Toiminnallinen analyysi

Toiminnallinen analyysi on haara on matematiikan , joka käsittelee tutkimuksen ääretön-ulotteinen topologinen vektoriavaruudet mukana ja kuvat tällaisia. Tässä analyysi , topologia ja algebra linkitetään toisiinsa. Näiden tutkimusten tarkoituksena on löytää abstrakteja lausuntoja, joita voidaan soveltaa erilaisiin konkreettisiin ongelmiin. Funktionaalinen analyysi on sopiva kehys kvanttimekaniikan matemaattiseen muotoiluun ja osittaisten differentiaaliyhtälöiden tutkimiseen .

Perustermit

Termeillä on keskeinen merkitys

• Toiminnallinen vektorien (esim. Toimintojen ) kartoittamiseksi skalaarikokoihin ja
• Operaattori vektorien kartoittamiseksi vektoreihin. Operaattorin käsite on itse asiassa paljon yleisempi. On kuitenkin järkevää tarkastella niitä algebrallisesti ja topologisesti jäsennetyissä tiloissa, kuten B. kaikenlaiset topologiset, metriset tai standardoidut vektoritilat .

Esimerkkejä toiminnallisista ovat termit sekvenssin raja-arvo , normi , määritelty integraali tai jakauma , esimerkkejä operaattoreista ovat erilaistuminen , määrittelemätön integraali , kvanttimekaaniset havainnoitavat tai siirtooperaattorit sekvensseille.

Analyysin peruskäsitteet, kuten jatkuvuus , johdannaiset jne., Laajennetaan toiminnallisessa analyysissä koskemaan funktionaalisia ja operaattoreita. Samaan aikaan lineaarisen algebran (esimerkiksi spektrilause ) tuloksia laajennetaan kattamaan topologisesti lineaariset tilat (esimerkiksi Hilbert-tilat ), mikä liittyy erittäin merkittäviin tuloksiin.

Funktionaalisen analyysin historialliset juuret ovat Fourier-muunnoksen ja vastaavien muunnosten tutkimuksessa sekä differentiaali- ja integraaliyhtälöiden tutkimuksessa . Sanaosa "toiminnallinen" palaa muunnelmien laskentaan . Stefan Banachia , Frigyes Riesziä ja Maurice René Fréchetä pidetään nykyaikaisen toiminnallisen analyysin perustajina .

Topologiset vektoritilat

Toiminnallinen analyysi perustuu vektoriavaruuksia yli reaali- tai monimutkaisia numeroita. Peruskäsite on tässä topologinen vektoritila, jolle on ominaista, että vektoritilan linkit ovat jatkuvia; tarkemmin tarkastellaan myös paikallisesti kuperia topologisia vektoritiloja ja Fréchet-tiloja . Tärkeitä lausuntoja ovat Hahn-Banach- lause , Baire-lause ja Banach-Steinhaus-lause . Varsinkin osittaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuteoriassa näillä on tärkeä rooli, lisäksi Fredholmin teoriassa .

Standardoidut tilat, Banach-tilat

Paikallisesti kuperien topologisten vektoritilojen tärkein erityistapaus on normalisoidut vektoritilat . Jos nämä ovat myös täydellisiä , niitä kutsutaan Banach-välilyönneiksi . Hilbert tilat katsotaan vielä tarkemmin , jossa normi on luotu , jonka skalaaritulo . Nämä tilat ovat perustavanlaatuisia kvanttimekaniikan matemaattiselle muotoilulle . Tärkeä tutkimuksen kohde ovat jatkuvat lineaariset operaattorit Banach- tai Hilbert-tiloissa.

Hilbert tilat voidaan täysin luokiteltu: jokaisen paksuus ortonormaali kanta on täsmälleen yksi Hilbert tilaa elin (lukuun ottamatta isomorfismi ) . Koska rajalliset ulotteiset Hilbert-tilat ovat lineaarisen algebran peitossa ja jokainen Hilbert-tilojen välinen morfismi voidaan hajottaa Hilbert-tilojen morfismeiksi laskettavalla ortonormaalilla pohjalla, tarkastellaan pääasiassa Hilbert-tiloja, joilla on laskettava ortonormaalipohja, ja niiden morfismeja toiminnallisessa analyysissä. Nämä ovat isomorfinen sekvenssin tilaa kaikkien sekvenssien kanssa ominaisuus, että neliöiden summa kaikkien sekvenssin jäsenten on rajallinen. ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

Banach-tilat ovat toisaalta paljon monimutkaisempia. Esimerkiksi ei ole yleistä määritelmää käytännössä käytettävästä perustasta, joten kohdassa (vektoriavaruus) kuvatun tyyppisiä emäksiä (kutsutaan myös Hamel-perustaksi ) ei voida antaa rakentavasti ääretön ulottuvuustapauksessa ja ne ovat aina laskemattomia (katso Bairen lause ). Hilbertin avaruus- tai ortormaalipohjien yleistäminen johtaa järkyttävän pohjan käsitteeseen , mutta kaikilla Banach-tiloilla ei ole sellaista.

Jokainen reaaliluku on Banach tilaa "kaikista Lebesgue mitattavissa toimintoja, joiden nnen teho määrä on äärellinen kiinteä" (ks L ^p -space ), tämä on täsmälleen Hilbert tilaa. ${\ displaystyle p \ geq 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 2}$

Standardoituja tiloja tutkittaessa on tärkeää tutkia kaksoisavaruutta . Kaksoistila koostuu kaikista jatkuvista lineaarisista funktioista normalisoidusta avaruudesta skalaarirunkoonsa eli reaalilukuihin tai kompleksilukuihin. Bidual , eli kahden tilaan duaaliavaruus, ei tarvitse olla isomorfinen alkuperäiseen tilaan, mutta on aina luonnollinen monomorphism on tilaa sen bidual. Jos tämä erityinen monomorfismi on myös surjektiivinen , puhutaan heijastavasta Banach-avaruudesta .

Termi derivaatio voidaan yleistää Banach-välilyöntien välisiin funktioihin ns. Fréchet-derivaatioon siten, että yhden pisteen derivaatio on jatkuva lineaarikartoitus.

Operaattorit, Banach-algebrat

Vaikka Banach- tai Hilbert-välilyönnit edustavat yleistyksiä lineaarisen algebran äärellisen ulottuvuuden vektoriavaruuksista, niiden väliset jatkuvat, lineaariset operaattorit yleistävät lineaarisen algebran matriisit . Matriisien diagonalisaatio, jota matriisi yrittää edustaa ns. Ominaisvektorien venytysten suorana summana , laajenee Hilbert-tilojen itsesovittuvien tai normaalien operaattoreiden spektrilauseeseen , mikä johtaa kvanttimekaniikan matemaattiseen muotoiluun . Ominaisvektorit muodostavat kvanttimekaaniset tilat, operaattorit kvanttimekaaniset havaittavissa olevat .

Koska operaattoreiden tuotteet ovat taas operaattoreita, saadaan operaattoreiden algebrat , joiden operaattorin normi on Banach-välilyönti, mikä sallii kahden operaattorin ja multiplikatiivisen kolmion eriarvoisuuden . Tämä johtaa Banach-algebran käsitteeseen , jonka edustajat ovat C * -algebrat ja Von Neumannin algebrat . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ | A \ circ B \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |}$

Tutkinnassa paikallisesti kompakti ryhmien yksi käyttää Banach tila toimintoja integroitavissa suhteen hiukset toimenpide , joka tulee Banach algebran kanssa konvoluutio , kuten kertolasku. Tämä oikeuttaa harmonisen analyysin funktionaalisena analyyttisenä lähestymistapana paikallisesti kompaktien ryhmien teoriaan; Fourier-muunnoksen tulokset tältä kannalta, koska erityinen tapauksessa Gelfand muutosta tarkastellaan Banach algebran teoria . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$

Osittaiset differentiaaliyhtälöt

Funktionaalinen analyysi tarjoaa sopivan kehyksen osittaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuteorialle. Tällaisilla yhtälöillä on usein muoto, jossa haettu funktio ja oikea puoli ovat toimialueen toimintoja ja ovat differentiaalilausekkeita. Lisäksi on olemassa niin sanottuja reunaehdot että määrätä käyttäytymistä toiminto haetaan rajalla on . Esimerkki tällaisesta differentiaalilausekkeesta on Laplace-operaattori ; muut tärkeät esimerkit johtuvat aaltoyhtälöstä tai lämmönjohtavuusyhtälöstä . ${\ displaystyle sinä \, = f}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Omega \ osajoukko \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ osittainen \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle D = {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osallinen x_ {1} ^ {2}}} + \ piste + + {\ frac {\ osallinen ^ {2}} {\ osallinen x_ {n } ^ {2}}}}$

Differenciaalilauseketta pidetään nyt operaattorina erilaistuvien toimintojen tilojen välillä, esimerkiksi Laplace-operaattorin esimerkkinä operaattorina, joka on kahdesti jatkuvasti erilaistuvien toimintojen avaruuden ja jatkuvien toimintojen avaruuden välillä . Sellaiset funktiotilojen tilat, jotka voidaan erottaa klassisessa mielessä, osoittautuvat sopimattomiksi tyhjentävälle ratkaisuteorialle. Siirtymällä yleisempään diferentoitavuuden käsitteeseen ( heikko derivaatti , jakautumisteoria ) voidaan nähdä differentiaalilauseke operaattorina Hilbert-tilojen, ns. Sobolew-tilojen välillä , jotka koostuvat sopivista L ² -toiminnoista. Tässä yhteydessä tärkeissä tapauksissa voidaan todistaa tyydyttävät lauseet ratkaisujen olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta. Tätä tarkoitusta varten kysymyksiä, kuten riippuvuus oikealta puolelta , samoin kuin kysymyksiä säännöllisyydestä, ts. Liuoksen sileysominaisuuksista, oikeanpuoleisen sileyden ominaisuuksista riippuen , tutkitaan toiminnallisilla analyyttisillä menetelmillä. Tämä voidaan edelleen yleistää yleisempiin huoneluokkiin, kuten jakeluhuoneisiin. Jos oikea puoli on sama kuin delta jakelu ja on löydetty ratkaisu tässä tapauksessa, niin kutsuttu perus- liuosta, joissakin tapauksissa ratkaisuja tahansa oikealla puolella, voidaan konstruoida käyttäen konvoluutio . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Käytännössä numeerisia menetelmiä käytetään lähentämään tällaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja, kuten äärellinen elementtimenetelmä , varsinkin kun ratkaisua ei voida antaa suljetussa muodossa. Toiminnallisilla analyyttisillä menetelmillä on myös olennainen rooli tällaisten likiarvojen rakentamisessa ja likiarvon laadun määrittämisessä .

kirjallisuus

• Hans Wilhelm Alt : Lineaarinen toiminnallinen analyysi: sovelluslähtöinen johdanto . 5. painos. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2 , doi: 10.1007 / 3-540-34187-0 .
• Haïm Brézis : Analysis fonctionnelle: teoreettiset sovellukset . Julkaisussa: Mathématiques appliquées pour la maîtrise . Dunod, 2005, ISBN 2-10-049336-1
• Nelson Dunford , Jacob T.Schwartz et ai. a.: Lineaariset operaattorit, yleinen teoria ja muut 3 osaa, sisältävät visualisointikaavioita . Julkaisussa: Puhdas ja sovellettu matematiikka; 7 . Wiley-Interscience, 1988, ISBN 0-470-22605-6
• Harro Heuser : Toiminnallinen analyysi: teoria ja sovellus . 3. painos. Teubner-Verlag, 1992, ISBN 3-519-22206-X
• Friedrich Hirzebruch , Winfried Scharlau : Johdatus funktionaaliseen analyysiin , BI, Mannheim 1971, ISBN 978-3-411-00296-2 , verkossa Hirzebruch-kokoelmassa .
• Vivien Hutson, John S.Pym, Michael J. Cloud: Toiminnallisen analyysin ja operaattoriteorian sovellukset . 2. painos. Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
• Leonid P.Lebedev, Iosif I.Vorovič: Toiminnallinen analyysi mekaniikassa . Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-95519-4
• R. Meise, D. Vogt: Johdatus toiminnalliseen analyysiin , Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8 , doi: 10.1007 / 978-3-322-80310-8
• Martin Schechter : Toiminnallisen analyysin periaatteet . 2. painos. Academic Press, 2001, ISBN 0-8218-2895-9
• Sergei Lwowitsch Sobolew : Jotkut toiminnallisen analyysin sovellukset matemaattisessa fysiikassa , Providence (RI) , American Mathematical Soc., 1991, ISBN 0-8218-4549-7
• Dirk Werner : Toiminnallinen analyysi . 7. painos. Springer , 2011, ISBN 978-3-642-21016-7 , doi : 10.1007 / 978-3-642-21017-4 . 
• Kôsaku Yosida : Toiminnallinen analyysi . 6. painos. Springer-Verlag, 1980, ISBN 3-540-10210-8

Kirjat Alt (2006) ja Heuser (1992) tarjoavat johdannon ja ensimmäisen yleiskuvan toiminnallisen analyysin "klassisista" lauseista. Tällöin fyysisistä sovelluksista keskustellaan toistuvasti yhteisenä säikeenä. Heuserilla on kullekin luvulle harjoituksia, joista suurin osa on esitetty liitteessä. Viimeisessä luvussa ”Katsaus nousevaan analyysiin” kuvataan historiallisen kehityksen tärkeimmät vaiheet kohti nykypäivän toiminnallista analyysiä.

nettilinkit