Integraali yhtälö

Yhtälö käytetään matemaattisia integraaliyhtälö , kutsutaan, kun haluttu toiminto klo kiinteä tapahtuu. Integraalisia yhtälöitä voidaan käyttää tieteessä ja tekniikassa kuvaamaan erilaisia ilmiöitä .

Niels Henrik Abel tutki integraaleja yhtälöitä ensimmäisen kerran intensiivisemmin 1800-luvun alussa . Abelin integraaliyhtälö , joka on yksi ensimmäisistä tutkituista , palaa myös häneen . Edistystä tässä asiassa edistettiin 1900-luvun alussa, erityisesti Erik Ivar Fredholm , David Hilbert ja Erhard Schmidt . Hilbert ja Schmidt kehittivät Hilbert-Schmidt-operaattoreiden teorian . Integraalisten yhtälöiden teoriaa käsittelevä matematiikan haara on toiminnallinen analyysi .

määritelmä

Lineaarinen integraaliyhtälö

Lineaarinen integraaliyhtälö on yhtälö tuntematon funktio ja on varten muotoa ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x \ sisään \ Omega}$

${\ displaystyle \ lambda (x) u (x) + \ int _ {\ Omega} k (x, y) u (y) \, \ mathrm {d} y = f (x),}$

jossa , , koska toiminnot ja kompakti ovat. Toiminto on nimeltään ydin . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle k}$

Epälineaarinen integraaliyhtälö

Epälineaarinen integraaliyhtälö on muodoltaan

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} K (y, x, u (y)) \ mathrm {d} y = f (x)}$

sopivalla ydintoiminnon määritelmäalueella ja sopivalla integraatioalueella . Toiminto etsit varten on nyt sisällytetty ydintoiminnan ei-lineaarisesti. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ Omega \ osajoukko \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle u (y)}$

Lineaaristen integraaliyhtälöiden luokittelu

Lineaariset integraaliyhtälöt löytyvät

• Kiinteä yhtälöt ensimmäinen laatuaan jos ,${\ displaystyle \ lambda (x) \ equiv 0}$
• 2. lajin integraaliset yhtälöt, jos ja${\ displaystyle \ lambda (x) \ equiv \ lambda \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
• Kolmannen luokan integraaliset yhtälöt kaikille muille ,${\ displaystyle \ lambda}$

järjestää.

Ensimmäisen tyyppisten integraaliyhtälöiden tapauksessa etsimäsi tuntematon funktio esiintyy vain integraalissa; ${\ displaystyle u (x)}$

Tämä luokitus näyttää mielivaltaiselta, mutta on välttämätön vastaavien integraalikaavan yhtälöiden erilaisten analyyttisten ominaisuuksien vuoksi. Esimerkiksi toisen tyyppiset integraaliset yhtälöt (ytimen heikoilla edellytyksillä) voidaan ratkaista ainutlaatuisesti melkein kaikkien arvojen kohdalla , ja ratkaisu riippuu jatkuvasti . Tämä ei yleensä koske ensimmäisen tyyppisiä integraaleja yhtälöitä (ytimen samoissa olosuhteissa). Ensimmäisen lajin integraaliset yhtälöt ovat B. Laplace-muunnos aiheutti melkein aina virheellisesti ongelmia . Fourier-muunnos on yksi harvoista poikkeuksista. Tyypin 3 integraaliyhtälöt aiheuttavat yleensä virheellisesti ongelmia. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle f}$

Jos tunnettu funktio esiintyy integraalikaavassa , yhtälö on homogeeninen , muuten epähomogeeninen . Homogeenisten lineaaristen yhtälöiden tapauksessa skaalattu funktio on myös ratkaisu. ${\ displaystyle f \ equiv 0}$${\ displaystyle u (x)}$${\ displaystyle \ alpha \ cdot u (x)}$

Lisäksi voidaan luokitella integraaliset yhtälöt niiden integraatiorajojen mukaan. Jos kaikki rajat ovat vakioita, puhutaan Fredholmin integraaliyhtälöistä , jos yksi rajoista on muuttuva, yhtälöä kutsutaan Volterran integraaliyhtälöksi .

Toinen luokitus perustuu ytimen ominaisuuksiin. On heikosti yksikön ja voimakkaasti yksikön integraaliyhtälöitä.

Esimerkkejä

• (lineaarinen) Fredholmin integraalikaavan tyyppi 1, epähomogeeninen tapaus:

  ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} k (s, t) u (t) \ mathrm {d} t = f (s)}$

• (lineaarinen) Fredholmin integraaliyhtälö, toinen tyyppi, epähomogeeninen tapaus:

  ${\ displaystyle \ lambda \ cdot \ int _ {a} ^ {b} k (s, t) u (t) \ mathrm {d} t + f (s) = u (s)}$

Parametrilla on samanlainen rooli kuin ominaisarvolla lineaarisessa algebrassa.${\ displaystyle \ lambda}$

• (lineaarinen) Fredholmin integraaliyhtälö, toinen tyyppi, homogeeninen tapaus:

  ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} k (s, t) u (t) \ mathrm {d} t = u (s)}$

• (lineaarinen) Volterran integraaliyhtälön tyyppi 1, epähomogeeninen tapaus:

  ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {s} k (s, t) u (t) \ mathrm {d} t = f (s)}$

• (lineaarinen) Volterran integraaliyhtälö, toinen tyyppi, epähomogeeninen tapaus:

${\ displaystyle \ lambda \ cdot \ int _ {a} ^ {s} k (s, t) u (t) \ mathrm {d} t + f (s) = u (s)}$

• Epälineaarinen Volterran integraaliyhtälö, toinen tyyppi, epähomogeeninen tapaus:

${\ displaystyle \ lambda \ cdot \ int _ {a} ^ {s} k (s, t) F (s, t, u (t)) \ mathrm {d} t + f (s) = u (s) }$

annetulla epälineaarisella toiminnolla ${\ displaystyle F (s, t, u (t))}$

Operaattorin teoreettinen lähestymistapa

Kanssa

${\ displaystyle (Ku) (x) = \ int _ {\ Omega} k (x, y) u (y) \, \ mathrm {d} y}$

lineaarinen operaattori on määritelty riittävän integroituva ydin . Kompaktien operaattoreiden teoria on välttämätön integraalikaavioiden (ei kovin yksittäin) teorian kannalta . Tämä teoria on jonkin verran samanlainen kuin lineaaristen yhtälöiden rajallisessa ulottuvuudessa. Kompakteilla operaattoreilla on olennaisesti puhtaat ominaisarvospektrit . Tarkemmin sanottuna tämä tarkoittaa: Spektri koostuu (mahdollisesti nollan lisäksi) vain ominaisarvoista ja nämä kertyvät korkeintaan yhteen pisteeseen, nollaan. Kaikki sisätilat (mahdollisesti nollaa lukuun ottamatta) ovat rajallisia. ${\ displaystyle k (x, y)}$ ${\ displaystyle K}$

Historiallisesti integraalisten yhtälöiden teoria kehitettiin 1900-luvun alussa jatkuvana raja-arvon muutoksena, esimerkiksi lineaarisen algebran ominaisarvoyhtälöistä, jolloin ominaisvektorit vastaavat nyt ominaisfunktioita ja matriisi ydinfunktiota.

Integraali- ja differentiaaliyhtälöiden kaksinaisuus

Integraaliset operaattorit esiintyvät usein (mutta eivät yksinomaan) differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa , esimerkiksi Sturm-Liouville -ongelmissa , tai osittaisissa differentiaaliyhtälöissä Greenin funktion muodossa .

Integroon differentiaaliyhtälö

Integro-differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa esiintyy määritettävän funktion derivaatti, samoin kuin integraali, jonka integroituna haluttu funktio esiintyy.

Tällaiset yhtälöt, kuten integraali- tai differentiaaliyhtälöt, voivat olla lineaarisia tai epälineaarisia. Jos esiintyy vain tavanomaisia ​​haettuja funktiojohdannaisia, puhutaan tavallisesta integro-differentiaaliyhtälöstä, jos esiintyy osittaisia ​​johdannaisia, puhutaan osittaisesta integro-differentiaaliyhtälöstä.

Esimerkki tästä on Boltzmannin yhtälöstä peräisin olevien kaasujen kineettisestä teoriasta .

Wiener-Hopf-yhtälö ja Wiener-Hopf-menetelmä

Wiener-Hopf-yhtälö on integraaliyhtälö, joka määritetään positiiviselle todelliselle puoliakselille ja jossa ydin riippuu argumenttien erosta: ${\ displaystyle k (x)}$

${\ displaystyle \ lambda \ cdot u (x) + \ int _ {0} ^ {\ infty} k (xs) u (s) \ mathrm {d} s = f (x)}$

varten . On annettu funktio (homogeenisen yhtälön tapauksessa ) ja etsimäsi funktio . on yllä oleva parametri. Ydin on muuttumaton käännös. ${\ displaystyle 0 \ leq x <\ infty}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x) = 0}$${\ displaystyle u (x)}$${\ displaystyle \ lambda}$

On tärkeää, että yksi reunoista on ääretön ja toinen äärellinen.

Se on nimetty Eberhard Hopfin ja Norbert Wienerin mukaan , jotka ovat kehittäneet sille ratkaisumenetelmän (Wiener-Hopf-menetelmä), ja sitä käytetään esimerkiksi astrofysiikan säteilykuljetuksen ongelmaan (Milne-yhtälö, se on Wiener-Hopf tyypin yhtälö).

Wiener-Hopf-menetelmä (myös factoring-menetelmä) on yleinen menetelmä tiettyjen integraalisten yhtälöiden ja tiettyjen osittaisten differentiaaliyhtälöiden (kuten aaltoyhtälön tai Laplace-yhtälön, esimerkiksi optiikassa tai sähkömagneettisuudessa) ratkaisemiseksi, jolloin tyypillisesti esiintyy rajoja jotka ulottuvat äärettömyyteen kuin puolitasossa. Fourier-muunnos (tai myös Laplace- muunnoksen tai Mellinille muutos ) toimintojen vaatimukset otetaan huomioon ja niiden monimutkainen analyyttisten ominaisuuksien käytetään. Funktio ja sen muunnos on jaettu kahteen osaan , joista kukin on määritelty ylemmässä ja alemmassa kompleksisessa puolitasossa analyyttisina funktioina (jolloin niillä tulisi olla vain polynomikasvukäyttäytyminen), mutta niillä on osa todellisesta akselista. yhteinen verkkotunnus. ${\ displaystyle \ Phi _ {\ pm}}$

kirjallisuus

• David Hilbert : Lineaaristen integraaliyhtälöiden yleisen teorian perusteet . BG Teubner, Leipzig, Berliini 1912.
• Adolf Kneser : Integraaliset yhtälöt ja niiden sovellukset matemaattisessa fysiikassa . Friedr. Vieweg & Son, Braunschweig 1922.
• Richard Courant , David Hilbert: Matemaattisen fysiikan menetelmät, osa 1 . Julius Springer, Berliini 1924. (kolmas luku)
• Heinz W. Engl : Integraaliset yhtälöt , Springer Verlag Wien, 1997.

Yksittäiset todisteet

1. ↑ ^{a b} integraaliyhtälö . Julkaisussa: Guido Walz (Toim.): Matematiikan sanasto . 1. painos. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
2. ↑ Eberhard Schock : Kolmannen luokan integraalit yhtälöt. Studia Mathematica, osa 81, 1985, s. 1-11
3. ↑ Integroon differentiaaliyhtälö . Julkaisussa: Guido Walz (Toim.): Matematiikan sanasto . 1. painos. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
4. ^ VI Dmitriev: Wiener-Hopfin yhtälö , Matematiikan tietosanakirja, Springer
5. ^ Wiener, Hopf, Preussin kokouksen raportit yksinäisten integraaliyhtälöiden luokasta. Tiedeakatemia Berliini, 1931, s.696-706
6. ^ Wiener-Hopf-menetelmä , Matematiikan tietosanakirja, Springer
7. ^ Wiener-Hopf-menetelmä , Mathworld
8. ^ B. Noble: Wiener-Hopf-tekniikkaan perustuvat menetelmät osittaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, Pergamon 1959
9. ↑ Morse, Feshbach: Teoreettisen fysiikan menetelmät, McGraw Hill 1953, osa 1, s.
10. ↑ Michio Masujima: Sovelletut matemaattiset menetelmät teoreettisessa fysiikassa, Wiley 2009
11. ^ LA Weinstein: diffraktioteoria ja faktorointimenetelmä, Golem Press, Boulder 1969
12. ^ Vito Daniele, Rodolfo Zilch: Wiener-Hopf-menetelmä sähkömagneettisessa tekniikassa, Scitech Publ.2014