Universaali algebra

Universal algebra (mukaan lukien yleinen algebra ) on matematiikan , täsmällisemmin algebran joka käsittelee yleisiä algebrallinen rakenne ja niiden homomorfisuudella huolissaan ja tietyt yleistykset.

Vaikka abstraktissa algebrassa ja sen vastaavilla osa-alueilla, kuten ryhmäteoria , rengasteoria ja kehon teoria, tutkitaan algebrallisia rakenteita, joilla on kiinteät kiinteät linkit kiinteillä ominaisuuksilla, universaali algebra käsittelee rakenteita yleensä, ts. Rakenteita, joilla on linkkejä ja määriteltäviä ominaisuuksia. Esimerkiksi ryhmateoria puhuu ryhmistä yleensä , kun taas universaaleille algebra-ryhmille ryhmät ovat vain yksi esimerkki yhdestä algebran rakenteen tyypistä. Universaali algebra liittyy malliteoriaan , matemaattisen logiikan osaan, joka käsittelee rakenteiden ja niitä kuvaavien loogisten kaavojen välistä suhdetta . Malli teoria yhtälö logiikka on keskeinen etua . Ristikko teoria on sovelluksia universaali algebran. Luokka teoria tarjoaa yleisempää lähestymistapaa yleispalvelun algebran voidaan katsottuna. Rakenteiden kuvaus supistuu niiden rakennetta säilyttävien kartoitusten käyttäytymiseen ketjutuksen aikana , homomorfismien universaalin algebran tapauksessa.

Peruskonseptit

Universaalin algebran peruskäsite on algebrallinen rakenne. Algebrallinen rakenne on määrä kutsutaan kantajan määrä , joka on varustettu perheen linkkejä voi olla eri arities , jossa kukin mielivaltainen luonnollinen luku on. Vakiot voidaan esittää muodollisesti 0-numeroisilla linkeillä. Esimerkiksi ryhmä on algebrallinen rakenne, jossa on kaksinumeroinen linkki, vastaava ryhmän kertolasku. Rengas, toisaalta, on kaksi kaksinumeroinen yhteyksiä, kunkin lisäyksen ja vastaavan kertolasku. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle f_ {i} \ kaksoispiste A ^ {n_ {i}} \ - A}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$

Ryhmää tai rengasta ja monia muita rakenteita määritettäessä vaaditaan myös, että linkit täyttävät tietyt ominaisuudet, kuten assosiaatiolaki . Siksi algebrallisten rakenteiden luokat , jotka täyttävät tietyt loogisten kaavojen antamat ominaisuudet, ovat luonnollinen tutkimuksen kohde . Monissa tapauksissa yksinkertainen yhtälälogiikka riittää. Esimerkiksi ryhmän aksioomat voidaan muotoilla tähän - lisäämällä yksinumeroiset tai nollanumeroiset linkit käänteisen ja neutraalin elementin muodostamiseksi. Tällä logiikalla on miellyttävä ominaisuus, että jokaisella algebrallisen rakenteen alarakenteella, ts. H. osajoukko, kunhan linkit ovat edelleen hyvin määriteltyjä, täyttää samat yhtälö-logiikkakaavat. Näiden luokkien muodostavat erityisen tapauksessa elementary luokkien rakenteiden tutkittiin klassiseen malliin teoria , joka on axiomatized kaavoilla on ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka .

Homomorfismi kahden algebrallinen rakenne ja joilla on yhteyksiä tai joilla on sama arity on kartoitus omaisuutta, että kunkin ja kaikki yhtälön ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ ${\ displaystyle p \ kaksoispiste A \ - B}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n_ {i}}}$

{\ displaystyle p (f_ {i} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n_ {i}})) = g_ {i} (p (a_ {1}), \ ldots, p (a_ {n_ { i}}))}}

sovelletaan. Jokainen algektiivisen rakenteen bijektiivinen homomorfismi on isomorfismi . Kun homomorfismit ovat morfismeja , algebralliset rakenteet muodostavat luokan , jotta voidaan käyttää tavanomaisia yleisiä luokka-teoreettisia termejä.

Yleistykset

Yksinkertaisten algebrallisten rakenteiden lisäksi otetaan huomioon myös erilaisia yleistyksiä, joihin voidaan joskus siirtää tiettyjä lauseita, esimerkiksi:

Osittaisia algebrallisia rakenteita , linkkejä, ei tarvitse määritellä kaikille parametriyhdistelmille.
Heterogeeniset algebrat ja osittain heterogeeniset algebrat ovat yhden kantajajoukon sijasta useita kantoaaltosarjoja, joille linkit on määritelty.
Relaatiorakenteet , toimintojen sijasta, sallitaan kaikki suhteet , nämä ovat tyypillisiä tutkimuksen kohteita malliteoriassa.
Äärettömät rakenteet , yhteyksillä voi olla ääretön aromi .
Topologiset algebralliset rakenteet , rakenteille on lisäksi järjestetty topologinen rakenne , jonka suhteen toiminnot ovat jatkuvia.

tarina

Brittiläinen matemaatikko Alfred North Whitehead julkaisi tutkielmansa Universal Algebrasta vuonna 1898 . Tässä työssä hän puhui yleisellä tavalla operaatioilla ja yhtälöillä universaalin algebran avulla, mutta universaalin algebran avulla hän ymmärsi vain rakenteiden tutkimuksen kahdella sisäisellä yhteydellä ( eli kahdella magma-rakenteella , joita kutsutaan summaukseksi ja kertomiseksi), useilla mahdollisilla lisäominaisuudet ja mahdollisesti eräänlainen yleistetty asteikko . Sitä vastoin hän ei saavuttanut yleisiä tuloksia universaalissa algebrassa. Garrett Birkhoff toimitti nämä ensimmäistä kertaa vuonna 1935 . Vuodesta 1941 eteenpäin Anatoli Ivanovich Malzew sovelsi ensimmäisinä universaaliin algebraan varhaisia teoreettisia mallin tuloksia, jotka hän oli tuonut yleiseen, nykyaikaiseen muotoon.

kirjallisuus

Garrett Birkhoff : Hilateoria . 3. painos. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 1979.
Stanley Burris, HP Sankappanavar: Kurssi universaalissa algebrassa . Toim.: Luonnontieteiden ja tekniikan tutkimusneuvosto Kanadassa (= Matematiikan tutkinnon tekstit . Ei. 78 ). Ottawa, Ontario, Kanada 2000 ( math.uwaterloo.ca [PDF; 15.5 MB ]).
George Grätzer: Yleinen algebra . Van Nostrand, Princeton (NJ) 1968, ISBN 978-0-387-77486-2 , doi : 10.1007 / 978-0-387-77487-9 .
Thomas Ihringer: Kenraali Algebra . Lisäke Universal Coalgebra HP Gumm (= Berliinin tutkimus sarjan matematiikan . Volume 10 ). Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9 .
Anatolij Ivanovič Mal'cev: Algebrallisten järjestelmien metamatematiikka . Kerätyt artikkelit: 1936–1967 (= Logiikan ja matematiikan perusteet . Nide 66 ). Pohjois-Hollanti, Amsterdam 1971 (venäjäksi kääntänyt Benjamin Franklin Wells).
Heinrich Werner: Johdatus yleiseen algebraan (= BI-yliopiston taskukirjat . Nide 120 ). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8 .

nettilinkit

Lev Aleksandrovich Skornyakov: Yleinen algebra . Julkaisussa: Michiel Hazewinkel (Toim.): Matematiikan tietosanakirja . Springer-Verlag , Berliini 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englanti, online ).
Alex Saharov, Matt Insall: Universal Algebra . Julkaisussa: MathWorld (englanti).
universaali algebra , merkintä nLabiin . (Englanti)

Yksittäiset todisteet

^ Heinrich Werner: Katsaus Walter Taylorin kirjaan Equational logic . Julkaisussa: Journal of Symbolic Logic . nauha 47 , ei. 2 , 1982, s. 450 , doi : 10.2307 / 2273161 , JSTOR : 2273161 .
^ Alfred North Whitehead : Tutkimus universaalista algebrasta . sovellusten kanssa. Cambridge University Press, Cambridge 1898 ( projecteuclid.org ).
↑ ^b George Gratzer: Universal Algebra. P. Vii.
^ Lev Aleksandrovich Skornyakov: Yleinen algebra.
↑ Löwenheim-Skolem- lauseen, kompaktiteoreeman ja täydellisyyslausekkeen yleiset muunnelmat , jotka mahdollistavat lukemattomia allekirjoituksia, palaavat hänen luokseen, katso Juliette Kennedy: Kurt Gödel. Julkaisussa: Edward N.Zalta (Toim.): Stanford Encyclopedia of Philosophy . .
↑ George Grätzer: Universal Algebra. S. viii.

[1] Heinrich Werner: Katsaus Walter Taylorin kirjaan Equational logic . Julkaisussa: Journal of Symbolic Logic . nauha 47 , ei. 2 , 1982, s. 450 , doi : 10.2307 / 2273161 , JSTOR : 2273161 .

[2] Alfred North Whitehead : Tutkimus universaalista algebrasta . sovellusten kanssa. Cambridge University Press, Cambridge 1898 ( projecteuclid.org ).

[GrätzerVII-3] George Gratzer: Universal Algebra. P. Vii.

[4] Lev Aleksandrovich Skornyakov: Yleinen algebra.

[5] Löwenheim-Skolem- lauseen, kompaktiteoreeman ja täydellisyyslausekkeen yleiset muunnelmat , jotka mahdollistavat lukemattomia allekirjoituksia, palaavat hänen luokseen, katso Juliette Kennedy: Kurt Gödel. Julkaisussa: Edward N.Zalta (Toim.): Stanford Encyclopedia of Philosophy . .

[6] George Grätzer: Universal Algebra. S. viii.

Languages