Tuotteen topologia

Matemaattinen osa-alue topologia , The tulotopologia on ”kaikkein luonnollinen” topologian kääntyy karteesinen tulo on topologinen avaruus osaksi topologinen avaruus itse.

määritelmä

Olkoon se jokaiselle (mahdollisesti ääretön) indeksijoukolle topologinen tila. Antaa olla suorakulmainen tuote sarjoista . Kullekin indeksille merkitsevät kanoninen projektio . Sitten tuote topologia on määritelty karkein topologia (topologia, jolla on vähiten avoin sarjaa), jonka suhteen kaikki ulkonemat ovat jatkuvia . Tämän topologian kutsuista tuotteen tilan . ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X = \ textstyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle i \ sisään I}$${\ displaystyle p_ {i} \ kaksoispiste X \ - X_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {i}}$

Selkeä kuvaus

Topologiaa voidaan kuvata nimenomaisesti. Perikuvat avoin sarjaa tekijä tilojen alle kanoninen ulokkeet muodostavat osa-pohjalta tuotteen topologia, i. H. osajoukko on avoin vain ja vain, jos se on (mahdollisesti äärettömän monien) joukkojen yhdistys , joista kukin voidaan esittää joukkoina lopullisina keskiarvoina . Missä piilee vuonna ja ovat auki osajoukkoja . Tästä ei seuraa, että yleensä kaikkien avoimien osajoukkojen suorakulmaisten tuotteiden on oltava avoimia. Tämä pätee vain silloin, kun se on äärellinen. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle p_ {i} \ kaksoispiste X \ - X_ {i}}$${\ displaystyle Y \ osajoukko X}$${\ displaystyle Y ^ {(\ alpha)}}$${\ displaystyle Y_ {i, k} ^ {(\ alpha)}: = p_ {i} ^ {- 1} (Y_ {k} ^ {(\ alpha)})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle Y_ {k} ^ {(\ alpha)}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle I}$

Yleisomaisuus

Tuotetilalle yhdessä kanonisten projektioiden kanssa on tunnusomaista seuraava universaali ominaisuus : Jos se on topologinen tila ja on jatkuva kullekin , on täsmälleen yksi jatkuva toiminto , joka koskee kaikkia . Karteesinen tulo kanssa tulotopologia on siis tuote on luokan topologinen tiloja. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle i \ sisään I}$${\ displaystyle f_ {i} \ kaksoispiste Y \ - X_ {i}}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste Y \ - X}$${\ displaystyle p_ {i} \ circ f = f_ {i}}$${\ displaystyle i \ sisään I}$

Esimerkkejä

• Jos on olemassa kaksi metriset tilat , sitten tuote topologia saadaan tuotteen kanssa metrinen${\ displaystyle (X_ {1}, d_ {1}), (X_ {2}, d_ {2})}$${\ displaystyle X_ {1} \ kertaa X_ {2}}$

${\ displaystyle d ((p_ {1}, p_ {2}), (q_ {1}, q_ {2}))): = {\ sqrt {d_ {1} (p_ {1}, q_ {1}) ^ {2} + d_ {2} (p_ {2}, q_ {2}) ^ {2}}}.}$

• Tuotteen topologia on kertainen karteesinen tuote todelliset luvut on tavallista euklidinen topologia.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• Tuotteen topologia sijoitukset funktioavaruus on topologiasta piste-viisasta lähentymistä .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {M}}$

• Cantor sarja on homeomorphic tuotteen tilaa numeroituvasti useita kopioita erillisen avaruuspohjaisen {0, 1}.

• Tila irrationaaliluvut on homeomorphic tuotteen laskettavissa monia kopioita luonnollisia lukuja diskreetti topologia.

• Rengas koko p-adic numerot on varustettu tulotopologia erillisten tilojen ja on sitten kompakti. Tämä topologia on myös syntyy p-adic määrä on .${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

ominaisuudet

Tuote topologia kutsutaan myös topologian piste-viisasta lähentymistä , koska seuraava ominaisuus A -sekvenssin in suppenee, jos ja vain jos kaikki ulokkeet lähenevät sitä. Erityisesti varten tilaa kaikkien toimintoja ja, lähentyminen on tulotopologia on synonyymi piste-viisasta lähentymistä. ${\ displaystyle X = \ textstyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {I}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Voit tarkistaa, onko tietty funktio jatkuva, käyttämällä seuraavaa kriteeriä: jatkuva vain ja vain, jos kaikki ovat jatkuvia. Toiminnon jatkuvuuden tarkistaminen on yleensä vaikeampi; sitten yritetään jotenkin hyödyntää. ${\ displaystyle f \ kaksoispiste Y \ - X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p_ {i} \ circ f}$${\ displaystyle g \ kaksoispiste X \ Z}$${\ displaystyle p_ {i}}$

Tärkeä lause tuotteen topologiasta on Tichonowin lause : Jokainen kompaktien tilojen tuote on kompakti. Tämä on helppo osoittaa rajatuille tuotteille, mutta väite pätee yllättäen myös loputtomiin tuotteisiin, joiden todistamiseksi sitten tarvitaan valitsema aksiomi .

Suurimman osan tuotetopologian teoriasta on kehittänyt AN Tichonow .

Muut

• Liittyvä termi on summa-topologia .
• Tuotetopologia on erityinen alkutopologia .

Katso myös

• Rajoitettu suora tuote

kirjallisuus

• Boto von Querenburg : Aseta teoreettinen topologia (= Springer-oppikirja ). Kolmas, uudistettu ja laajennettu painos. Springer, Berlin et ai. 2001, ISBN 3-540-67790-9 .