Alkuperäinen kunto

Ensimmäinen edellytys varten tavallisen differentiaaliyhtälön valtioiden toiminnallinen arvo haetaan ratkaisu ja, tarvittaessa, sen johdannainen (t) tulisi olla tietyssä vaiheessa.

Käytännössä jokainen differentiaaliyhtälö sallii loputtoman määrän ratkaisuja. Alkuehto tekee valinnan kaikista näistä ratkaisuista. Joskus useat, toisinaan yksi, joskus mikään ratkaisuista ei täytä alkuperäistä ehtoa.

Jokainen, joka lisää alkuehdon differentiaaliyhtälöön, aiheuttaa alkuarvo-ongelman . Erityisen jännittävä kysymys on, kuinka tietyn differentiaaliyhtälön lähtöolosuhteet on suunniteltava siten, että syntynyt alkuarvo-ongelma sallii täsmälleen yhden yksilöllisesti määritetyn ratkaisun.

Käytännön merkitys

Jos differentiaaliyhtälö kuvaa ajan mittaan tapahtuvaa kehitystä, esimerkiksi kohteen liikkumista avaruudessa, alkuehto määrittelee tilan, jossa liike alkaa, kuten kohteen alkuperäisen sijainnin.

Kysymys siitä, millainen alkuehto sopii yksiselitteisen ratkaisun merkitsemiseen, tarkoittaa sitten: Mitä minun on tiedettävä järjestelmän nykyisyydestä voidakseni laskea uudelleen sen historiallisen kehityksen ja ennustaa täysin sen tulevaisuuden?

Matemaattisessa mielessä lähtötilan ei tarvitse välttämättä viitata ajalliseen tai spatiaaliseen lähtökohtaan. Sitä, mitä puhekielessä esiintyy "lopputilana" tai "välitilana", kutsutaan matematiikassa myös "alkutilaksi".

Ja lineaarinen differentiaaliyhtälöt , läsnäolo alkuehdot (ei nolla) vastaa virityksen saman järjestelmän kanssa pulssi , mutta tässä alkuehdot ovat nolla.

esimerkki

Vapaa pudotus (kuten omena puusta) kuvataan liikeyhtälö

${\ displaystyle {\ begin {aligned} y '' (t) & = - g \\\ Rightarrow y '(t) & = - g \ cdot t + v_ {0} \ end {kohdistettu}}}$

vakion kanssa ( painovoimasta johtuva kiihtyvyys ). ${\ displaystyle g \ noin 9 {,} 81 ~ \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ {2}}$

Joukko ratkaisuja tämän differentiaaliyhtälön koostuu aluksi kaikki toiminnot muodossa

${\ displaystyle \ Rightarrow y (t) = - {\ tfrac {1} {2}} gt ^ {2} + v_ {0} \ cdot t + y_ {0}}$

kaikkien integraatiovakioiden kanssa ja . ${\ displaystyle y_ {0}}$${\ displaystyle v_ {0}}$

Mahdollinen alkuehto kertoo esim. Oletetaan esimerkiksi, että liikkeen alussa omena roikkuu oksasta, jonka korkeus on kolme metriä:

${\ displaystyle y (0) = y_ {0} = 3 ~ \ mathrm {m}}$

ja on levossa:

${\ displaystyle y '(0) = v_ {0} = 0 ~ \ mathrm {m} / \ mathrm {s}}$.

Tämä alkuehto piirtää nyt yhden funktion differentiaaliyhtälön ratkaisusarjassa

${\ displaystyle \ Rightarrow y (t) = 3 ~ \ mathrm {m} - {\ tfrac {1} {2}} gt ^ {2}}$

alkuperäisen arvon ongelman yksilöllisesti määritettynä ratkaisuna.

yleistys

Osittaisten differentiaaliyhtälöiden tapauksessa , ts. Kun etsimäsi funktio ei riipu pelkästään yhdestä, vaan useista muuttujista, alkuehtojen sijaan käytetään usein rajaehtoja . Joskus erikoistapaus reunaehtona domeeni, joka muodostaa hypertaso täydessä domeenin differentiaaliyhtälön, kutsutaan ensimmäinen edellytys.

merkintä

1. ↑ Ajan funktioiden tapauksessa tietty piste voi olla ajankohta, joka löytyy aikojen alusta termeissä alkuehto ja aloitusarvo .

kirjallisuus

• Hans Heiner Storrer: Johdanto luonnontieteiden matemaattiseen käsittelyyn. 2. osa, 1. painos, Birkhäuser Verlag, 1995, ISBN 978-37-6435-325-4 .
• Klaus D. Schmidt: Matematiikka. Fundamentals for Economists, 2. tarkistettu painos, Springer Verlag Berlin - Heidelberg, Berliini 2000, ISBN 978-3-540-66521-2 .

nettilinkit

• Ratkaise differentiaaliyhtälöt (käytetty 15. lokakuuta 2015)
• Riippuvuus alkuperäisistä olosuhteista (käytetty 15. lokakuuta 2015)
• Parabolisen rajan alkuarvon ongelmat satunnaisella alkutilalla (käytetty 15. lokakuuta 2015)