Aaltoyhtälö

Aalto yhtälö , myös D'Alembert yhtälön mukaan Jean-Baptiste le Rond d'Alembert , määrittää eteneminen aallot , kuten ääni tai valo . Se on yksi hyperbolisista differentiaaliyhtälöistä .

Jos väliaine tai alipaine kuljettaa vain aallon läpi eikä synny itse aaltoja, se on tarkemmin homogeeninen aaltoyhtälö , toisen asteen lineaarinen osittainen differentiaaliyhtälö

${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ osittainen ^ {2} u} {\ osittainen t ^ {2}}} - \ summa _ {i = 1} ^ { n} {\ frac {\ osittainen ^ {2} u} {\ osittain x_ {i} ^ {2}}} = 0}$

avaruusajan todelliselle toiminnalle . Tässä on huoneen ulottuvuus. Parametri on aallon etenemisnopeus, so. Äänen nopeus äänelle (homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa) ja valon nopeus valolle. ${\ displaystyle u (t, x_ {1}, \ pistettä, x_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle c}$

Aaltoyhtälön differentiaalioperaattoria kutsutaan D'Alembert-operaattoriksi ja se merkitään symbolilla . ${\ displaystyle \ Box}$

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen t ^ {2}}} - \ summa _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittain x_ {i} ^ {2}}}}$,

Aaltoyhtälön ratkaisuja kutsutaan aaltoiksi . Koska yhtälö on lineaarinen, aallot menevät päällekkäin vaikuttamatta toisiinsa. Koska aaltoyhtälön kertoimet eivät riipu paikasta tai ajasta, aallot käyttäytyvät riippumatta siitä, missä tai milloin ja mihin suuntaan ne ovat innoissaan. Siirtyvät, viivästyneet tai kierretyt aallot ovat myös ratkaisuja aaltoyhtälöön.

Epähomogeeninen aalto yhtälö ymmärretään olevan epähomogeenisen lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö

${\ displaystyle \ Box u = v \.}$

Se kuvaa aaltojen ajallista kehitystä väliaineessa, joka tuottaa itse aaltoja. Epähomogeenisuutta kutsutaan myös aallon lähteeksi . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

Aaltoyhtälö spatiaalisessa ulottuvuudessa

D'Alembert-operaattori avaruusulottuvuudessa

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ osal ^ {2}} {\ osittainen t ^ {2}}} - {\ frac {\ osaa ^ { 2}} {\ osittainen x ^ {2}}}}$

hajoaa tuotteeksi mustan lauseen vuoksi, kuten binomikaavassa${\ displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) = (ab) (a + b)}$

${\ displaystyle \ Box = \ vasen ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ osal} {\ ositettu t}} - {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x}} \ oikea) \ vasen ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partit t}} + {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x}} \ oikea)}$.

Siksi aaltoyhtälöllä on yleinen ratkaisu yhdessä avaruusulottuvuudessa

${\ displaystyle u \ vasen (t, x \ oikea) = f (x + ct) + g (x-ct)}$

kaikilla kaksinkertaisesti erotettavissa olevilla toiminnoilla ja . Ensimmäinen kesä on aalto, joka liikkuu vasemmalle ja toinen kesä on aalto, joka liikkuu oikealle muuttumattomana. Suorat viivat ovat aaltoyhtälön ominaisuuksia . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle f (x + ct)}$${\ displaystyle g (x-ct)}$${\ displaystyle x \ pm ct = {\ teksti {vakio}}}$

Olla

${\ displaystyle \ phi (x) = u (0, x) = f (x) + g (x)}$

alkuarvo ja

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ osittain u} {\ osittainen t}} (0, x) = f '(x) -g' (x) }$

aallon alkuaikajohdannainen. Näitä avaruuden toimintoja kutsutaan yhdessä aallon alkuperäisiksi arvoiksi.

Viimeisen yhtälön integraatio antaa

${\ displaystyle f (x) -g (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \.}$

Liuottamalla yksi saa

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ phi (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ oikea) \,}$

${\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ phi (x) - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ oikea) \.}$

Siksi aaltoyhtälön ratkaisu ilmaistaan ​​sen alkuarvoina

${\ displaystyle u (t, x) = {\ frac {1} {2}} \ vasen (\ phi (x + ct) + \ phi (x-ct) + \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ oikea) \.}$

Tämä tunnetaan myös nimellä D'Alembertin ratkaisu aaltoyhtälöön ( d'Alembert , 1740-luku).

Aaltoyhtälö kolmessa alueellisessa ulottuvuudessa

Aaltoyhtälön yleinen ratkaisu voidaan ilmaista tasoaaltojen lineaarisena yhdistelmänä

${\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = \ int \ mathrm {d} \ omega \ int \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {k}} \, A (\ omega, k) e ^ {\ mathrm {i} ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} - \ omega t)} \ delta (\ omega -c | {\ vec {k}} |) }$

kirjoittaa. Delta jakauma varmistaa, että dispersio suhde on säilynyt. Tällainen tasoaalto liikkuu suuntaan . Tällaisten ratkaisujen päällekkäisyydellä ei kuitenkaan ole selvää, miten niiden alkuperäiset arvot liittyvät myöhempään ratkaisuun. ${\ displaystyle \ omega = c | {\ vec {k}} |}$${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

Homogeenisen aaltoyhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää kolmessa ulottuvuudessa alkuarvojen keskiarvojen avulla. Olkoon funktio ja sen aikaderivaatta annetaan alussa toiminnoittain ja , ${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}})}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle u (0, {\ vec {x}}) = \ phi ({\ vec {x}}), \ quad {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partic} {\ osittainen t}} u (0, {\ vec {x}}) = \ psi ({\ vec {x}}) \ ,,}$

silloin on keskimääräinen lineaarinen yhdistelmä

${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ osal} {\ osittainen t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi])}$

vastaava homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu. Tässä nimetty

${\ displaystyle M_ {t, {\ vec {x}}} [\ chi] = {\ frac {1} {4 \, \ pi}} \ int _ {- 1} ^ {1} \ mathrm {d} \ cos \ theta \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \, \ chi ({\ vec {x}} + ct {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi )) \ quad {\ text {mit}} \ quad {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi) = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}$

on funktion keskiarvo keskimäärin pallomaisessa kuoressa pinnan ympärillä, jonka säde on erityisesti${\ displaystyle \ chi \ ,,}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle c | t |.}}$${\ displaystyle M_ {0, {\ vec {x}}} [\ chi] = \ chi ({\ vec {x}}).}$

Koska tämä esitys liuosta osoitetaan alkuarvot, liuos riippuu jatkuvasti alkuarvot, riippuen ajasta paikassa vain alkuarvot paikoissa välillä, joista yksi ajonaikaisesti nopeasti voi saavuttaa. Se täyttää siten Huygens-periaatteen . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle | t |}$${\ displaystyle c}$

Tätä periaatetta ei sovelleta yksiulotteisiin järjestelmiin ja suoriin avaruusulottuvuuksiin. Siellä ratkaisut riippuvat tällä hetkellä myös lähempänä olevien pisteiden alkuarvoista , joista pääsee hitaammin. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu kolmessa alueellisessa ulottuvuudessa

${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ osal} {\ osittainen t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi]) + {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {| {\ vec {z}} | \ leq c | t |} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- \ operaattorin nimi {merkki} (t) | {\ vec {z}} |, {\ vec {x}} + {\ vec {z}})} {| {\ vec {z}} |}}}$

Tällä hetkellä vain riippuu epähomogeenisyydestä siitä taaksepäin valokeila on , milloin negatiivinen aikoina vain epähomogeenisyydestä on eteenpäin valokeila. Epähomogeenisuus ja alkuarvot vaikuttavat ratkaisuun valon nopeudella. ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Hidastunut potentiaali

Jälkeenjäänyt potentiaali

${\ displaystyle u _ {\ text {retarded}} (t, {\ vec {x}}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- | {\ vec {z}} |, \, {\ vec {x}} + {\ vec { z}})} {| {\ vec {z}} |}}}$

on ratkaisu epähomogeenisesta aaltoyhtälöstä, jossa oletetaan, että epähomogeenisuus kaikissa taaksepäin valokartioissa putoaa nopeammin kuin . Se on aalto, jonka media muodostaa kokonaan ilman ohittavaa aaltoa. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle 1 / r ^ {2}}$

Elektrodynamiikassa jatkuvuusyhtälö rajoittaa epähomogeenisuutta. Täten katoamattoman kokonaispanoksen varaustiheys ei voi koskaan kadota kaikkialla. Häiriöteoriassa esiintyy epähomogeenisyyksiä, jotka eivät vähene alueellisesti riittävän nopeasti. Sitten siihen liittyvä hidastunut integraali eroaa ja sillä on ns. Infrapuna-ero.

Hieman monimutkaisempi ratkaisun esitys sen alkuperäisten arvojen kautta rajallisena aikana ja integraalien kautta valokartion rajallisissa osissa ei sisällä tällaisia ​​infrapunaeroja.

D'Alembert-operaattorin Lorentzin muuttumattomuus

D'Alembert-operaattori on invariantti käännösten ja Lorentz-muunnosten alla siinä mielessä, että kun sitä käytetään Lorentz-ketjutettuihin toimintoihin, se antaa saman tuloksen kuin Lorentz- ketjutettu johdettu funktio ${\ displaystyle \ Box}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle f \ circ \ Lambda ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (\ Box f) \ circ \ Lambda ^ {- 1} = \ Box \, (f \ circ \ Lambda ^ {- 1}) \.}$

Vastaavasti Laplace-operaattori on muuttumaton käännösten ja kiertojen alla.

Homogeeninen aaltoyhtälö on invariantti jopa konformaalisissa muunnoksissa, erityisesti venytettäessä.

Katso myös

• Klein-Gordonin yhtälö
• Seisova aalto

kirjallisuus

• Richard Courant , David Hilbert : Matemaattisen fysiikan menetelmät. 2. osa. Toinen painos. Springer Verlag, Berliini 1968 ( Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN  0073-1684 ).
• Fritz John : Partial Differential Equations, 4. painos, Springer 1982

nettilinkit

• Gernot Pfanner, Aaltoyhtälö (PDF)
• Norbert Dragon, Suhteellisuusteollisuuden geometria (PDF; 2,5 Mt), luku 5.5

Yksittäiset todisteet

1. ↑ Eric Weisstein, d'Alembertin ratkaisu, Mathworld