voidaan kirjoittaa myös ilman integraalia: ${\ displaystyle B \ \ Lambda ^ {2} ({\ mathcal {M}})}$${\ displaystyle E \ \ Lambda ^ {1} ({\ mathcal {M}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} E + \ osittainen _ {t} B = 0 \ quad {\ stackrel {\ mathrm {d}} {\ Rightarrow}} \ quad \ underbrace {d ^ {2}} _ {= 0} E + \ osittainen _ {t} \ mathrm {d} B = 0 \ quad \ Rightrerow \ mathrm {d} B = f (x, y, z)}$

Joten voidaan tunnistaa, että jakotukki voi riippua vain (avaruus) komponenteista , mutta ei ajasta. Kuitenkin yhtälömerkin vasemmalla puolella oleva lauseke ei riipu koordinaattien valinnasta. Joten f (x, y, z) on häviävä. Lisäksi yhtälö voi olla vain silloin Lorentzin invariantti. Tästä seuraa, että magneettivuon tiheys on turvoton (kaksimuotoinen) (eli magneettisten varausten olemattomuus, katso edellä): ${\ displaystyle \ mathrm {d} B}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} B = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ int _ {\ mathcal {M}} \ mathrm {d} B = 0 \ quad {\ stackrel {\ text {Stokes}} {\ Longleftrightarrow }} \ quad \ oint _ {\! \ osittainen {\ mathcal {M}}} B = 0 \ quad {\ text {(lähteen vapaus)}}}$

Jälleen on vain yksi postulaatti, induktion laki; vapaus lähteestä on sitten puhtaasti matemaattinen seuraus.

Materiaaliyhtälöt

Koska yhden muodot eivät ole yhteensopivia kahden muodon kanssa, ja niiden välillä on luotava suhde. Tämä tapahtuu Hodgen tähtioperaattorin kanssa , joka on isomorfismi kolmiulotteisen jakotukin yhden muodon ja kahden muodon välillä. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle D = \ varepsilon _ {0} * E \ quad {\ text {and}} \ quad B = \ mu _ {0} * H \ quad {\ text {(materiaaliyhtälöt)}}}$

Täällä on ilmeistä, miksi ja tai ja ei voida helposti tunnistaa (paitsi yksi tekijä) matemaattisia syistä. on yksi muoto ja se on integroitu käyrän kautta, on kaksimuotoinen ja tarvitsee (2-ulotteisen) pinnan integroimiseksi. (Lisäksi niihin liittyvät vektorikentät ovat myös fyysisesti merkittävästi erilaisia ​​polarisoituvassa väliaineessa.) Matemaattisesti siis näiden määrien välillä ei voi olla suhteellisuutta, kuten kuvaus viittaa vektori -analyysin avulla. Sama koskee ja : Ensimmäinen määrä kuvaa asteen 1 differentiaalimuotoa, joten se tarvitsee integrointikäyrän, kuten voiman integraali; toinen määrä on kaksimuotoinen, joten se tarvitsee aluetta kuten vuon integraali. Tämä ero vaikuttaa pedanttiselta, mutta se on perustavanlaatuinen. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle D}$

On huomattava, että mittarilla on vain rooli Hodge -operaattorin yhtälöissä. Maxwell-yhtälöt ilman aineellisia yhtälöitä ovat riippumattomia metrisen valinnasta ja jopa riippumattomia jakotukin luonteesta, kunhan ne ovat kolmiulotteisia. Vain aineellisten yhtälöiden vaikutus muuttuisi. ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle *}$

Nelikulmainen lähestymistapa

${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$olla ulottuvuuden 4 tasainen jakotukki ja ulottuvuuden 3 tasainen alajakotukki (kolmiulotteisesta lähestymistavasta) ja olla metrinen tensori, jolla on kerroin. ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ osajoukko {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle g \ in {\ mathcal {T}} _ {2} ^ {0} ({\ mathcal {N}})}$

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ left (\ operaattorinimi {diag} (-1,1,1,1) \ oikea) _ {\ mu \ nu} \ quad {\ text {(Minkowskin mittari) }}}$

(On olemassa monia vastaavia lomakkeita, jotka voidaan saada esimerkiksi kertomalla suurella 1. )

Metriikka on määriteltävä vain niin, että seuraavat neljä potentiaalia voidaan kirjoittaa nimenomaisesti muistiin (fysiikka: "vastakkaiset suureet") ilman, että menemme kiertotiellä vektorikentän kertoimien kautta (fysiikka: "kovarianssimäärät")${\ displaystyle A \ \ Lambda ^ {1} ({\ mathcal {N}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ in {\ mathcal {X}} ({\ mathcal {N}})}$

${\ displaystyle A = g ({\ mathcal {A}}, \ cdot) \ quad {\ text {where}} \ quad {\ mathcal {A}} = a ^ {\ mu} \ osittainen _ {\ mu} }$.

Sitoutuminen Minkowskin alueelle, joka on yksi vaaditaan erottamaan "avaruusmainen" ja "aikamainen" vektori tai tensorikomponentit tai kaksoistoiminnon määrittely (ks. alla), joten sitä ei vaadita tässä. Voit myös vapaasti valita mittarin ja nähdä sitten yhden lomakkeen komponentit

${\ displaystyle A = a _ {\ mu} dx ^ {\ mu} \ quad {\ text {(neljä mahdollista)}}}$

vain erilainen, koska

${\ displaystyle a _ {\ mu} = g _ {\ mu \ nu} a ^ {\ nu} \ quad {\ text {(muunnos vektorikentän ja differentiaalimuodon välillä)}}}$.

Joten tästä lähtien jakotukki on tasainen Minkowskin tila, eli B. B. d. A .. Sitten vektoripotentiaali annetaan ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} = M ^ {4} = (\ mathbb {R} ^ {4}, g)}$

${\ displaystyle A = - {\ frac {\ phi} {c}} \ \ mathrm {d} t + a_ {1} \ \ mathrm {d} x + a_ {2} \ \ mathrm {d} y + a_ {3} \ \ mathrm {d} z \ quad}$vektorikenttään .${\ displaystyle \ quad {\ mathcal {A}} = + {\ frac {\ phi} {c}} \ \ osittainen _ {t} + a ^ {1} \ \ osittainen _ {x} + a ^ {2 } \ \ osittainen _ {y} + a ^ {3} \ \ osittainen _ {z}}$

Homogeeniset Maxwell -yhtälöt

Anna ulkoinen johdannainen voidaan antaa , eli mukaan ns kentän voimakkuus tensor (Faraday kaksi-muoto): ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F \ \ Lambda ^ {2} ({\ mathcal {N}})}$

${\ displaystyle F = \ mathrm {d} A \ quad {\ stackrel {\ mathrm {d}} {\ Rightarrow}} \ quad \ mathrm {d} F = \ underbrace {\ mathrm {d} ^ {2}} _ {= 0} A = 0 \ quad {\ text {(homogeeniset Maxwell -yhtälöt)}}}$.

Vaikuttavaa on se tosiasia, että ulompi johdannainen katoaa aina, miltä se näyttää. Tämä johtaa niin sanottuun vapauteen kalibroinnista ja selittää myös, miksi rajoitus Minkowskin alueelle ei vahingoita suurta yleisöä. Koska yhtälöt kuitenkin hallitaan ilman fyysistä panosta, tästä seuraa välittömästi, että homogeeniset Maxwell -yhtälöt ovat vain seurausta avaruuden geometriasta ja käytetystä muodollisuudesta (sama koskee suhdetta : suljettu differentiaalimuoto on edelleen suurelta osin vapaa, nimittäin yhden asteen alemman muodon ulompaan differentiaaliin asti.). ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ equiv 0 \,}$

Materiaaliyhtälöt

Faradayn kaksimuotoinen voidaan kirjoittaa myös jo tiedossa olevissa kooissa:

${\ displaystyle F = E \ wedge \ mathrm {d} t + B \ quad {\ stackrel { *} {\ Rightarrow}} * F = - {\ sqrt {\ frac {\ mu _ {0}} {\ varepsilon _ {0}}}} G \ quad {\ text {(aineyhtälöt)}}}$.

Kaksimuotoista G: tä, joka on kaksoiskappale F: lle, kutsutaan Maxwellin kaksimuodoiseksi , ja se annetaan jo tunnetuilla suuruuksilla, nimittäin:

${\ displaystyle G = DH \ kiila \ mathrm {d} t}$ .

Fyysinen teoriat, F vastaa kentänvoimakkuuden tensor ja G sen kaksi tensor (katso alla).

Koko Maxwell -yhtälö vain kahdella differentiaalimuodolla

Jos nyt määritellään kolmen muotoinen  , sen ulkoinen johdannainen johtaa ${\ displaystyle J = \ rho -j \ wedge \ mathrm {d} t \ in \ Lambda ^ {3} ({\ mathcal {N}})}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} J = 0 \ quad {\ text {(jatkuvuusyhtälö)}} \,.}$

Tämä vastaa jo mainittua kokonaismaksun säilyttämislakia.

Vaikka kaksi homogeenista Maxwell -yhtälöä (Maxwell I ja II) voidaan nyt tiivistää väittämällä, että sähkö- tai magneettikentät tai niitä edustaa yksi toisen tason suljettu differentiaalimuoto ( ), seuraava koskee muita epähomogeenisia Maxwell -yhtälöitä III ja IV toteamus, että kaksoismuodon ulompi johdannainen on identtinen nykyisen muodon kanssa . Niin ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \, F}$${\ displaystyle \ mathrm {d} F = 0}$${\ displaystyle G \ ,: = \, * F}$${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} (* F) = J \ quad {\ text {(epähomogeeniset Maxwell -yhtälöt, III ja IV)}} \,.}$.

Siten kaikkien neljän Maxwell -yhtälön kokonaisuus ilmaistaan ​​matemaattisesti lyhyessä muodossa vain kahdella differentiaalimuodolla, ja . (Erityisesti jatkuvuusyhtälö seuraa välittömästi viimeisestä yhtälöstä, koska kaksinkertainen ulompi johdannainen johtaa aina nollaan.) ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle J}$

Jälleen kerran mittarilla ei ole suoraa roolia (epäsuorasti se on erittäin tärkeä, esim. Määritettäessä kaksinaisuutta, jota tarvitaan laskettaessa varauksia ja virtauksia kentistä ja määritettäessä Lorentzin invarianssin nimenomainen muoto). Jakotukki on myös mielivaltainen, kunhan sillä on ulottuvuus 4. Viime kädessä mittari on kuitenkin fyysisesti välttämätön myös täällä, ei vain juuri mainitun kaksinaisuuden tapauksessa. Tässäkin ei ole väliä vain jakoputken nelidimensioisuudella, vaan myös avaruuden ja aikakoordinaattien (tai niin sanottujen avaruus- ja aikamaisten vektorien, tensori- ja kenttäkomponenttien) välisellä erolla. ilmaistaan ​​metrisen tensorin avulla. Tätä ei anna vaan z. B. by One ei käsittele  - mutta, kuten jo sanottu, -  jakoputkea. Ero "avaruusmaisten" ja "aikamaisten" määrien välillä metriikoissa liittyy myös sähkö- ja magneettikenttien väliseen eroon . Vaikka näiden määrien (yhteensä kuusi) kenttäkomponenttia voidaan muuttaa toisiksi Lorentzin suhteilla , kentän luonnehtiminen oleellisesti "sähköiseksi" tai "magneettiseksi" on teoriaan muuttumaton, koska Lagrangen funktio , yksi ja * F , F ja J komposiitti muuttumaton funktio, josta liikeyhtälöt (eli Maxwellin yhtälöt) voidaan laskea, on olennaisesti yhtä suuri kuin B- ² -E ² on cgs järjestelmässä . (Huomautus: Minkowskin vektori on tilaa, kuten tai ajan, kuten tai valo-kaltainen , riippuen siitä, onko se positiivinen vai negatiivinen tai nolla. Analogisesti, sähkömagneettisen kentän on olennaisesti magneettinen tai sähköinen tai aaltomainen riippuen siitä Lagrangen, varten  , on positiivinen, negatiivinen tai nolla.) ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = + c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ { 2} + \ mathrm {d} z ^ {2} \ ,,}$${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ { 2} + \ mathrm {d} z ^ {2} \,.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {M} ^ {4}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} [{\ vec {v}}]}$${\ displaystyle {\ vec {J}} = 0}$

Abstrakti kokonaisvaltainen muotoilu ja tulkinta

Tämä Maxwellin yhtälöiden abstrakti differentiaalirakenne käyttää ns. Vuorottelevien differentiaalimuotojen teoriaa, erityisesti ns. Ulkoista differentiaalia. Vastaava abstrakti integraaliformulaatio perustuu tämän matemaattisen teorian yleistetyn Stokesin lauseen soveltamiseen: Tätä varten keskitytään määritettyyn kolmikanavaan, jossa on Minkowskin mittari (esim. Upotettu tilaan ), erityisesti suljetun reunan kaksijakoinen, ja saa: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {M} ^ {4} \,}$${\ displaystyle \ osittainen V \ ,,}$

${\ displaystyle \ vasen (\ iiint _ {V} \ mathrm {d} F \ equiv \ right) \, \ iint _ {\ osittainen V} \! \! \! \! \! \! \! \! \ ! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!.$

kaikille , sekä (kanssa ): ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G = * F \}}$

${\ displaystyle \ vasen (\ iiint _ {V} \ mathrm {d} G \ equiv \ right) \, \ iint _ {\ osittainen V} \! \! \! \! \! \! \! \! \ ! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \; \; \; \; osajoukko!$

Osa, joka on todella kiinnostava on takana kiinnikkeet ja symboli on fysiikan mielessä korostaa, että alue integraatio on suljetun moninaiset. Ensimmäinen kahdesta annetusta yhtälöstä sisältää Faradayn induktiolain ja magneettisten varausten olemattomuuden lain. Viimeinen yhtälö sisältää Maxwell-Ampèren lain ja Gaussin lain. Pariskunnan molemmat lait kuuluvat siis yhteen. Gaussin laki z. B. sanoo tässä annetussa abstraktissa muotoilussa: Sähkömagneettisen muodon virtaus jakotukin V reunan läpi on yhtä suuri kuin V: n sisältämä "varaus", koska se johtuu nykyisestä muodosta . ${\ displaystyle \; \; \ iint _ {\ osittainen V} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ ! \! \! \; \; \; \ osajoukko \! \ supset}$${\ displaystyle \ osittainen V}$${\ displaystyle cG}$${\ displaystyle J}$

Ilmoitettu vapaus kalibroinnista johtuu geometrisesti siitä, että tietystä reunasta voi löytää monia erilaisia ​​jakotukkia, jotka "sopivat" siihen. ${\ displaystyle \ Gamma = \ osittainen V}$${\ displaystyle V}$

Erityiset formulaatiot ja erikoistapaukset

Maxwellin yhtälöt jatkuvaan taajuuksia co monimutkaisia merkintätapa

Maxwellin yhtälöissä esiintyvät kenttävektorit eivät yleensä ole vain sijainnin vaan myös esimerkiksi ajan funktioita . Osittaisissa differentiaaliyhtälöissä sijaintimuuttujien lisäksi näkyy myös aikamuuttuja. Näiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi käytännössä rajoitutaan usein harmonisiin (sinimuotoisiin) prosesseihin. Tämä esitys on välttämätön käytännön kenttälaskennassa, esimerkiksi laskettaessa sähkömagneettisia näyttöjä tai antennitekniikkaa . ${\ displaystyle {\ vec {H}} (x, \, y, \, z, \, t)}$

Monimutkaisen merkinnän avulla voidaan välttää aikariippuvuus harmonisissa prosesseissa, koska monimutkainen aikatekijä korostuu ja Maxwellin yhtälöistä tulee näin Helmholtzin yhtälö . Maxwell -yhtälöissä näkyvät kenttäkoot ovat tällöin monimutkaisia ​​amplitudia ja vain sijainnin toimintoja. Ajan mukaisen osittaisen erilaistumisen sijasta on kertolasku kuvitteellisella tekijällä . Kerroin tunnetaan myös kulmataajuutena . ${\ displaystyle e ^ {\ mathrm {j} \, \ omega \, t}}$${\ displaystyle \ mathrm {j} \, \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$

Kuten sähkötekniikassa tavallista, kuvitteellista yksikköä merkitään (sitä ei pidä sekoittaa muuttujan kanssa, jota käytetään usein virrantiheyteen ) - se on kirjoitettu enimmäkseen matematiikassa ja teoreettisessa fysiikassa . ${\ displaystyle \ mathrm {j}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$${\ displaystyle \ mathrm {i}}$

Monimutkaisessa muodossa - monimutkaiset määrät alleviivataan niiden erottamiseksi - Maxwellin yhtälöt ovat differentiaalisessa muodossa:

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ underline {\ vec {D}}} = \ rho}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ underline {\ vec {B}}} = 0}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ underline {\ vec {E}}} = - \ mathrm {j} \, \ omega \, {\ underline {\ vec {B}}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ underline {\ vec {H}}} = {\ underline {\ vec {j}}} + \ mathrm {j} \, \ omega {\ underline { \ vec {D}}} = \ vasen (\ sigma + \ mathrm {j} \, \ omega \, \ varepsilon \ right) \, {\ alleviivattu {\ vec {E}}}}$

Maxwellin yhtälöiden kovariatiivinen muotoilu

Tässä kohdassa, kuten muuallakin artikkelissa, käytetään SI -yksikköjärjestelmää . Monet teoreetikoista löytää tämän ja siihen liittyvät tekijät , jne., On luonnotonta, erityisesti covariant formulaatio electrodynamics, ja käyttää muita järjestelmiä, kuten Gauss yksiköitä tai Heaviside-Lorentz yksikköä , jossa perus määrät electrodynamics on määritelty eri tavalla. Kirjallisuudessa voidaan siksi tähän esitykseen verrattuna alustavia tekijöitä jättää pois, lisätä tai siirtää muihin paikkoihin.${\ displaystyle \, \ mu _ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Toisin kuin Newtonin mekaniikka, elektrodynamiikka, kuten Maxwellin yhtälöt kuvaavat, on yhteensopiva suhteellisuusteorian kanssa . Tämä sisältää sen, että Maxwell -yhtälöt ovat voimassa kaikissa inertiajärjestelmissä ilman, että niiden muoto muuttuu, kun vertailujärjestelmää muutetaan. Historiallisesti tällä oli tärkeä rooli Albert Einsteinin suhteellisuusteorian kehittämisessä .

Teknisemmässä mielessä Maxwellin yhtälöt ovat relativistisesti kovariantteja tai muodon invariantteja , mikä tarkoittaa, että ne eivät muuta muotoaan Lorentzin muunnosten aikana .

Tätä ominaisuutta ei kuitenkaan ole helppo nähdä Maxwellin yhtälöissä yllä kuvatussa muodossa. Siksi voi olla hyödyllistä selvittää muodon invarianssi muotoilemalla teoria uudelleen, toisin sanoen: kirjoittaa teoria "ilmeisen kovarianttiseksi".

Tätä tarkoitusta varten, on hyödyllistä ilmaista määrät esiintyvät edellä , jne., Määrien, jotka ovat selvästi määritelty, yksinkertainen muutos käyttäytyminen alle Lorentz muunnoksia, so Lorentz skalaareja , neljä-vektorit ja neljän kiristimet on korkeampi. ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

Lähtökohtana tämä uudelleenmuotoilun ovat sähkömagneettisia potentiaalit (skalaari mahdollinen ) ja ( vektori potentiaali ), josta sähkö- ja magneettikentät voidaan vetää läpi ${\ displaystyle \, \ phi}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

• ${\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi - \ osittainen _ {t} {\ vec {A}}}$
• ${\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {A}}}$

vastaanotettu (katso myös elektrodynamiikka ). Nämä määrät voidaan muuntaa nelivektoriksi, nelipotentiaaliksi

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = \ vasen ({\ frac {\ phi} {c}}, {\ vec {A}} \ oikea)}$

Yhteenvetona. Voit myös säveltää neljän nykyisen tiheys varaustiheys ja virrantiheys , jossa ${\ displaystyle \, \ rho}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

${\ displaystyle j ^ {\ mu} = (c \ rho, {\ vec {j}})}$.

Elektrodynamiikan kenttävoimakkuuden tensori on johdettu neljästä potentiaalista, joiden komponentit ovat nimenomaan sähkö- ja magneettikenttien komponentteja lukuun ottamatta yksikköjärjestelmästä riippuvaa merkki- ja vakioesiasetinta. Hänellä on muoto

${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} = \ osittainen ^ {\ alpha} A ^ {\ beta} - \ osittainen ^ {\ beta} A ^ {\ alpha} = {\ begin {pmatrix} 0 & - { \ frac {E_ {x}} {c}} & - {\ frac {E_ {y}} {c}} & - {\ frac {E_ {z}} {c}} \\ {\ frac {E_ { x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ {\ frac {E_ {y}} {c}} & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ {\ frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0 \\\ end {pmatrix}}}$.

Nelinkertainen gradientti , johdannaisen relativistinen muoto, määritellään nyt muotoon

${\ displaystyle \ osittainen ^ {\ alpha} = \ vasen ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ osittainen t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ oikea) }$, eli   myös erot , joita vaaditaan käsiteltäessä Maxwellin yhtälöitä artikkelissa Differentiaalimuodot , jota suositellaan myös tässä vaiheessa.${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, + {\ vec {\ nabla}} \ oikea) }$${\ displaystyle \, \ mathrm {d} x ^ {\ alpha} = (c \ mathrm {d} t, \ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y, \ mathrm {d} z)}$

Näillä määrillä kaksi epähomogeenista Maxwell -yhtälöä voidaan löytää tyhjiössä käyttämällä kovarianssia

${\ displaystyle \, \ partial _ {\ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} = \ mu _ {0} j ^ {\ beta}}$

korvike. Kuten tavallista, käytetään Einsteinin summauskäytäntöä , eli se lasketaan tuotteiden kaksoisindeksien yli (tässä ). Lisäksi, kuten tavallista, indeksejä vedetään ylös ja alas metrisen tensorin avulla${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ overset {\ leftrightarrow} {\ eta}} = {\ begin {pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\\ loppu {pmatrix}}}$.

Huomaa, että kenttävoimakkuustensorin epäsymmetrian vuoksi seuraa myös jatkuvuusyhtälö (nelinkertaisen hajonnan katoaminen )

${\ displaystyle \ mu _ {0} (\ osittainen _ {t} \ rho + \ operaattorinimi {div} {\ vec {j}}) = \ mu _ {0} \ osittainen _ {\ beta} j ^ {\ beta} = \ osittainen _ {\ alfa} \ osittainen _ {\ beta} F ^ {\ alfa \ beta} = - \ osittainen _ {\ alfa} \ osittainen _ {\ beta} F ^ {\ beta \ alfa} = - \ osittainen _ {\ beta} \ osittainen _ {\ alfa} F ^ {\ beta \ alfa} = 0}$.

Kaksi homogeenista Maxwell -yhtälöä saavat ilmeisen kovarianssimuodon tyhjiössä

${\ displaystyle \, \ osittainen _ {\ alfa} F _ {\ beta \ gamma} + \ osittainen _ {\ beta} F _ {\ gamma \ alfa} + \ osittainen _ {\ gamma} F _ {\ alfa \ beta} = 0}$

Tämä on myös usein kirjoitettu kompaktimmin kuin Levi-Civita-symbolilla

${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta} \ osittainen _ {\ alfa} F _ {\ gamma \ delta} = 0}$

tai

${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} {\ tilde {F}} ^ {\ alpha \ beta} = 0}$

jossa kaksi kentänvoimakkuus tensor

${\ displaystyle {\ tilde {F}} ^ {\ alfa \ beta}: = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta} F _ {\ gamma \ delta} ,}$

jonka komponentit voidaan myös saada kuin korvaamalla vektorit kanssa ja mukaan . Niin ${\ displaystyle \, F ^ {\ alfa \ beta}}$${\ displaystyle {\ vec {E}} / c}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle - {\ vec {E}} / c}$

${\ displaystyle {\ tilde {F}} ^ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & {\ frac {E_ {z}} {c}} & - {\ frac {E_ {y}} {c}} \\ B_ {y} & - {\ frac {E_ {z}} {c} } & 0 & {\ frac {E_ {x}} {c}} \\ B_ {z} & {\ frac {E_ {y}} {c}} & - {\ frac {E_ {x}} {c }} & 0 \\ \ end {pmatrix}}}$.

Differentiaalilomakkeet mahdollistavat erityisen selkeän esityksen Maxwellin yhtälöistä, jotka ovat siksi automaattisesti kovariatiivisia. Neljä potentiaalia edustaa 1 -muoto ja neljä virrantiheyttä 1 -muoto . Kentänvoimakkuuden tensoria edustaa 2-muoto ja sen kaksoiskappale 2-muoto . Kuten differentiaalimuodoissa, symboli tarkoittaa Cartan -johdannaista . * Tarkoittaa Hodge -tähtioperaattoria . ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$${\ displaystyle * {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ mathrm {d}}$

Sitten Maxwellin yhtälöt tyhjiössä luetaan

${\ displaystyle * \ mathrm {d} * {\ vec {F}} = \ mu _ {0} {\ vec {j}}}$

ja

${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {F}} = 0}$.

Maxwellin yhtälöt ottaen huomioon hypoteettiset magneettiset monopolit

Magneettiset monopolit ovat mahdollisia tai välttämättömiä komponentteja joissakin GUT -teorioissa. He voisivat selittää sähkövarauksen kvantifioinnin, kuten Paul Dirac tunnusti jo vuonna 1931. Toistaiseksi magneettisia monopoleja on havaittu vain kvaasipartikkeleina . Todellisia hiukkasia monopoleina ei ole vielä löydetty. Siksi edellä mainituissa Maxwell -yhtälöissä oletetaan myös, ettei magneettisia monopoleja (magneettisia varauksia) ole olemassa.

Jos tällaisia ​​magneettisia varauksia löytyy tulevaisuudessa, ne voidaan helposti ottaa huomioon Maxwellin yhtälöissä.

Jos yksi asettaa monopolin varaustiheydelle , virrantiheydelle ja liikkuvien magneettisten monopolivarausten nopeudelle, vain kaksi neljästä edellä mainitusta yhtälöstä muuttuu differentiaalisessa muodossa ${\ displaystyle \ rho _ {m}}$${\ displaystyle {\ vec {j}} _ {m} = \ rho _ {m} {\ vec {v}} _ {m}}$${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {m}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {div} {\ vec {B}} = \ rho _ {m} \, \,.}$

Tulkinta: Magneettivuon tiheyden kenttäviivat alkavat ja päättyvät magneettiseen varaukseen.

${\ displaystyle \ operaattorinimi {rot} {\ vec {E}} = - \ left ({\ frac {\ partial} {\ partal t}} {\ vec {B}} + {\ vec {j}} _ { m} \ oikea) \,.}$

Tulkinta: Ajan mittaan muuttuvat magneettivuon tiheydet tai magneettisen virran tiheys aiheuttavat sähköisiä pyörrekenttiä.

Kaksi muuta yhtälöä pysyvät muuttumattomina, mutta luonnollisesti tuloksena on myös uusia integroituja (eli globaaleja) esityksiä kahdelle uudelle differentiaaliyhtälölle (eli paikalliselle), jotka voidaan kuitenkin helposti laskea Gaussin ja Stokesin integraaliteoreemien avulla.

Katoavien monopolien tapaus johtaa takaisin edellä esitettyihin tunnettuihin yhtälöihin. ${\ displaystyle \ rho _ {m} = 0}$

Maxwellin yhtälöt ja fotonimassa

Fotoni massa häviää mukaan Maxwellin yhtälöt. Nämä yhtälöt ovat rajoittavampia tapauksia yleisemmille Maxwell-Proca-yhtälöille, joilla on ei-negatiivinen massa vaihtopartikkeleita (fotonien sähkömagneettisessa tapauksessa). Sen sijaan, että Coulombin potentiaalin vaikutuksia Maxwell Proca teoriassa pistevarauksen Yukawa potentiaalia , ja on vain erilaisia tietoja Compton aallonpituus .${\ displaystyle m = 0}$${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {q} {r}}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {q} {r}} \, \ mathrm {e} ^ {- m \, c \, r / \ hbar}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {m} = h / {m \, c}}$

Historiallisia huomioita

Maxwell julkaisi yhtälönsä vuonna 1865 ( dynaaminen sähkömagneettisen kentän teoria ). Tämä alun perin kahdenkymmenen yhtälön järjestelmä sisälsi kuitenkin myös sellaisia, jotka sisälsivät määritelmiä ja yhtälöitä, joita ei enää lasketa nykyisten Maxwell -yhtälöiden joukkoon (kuten jatkuvuuden yhtälö, joka johtuu varauksen ja Lorentzin voiman aihioiden säilyttämisestä). Kaksikymmentä yhtälöä sisälsivät myös kolme komponenttia, jotka on nyt yhdistetty vektoriyhtälöksi. Vuonna 1873 Maxwellin A -käsikirja sähköstä ja magneetista , osa 2 (osa 4, luku 9) sisältää hieman muokatun luettelon, joka kuitenkin vastaa suurelta osin vuotta 1865. Lisäksi Maxwell toi yhtälönsä kvaternioniseen esitykseen, vaihtoehtona vektorilaskulle, joka oli tuolloin erityisen suosittu Iso -Britanniassa. Tämän aikana Maxwell myös lisäsi magneettisen potentiaalikentän ja magneettimassan yhtälöihinsä ja lisäsi nämä kenttämuuttujat sähkömagneettisen voiman yhtälöön . Maxwell ei kuitenkaan laskenut suoraan tässä kvaternionisessa merkinnässä, vaan käsitteli skalaariosaa ja vektoriosaa erikseen. ${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

Nykyään yleiset vektorimerkinnät muotoilivat myöhemmin Oliver Heaviside ja itsenäisesti Josiah Willard Gibbs ja Heinrich Hertz alkuperäisten Maxwell -yhtälöiden perusteella vuodesta 1865. He rajoittivat myös alkuperäisen järjestelmän (vektorimerkinnöissä) neljään yhtälöön. Niitä on helpompi lukea ja useimmissa tapauksissa helpompi käyttää, minkä vuoksi ne ovat edelleen yleisiä.

Maxwellin yhtälöt luonnollisissa yksikköjärjestelmissä

Vuonna luonnonjärjestelmät yksiköistä , luonnon vakiot eivät päde.

(Katso myös: Sähkömagneettiset yksiköt → Tärkeitä yksiköitä, joissa Maxwellin yhtälöt on muotoiltu viidessä eri yksikköjärjestelmässä.)

Gaussin yksikköjärjestelmä

Koska Gaussin yksikköjärjestelmä perustuu CGS -järjestelmään , kaikkia luonnollisia vakioita ei voida lyhentää.

Gaussin CGS -järjestelmän yleisessä versiossa Maxwell -yhtälöt ovat:

Maxwellin yhtälöt Gaussin cgs -järjestelmässä

Tulvalaki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = 4 \ pi {\ frac {\ vec {j}} {c}} + {\ frac {1} {c}} \ , {\ frac {\ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen}}}$
Induktiolaki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t }}}$
Gaussin laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {D}} = 4 \ pi \ rho}$
Gaussin magnetismin laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$

Esimerkiksi Maxwellin yhtälöt on kirjoitettu Jacksonin kuuluisassa oppikirjassa (joka käyttää myös kansainvälistä yksikköjärjestelmää (SI)). Gaussin cgs -järjestelmästä on olemassa myös versioita, jotka käyttävät eri määritelmää nykyisestä voimakkuudesta ja joissa virtauksen laki lukee (esim. Panofskyn ja Phillipsin laajalti käytetty oppikirja :)

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = 4 \ pi {\ vec {j}} + {\ frac {1} {c}} \, {\ frac {\ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen}}}$

Potentiaalien osalta cgs -järjestelmässä on asetettu seuraava:

${\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} \, \ phi - {\ frac {1} {c}} \, {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}} } {\ osittainen t}}}$ kuten ${\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {A}} \,.}$

Lisäksi pätee

${\ displaystyle {\ vec {D}} = {\ vec {E}} + 4 \ pi {\ vec {P}}}$ ja ${\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {H}} + 4 \ pi {\ vec {M}} \,.}$

Järjestelmällinen muutoskäyttäytyminen (SI ↔ cgs)

SI- ja cgs -järjestelmien välistä muunnoskäyttäytymistä voidaan kuvata systemaattisesti muutamalla rivillä, vaikka muunnokset eivät ole täysin triviaaleja, koska jälkimmäisessä järjestelmässä on kolme perusmuuttujaa ("pituus", "massa", "aika"). Niitä on neljä (plus "sähkövirta"). Cgs -järjestelmässä kaksi yhtä varautunutta pistemassaa, joiden etäisyys on yhtä suuri , kohdistavat Coulombin voimaa , kun taas SI: ssä käytetään samaa voimaa . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle q _ {\ mathrm {cgs}} ^ {2} / r ^ {2}}$${\ displaystyle q _ {\ mathrm {SI}} ^ {2} / (4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2})}$

• Ensinnäkin analogisen lain mukaan myös sähkömomentti tai sähköinen polarisaatio (sähkömomentti tilavuutta kohti) ja sähkövirran tiheys muuttuvat. Sähkökentän voimakkuus puolestaan ​​muuttuu toisiaan täydentävästi, koska tuote "Latausaikojen kentänvoimakkuus" on muuttumaton.${\ displaystyle q _ {\ mathrm {cgs}} = q _ {\ mathrm {SI}} / {\ sqrt {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \,.}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle j = \ rho v.}$${\ displaystyle q}$
• Toiseksi sovelletaan seuraavaa:   ${\ displaystyle \ texttyle E _ {\ mathrm {cgs}} = E _ {\ mathrm {SI}} \ cdot {\ sqrt {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \,.}$
• Kolmas on:  (koska on kuitenkin tyhjiössä .)${\ displaystyle \ texttyle D _ {\ mathrm {cgs}} = D _ {\ mathrm {SI}} \ cdot {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {\ varepsilon _ {0}}}} \,}$${\ displaystyle D _ {\ mathrm {SI}} = \ varepsilon _ {0} \, E _ {\ mathrm {SI}} \ ,,}$${\ displaystyle D _ {\ mathrm {cgs}} = E _ {\ mathrm {cgs}}}$

Vastaavalle magneettinen määrät (ensin: magneettinen momentti tai magneettisen polarisaation (yhteys :) , toinen: magneettikentän voimakkuus , kolmas: magneettinen induktio ), vastaavia lakeja sovelletaan, jossa otetaan tilalle . ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle J = \ mu _ {0} M}$${\ displaystyle m = J \ Delta V = \ mu _ {0} M \ Delta V}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mu _ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Kuitenkin sekä vuon laki että Faradayn induktiolaki yhdistävät sähköiset ja magneettiset suuret. Tässä valon nopeus tulee peliin perussuhteen kautta${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} \ equiv 1 / c ^ {2} \,.}$

Jos z. Tarkastellaan esimerkiksi virtauksen lakia, joka SI: ssä kuuluu seuraavasti: cgs -järjestelmässä saadaan ensimmäinen taulukossa annetuista yhtälöistä. ${\ displaystyle {\ operaattorinimi {rot}} {\ vec {H}} = {\ vec {j}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen t}} \ ,,}$

Heaviside-Lorentz-yksikköjärjestelmä

Koska Heaviside-Lorentzin yksikköjärjestelmää rationalisoidaan, tekijät jätetään pois. Yhdessä Planck -yksikköjärjestelmän kanssa Maxwell -yhtälöt eivät sisällä vakioita: ${\ displaystyle 4 \ pi}$

	HLE	yhdistettynä Planck -yksiköihin
Tulvalaki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = {\ frac {\ vec {j}} {c}} + {\ frac {1} {c}} \, {\ frac {\ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen t}}}$	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = {\ vec {j}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {D}}} {\ osittainen t}}}$
Induktiolaki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t }}}$	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t}}}$
Gaussin laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {D}} = \ rho}$	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {D}} = \ rho}$
Gaussin magnetismin laki	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$	${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$

kirjallisuus

• Richard Becker , Fritz Sauter : Sähköteoria. Osa 1 (johdanto Maxwellin teoriaan, elektroniteoriaan, suhteellisuusteoriaan). Teubner, Stuttgart 1969.
• Richard P.Feynman , Robert B.Leighton , Matthew Sands : Feynmanin luennot fysiikasta. Nide 2. Lopullinen painos. Pearson Addison-Wesley, San Francisco CA et ai. 2006, ISBN 0-8053-9047-2 .
• John David Jackson : Klassinen elektrodynamiikka. John Wiley, New York NY 1962 (3. painos. Ibid 1999, ISBN 0-471-30932-X ; saksa: 4. tarkistettu painos. De Gruyter, Berlin et al. 2006, ISBN 3-11-018970-4 ).
• Uwe Krey, Anthony Owen: Perusteoreettinen fysiikka. Tiivis yleiskatsaus . Springer, Berliini et ai. 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 . 
• Lew Landau , Jewgeni Lifschitz : Teoreettinen fysiikka. Osa 2: Klassinen kenttäteoria. 12. tarkistettu painos. Saksa, Thun ja muut 1997, ISBN 3-8171-1327-7 .
• Günther Lehner: Sähkömagneettisen kentän teoria insinööreille ja fyysikoille . 5. painos. Springer-Verlag, Berliini ja muut 2006, ISBN 3-540-26550-3 . 
• Wolfgang Panofsky , Melba Phillips : Klassinen sähkö ja magneetti. Addison-Wesley, Reading MA 1955 (2. painos. Dover, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-43924-0 ).
• Károly Simonyi : Teoreettinen sähkötekniikka. 10. painos. Barth, Leipzig ja muut 1993, ISBN 3-335-00375-6 .

nettilinkit

• Kirjallisuus Maxwellin yhtälöistä Saksan kansalliskirjaston luettelossa
• Erittäin laaja sivusto Maxwellin yhtälöistä
• Kompakti, selkeä esitys Maxwellin yhtälöistä (PDF)
• Selkeä selitys Maxwellin yhtälöille, lähes ilman kaavoja

Yksittäisiä viittauksia ja kommentteja

1. ↑ Steffen Paul, Reinhold Paul: Sähkötekniikan ja elektroniikan perusteet 2: Sähkömagneettiset kentät ja niiden sovellukset . Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-642-24157-3 , s. 200 ( rajoitettu esikatselu Google -teoshaussa). 
2. ↑ Wolfgang Nolting: Peruskurssi Teoreettinen fysiikka 3, luku . 4.1.3, books.google.de ; se puhuu neljästä yhtälöstä
3. ↑ Näitä mikroskooppisia prosesseja kuvataan yleensä kvanttimekaniikassa, jolloin spinmagneettisuuden tapauksessa on käytettävä jopa kvanttimekaniikan relativistista muotoa, ns. Diracin yhtälöä .
4. ↑ ^{a b} Haarukoitu kaksoisintegraali on nolla, jos magneettinen tai sähköinen induktio pysyy vakiona. Myös tässä tapauksessa on sähkömoottorivaikutus, jos integraatiopinnassa tapahtuu muutos tarkasteltavana olevassa ajassa , mikä johtaa Lorentzin voimaan . Katso toinen seuraavasta osasta annetuista yhtälöistä.${\ displaystyle dt}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$
   
5. ↑ Fysiikan kirjallisuudessa, ja jos se on selvästi tunnistettavissa asiayhteydestä, johtamisvirran tiheyttä kutsutaan yleensä nimellä . Termi on yleinen sähkötekniikassa .${\ displaystyle {\ vec {j _ {\ mathrm {l}}}}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$${\ displaystyle {\ vec {J}}}$
6. ↑ Klaus W. Kark: Antennit ja säteilykentät - sähkömagneettiset aallot vapaan tilan linjoilla ja niiden säteily . 3. Painos. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, luku. 3.7.1, s.46 f.
7. ^ ^{A b} James Clerk Maxwell: Sähkömagneettisen kentän dynaaminen teoria . (PDF) julkaisussa: Royal Society Transactions , 155, 1865, s.459-512, toimittanut 1864 .
8. ↑ Yakir Aharonov, David Bohm: Sähkömagneettisten mahdollisuuksien merkitys kvanttiteoriassa . Julkaisussa: Physical Review , 115/3, 1959.
9. ↑ Maxwellin yhtälöiden esitys differentiaalimuodossa on esitetty (samanlainen kuin tämä) esimerkiksi Martin R. Zirnbauerin (Kölnin yliopisto) luennoilla , jotka on julkaistava kirjana Springer Verlag, tai esimerkiksi julkaisussa Friedrich W.Hehl, Juri Oboukhov: Klassisen elektrodynamiikan perusteet: varaus, virtaus ja metrinen . Birkhäuser 2003. Hehl, Oboukhov, Rubilar: Classical Electrodynamics - opetusohjelma sen perustasta . 1999, arxiv : fysiikka / 9907046 . Hehl, Oboukhov: Lempeä johdanto klassisen elektrodynamiikan perustaan . 2000, arxiv : fysiikka / 0005084 .
10. ↑ Kaksinaisuusoperaatio vaihtaa mm. kovariantti- ja vastavarianttivektorin komponentit, se riippuu siksi metrisestä tensorista.
11. ↑ Tässä vaiheessa on hyväksytty, että "magneettinen polarisaatio" voidaan sekoittaa muuttujan kanssa, jolla on sama nimi (katso edellä)${\ displaystyle J}$${\ displaystyle, \ equiv \ mu _ {0} M \ ,,}$
12. ↑ Albert Einstein: Liikkuvien kappaleiden elektrodynamiikasta . Julkaisussa: Annalen der Physik und Chemie , 17, 30. kesäkuuta 1905, s. 891-921.
13. ↑ sopimuksella siitä tulee${\ displaystyle \ hbar = c = 1}$${\ displaystyle {\ tfrac {q} {r}} \, \ mathrm {e} ^ {- m \, r}}$
14. ↑ pienennetyllä Comptonin aallonpituudella Yukawan potentiaali yksinkertaistetaan${\ displaystyle {\ lambda \! \! \! ^ {-}} = \ hbar / {m \, c}}$${\ displaystyle {\ tfrac {q} {r}} \, \ mathrm {e} ^ {- r / {\ lambda \! \! \! ^ {-}}}}$
15. ↑ James Clerk Maxwell: Käsite sähköstä ja magnetismista . Dover Publications, New York 1873, ISBN 0-486-60636-8 ja ISBN 0-486-60637-6 .
16. ↑ Oliver Heaviside: Voimista, rasituksista ja energian virtauksista sähkömagneettisessa kentässä . Julkaisussa: Philosophical Transactions of the Royal Society , 183A, 1892, s.423
17. ↑ EB Wilson: Josiah Willard Gibbsin vektori -analyysi - suuren mielen historia . Charles Scribnerin pojat, New York 1901.
18. ↑ Merkintöjen kehittämisestä Maxwellissa: Gerhard Bruhn: Maxwellin yhtälöt - alkuperäisestä nykyaikaiseen merkintään . TU Darmstadt.
19. ^ Jackson: Klassinen elektrodynamiikka
20. ↑ z. B. Panofsky, Phillips, 2. painos 1978, s. 466. Liitteessä on myös selityksiä mittayksiköistä. Käytettyjen Gaussin cgs -järjestelmien epäselvyyksistä katso myös alaviite Jacksonista, s. 817.
21. ↑ SI- ja cgs -järjestelmien välinen yhteys näkyy erityisen selvästi "Jacksonin" kolmannen ja sitä seuraavien painosten erityisessä luvussa (katso yllä).
22. ↑ Annetut muunnosyhtälöt eivät ole voimassa vain tyhjiössä.