Banach-tila

Banachin tila (myös Banachin tilaa , Banachin tila ) on täysin normalisoitu vektori tila on matematiikka . Banach-tilat ovat toiminnallisen analyysin keskeisiä tutkimuskohteita . Erityisesti monet äärettömät ulotteiset funktiotilat ovat Banach-tiloja. Heidät on nimetty matemaatikko Stefan Banachin mukaan , joka esitteli heidät yhdessä Hans Hahnin ja Eduard Hellyn kanssa vuosina 1920–1922 .

määritelmä

Banach-tila on täysin normalisoitu tila

${\ displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$,

eli vektori tilaa yli alalla on reaali- tai kompleksilukuja , joilla on normi , jossa kukin Cauchy sekvenssin elementtien suppenee , että metriikka aiheuttama normi . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$

Selitykset

Metrisissä tiloissa täydellisyys on mittarin ominaisuus, ei itse topologisen avaruuden ominaisuus. Siirtyminen vastaavaan metriikkaan (ts. Metriin, joka luo saman topologian) voi menettää täydellisyyden. Toisaalta kahden vastaavan normin osalta standardoidussa tilassa yksi on täydellinen vain ja vain, jos toinen on. Kun kyseessä on standardoitu tiloja, täydellisyys on siis ominaisuus standardin topologia joka ei riipu kyseisen standardin.

Lausekkeet ja ominaisuudet

• Normalisoitu tila on Banach avaruus, jos ja vain jos jokainen täysin yhtenevät sarja suppenee sitä.

• Jokainen normalisoitu tila voidaan suorittaa loppuun , jolloin saadaan Banach-tila, joka sisältää alkuperäisen tilan tiheänä alatilana .

• Jos lineaarinen kartoitus kahden normalisoidun tilan välillä on isomorfismi , niin seuraavien täydellisyys seuraa niiden täydellisyydestä .${\ displaystyle T \ kaksoispiste X \ oikeanpuoleinen Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T (X)}$

• Jokainen lopullisesti mitoitettu normoitu tila on Banach-tila. Päinvastoin, Banach-tila, jolla on suurin laskettavissa oleva Hamel-pohja, on äärellinen. Jälkimmäinen on seurausta Bairen omaisuudesta täydellisistä metrisistä tiloista.

• Jos suljettu alatila on Banach-tila , se on taas Banach-tila. Tekijä tilaa kanssa normin on sitten myös Banach tilaa.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X / M}$${\ displaystyle \ | x + M \ | = \ inf \ rajoittaa _ {m \ in M} \ | x + m \ |}$

• Ensimmäinen isomorfismilause Banach-tiloille: Jos kahden Banach-tilan rajatun lineaarisen kartoituksen kuva on suljettu , niin . Tämä on topologisen isomorfismin käsite, ts. Eli on bijective lineaarikuvaus välillä on sellainen, että molemmat ja ovat jatkuvia.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X / \ operaattorin nimi {ker} (T) \ cong T (X)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X / \ operaattorin nimi {ker} (T)}$${\ displaystyle T (X)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L ^ {- 1}}$

• Suora summa normalisoidaan tilat on Banach tilaa, jos ja vain jos kunkin yksittäisen tilat on Banach tilaa.${\ displaystyle X_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus X_ {n}}$${\ displaystyle X_ {j}}$

• Banach-Steinhaus teoreema : Jos perheen jatkuvan, lineaarisen toimijoiden Banach avaruuden normalisoitu tilaan seuraa piste-viisasta boundedness yhtenäinen boundedness seuraa .${\ displaystyle (T_ {i}) _ {i \ I}}$

• Avoimen kartoituksen lause : Jatkuva lineaarikartoitus kahden Banach-tilan välillä on surjektiivinen vain ja vain, jos se on avoin. Jos bijektiivinen ja jatkuva, niin käänteinen kartoitus on myös jatkuva. Tästä seuraa, että jokainen bijektiivisesti rajattu lineaarinen operaattori Banach-tilojen välillä on isomorfismi .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1}}$

• Suljetun kaavion lause : Kahden Banach-tilan välisen lineaarisen kartoituksen kaavio on suljettu tuotteessa vain ja vain, jos kartoitus on jatkuva.${\ displaystyle T \ kaksoispiste X \ - Y}$${\ displaystyle X \ kertaa Y}$

• Banach-Alaoglu lause : suljettu yksikkö pallo on kaksi tilaa Banach tila on heikko - * - kompakti .

• Jokaista erotettavissa Banach avaruus on suljettu aliavaruus on sellainen , että on.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle l ^ {1}}$${\ displaystyle X \ cong l ^ {1} / M}$

• Jokainen Banach- huone on Fréchet-huone .

Lineaariset operaattorit

Onko ja normoidaan välilyöntejä saman rungon päällä , joten kaikkien jatkuvien - lineaaristen karttojen määrä on merkitty. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle T \ kaksoispiste X \ oikeanpuoleinen Y}$${\ displaystyle B (X, Y)}$

Äärettömissä tiloissa lineaariset kartoitukset eivät välttämättä ole jatkuvia.

${\ displaystyle B (X, Y)}$on vektoritila ja läpi ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$

${\ displaystyle \ | T \ |: = \ mathrm {sup} \ {\ | Tx \ |: x \ X: ssä {\ text {with}} \ | x \ | \ leq 1 \}}$

on normi, joka on määritelty. Onko myös Banach-tila . ${\ displaystyle B (X, Y)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle B (X, Y)}$

Jos Banach-väli, niin se on Banach-algebra, jolla on sama operaattori kuin yksikkö ; kertolaskuoperaatio saadaan lineaaristen karttojen koostumuksella. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B (X) = B (X, X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {X}}$

Kaksoistila

Jos normalisoitu tila ja sen alla oleva runko on , niin se itsekin on myös Banach-tila ( absoluuttisen arvon ollessa normi), ja topologinen kaksoistila (myös jatkuva kaksoistila) voidaan määrittää . Se on yleensä algebrallisen kaksoisavaruuden todellinen alatila . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X '= B (X, \ mathbb {K})}$${\ displaystyle X ^ {*}}$

• Jos normalisoitu tila on, se on Banach-tila.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$

• Ole normalisoitu tila. On erotettavissa niin myös .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X}$

Dual topologinen tila voidaan käyttää määrittämään topologia on : heikko topologia . Heikko topologia ei vastaa standarditopologiaa, kun tila on äärettömän ulotteinen. Jakson konvergenssi normitopologiassa johtaa aina lähentymiseen heikossa topologiassa, ja päinvastoin yleensä ei. Tässä mielessä heikosta topologiasta johtuva lähentymistila on "heikompi". ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

On luonnollista kartoitus välillä on (jäljempänä bidual välilyönti), määritellään seuraavasti: kaikille ja . Vuodesta Hahn-Banachin n teoreema tästä seuraa, että jokaisen niistä kartoitus on jatkuva ja siksi elementti . Kartoitus on aina injektoiva ja jatkuva (jopa isometrinen). ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '' = (X ')' = B (X ', \ mathbb {K})}$${\ displaystyle F \ kaksoispiste X \ - X '', F (x) (f) = f (x)}$${\ displaystyle x \ X: ssä}$${\ displaystyle f \ X: ssä '}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F (x) \ kaksoispiste X '\ to \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X ''}$${\ displaystyle F}$

Heijastavuus

Jos luonnollinen kartoitus on myös surjektiivinen (ja siten isometrinen isomorfismi), normalisoitua tilaa kutsutaan refleksiiviseksi . Seuraavat suhteet ovat voimassa: ${\ displaystyle F \ kaksoispiste X \ - X ''}}$${\ displaystyle X}$

• Jokainen refleksiivinen normoitu tila on Banach-tila.

• Banach-tila on heijastava vain ja vain, jos se on heijastava. Se vastaa tätä väitettä, että yksikkö alalla on kompakti on heikko topologia .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X}$

• Jos refleksiivisestä normalisoitu tila on Banach tila, ja jos on, joita rajoittaa lineaarinen operaattori on , niin on refleksiivinen.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$

• Onko heijastava standardoitu tila. Sitten jos ja erotettavissa, jos on erotettavissa.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$

• Jamesin lause Banach-avaruudelle ovat vastaavat: ${\ displaystyle X}$
  • ${\ displaystyle X}$ on heijastava.
  • ${\ displaystyle \ forall f \ in X '\ \ on olemassa x \ in X}$kanssa niin, että .${\ displaystyle \ vasen \ | x \ oikea \ | \ leq 1}$${\ displaystyle f (x) = \ vasen \ | f \ oikea \ |}$

Tensor-tuote

Tensorituotteen universaali ominaisuus

Ole ja kaksi vektoriväliä. Tensoritulo on ja on vektori tila on varustettu bilineaarinen kartoitus , jolla on seuraava yleinen ominaisuus : Jos on mitään bilineaarinen kartoitus osaksi vektori tilaan , niin on täsmälleen yksi lineaarinen kartoitus kanssa . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X \ otimes Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle T \ kaksoispiste X \ kertaa Y \ oikeanpuoleinen nuoli Z}$${\ displaystyle T '\ kaksoispiste X \ kertaa Y \ oikeanpuoleinen nuoli Z'}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle Z '}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste Z \ oikeanpuoleinen Z '}$${\ displaystyle T '= f \ circ T}$

On olemassa useita tapoja määritellä normi alla olevien vektoritilojen tensorituotteelle , mukaan lukien projektivinen tensorituote ja injektoiva tensorituote . Kokonaisten tilojen tensoritulo ei yleensä ole enää täydellinen. Siksi Banach-tilojen teoriassa tensorituote ymmärretään usein sen valmistumiseksi, mikä riippuu tietysti normin valinnasta.

Esimerkkejä

Seuraavassa elin tai , on kompakti Hausdorff tilan ja suljetun välein. ja ovat reaalilukuja ja . Seuraavaksi on σ-algebran , asettaa algebran ja toimenpide . ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I = [a, b]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle 1 <p, q <\ infty}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {q}} + {\ tfrac {1} {p}} = 1}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Xi}$${\ displaystyle \ mu}$

nimitys	Kaksoistila	refleksiivinen	heikko täydellinen	vakiona	Sukunimi
${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$	${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$	Joo	Joo	${\ displaystyle \ | x \ | _ {2} = \ vasen (\ summa _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2} \ oikea) ^ {1/2}}$	Euklidinen tila
${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {p}}$	${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {q}}$	Joo	Joo	${\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ vasen (\ summa _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} \ oikea) ^ {1 / p}}$	Space finite-ulotteista vektoria kanssa p -norm
${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {\ infty}}$	${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {1}}$	Joo	Joo	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} | x_ {i} |}$	Raja-ulotteisten vektorien tila maksimiarvolla
${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {q}}$	Joo	Joo	${\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ vasen (\ summa _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | ^ {p} \ oikea) ^ {1 / p}}$	Sekvenssien tila, joka voidaan tiivistää p : n tehoon
${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | x \ | _ {1} = \ summa _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} |}$	Tilaa seurauksille, jotka voidaan tiivistää määränä
${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$	${\ displaystyle ba (2 ^ {\ mathbb {N}})}$	Ei	Ei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Tilaa rajallisia vaikutuksia
${\ displaystyle c}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Ei	Ei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Tilaa Convergent Seuraukset
${\ displaystyle c_ {0}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Ei	Ei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Tilaa nollasekvenssiä ; isomorfinen, mutta ei isometrinen${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle bv \,}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1} + \ mathbb {K}}$	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bv} = | x_ {1} | + \ summa _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}$	Rajoitetun vaihtelun seurausten tila
${\ displaystyle bv_ {0}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bv_ {0}} = \ summa _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}$	Nollasekvenssien tila, jolla on rajoitettu vaihtelu
${\ displaystyle bs}$	${\ displaystyle ba (2 ^ {\ mathbb {N}})}$	Ei	Ei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bs} = \ sup _ {n} \ vasen | \ summa _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ oikea |}$	Rajoitettu määrä tilaa; isometrinen isomorfinen${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$
${\ displaystyle cs}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Ei	Ei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bs} = \ sup _ {n} \ vasen | \ summa _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ oikea |}$	Yhdistyvien summien tila; suljettu alatila ; isometrinen isomorfinen${\ displaystyle bs}$${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle B (X, \ Xi)}$	${\ displaystyle ba (\ Xi)}$	Ei	Ei	${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ X: ssä} | f (x) |}$	Rajoitettujen mitattavien toimintojen tila${\ displaystyle \ Xi}$${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle C (X)}$	${\ displaystyle rca (\ Sigma)}$	Ei	Ei	${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ X: ssä} \ vasen | f (x) \ oikea |}$	Space jatkuvia funktioita kanssa Borel n σ-algebran${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle ba (\ Xi)}$	?	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ sisään \ Sigma} | \ mu | (A)}$	Rajoitetun rajallisen lisäaineen allekirjoitetun mitan tila päällä${\ displaystyle \ Xi}$
${\ displaystyle ca (\ Sigma)}$	?	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ sisään \ Sigma} | \ mu | (A)}$	Tilaa -additive toimenpiteitä ; Suljettu alatila${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle ba (\ Sigma)}$
${\ displaystyle rca (\ Sigma)}$	?	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ sisään \ Sigma} | \ mu | (A)}$	Space of säännöllisesti Borel toimenpiteitä ; suljettu alatila${\ displaystyle ca (\ Sigma)}$
${\ displaystyle L ^ {p} (\ mu)}$	${\ displaystyle L ^ {q} (\ mu)}$	Joo	Joo	${\ displaystyle \ | f \ | _ {L ^ {p}} = \ vasen (\ int | f | ^ {p} \, d \ mu \ oikea) ^ {1 / p}}$	Lebesgue-integroitavien toimintojen tila p- sessä tehossa
${\ displaystyle BV (I)}$	?	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = \ lim _ {x \ a ^ {+}} f (x) + V_ {f} (I)}$	Rajoitettujen kokonaisvariaatioiden toimintojen tila
${\ displaystyle NBV (I)}$	?	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = V_ {f} (I)}$	Rajoitettujen kokonaisvariaatioiden toimintojen tila, jonka raja-arvo häviää ${\ displaystyle a}$
${\ displaystyle AC (I)}$	${\ displaystyle \ mathbb {K} + L ^ {\ infty} (I)}$	Ei	Joo	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = \ lim _ {x \ a ^ {+}} f (x) + V_ {f} (I)}$	Tila ehdottomasti jatkuvia funktioita ; isomorfinen Sobolevin avaruuteen ${\ displaystyle W ^ {1,1} (I)}$
${\ displaystyle C ^ {n} (I)}$	${\ displaystyle rca (I)}$	Ei	Ei	${\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {n}} = \ summa _ {i = 0} ^ {n} \ sup _ {x \ I: ssä | f ^ {(i)} (x) | }$	Sileä Toiminnot huone ; isomorfinen${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus C (I)}$

Luokittelu matemaattisten rakenteiden hierarkiassa

Katsaus abstrakteihin tiloihin matematiikassa. Nuoli on ymmärrettävä implikaationa, ts. Toisin sanoen nuolen alussa oleva tila on myös nuolen lopussa oleva tila.

Jokainen Hilbert-tila on Banach-tila, mutta ei päinvastoin. Mukaan Jordan-von Neumann lauseen skalaari tuote yhteensopiva normi voidaan määritellä Banach tilaa, jos ja vain jos suunnikas yhtälö koskee sitä.

Jotkut tärkeät tilat toiminnallisessa analyysissä, esimerkiksi kaikkien äärettömän usein erilaistuvien toimintojen tila tai kaikkien jakaumien tila , ovat täydellisiä, mutta eivät standardoituja vektoriavaruuksia eivätkä siksi Banach-välilyöntejä. In Fréchet tilat yksi on vielä täydellinen metrinen , kun taas LF tilat ovat täysin yhdenmukaiset vektori tilat, jotka näyttävät raja tapauksissa Fréchet tilat. Nämä ovat paikallisesti kuperien tilojen tai topologisten vektoritilojen erikoisluokkia . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Jokainen standardoitu tila voidaan valmistaa yksilöllisesti paitsi isometrinen isomorfismi, toisin sanoen upotettuna tiheänä alatilana Banach-avaruuteen.

Fréchet-johdanto

On mahdollista määrittää funktion derivaatti kahden Banach-välilyönnin välillä. Voit intuitiivisesti nähdä, että jos on elementti , johdannainen pisteessä on jatkuva lineaarinen kartoitus, joka on lähellä etäisyyden järjestystä . ${\ displaystyle f \ kaksoispiste V \ - W}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ vert h \ vert}$

Yksi kutsuu (Fréchet) -erotettavaksi , jos on olemassa jatkuva lineaarikartoitus , joka ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A \ kaksoispiste V \ - W}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ - 0} {\ | f (x + h) -f (x) -A (h) \ | \ yli \ | h \ |} = 0}$

sovelletaan. Raja-arvo on tässä muodostettu kaikkien sekvenssien ei-nolla-alkioita , jotka lähenevät 0. Jos raja on olemassa, se on kirjoitettu ja kutsutaan ( Fréchet ) johdannainen on . Muita yleistyksiä johdannosta saadaan vastaavalla tavalla kuin analysoidaan rajallisia ulottuvuuksia. Kaikille johdantotermeille on kuitenkin yhteistä kysymys lineaarisen kartoituksen jatkuvuudesta${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Df (x) = A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Df (x)}$

Tämä johdannaisen käsite on yleistys tavallisesta funktiojohdannaisesta , koska lineaariset vastaukset mistä ovat yksinkertaisesti kertoja reaaliluvuilla. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ - \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Jos on derivoituva jokaisessa vaiheessa on sitten toinen kartoitus Banach spaces (yleensä ei lineaarinen kartta!) Ja voidaan mahdollisesti eriyttää uudelleen, jolloin korkeampi johdannaiset määritellään. Nnen johdannaisen kohdassa voidaan siten nähdä kuin usean muuttujan kartoitus . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Df \ kaksoispiste V \ - L (V, W)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V_ {n} \ - W}$

Eriyttäminen on lineaarinen operaatio seuraavassa mielessä: Jos ja ovat kaksi kartoitusta, jotka ovat erottuvia , ja ovat ja skalaareja , niin se on erilainen ja se pitää ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle V \ to W}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle rf + sg}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle D (rf + sg) (x) = rD (f) (x) + sD (g) (x)}$.

Ketjusääntö pätee myös tässä yhteydessä. Jos toiminnoissa on yksi ja yksi toiminnoissa, niin koostumus on erilainen ja johdannainen on johdannaisten koostumus ${\ displaystyle f \ kaksoispiste V \ - W}$${\ displaystyle x \ in V}$${\ displaystyle g \ kaksoispiste W \ X}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle D (g \ circ f) (x) = D (g) (f (x)) \ circ D (f) (x).}$

Suuntajohdannaisia ​​voidaan laajentaa myös äärettömästi ulottuviin vektoritiloihin, tässä yhteydessä viitataan Gâteaux-differentiaaliin .

Banachin avaruusarvoisten toimintojen integrointi

Tietyissä olosuhteissa on mahdollista integroida Banachin avaruusarvoisia toimintoja. 1900-luvulla esiteltiin monia erilaisia ​​lähestymistapoja Banachin avaruusarvoisten toimintojen integrointiteoriaan . Esimerkkejä ovat Bochner-integraali , Birkhoff-integraali ja Pettis-integraali . Lopullisissa ulottuvuuksissa Banach-tiloissa nämä kolme eri lähestymistapaa integraatioon johtavat lopulta samaan integraaliin. Äärettömien ulottuvuuksien Banach-tiloissa tämä ei kuitenkaan yleensä ole asia. Lisäksi voidaan siirtyä tavallisista toimenpiteistä vektorimittauksiin , jotka ottavat arvonsa Banach-tiloissa ja määrittelevät integraalin tällaisiin toimenpiteisiin.

kirjallisuus

• Stefan Banach: Linja-autoilijat . Warszawa 1932. (Monografia Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901 (Kolmogoroff)
• Professori Dr. A. Deitmar: Toiminnallinen analyysiohjelma WS2011 / 12 < http://www.mathematik.uni-tuebingen.de/~deitmar/LEHRE/frueher/2011-12/FA/FA.pdf >
• Robert E.Megginson: Johdatus Banachin avaruusteoriaan . Springer-Verlag (1998), ISBN 0-387-98431-3
• Bernard Beauzamy: Johdatus Banach-tiloihin ja niiden geometriaan . Pohjois-Hollanti. 1986
• Raymond A. Ryan: Johdanto Banach Spacesin tensorituotteisiin . Springer-kustantamo. 2000
• Anton Willkomm: Väitös: Topologisten ryhmien edustusteoriasta muissa kuin Archimedean Banach-tiloissa . Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen. 1976
• Joseph Diestel: Sarjat ja sarjat Banach-tiloissa , Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5
• Nelson Dunford; Jacob T.Schwartz: Lineaariset operaattorit, osa I, yleinen teoria 1958