Raja -arvon ongelma

Raja -arvo -ongelmat (lyhyt: RWP ) myös raja -arvo -ongelma (lyhyt: RWA ) tai englantilainen raja -arvo -ongelma (lyhyt: BVP ) on tärkeä matematiikan ongelmaluokka, jossa etsitään ratkaisuja tietylle differentiaaliyhtälölle (DGL). Määrittelyalueen reunan tulee olettaa ennalta määritetyt funktioarvot ( reunaehdot ). Tämän vastine on alkuarvoon liittyvä ongelma , jossa ratkaisu annetaan mihin tahansa verkkotunnuksen kohtaan.

Tavallinen differentiaaliyhtälö

Dirichletin ongelma

Antaa ja olla todellisia lukuja. Lomakkeen funktion rajatiedot tai rajaehdot${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle u \ kaksoispiste [a, b] \ - \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle u (a) = \ alfa \ quad {\ text {ja}} \ quad u (b) = \ beta}$

kutsutaan ensimmäisen tyypin reunaehdoiksi tai Dirichletin rajaehdoiksi. Jos on , puhumme homogeenisista Dirichletin raja -olosuhteista. Muuten puhumme epäyhtenäisistä raja -olosuhteista. ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = 0}$

Etsimme toimintoa, joka on ratkaisu seuraavaan ongelmaan: ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle (N) {\ begin {tapauksissa} f (x, u (x), u '(x), u' '(x)) = 0, \ quad x \ in (a, b) & \\ u (a) = \ alfa, ~ u (b) = \ beta. & \ end {tapaukset}}}$

Tässä on määrätty toiminto ja määrätyt reunaehdot. Riittävät ehdot ratkaisujen olemassaololle (ja ainutlaatuisuudelle) löytyvät artikkelista Dirichlet -ongelma . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle (N)}$

Myrsky Liouville RWP

Be on itsekiinnittyvä lineaarinen differentiaalioperaattori 2. asteen rajaoperaattoreilla, joilla on${\ displaystyle r, p, q \ in {\ mathcal {C}} ([a, b], \ mathbb {R})}$
${\ displaystyle Lu: = (pu ')' + qu}$
${\ displaystyle {\ alpha _ {0}} ^ {2} + {\ alpha _ {1}} ^ {2}> 0, ~ {\ beta _ {0}} ^ {2} + {\ beta _ { 1}} ^ {2}> 0}$
${\ displaystyle R_ {a} u: = \ alpha _ {0} u (a) + \ alpha _ {1} p (a) u '(a)}$
${\ displaystyle R_ {b} u: = \ beta _ {0} u (b) + \ beta _ {1} p (b) u '(b)}$

${\ displaystyle (*) {\ begin {tapauksissa} (Lu) (x) = r (x) & \\ R_ {u} (a) = \ eta _ {a}, ~ R_ {u} (b) = \ eta _ {b} & \ end {tapaukset}}}$

on nimeltään Sturm-Liouville-RWP.

Myrsky Liouville EWP

${\ displaystyle (P _ {\ lambda}) {\ begin {tapauksissa} (Lu) (x) = \ lambda u (x) & \\ R_ {u} (a) = R_ {u} (b) = 0 & \ end {tapaukset}}}$

Niitä , joille se ei ole selkeästi ratkaistavissa, kutsutaan ominaisarvoiksi . Vastaavia ratkaisuja kutsutaan ominaisfunktioiksi. ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (P _ {\ lambda})}$

Osittaiset differentiaaliyhtälöt

Ole avoin ja rajoitettu, ole Lebesguen mitattavissa oleva funktio, kuvaa raja-arvot. Ratkaisuja etsitään kussakin tapauksessa . Osittaisdifferentiaaliyhtälö saadaan ero operaattori . Erityisesti, elliptinen differentiaalioperaattori aina johtaa raja-arvon ongelmia, kuten Laplace-operaattori on Poissonin yhtälön . ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle u \ kaksoispiste \ Omega \ oikea nuoli \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle L \ kaksoispiste \ \ mapsto L (u)}$

Dirichletin ongelma

Kun Dirichlet'n ongelma , toiminta-arvot on määritelty reunalla.

${\ displaystyle L (u) (x) = f (x)}$ varten ${\ displaystyle x \ in \ Omega,}$

${\ displaystyle u (x) = g (x)}$ varten ${\ displaystyle x \ \ \ osittainen \ Omega.}$

Neumannin ongelma

Toiminnallisten arvojen sijasta Neumannin ongelmalle määrätään johdannaisarvoja.

${\ displaystyle L (u) (x) = f (x)}$ varten ${\ displaystyle x \ in \ Omega,}$

${\ näyttötapa {\ frac {\ osittainen u} {\ osittainen n}} (x) = g (x)}$ varten ${\ displaystyle x \ \ \ osittainen \ Omega.}$

Vino reunaehto

Vinossa reunaehto on yhdistelmä kahden edellisen ongelmia. Tässä toiminto haetaan rajalla pitäisi olla yhtä suuri kuin sen tavanomaisia johdannais- rajalle.

${\ displaystyle L (u) (x) = f (x)}$ varten ${\ displaystyle x \ in \ Omega,}$

${\ displaystyle u (x) = {\ frac {\ osittainen u} {\ osittainen n}} (x)}$ varten ${\ displaystyle x \ \ \ osittainen \ Omega.}$

Aids

Greenin toiminnot ovat tärkeä teoreettinen apu raja -arvoon liittyvien ongelmien tutkimisessa .

On numeerisesti , kuten menetelmä likimääräinen ratkaisu z. B. käytetään FDM: ää ( äärellinen ero menetelmä ), FEM: ää ( finite element method ), kuvausmenetelmää ja usean kohteen tavoitetta .

Tieteellinen sovellus

Mallinnus monien prosessien luonne ja tekniikka perustuu differentiaaliyhtälöt. Tyypillisiä yksinkertaisia ​​esimerkkejä RWP: stä ovat

• tärisevä naru, joka on tiukasti kiinni molemmissa päissä (= reuna)
• värisevä kalvo (reuna on tässä pyöreä rengas)
• Satelliittien liikeyhtälöt Keplerin kiertoradalla , katso myös kiertoradan määritys
• ketju linja ketjun roikkuu kahden pisteen välillä tai merenpohjasta ja laivan
• niiden kolmen lamellin säteiden muoto, jotka muodostuvat, kun kaksi itsenäistä saippuakuplaa muodostavat ensimmäisen parin
• trampoliinin pinnan muodonmuutos, kun se pomppii päälle.
• oletuksena pysyvä lämpötila lämmönjohtamisessa
• olettama jatkuvasta lämmönvirtaustiheydestä kahden väliaineen rajalla (esim. täydellinen eristys)

Sitä vastoin kokeiluja materiaalimalleilla - jousiverkosta, kumipeitteestä, saippuakuplasta - voidaan käyttää matemaattisesti muotoiltujen tehtävien ratkaisemiseen tai niiden havainnollistamiseen:

• Gravitaatiopotentiaali, jota edustaa vaakasuoraan reunasta puristetun kumipeitteen keskipiste, (elliptinen) kiertävä liike pienen vierintäpallon avulla
• Jännitysoptiikka

kirjallisuus

• Harro Heuser: Tavalliset differentiaaliyhtälöt , Teubner, maaliskuu 2004, ISBN 3-519-32227-7
• Wolfgang Walter: Tavalliset differentiaaliyhtälöt , Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2