Topologinen tila

Esimerkkejä ja counterexamples varten topologiat - kuuden luvut osajoukkoja asetetulla teholla ja {1,2,3} (pieni ympyrä vasemmassa yläreunassa on tyhjä joukko). Neljä ensimmäistä ovat topologioita; Vasemmassa alakulmassa olevasta esimerkistä puuttuu {2,3}, oikeassa alakulmassa {2} topologiaominaisuudelle.

Topologinen avaruus on keskeinen aihe osa-kuria topologia on matematiikan . Ottamalla käyttöön topologinen rakenne joukolle intuitiiviset sijaintisuhteet, kuten "läheisyys" ja "vastaan ​​pyrkiminen", voidaan siirtää visuaalisesta tilasta suureen määrään hyvin yleisiä rakenteita ja antaa täsmällinen merkitys.

määritelmä

Topologia on järjestelmä sarjaa , joka koostuu osajoukkoja perusjoukko , kutsutaan auki tai auki sarjaa , jotka täyttävät seuraavat aksioomat : ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$

• Tyhjä joukko ja perusjoukko ovat auki.${\ displaystyle X}$
• Risteyksessä äärellinen määrä avoimia sarjaa on auki. (Riittää, kun sanotaan, että kahden avoimen joukon leikkauspiste on avoin.)
• Liitto tahansa määrä avoimia sarjaa on auki.

Sitten kutsui topologia päälle , ja pari topologinen avaruus . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, T)}$

Peruskonseptit

Puhe: elementit ovat pisteitä, joukko on välilyönti

Alkaen visuaalinen tila, nimitys ”piste” elementeille perusjoukko ja nimitys ”(topologinen) tila”, joka on asetettu , joka kuljettaa topologinen rakenne on voittanut. Topologinen tila on muodollisesti oikea, mutta rakenneosaa sisältävän joukon ja rakennetta määrittelevän järjestelmän ("topologia") pari . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, T)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$

Dual: valmis

Topologisen avaruuden osajoukkoa, jonka komplementti on avoin joukko, kutsutaan suljetuksi . Jos edellä muotoiltu määritelmä dualisoidaan ja sana "avoin" korvataan sanalla "suljettu" (ja risteys ja liitos vaihdetaan), tuloksena on vastaava määritelmä termille "topologinen tila" käyttämällä sen suljettujen joukkojen järjestelmää. ${\ displaystyle X}$

Ympäristöt

Topologisen tilaan, jokainen piste on suodatin on ympäristössä . Tämä mahdollistaa intuitiivisen "läheisyyden" käsitteen ymmärtämisen matemaattisesti. Tätä termiä voidaan käyttää myös pohjana topologisen tilan määrittelylle. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle U (x)}$

Topologioiden vertailu: karkeampi ja hienompi

Kiinteällä määrällä voi olla tiettyjä topologioita ja verrata: Sitä kutsutaan topologiaksi hienommaksi topologiaksi, kun eli kun kukin avoimessa joukossa on avoin. tarkoittaa sitten karkeampaa kuin . Jos nämä kaksi topologiat ovat erilaisia, se on myös sanonut , että se on todella hienompaa kuin ja on todella karkeampaa kuin . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S \ subseteq T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$

Yleensä on myös topologies ja joita ei voida verrata tässä mielessä. Heille on selkeä yhteinen tarkennus , se on karkein topologia, joka sisältää molemmat topologiat. Risteyksen antama topologia on kaksinkertainen tähän yleiseen hienosäätöön nähden . Se on hienoin topologia, joka sisältyy molempiin topologioihin. Suhteella "on hienompaa kuin" joukon topologioista tulee ryhmä . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ korkki T}$

Tämä puhetapa on yhteensopiva ympäristöjärjestelmien "hienomman" järjestyksen kanssa suodattimena: Jos avaruudessa on kiinteä piste, niin hienomman topologian tuottama ympäristösuodatin on hienompaa kuin karkeamman topologian tuottama . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle U (x)}$

Morfismit: Jatkuva kuvaaminen

Kuten jokaisessa matemaattisessa rakenteessa, topologisissa tiloissa on myös rakennetta säilyttäviä kuvia ( morfismeja ). Tässä ovat jatkuvia kartat : Kuva on (globaali) tasaisesti , kun arkkityyppi jokainen avoin osajoukko on avoin asetettu on muodollinen: . ${\ displaystyle f \ kaksoispiste (X, S) \ - (Y, T)}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle O \ in T \ tarkoittaa f ^ {- 1} (O) \ in S}$

Isomorfisuudella kutsutaan homeomorphisms tässä , nämä ovat bijective jatkuva kartoituksissa inversio, joka on myös jatkuva. Rakenteellisesti samanlaisia ​​(isomorfisia) topologisia tiloja kutsutaan homeomorfisiksi.

Esimerkkejä

Topologiset tilat suhteessa muihin läheisyyttä määritteleviin rakenteisiin

• Jokaisessa perusjoukossa on triviaalisia esimerkkejä topologioista: ${\ displaystyle X}$
  1. Tahditon topologia , joka sisältää vain tyhjä joukko ja perusjoukko. Se on karkein topologia .${\ displaystyle X}$
  2. Diskreetti topologia , joka sisältää kaikki osajoukot. Se on hienoimpia topologioita .${\ displaystyle X}$
• Cofinite topologia voidaan ottaa käyttöön on ääretön (esimerkiksi joukko luonnolliset luvut) : Avoin on tyhjä joukko sekä jokainen osajoukko , joiden täydennys sisältää vain äärellisen monta elementtiä.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle M}$
• Jokaiselle tiukasti tilatulle sarjalle voidaan antaa sen järjestystopologia luonnollisella tavalla .
• Metrisen avaruuden avoimet pallot luovat ( perustana ) topologian, metrian indusoiman topologian.
  • Erityiset metriset tilat ovat standardoituja tiloja , tässä metriikka ja siten luonnollinen topologia ( standardi topologia ) indusoidaan standardilla .
• Jotkut betoniset topologiset tilat, joilla on erityisesti rakennettuja ominaisuuksia, kantavat löytäjiensä nimiä, esim. B. Arens-Fort huone , Cantor huone , Hilbertin kuutio , Michael suora , Niemytzki huone , Sorgenfrey tasolla , Tichonow lankku, jne

Topologisten tilojen luominen

• Mikä tahansa joukon alajoukkojärjestelmä voidaan laajentaa topologiaan edellyttämällä, että (ainakin) kaikki joukot ovat avoimia. Tämä tulee osa-pohjalta topologian .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Alatilan topologia voidaan osoittaa jokaiselle topologisen tilan osajoukolle . Avoimet joukot ovat täsmälleen avoimien joukkojen leikkauspisteet osajoukon kanssa .${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$
• Jokaiselle topologisten tilojen perheelle perusjoukkojen joukko-teoreettinen tuote voidaan toimittaa tuotetopologian kanssa :
  • Rajallisten tuotteiden tapauksessa tekijätilojen avoimien joukkojen tuotteet muodostavat tämän topologian perustan .
  • Äärettömien tuotteiden tapauksessa tekijätilojen avoimet joukot muodostavat perustan, jossa kaikki lukuun ottamatta rajallista määrää tekijöitä kattavat koko kyseessä olevan tilan.
  • Jos valitset avoimen joukon suorakulmaiset tuotteet kertoimien välistä rajattoman tuotteen perustaksi, saat tuotteen laatikkotopologian. Tämä on (yleensä todella) hienompaa kuin tuotetopologia.
• Alatilan ja tuotetopologian esimerkkien yleistäminen on alkuperäisen topologian rakentaminen . Tässä topologia määritellään joukolle vaatimuksella, että tiettyjen kartoitusten muista topologisiin tiloihin tulisi olla jatkuvia. Alkuperäinen topologia on karkein topologia tämän ominaisuuden kanssa.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Osamäärä topologia on luotu liimaamalla tietyissä kohdissa yhdessä (nimeäminen) Topologisen tilaan . Muodollisesti tämä tapahtuu ekvivalenssisuhteen kautta , joten osioteavaruuden pisteet ovat pisteiden luokkia .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Laajennetun topologian esimerkin yleistäminen on lopullisen topologian rakentaminen . Tässä topologia määritellään joukolle vaatimuksella, että tiettyjen kartoitusten muista topologisista tiloista tulisi olla jatkuvia. Lopullinen topologia on hienoin topologia tällä ominaisuudella.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

kirjallisuus

• Gerhard Preuss: Yleinen topologia . 2. korjattu painos. Springer, Berlin ym. 1975, ISBN 3-540-07427-9 , ( yliopiston teksti ).
• Horst Schubert: Topologia. Esittely. 4. painos. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 , ( matemaattiset oppaat ).
• Klaus Jänich : Topologia. 6. painos. Springer, Berlin ym. 1999, ISBN 3-540-65361-9 , ( Springer-oppikirja ).
• Charles E. Aull, Robert Lowen (Toim.): Yleisen topologian historian käsikirja . Osa 3. Kluwer Academic, Dordrecht 2001, ISBN 0-7923-6970-X .
• Boto von Querenburg : Aseta teoreettinen topologia. 3. tarkistettu ja laajennettu painos. Springer, Berlin et ai. 2001, ISBN 3-540-67790-9 , ( Springer-oppikirja ).
• René Bartsch: General Topology I . Oldenbourg, München ym. 2007, ISBN 978-3-486-58158-4 .