Matemaattinen rakenne

Matemaattinen rakenne on joukko tiettyjä ominaisuuksia. Nämä ominaisuudet johtuvat yhden tai useamman suhteiden välillä elementtien ( rakenne ensimmäisen tason ) tai osajoukot joukko (rakenne toinen taso). Näitä suhteita ja siten myös rakenne, että ne määrittelevät voivat olla hyvin erilaisia tyyppejä . Tällainen voidaan määrittää tietyillä aksiomeilla, jotka määrittelysuhteiden on täytettävä. Tärkeimmät suuret tyypit , joihin rakenteet voidaan luokitella, ovat algebralliset rakenteet , relaatiorakenteet , kuten erityisesti järjestysrakenteet , ja topologiset rakenteet . Monilla tärkeillä joukkoilla on jopa useita rakenteita , toisin sanoen näiden rakenteiden sekarakenteet. Esimerkiksi numeroalueilla on algebrallinen, järjestys ja topologinen rakenne, jotka ovat yhteydessä toisiinsa. On myös geometrisia rakenteita .

Algebralliset rakenteet

Algebrallinen rakenne, tai (yleinen) algebran ja lyhyt, on rakenne (ensimmäinen taso), joka on määritelty vain yksi tai useampi linkkejä (kuten toiminnot , linkit ovat erityisen suhteet).

Sisäisen linkin omaavat rakenteet: ryhmät ja vastaavat

Hierarkkinen kokoelma algebrallisista perusrakenteista

Perusalgebrallisilla rakenteilla on yksi tai kaksi kaksinumeroista sisäistä yhteyttä . Taksonomia , eli luokittelu näiden rakenteiden, riippuu siitä, mitä seuraavat ryhmä aksioomia sarjaan soveltaa linkin : ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ circ}$

(E) Oleminen ja ainutlaatuisuus (myös eristäminen ):${\ displaystyle \ kaikki a, b \ M: ssä: a \ circ b \ M: ssä}$

A) Assosiaatiolaki :${\ displaystyle \ kaikki a, b, c \ M: ssä: (a \ circ b) \ circ c = a \ circ (b \ circ c).}$

(N) neutraalin elementin olemassaolo :${\ displaystyle \ on olemassa e \ muodossa M: \ kaikki a \ M: ssä: a \ circ e = e \ circ a = a.}$

(I) käänteisen elementin olemassaolo :${\ displaystyle \ forall a \ in M: \ olemassa a ^ {- 1} \ in M: a \ circ a ^ {- 1} = a ^ {- 1} \ circ a = e.}$

K) kommutatiivinen laki :${\ displaystyle \ kaikki a, b \ M: ssä: a \ circ b = b \ circ a.}$

(Ip) Keskustelu laki :${\ displaystyle \ forall a \ in M: a \ circ a = a.}$

Seuraavat rakenteet, joissa on kaksinumeroinen sisäinen linkki, yleistävät tai erikoistuvat ryhmän perusajatukseen :

Sukunimi	Aksiomit	kuvaus
Groupoid (myös magma)	E.	Sarja, jossa on kaksinumeroinen sisäinen linkki.
Puoliryhmä	EA	Groupoidi, jolla on assosiatiivinen laki . Esimerkki: . ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}$
Puolijärjestö	EAKIp	Puoliryhmä kommutatiivisella lailla ja idempotenssilakilla . Esimerkki:${\ displaystyle (\ mathbb {N}, {\ text {max}}).}$
Yksinäinen	EAN	Puoliryhmä, jossa on neutraali elementti . Esimerkki: kanssa . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle (\ mathbb {N} _ {0}, +)}$${\ displaystyle e = 0}$
Silmukka käänteisominaisuudella	ENI	Neutraalilla elementillä varustettu ryhmäryhmä, jossa jokaiselle elementille on (ainutlaatuinen) käänteinen .
ryhmä	EANI	Samanaikaisesti monoidi ja lähes ryhmä. Ryhmät otettiin käyttöön 1800-luvun alussa symmetrioiden kuvaamiseksi ja ne ovat osoittautuneet perustavanlaatuisiksi koko algebran rakenteelle. Esimerkkejä ryhmän muodostavista numeroalueista: , . Esimerkkejä symmetriat kuvaavista transformaatioryhmistä: pisteryhmät molekyylisymmetrioiden kuvaamiseen, symmetriset ryhmät permutaatioiden kuvaamiseen , Lie-ryhmät jatkuvien symmetrioiden kuvaamiseen. ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q} \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace, \ cdot)}$
Abelin ryhmä	EANIK	Ryhmä, jolla on kommutatiivinen linkki.

Rakenteet, joissa on kaksi sisäistä linkkiä: renkaat, rungot ja vastaavat

Seuraavilla rakenteilla on kaksi yhteenliitäntää, yleensä kirjoitettu summauksena ja kertolaskuna; nämä rakenteet ovat nopeus vaihtelee (kuten , , ) otetun, joka pidetään yleensä. Yhteensopivuus multiplikatiivisen lisäaineen kanssa yhdistelmä on varmistettu seuraavan aksioomaa: ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

(DL) Vasen jakelu laki : .${\ displaystyle \ kaikki a, b, c \ M: a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c}$

(KH) oikea jakelu : .${\ displaystyle \ kaikki a, b, c \ M: ssä: (a + b) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c}$

(D) jakelu : sovelletaan dl ja tohtori .

Muita molempiin yhteyksiin sovellettavia aksiomia ovat:

(U) neutraali liittyviä osia ja kertolaskuja, ja , eivät ole samoja.${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$

(T) nolla jakaja vapautta : Jos identiteetti osa lisäaineen tarkoitettua linkin, niin se seuraa kaikki on , että tai koskee.${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a \ cdot b = 0}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 0}$

(I ^* ) Jokaisella elementillä, additiivisen linkin neutraalia elementtiä lukuun ottamatta, on käänteinen elementti multiplikatiivisen linkin suhteen. Muodollinen: .${\ displaystyle \ forall a \ in M ​​\ setminus \ lbrace 0 \ rbrace: \ olemassa a ^ {- 1} \ in M: a \ cdot a ^ {- 1} = a ^ {- 1} \ cdot a = e }$

Vastaavat voimassa olevat aksioomat on merkitty seuraavassa järjestyksessä (additiiviset aksioomat | moninkertaiset aksioomat | sekoitetut aksioomat).

• Puoli rengas : Axioms ( EA | EA | D ) kaksi semigroups

• Dioidi : aksioomat ( EAN | EAN | D ) kaksi monoidia

• Fastring : Axioms ( EANI | EA | Dr ): Lisäaineryhmä, multiplikatiivinen puoliryhmä ja oikea jakelulaki.

• (Vasen) kvasi-rungot : Aksioomat ( EANIK | ENI | DlU ): Additiivinen abelilainen ryhmä, multiplikatiivinen silmukka.

• Rengas : aksioomat ( EANIK | EA | D ): Abelin additiivinen ryhmä, moninkertainen puoliryhmä.

• Kommutatiivinen rengas : aksioomat ( EANIK | EAK | D ): rengas, jolla on kommutatiivinen kertolasku.

• Rengas, jossa on yksi tai yhtenäinen rengas: Axioms ( EANIK | EAN | D ): Rengas, jolla on neutraali kertolasku.

• Nollanjakajan rengas : aksioomat ( EANIK | EA | DT ): rengas, jossa se seuraa sitä tai .${\ displaystyle a \ cdot b = 0}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 0}$

• Eheys domain : aksioomeja ( EANIK | EANK | DTU ): kommutatiivinen, yhtenäinen, nolla jakaja rengas .${\ displaystyle 1 \ neq 0}$

• Half-runko : Axioms ( EA | EANI ^* | D ) Half rengas monikertaisesti ryhmä on joukko (jota ilman, jos se on olemassa).${\ displaystyle 0}$

• Vaihtoehtoinen kenttä : Aksioomat ( EANIK | ENI ^* | DTU ) : Yhtenäinen, nollanjakaja ja multiplikatiivisella käänteisellä elementtiä lukuun ottamatta . Assosiatiivisen lain sijasta on olemassa vaihtoehto kertolasku.${\ displaystyle 1 \ neq 0}$${\ displaystyle 0}$

• ( Oikea ) nopea runko : aksioomat ( EANI (k) | EANI ^* | DrTU ) nopea rengas multiplikaattoriryhmällä joukossa ilman . Jokaisen nopean rungon lisääminen on kommutatiivista.${\ displaystyle 0}$

• Kalteva runko : Aksioomat ( EANIK | EANI ^* | DTU ): Yhtenäinen, nollanjakajaton rengas, jossa on multiplikatiivinen käänteisosa, lukuun ottamatta elementtiä .${\ displaystyle 1 \ neq 0}$${\ displaystyle 0}$

• Kenttä : Aksioomat ( EANIK | EANI ^* K | DTU ) : Kommutatiivinen vinoväli, eheysalue , jossa on moninkertainen käänteinen, paitsi elementti . Jokainen runko on myös vektoritila (itsensä ollessa taustalla oleva skalaarirunko). Jos kehossa määritellään normi tai skalaarinen tuote, keho saa tällöin normalisoidun tilan tai sisäisen tuotetilan topologiset ominaisuudet. Katso alempaa. Esimerkkejä: määrä vaihtelee , ja .${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Tärkeitä osajoukkoja ovat:

• Ideaalit, s. Ihanteellinen (matematiikka) .

Rakenteet, joissa on kaksi sisäistä linkkiä: ristikot, joukkoalgebrat ja vastaavat

Hila on algebrallinen rakenne, kaksi sisäiset kytkennät, joiden yleisessä tapauksessa ei voida ymmärtää ja kertolaskuja:

(V) Sulautumalakit (kutsutaan myös absorptiolakeiksi): ja .${\ displaystyle a \ korkki (a \ kuppi b) = a}$${\ displaystyle a \ kuppi (a \ korkki b) = a}$

Tämän aksiooman avulla saamme rakenteita:

• Yhdistys : Aksioomat ( EAK (koskee ) | EAK (koskee ) | V ).${\ displaystyle \ cup}$${\ displaystyle \ cap}$
• Jakeluyhdistys : Aksioomat ( EAK (koskee ) | EAK (koskee ) | V, D ).${\ displaystyle \ cup}$${\ displaystyle \ cap}$

Jakeluliitossa on vaadittava vain toinen kahdesta sulautuvasta laista; toinen seuraa jakelulakista.

Boolen algebran on yhdistys, jossa kaksi linkkiä kukin on neutraali elementti, ja , ja jossa kukin elementtinä suhteessa sekä linkkejä, jotka vastaavat komplementti on ${\ displaystyle a \ kuppi 0 = a}$${\ displaystyle a \ cap 1 = a}$

(C) Täydennyksen olemassaolo: kullekin on yksi , jota sovelletaan ja .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ ei a}$${\ displaystyle a \ kuppi \ lnot a = 1}$${\ displaystyle a \ cap \ lnot a = 0}$

Huomaa, että komplementti ei ole käänteinen elementti, koska se tarjoaa toisen linkin neutraalin elementin .

• Boolen algebra : aksioomat ( EAKN (uudelleen ) | EAKN (uudelleen ) | V, D, C ).${\ displaystyle \ cup}$${\ displaystyle \ cap}$
• Asettaa algebra : Boolen algebran, jonka elementit ovat sarjaa, nimittäin osajoukkoja perusjoukko , jossa joukko operaattoreita ja linkkeinä, joissa nolla-elementti ja yksi elementti .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ cup}$${\ displaystyle \ cap}$${\ displaystyle \ emptyyset}$${\ displaystyle X}$
• σ-algebra : suljettu joukko algebra laskettavien-äärettömien yhteyksien suhteen.
• Mittaustila ja mittaustila ovat erityisiä σ-algebroja.
• Borel algebran muuttuu topologinen avaruus osaksi toimenpide tila : se on pienin σ-algebra, joka sisältää tietyn topologian.

• Kaksiarvoinen Boolen algebra : vain elementit ja .${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$

Rakenteet sisäisillä ja ulkoisilla yhteyksillä: vektoritilat ja vastaavat

Nämä rakenteet koostuvat additiivisesti kirjallinen magma (yleensä Abelin ryhmä) ja nopeusalueella (rakenne, jossa on kaksi sisäkierteet, yleensä rungon) , jonka ryhmä toiminta on vasemmalla kertolasku tai oikealle kertolasku kirjallinen (maasta katsottuna siitä) ulompi tulkittava linkki on . Elementtejä kutsutaan skalaareiksi , ulkoyhteys vastaavasti myös skalaarinen kertolasku . Se täyttää seuraavat yhteensopivuusaksoomat (vasemman kerronnan merkinnässä): ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ ast \ kaksoispiste K \ kertaa V \ - V}$${\ displaystyle \ ast \ kaksoispiste V \ kertaa K \ - V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$

(AL) assosiatiivinen lakia sillä alkaen ja ulos totta .${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle (a \ cdot b) \ ast v = a \ ast (b \ ast v)}$

(DL) -jakelulakit: ulos ja ulos sovelletaan ja .${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle a \ ast (v + w) = a \ ast v + a \ ast w}$${\ displaystyle (a + b) \ ast v = a \ ast v + b \ ast v}$

Tämä antaa meille seuraavat rakenteet merkinnässä ( | | Yhteensopivuusaksoomit): ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$

• Vasen moduuli : (Abelin ryhmä | Sormus | AL, DL ).
• Oikea moduuli : (Abelian ryhmä | Sormus | AR, DR ) skalaarikertoimella oikealta vasemmalta.
• Moduuli : (Abelin ryhmä | kommutatiivinen rengas | ALR, DLR ), vaihdettava vasen tai oikea kertolasku.
• Vasen vektoritila : (abelilainen ryhmä | vino runko | AL, DL ).
• Oikea vektoritila: (abelilaisryhmä | vino runko | AR, DR ) skalaarisella kertolaskulla oikealta eikä vasemmalta.
• Vektoritila : (Abelin ryhmä | runko | ALR, DLR ) vaihdettavissa vasemmalla tai oikealla kerrottuna.

Lisäalgebrallinen rakenne vektoritiloihin

Matemaattisten tilojen väliset suhteet

• K-Algebra : algebra kentän päällä (myös vanhentunut: Lineaarinen algebra (rakenne)): vektoritila, jossa on lisäksi bilineaarinen linkki .${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ kaksoispiste V \ kertaa V \ oikeanpuoleinen V}$

• Lie-algebra : vektoritila Lie-kannattimella , anti-symmetrisenä bilineaarisena linkkinä .${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ kaksoispiste V \ kertaa V \ oikeanpuoleinen V}$

• assosiatiivinen algebra : vektoritila, jossa on bilinaarinen assosiatiivinen linkki .${\ displaystyle V \ kertaa V \ oikeanpuoleinen nuoli V}$

Seuraavassa esitetyt skalaarisen tuloksen ja normin sisäiset yhteydet auttavat vektoriavaruutta (tämä voi erityisesti olla myös vektori, joka ymmärretään vektoriavaruutena) topologiseen rakenteeseen.

• Bilinear tila on lähes sisätilojen tuotteen tilaan (katso jäljempänä) -, paitsi että sisä- tuote ei tarvitse olla positiividefiniitti. Tärkeä esimerkki on Minkowskin erityisrelatiivisuustila.

• Sisempi tuote tila: vektori tilaan, joka on skalaarituloa (määritetty positiiviseksi bilineaarinen muoto mukaan on tai sesquilinear muoto mukaan ) . Euklidinen avaruus on erityinen sisustus tuotteen tilaa .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ kaksoispiste V \ kertaa V \ oikeanpuoleinen nuoli K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• yhtenäinen tila : yläpuolella oleva sisätilojen tuotetila, jonka skalaarinen tuote on Hermiittinen muoto.${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• normalisoitu tila : vektoritila normilla .${\ displaystyle \ | \ cdot \ | \ kaksoispiste V \ oikeanpuoleinen nuoli K}$

• paikallisesti kupera tilaa : vektori tila, jossa järjestelmä on semi-normien . Jokainen normalisoitu tila on paikallisesti kupera tila .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {\ | \ cdot \ | \}}$

Vektoritilojen erikoistuminen kasvaa alaspäin ja oikealle. Alla olevan taulukon vektoritiloilla on yllä olevien ominaisuudet, koska skalaarinen tulo indusoi normin ja normi indusoi etäisyyden . ${\ displaystyle \ left \ | v \ right \ | = {\ sqrt {\ left \ langle v, v \ right \ rangle}}}$${\ displaystyle d (v, w) = \ vasen \ | vw \ oikea \ |}$

Organisaatiorakenteet

Tilausrakenne on rakenne (ensimmäinen taso), joka on varustettu tilaussuhteella , ts. eli se on relaatiorakenne tai lyhyesti sanottuna sukulainen .

• Lähes järjestys : heijastava ja transitiivinen . Esimerkki: Pois käytöstä , jos (katso absoluuttinen määrä ).${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a ~ R ~ b}$${\ displaystyle | a | \ leq | b |}$

• Osittainen järjestys (osittainen järjestys, osittainen järjestys. Varoitus: joskus yksinkertaisesti kutsutaan järjestykseksi ): heijastava, antisymmetrinen ja transitiivinen. Näytteet: osajoukko suhde on asetetulla teholla ; suhde "komponenttikohtaisesti pienempi tai sama" vektoriavaruudessa .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• tiukka puolijärjestys: heijastamaton ja transitiivinen. Esimerkkejä: Suhde ”todellinen osajoukko” on valta asettaa ; suhde "komponenttikohtaisesti pienempi tai yhtä suuri, mutta ei yhtä" vektoriavaruudessa .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• kokonaisjärjestys (lineaarinen järjestys): yhteensä osittainen järjestys. Esimerkki: "Pienempi tai yhtä suuri" päällä .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• tiukka kokonaisjärjestys : täydellinen, irrefleksiivinen ja transitiivinen. Esimerkki: "Pienempi" päällä .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• perusteltu järjestys : osittainen järjestys, jossa jokaisella ei-tyhjällä osajoukolla on minimaalinen elementti. Esimerkki: Suhde "yhtä suuri tai jäsen" joukkojoukossa.

• Hyvin järjestetty : kokonaisjärjestys, jossa jokaisella ei-tyhjällä alijoukolla on minimaalinen elementti. Esimerkki: "Pienempi" päällä .${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

Topologiset rakenteet

Etäisyyden geometrinen käsite ( metriikka ) mahdollistaa nykyaikaisen analyysin peruskäsitteen , lähentymisen , käytön metrisissä tiloissa . Topologiset tilat ovat syntyneet pyrkimyksestä käsitellä lähentymistä yleisessä mielessä (jokainen metrinen tila on topologinen tila, jonka topologia indusoi metrisen). Eri topologinen tiloja, ne voivat olla niiden mahdollinen paikallisten rakenteiden luokitella , säilyttää rakenteen tekemisen tiettyjen alijoukkojen kuin auki tai vastaava on täydellinen (rakenteet toinen vaihe).

Geometriset rakenteet

Geometrinen rakenne ilmaistaan ​​ominaisuuksien, kuten kuvien yhteneväisyyden , kautta. Niiden luokittelu voimassa olevien aksiomien mukaan (vertaa artikkeleita Geometry , Euclidean Geometry , Euclid's Elements ):

• Projektiivinen geometria
• Affine-geometria
• Absoluuttinen geometria : Mikä tahansa geometria, jossa sovelletaan viittä euklidista postulaattia neljä ensimmäistä (tarkemmin sanottuna: Hilbertin aksioomat , lukuun ottamatta rinnakkaisten aksiomia).
• Euklidinen geometria : Absoluuttinen geometria, johon rinnakkainen postulaatti pätee. Tai myös: Geometria, jossa kaikki Hilbertin aksioomat pätevät.
• Muu kuin euklidinen geometria : Absoluuttinen geometria, jossa rinnakkaista postulaattia ei sovelleta. Tai myös: Geometria, johon sovelletaan Hilbertin ryhmien I, II, III ja V aksiomia sekä rinnakkaisuuksien aksiomien negaatio.

Niiden luokittelu muunnosryhmien mukaan, joissa tietyt geometriset ominaisuudet pysyvät muuttumattomina ( Felix Klein , Erlanger-ohjelma ):

• Projektiivinen geometria , invariantit: piste, suora viiva.
• Affine-geometria , muut invariants: rinnakkaisuus, osittainen suhde, pinta-ala.
• Samankaltaisuusgeometria , muut invariantit: etäisyyden suhde, kulma.
• Kongruenssigeometria , muut invariantit: segmentin pituus.

Numerot

Numerot ovat yleensä odotettavissa olevia määriä. Perusta on luonnollisten lukujen joukko. Laskenta ja kertolasku toimivat algebrallisina yhteyksinä. Vaatimalla, että käänteisoperaatioiden vähennys- ja jakamistoimenpiteiden tulisi aina olla mahdollisia, laajennetaan luonnollisten lukujen joukko kokonaislukujoukkoon ja kaikkien murtolukujen joukkoon. Todelliset luvut otetaan käyttöön raja-arvoina numerosekvensseille; ne mahdollistavat (muun muassa) mahdollisten positiivisten lukujen neliöjuuren uuttamisen. Negatiivisten lukujen juuret johtavat kompleksilukuihin.

• Joukko luonnollisia lukuja käytetään laskenta ja on aivan alussa aksiomaattis rakenteen matematiikan. Alle nollan pitäisi ei vuonna sisällytetä, mutta päinvastainen yleissopimus on myös yleistä. ja ovat kommutatiivisia puoliryhmiä . Kuten kaikki muutkin lukualueet, summaus ja kertolasku ovat jakautuvia .${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ cdot)}$

• Joukko kokonaislukuja syntyy rakentamalla nollaksi neutraali elementti ja negatiiviset luvut kuin käänteisarvo lisäyksen. on abelilainen ryhmä, jolla on neutraali alkuaine, ja on kommutatiivinen monoidi neutraalin elementin kanssa . on kommutatiivinen rengas yhdellä.${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, \ cdot)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ cdot)}$

• Positiivisten fraktioiden joukko saadaan rakentamalla fraktiot kerrannaisen käänteisenä . on siis ryhmä ja on puoliryhmä (molemmat kommutatiivisia).${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q} ^ {+}, \ cdot)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q} ^ {+}, +)}$

• Murtoluku- tai rationaalilukujoukko luodaan lisäämällä neutraali elementti ja käänteinen lisäyksen suhteen tai lisäämällä käänteinen kertolaskuun. ja ovat abelilaisia ​​ryhmiä, summaus ja kertolasku ovat jakautuvia . on ruumis .${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q}, +)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q} \ setminus \ {0 \}, \ cdot)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

• Joukko todellinen määrä tuloksia topologinen loppuun : todellinen numero on ekvivalenssiluokassa järkevä Cauchyn sekvenssejä . on ruumis .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• Joukko kompleksiluvuilla koostuu paria todellisia lukuja , jotka täyttävät kanssa tavallista aritmeettinen sääntöjä kirjoitettua . In tahansa algebrallinen yhtälö on ratkaistavissa. on ruumis .${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle a + bi}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• Kvaternionit , Cayley-numerot ja myös laajennetut lukualueet eivät ole enää kommutatiivisia kertolaskujen suhteen.

Jotkut rajoitetut lukumäärät ovat myös tärkeitä:

• Loput luokka rengas on rajoitus koko numeroiden joukkoon . Kaikki aritmeettiset operaatiot suoritetaan modulo . on rengas ; jos on alkuluku , jopa kentän . Konetason ohjelmointikielissä allekirjoittamattomat kokonaisluvut esitetään jäännösluokan renkaina, esimerkiksi - tai - näppäimellä .${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ displaystyle \ {0,1, \ ldots, m-1 \}}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m = 2 ^ {16}}$${\ displaystyle m = 2 ^ {32}}$

kirjallisuus

• Nicolas Bourbaki : arkkitehtuuri matematiikka I . Julkaisussa: Fyysiset arkit . nauha 17 , ei. 4 , 1961, s. 161-166 , doi : 10.1002 / phbl.19610170403 . Matematiikan arkkitehtuuri II . Julkaisussa: Fyysiset arkit . nauha   17 , ei. 5 , 1961, s. 212–218 , doi : 10.1002 / phbl.19610170503 (ranska: Les grands courants de la pensée mathématique . Marseille 1948. Kääntäjä Karl Strubecker, Helga Wünsch). 
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv- atlasmatematiikka . 11. painos. nauha 1 : Perusteet, algebra ja geometria. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0 , s. 36-37 . 

Yksittäiset todisteet

1. ↑ Nicolas Bourbaki : Matematiikan arkkitehtuuri I. S. 165 f.
2. ^ Nicolas Bourbaki : Matematiikan arkkitehtuuri II. S. 212-214.
3. ↑ Nicolas Bourbaki : Matematiikan arkkitehtuuri II s.215.
4. ↑ liittyy läheisesti käsite relaatio rakenne on se, että on kaavio , että graafiteoreettisia mielessä. Tuen joukkoa kutsutaan solmujoukoksi, relaation paikan vie reunajoukko. Ellei toisin mainita, kaaviot ovat rajallisia.