Lähestyminen

Lähestyminen ( latinaksi proximus , "lähin") on alun perin "lähentämisen" synonyymi; On matematiikka, kuitenkin, termi on määritelty kuin arviointimenetelmän .

Matemaattiselta kannalta on useita syitä tutkia likimääräisiä arvoja. Yleisimpiä ovat nykyään:

Yhtälön likimääräinen ratkaisu . Jos yhtälön analyyttisesti täsmällistä ratkaisua ei ole saatavilla, halutaan löytää ratkaisun likimääräisyys yksinkertaisella tavalla.
Funktioiden tai numeroiden likimääräinen esitys . Jos nimenomaisesti annettua matemaattista objektia on vaikea käsitellä, on toivottavaa käyttää lähentämistä yksinkertaisista rakenteista.
Tuntemattomien toimintojen likimääräinen rekonstruktio epätäydellisistä tiedoista. Jos tuntemattoman funktion tiedot ovat saatavilla vain erillisessä muodossa, toimintoarvoina tiettyjen tukipisteiden yli, on toivottavaa, että suljettu esitys, joka määrittelee toimintoarvot jatkuvuudessa, on toivottavaa.

Monissa tapauksissa numeerinen menetelmä perustuu ajatukseen lähentää monimutkaista (ja usein vain epäsuorasti tunnettua) toimintoa helppokäyttöisen funktion avulla. Lähestymisteoria on siten olennainen osa nykyaikaista sovellettua matematiikkaa. Se tarjoaa teoreettisen perustan monille uusille ja vakiintuneille tietokoneavusteisille ratkaisumenetelmille.

Lähestymistyypit

Laskenta

Yksi yleisimmistä lähentämismuodoista on irrationaalisen luvun esittäminen lukuna, jolla on rajallinen määrä desimaaleja, ja luvun pyöristäminen lukuun, jolla on vähemmän desimaaleja, eli likimääräisen arvon laskeminen . Esimerkiksi:

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ noin 1 {,} 41421356 \ noin 1 {,} 41}

Suurin osa tietokoneohjelmista toimii liukulukuluvulla IEEE 754 -standardin mukaisesti , jossa luvut esitetään rajallisella lukumäärällä, mikä joka tapauksessa edellyttää pyöristämistä irrationaalisten lukujen ja jaksollisten murtolukujen tapauksessa. Tietokoneen esityksen tarkkuus määräytyy valitun tietotyypin mukaan .

Diofanttisen lähentämisen teoria käsittelee irrationaalisten lukujen lähentämistä järkevillä .

Geometriset objektit

Lähestymme ympyrää viisikulmioiden, kuusikulmioiden ja kahdeksankulmioiden läpi

Vuonna geometria , monimutkaisia esineitä voidaan usein arvioida käyttämällä polygoneja . Näin laskettua Arkhimedeen approksimaatio ympyrän kuva , jonka ympyrän kanssa säännöllisesti monikulmio lähestyi enemmän ja enemmän kulmat. ${\ displaystyle \ pi}$

Toiminnot

Toimintojen lähentäminen on erityisen kiinnostavaa, esimerkiksi differentiaaliyhtälöt, joita ei voida ratkaista tarkasti likimääräisille ratkaisuille . Yleisin muoto on lähentäminen polynomeilla , koska ne voidaan helposti johtaa , integroida ja laskea. Yleisin menetelmä tässä perustuu Taylor -sarjan laajennukseen . Fourier-analyysi on myös suuri käytännön merkitys , jossa ajoittain toimintoja kehitetään ääretön sarja on sini- ja kosini toimintoja .

Monet näistä likiarvomenetelmät on niiden teoreettinen perusta on Stone-Weierstrassin lause (nimetty Marshall Harvey Stone ja Karl Weierstrass ) , mistä seuraa, ei vähiten, että mikä tahansa jatkuva funktio on kompakti todellinen aikaväli voidaan arvioida yhtä ja mielivaltainen tarkkuutta käyttämällä polynomeja samalla tavalla jokainen jatkuva funktio, joka on jaksollinen reaalilukujen alalla, voidaan arvioida yhtä suurella ja mielivaltaisella tarkkuudella trigonometrisillä funktioilla .

Termillä normi on keskeinen merkitys lähentämisessä . Tätä käytetään erilaisten arvioiden kvantitatiiviseen vertaamiseen. Yleensä likimääräinen ratkaisu eri standardeille on erilainen. On tärkeää pystyä arvioimaan lähentämisestä johtuva virhe sen laadun arvioimiseksi. Tämä ei ole aina helppoa ja tärkeä tehtävä lähentämisteoriassa.

Klassisia esimerkkejä tässä ovat, on toisaalta Chebyshev lähentäminen, jossa jatkuva todellinen tai monimutkaisia toimintoja approksimoidaan osalta supremum- normi , ja lähentäminen, jossa L ^s toiminnot ovat arviolta osalta normi. ${\ displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$

Esimerkki funktioiden lähentämisestä on pienen kulman lähentäminen , jossa sinifunktio korvataan sen kulmalla ja kosinifunktio korvataan vakiona 1. Se soveltuu pienille kulmille ja sitä käytetään esimerkiksi matemaattisen heilurin ratkaisemiseen .

Lähestymisjärjestys

Funktion lähentämisen laadun mitta on järjestys. Kolmannen kertaluvun likimääräisyys on sellainen, jossa virhe on suuruusluokkaa . Ensimmäisen kertaluvun approksimaatiota kutsutaan lineaariseksi approksimaatioksi ja toisen kertaluvun approksimaatiota neliöksi . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (x ^ {n + 1})}$

Fysiikassa lineaarinen lähentäminen on usein riittävä, koska sillä on yleensä suurin vaikutus. Korkeammat järjestystermit ovat tärkeitä, kun lineaarisia tehosteita tukahdutetaan, esimerkiksi epälineaarisessa optiikassa .

Tärkeitä lähentämislauseita

Lähestymisteoria ja toiminnallinen analyysi

Numeroteoria

Teoreettinen tietojenkäsittelytiede

Lähestymisilla on myös rooli teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä. On olemassa NP-täydellisiä optimointiongelmia, joille ei ole mahdollista laskea tehokkaasti tarkkaa ratkaisua. Lähestymisalgoritmeja voidaan käyttää tässä likimääräisen laskemiseen. Yksi esimerkki on reppuongelma , jossa tietystä ongelman koosta lähtien vaaditaan paljon laskennallista työtä optimaalisen ratkaisun laskemiseksi, mutta jossa on olemassa hyviä lähentämisalgoritmeja, joita voidaan käyttää likimääräisten ratkaisujen tehokkaaseen laskemiseen.

kirjallisuus

Lothar Collatz , Werner Krabs : Lähestymisteoria. Chebyshevin lähentäminen sovellusten kanssa. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6 .
Armin Iske: Lähestyminen (Masterclass). Springer Spectrum, 2018, ISBN 978-3662554647 .
Günter Meinardus : Funktioiden lähentäminen ja niiden numeerinen käsittely (= Springer Tracts in Natural Philosophy . Volume 4 ). Springer Verlag , Berliini, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 ( MR0176272 ).
Manfred W. Müller : Lähestymisteoria. Academic Publishing Society, Wiesbaden 1978, ISBN 3-400-00375-1 .
MJD Powell : Lähestymisteoria ja menetelmät. Cambridge University Press, Cambridge et ai.1981 , ISBN 0-521-22472-1 .
R. Schaback : Numeerinen lähentäminen. (PDF; 7,3 MB) julkaisussa: Saksan matemaatikkoyhdistyksen vuosikertomus. 88, nro 2, 1986, ISSN 0012-0456 , s. 51-81. => MR0838860
Holger Wendland : Hajautetun datan lähentäminen. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521131018 .
Eberhard Zeidler : Epälineaarinen funktionaalinen analyysi ja sen sovellukset I: Kiinteäpistelauseet . Kääntäjä Peter R.Wadsack. Springer Verlag, New York, Berliini, Heidelberg, Tokio 1986, ISBN 0-387-90914-1 ( MR0816732 ).

Languages