Algebrallinen geometria

Algebrallinen geometria on matematiikan että abstraktin algebran , erityisesti tutkimus kommutatiivinen renkaita , jossa geometria liittyy. Sitä voidaan kuvata lyhyesti algebrallisten yhtälöiden nollien tutkimiseksi .

Geometriset rakenteet nollaryhmänä

Pallo ja "kallistettu" ympyrä

Algebrallisessa geometriassa geometriset rakenteet määritellään nollien joukoksi polynomien joukossa . Esimerkiksi kolmiulotteisen euklidisen avaruuden kaksiulotteinen yksikköpallo voidaan määritellä joukoksi kaikkia pisteitä , joille: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0}$.

"Kallistettu" ympyrä voidaan määritellä joukoksi kaikkia pisteitä, jotka täyttävät seuraavat kaksi polynomiehtoa: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0,}$

${\ displaystyle x + y + z = 0.}$

Affine-lajikkeet

Jos yleensä on kenttä ja sarja polynomeja on muuttujien kertoimia , sitten joukko nollia on määritelty, että osajoukko , joka koostuu yhteisestä nollat polynomi . Tällaista nollaryhmää kutsutaan affiiniseksi lajikkeeksi . Affiini lajikkeet määritellä topologia päällä , nimeltään zariskin topologia . Hilbertin peruslauseen seurauksena kukin lajike voidaan määritellä vain lopullisesti monilla polynomiyhtälöillä. Lajiketta kutsutaan pelkistämättömäksi, jos se ei ole kahden todellisen suljetun osajoukon liitos. On käynyt ilmi, että lajike pelkistymätön jos ja vain jos polynomi jotka määrittävät sen tuottaa alkuideaali on polynomin renkaan. Lajikkeiden ja ihanteiden vastaavuus on algebrallisen geometrian keskeinen teema. Voidaan melkein antaa sanakirja geometristen termien, kuten lajike, pelkistämätön jne., Ja algebrallisten termien, kuten ihanteellinen, pääideaali, välillä. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle V (S)}$${\ displaystyle K ^ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle K ^ {n}}$

Jokainen lajike voidaan liittää kommutatiiviseen renkaaseen, niin kutsuttuun koordinaattirenkaaseen . Se koostuu kaikista lajikkeelle määritellyistä polynomisista funktioista. Tämän renkaan pääideaalit vastaavat redusoitumattomia alilajikkeita ; jos se on algebrallisesti suljettu , mikä yleensä oletetaan, niin pisteet vastaavat koordinaattirenkaan maksimaalisia ihanteita ( Hilbertin nollateoreema ). ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle V}$

Projisoitava tila

Sen sijaan, että työskentelisi affiinisessa tilassa , siirrytään tyypillisesti projektiiviseen tilaan . Suurin etu on, että kahden lajikkeen leikkauspisteiden määrä voidaan sitten helposti määrittää Bézoutin lauseen avulla . ${\ displaystyle K ^ {n}}$

Nykyaikaisessa näkemyksessä lajikkeiden ja niiden koordinaattirenkaiden välinen vastaavuus on päinvastainen: aloitetaan mistä tahansa kommutatiivisesta renkaasta ja määritetään liittyvä lajike käyttämällä sen pääideaaleja. Ensisijaisista ihanteista rakennetaan ensin topologinen tila , renkaan spektri . Yleisimmässä muodossaan tämä johtaa Alexander Grothendieckin suunnitelmiin .

Tärkeä lajikeluokka ovat abelilaiset lajikkeet . Nämä ovat projektiivisia lajikkeita , joiden pisteet muodostavat abelilaisen ryhmän . Tyypillisiä esimerkkejä tästä ovat elliptiset käyrät , joilla on tärkeä rooli Fermatin suuren lauseen todistuksessa . Toinen tärkeä käyttöalue on kryptografia elliptisillä käyrillä.

Algoritmiset laskelmat

Vaikka algebrallisessa geometriassa on pitkään tehty lähinnä abstrakteja lausuntoja lajikkeiden rakenteesta, äskettäin on kehitetty algoritmisia tekniikoita, jotka mahdollistavat tehokkaan laskennan polynomi-ihanteiden kanssa. Tärkeimmät työkalut ovat Gröbner-emäkset , jotka on toteutettu useimmissa nykypäivän tietokonealgebrajärjestelmissä .

historiallinen katsaus

Algebrallisen geometrian kehittivät suurelta osin 1900-luvun alun italialaiset geometrikot. Heidän työnsä oli syvällistä, mutta ei riittävän tiukkaa. Kommutatiivinen algebra (kuten tutkimuksessa kommutatiivinen renkaat ja ihanteitaan) on kehittänyt David Hilbert , Emmy Noether myös kehitetty ja muita alussa vuosisadan. Heillä oli jo geometriset sovellukset mielessä. 1930-luvulla ja 1940-luvulla André Weil tajusi, että algebrallinen geometria oli asetettava tiukalle pohjalle, ja kehitti vastaavan teorian. 1950-luvulla ja 1960 - luvulla Jean-Pierre Serre ja erityisesti Alexander Grothendieck tarkistivat nämä periaatteet Sheavesin ja myöhemmin järjestelmien avulla . Nykyään algebrallisen geometrian osa-alueita on paljon, toisaalta abstrakti teoria Grothendieckin jalanjäljissä, toisaalta alueita, joilla käytetään kombinaattoria ja diskreettiä matematiikkaa , kuten toorinen geometria tai trooppinen geometria .

Esimerkkejä affiinilajikkeista

• Kartiomainen osa
  • ympyrä
  • ellipsi
  • paraabeli
  • hyperbolia
• Sarjat kolmannen asteen polynomien juurista
  • Karteesinen arkki
  • Cissoidit
  • Strofoidit
• Neljännen kertaluvun polynomien nollasarjat
  • Konchoid
  • Pascal etana

kirjallisuus

• Karl-Heinz Fieseler, Ludger Kaup: Algebrallinen geometria. Perusasiat. Heldermann Verlag , Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3 .
• Alexander Grothendieck : Eléments de géométrie algébrique. Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg 1971, ISBN 0-387-05113-9 .
• Robin Hartshorne : Algebrallinen geometria. Springer-Verlag, New York / Berliini / Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9 .
• Klaus Hulek : Elementaarinen algebrallinen geometria. Vieweg / Teubner, 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9
• Ernst Kunz : Johdatus algebralliseen geometriaan. Vieweg, Braunschweig / Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3 .
• Igor Shafarevich : Algebrallinen perusgeometria . Springer-Verlag, Heidelberg 1994, ISBN 3-540-54812-2 .

nettilinkit

• @ 1@ 2Malli: Dead Link / www.aviduratas.de( Sivu ei ole enää saatavana , etsi verkkoarkistoista: kommutatiivinen algebra ja algebrallinen geometria ) (PDF; 1,8 Mt) Komentosarja
• @ 1@ 2Malli: Dead Link / planetmath.org( Sivu ei ole enää käytettävissä , etsi verkkoarkistoista : PlanetMath- yleiskatsausartikkeli )
• Septinen 99 kaksoispisteellä (englanti)
• Dieudonne Algebrallisen geometrian historiallinen kehitys , American Mathematical Monthly 1982
• Abhyankarin historialliset sekoitukset algebrallisessa geometriassa ja siihen liittyvässä algebrassa , American Mathematical Monthly 1976