Matematiikan filosofia

Matematiikan filosofia on alue teoreettisen filosofian , joka pyrkii ymmärtämään ja selittämään tilat, aihe, menetelmä, ja luonne matematiikka .

lähtökohta

Järjestelmällisesti olennaisia ​​ovat kysymykset

  1. matemaattisten esineiden olemisen tapa: ovatko ne olemassa "todella" ja riippumatta tietystä käytöstä, ja jos on, niin missä mielessä? Mitä tarkoittaa edes viittaaminen matemaattiseen kohteeseen? Mikä on matemaattisten teoreemien luonne? Mitkä ovat logiikan ja matematiikan väliset suhteet ? - Nämä ovat ontologisia kysymyksiä .
  2. matemaattisen tiedon alkuperä : mikä on matemaattisen totuuden lähde ja olemus ? Mitkä ovat matemaattisen tieteen edellytykset? Mitkä ovat tutkimusmenetelmät periaatteessa? Mikä rooli ihmisluonnolla on tässä? - Nämä ovat epistemologisia kysymyksiä .
  3. matematiikan ja todellisuuden suhde : mikä on matematiikan abstraktin maailman ja aineellisen maailmankaikkeuden suhde? Kiinnitetäänkö matematiikka kokemukseen , ja jos on, niin miten? Miten on mahdollista, että matematiikka "sopii todellisuuden kohteisiin niin ihailtavasti" ( Albert Einstein ) ? Millä tavoin käsitteet, kuten luku , piste ja ääretön, saavat merkityksensä, joka ulottuu sisäisen matemaattisen ulottuvuuden ulkopuolelle?

Lähtökohtana on lähes aina se näkemys, että matemaattiset ehdotukset ovat apodiktisesti varmoja, ajattomia ja täsmällisiä ja että niiden oikeellisuus ei riipu empiirisistä tuloksista tai henkilökohtaisista näkemyksistä. Tehtävänä on määrittää tällaisen tiedon mahdollisuuksien ehdot ja kyseenalaistaa tämä lähtökohta.

Realismi, platonismi, materialismi

Matemaatikkojen keskuudessa laajalle levinnyt asema on realismi , jota edustaa muun muassa. by Kurt Gödel ja Paul Erdős . Matemaattisten objektien (numerot, geometrisiä kuvioita , rakenteet) ja lait eivät ole käsitteitä, jotka tulevat esiin matemaatikko päähän, vaan ne annetaan olemassa riippumattomia inhimillisen ajattelun , kuten Friedrich Engels korostaa in Anti-Dühring . Matematiikkaa ei siis keksitä , vaan löydetään. Tämä käsitys vastaa matematiikan objektiivista eli ihmissuhdetapaa . Tämä ontologinen realismi on materialistista filosofiaa.

Klassinen realismin muoto on platonismi , jonka mukaan matemaattiset esineet ja ehdotukset ovat erillään aineellisesta maailmasta ja riippumattomia avaruudesta ja ajasta yhdessä muiden ideoiden , kuten "hyvän", " kauniin " tai "jumalallisen" kanssa. Platonismin pääongelma matematiikan filosofiassa on kysymys siitä, kuinka me rajoitetuina olentoina voimme tunnistaa matemaattisia esineitä ja totuuksia, kun he ovat kotona tässä ”ideoiden taivaassa”. Gödelin mukaan tämä saavutetaan matemaattisen intuition avulla, joka aistielimen tavoin antaa meille ihmisille mahdollisuuden havaita osia tästä toisesta maailmasta. Tällaiset järkevä intuitioiden käyttävät myös useimmat klassikoita rationalismin ja uudempien keskusteluissa perusteluja tai tietoa etukäteen, mm. puolusti by Laurence Bonjour .

Aristoteles kattaa matematiikkafilosofiansa metafysiikan kirjoissa XIII ja XIV . Täällä ja monissa paikoissa hän kritisoi platonismia .

Logiikka

Logisismi oli muun muassa Gottlob Frege , Bertrand Russell , ja Rudolf Carnap perusteltu. Hän jatkoi ohjelmaa matematiikan vähentämiseksi kokonaan muodolliseksi logiikaksi ja siten ymmärtämään sen osana logiikkaa . Logiikoiden mielestä matemaattinen tieto on pätevää etukäteen . Matemaattiset käsitteet johdetaan tai rakennetaan loogisista käsitteistä, matemaattiset ehdotukset seuraavat suoraan puhtaan logiikan aksioomista .

Gottlob Frege , jota pidetään yhtenä 1900 -luvun suurimmista ajattelijoista, jäljitti numeerisen laskennan oikeudellisen rakenteen loogisiin periaatteisiin aritmeettisissa peruslakeissaan . Fregen rakenne osoittautui hauraaksi ennen kuin se julkaistiin kokonaan, kun Russell osoitti kuuluisalla antinomiallaan, että Fregen matemaattisten tietojen ristiriidat voidaan päätellä. Russell ilmoitti tästä Fregelle kirjeessään, minkä jälkeen hän joutui syvään henkilökohtaiseen kriisiin. Myöhemmin ristiriidat voitaisiin välttää monimutkaisemmilla aksioomajärjestelmillä, joten joukkoteoria ja erityisesti luonnollisten lukujen teoria voitaisiin perustella ilman ristiriitaa. Näitä aksioomia ei kuitenkaan voitu perustella puhtaasti loogisesti Fregen peruslakien mukaisesti.

Logiikan tärkein kritiikki on, että se ei ratkaise matematiikan perusongelmia, vaan työntää sen vain logiikan perusongelmiin eikä anna tyydyttäviä vastauksia.

Formalismi, deduktivismi

Formalismia viittaa matematiikka samanlainen peli perustuu tietty joukko sääntöjä, jossa jouset (engl. Strings) manipuloida. Esimerkiksi pelissä " Euklidinen geometria " Pythagoraan lause voitetaan yhdistämällä tietyt merkkijonot ( aksioomat ) tiettyihin sääntöihin (loogisen päättelyn säännöt), kuten rakennuspalikoihin. Matemaattiset lausunnot menettävät totuuksien luonteen (esim. Geometriset luvut tai numerot), ne eivät lopulta ole enää "mitään".

Variantti formalismia kutsutaan usein kuin deductivism . Esimerkiksi Pythagoraan lause ei enää edusta absoluuttista totuutta, vaan vain suhteellista totuutta : Jos joku antaa merkkijonoille merkityksiä siten, että aksioomat ja päättelysäännöt ovat totta, on noudatettava päätelmiä, esim. B. pitää Pythagoraseen teoriaa oikeana. Tällä tavalla katsottuna formalismin ei tarvitse jäädä merkityksettömäksi symbolipeliksi. Pikemminkin matemaatikko voi toivoa, että merkkijonoista on tulkinta B. määrittele fysiikka tai muut luonnontieteet niin, että säännöt johtavat todellisiin väitteisiin. Deduktivistinen matemaatikko voi siten pitää itsensä vapaaksi tulkinnoista ja filosofien ontologisista vaikeuksista.

David Hilbertiä pidetään tärkeänä muodollisuuden varhaisena edustajana. Hän pyrkii johdonmukaiseen aksiomaattiseen rakenteeseen kaikessa matematiikassa ja valitsee lähtökohdaksi luonnollisten lukujen aritmetian olettaen, että hänellä on täydellinen ja johdonmukainen järjestelmä. Vähän myöhemmin Kurt Gödel uhmannut tätä näkemystä hänen epätäydellisyyttä lauseen. Joten jokaisen aksioomajärjestelmän, joka sisältää luonnollisten lukujen aritmetiikan, on osoitettu olevan joko epätäydellinen tai ristiriidassa itsensä kanssa.

strukturalismi

Strukturalismin pitää matematiikan ensisijaisesti tiedettä, joka käsittelee yleisiä rakenteita, d. H. järjestelmän elementtien suhteiden kanssa. Tämän havainnollistamiseksi voidaan pitää esimerkkijärjestelmänä urheiluseuran hallintoa. Eri toimistot (kuten hallitus, tilintarkastaja, rahastonhoitaja jne.) Voidaan erottaa henkilöistä, jotka ottavat vastaan ​​nämä tehtävät. Jos katsot vain toimistojen kehyksiä (ja jätät siten pois tietyt ihmiset, jotka täyttävät ne), saat yhdistyksen yleisen rakenteen. Yhdistys itse toimien haltijoiden kanssa on esimerkki tästä rakenteesta.

Samoin jokainen järjestelmä, jonka elementeillä on ainutlaatuinen seuraaja, on esimerkki luonnollisten lukujen rakenteesta; Sama koskee muita matemaattisia objekteja. Koska strukturalismi ei pidä objekteja, kuten numeroita, erillään niiden kokonaisuudesta tai rakenteesta, vaan näkee ne paikoina rakenteessa, se välttää kysymyksen matemaattisten objektien olemassaolosta tai selventää niitä luokan virheinä . Esimerkiksi kahta luonnolliseksi luvuksi ei voida enää tarkastella erillään luonnollisten lukujen rakenteesta, vaan pikemminkin tunniste toiseksi sijalle luonnollisten lukujen rakenteessa, sillä ei ole sisäisiä ominaisuuksia eikä omaa rakennetta. Näin ollen on olemassa rakenteellisuuden muunnelmia, jotka hyväksyvät matemaattiset objektit olemassa oleviksi, sekä niitä, jotka hylkäävät niiden olemassaolon.

Ongelmia syntyy tämän virran vuoksi erityisesti rakenteiden ominaisuuksista ja luonteesta. Kuten yleismaailmallisuuskiistassa , rakenteet ovat ilmeisesti jotain, jota voidaan soveltaa moniin järjestelmiin samanaikaisesti. Rakennetta jalkapallojoukkueen on varmasti esimerkkinä tuhansia joukkuetta . Herää kysymys, onko rakenteita olemassa ja miten ne ovat olemassa, riippumatta siitä, ovatko ne järjestelmistä riippumattomia. Muut avoimet kysymykset koskevat pääsyä rakenteisiin, esim. B: Miten voimme oppia rakenteista?

Nykyiset strukturalismin edustajat ovat Stewart Shapiro , Michael Resnik ja Geoffrey Hellman .

Muut teoriat

Intuitionismi perusti mukaan Luitzen Brouwer kiistää matemaattisten käsitteiden ulkopuolella ihmismieltä, siis käyttää rakentavia todisteita eikä niitä, jotka tekevät lausuntoja olemassaolosta määrittämättä rakentaminen, minkä vuoksi esityksestä syrjäytyneiden kolmatta osapuolta ei käytetä vuonna intuitionist käytetty muodollista logiikkaa . Intuitismin yleistys on konstruktivismi .

Konventionalismi oli Henri Poincaré kehitetty ja osittain loogisten empiristillä ( Rudolf Carnap , A. J. Ayer , Carl Hempel kehitetty).

Alkaen matemaatikko näkökulmasta ja samalla hyödyntäen Immanuel Kantin gnoseologiset kritiikkiä, herää kysymys, että kategorinen perustuslain ihmisen, josta matemaattinen tieteenalojen voidaan johtaa (vrt Ernst Kleinert ).

Matematiikan filosofiaan liittyviä kysymyksiä esitetään myös populaaritieteellisessä kirjallisuudessa. Siis muun muassa kirjoittaneet John D. Barrow ja Roger Penrose keskustelevat siitä, miksi matematiikasta on ylipäätään hyötyä ja miksi se sopii niin hyvin maailmaan.

Katso myös

Yksilöllisiä todisteita

  1. ^ Karl Marx / Friedrich Engels - Teoksia. (Karl) Dietz Verlag, Berliini. Nide 20. Berliini / DDR. 1962. "Herra Eugen Dlassungin mullistus tieteessä", III. Luokitus. Apriorismi
  2. ↑ mlwerke.de
  3. ↑ Ks. Pure Reasonin puolustuksessa, Rationalist Account of A Priori Perustelu, 1998, ISBN 978-0-521-59236-9 ja viitaten suoraan matematiikan filosofiaan, esimerkiksi Hartry Field: Recent Debates About A Priori ( Memento des Originals, 3. syyskuuta 2006 Internet -arkistossa ) Info: Arkistolinkki lisättiin automaattisesti eikä sitä ole vielä tarkistettu. Tarkista alkuperäinen ja arkistolinkki ohjeiden mukaisesti ja poista tämä ilmoitus. (lisäkirjallisuuden kanssa; PDF; 128 kB). @1@ 2Malli: Webachiv / IABot / as.nyu.edu
  4. ↑ Stewart Shapiro, ”Thinking About Mathematics”, Oxford 2000, s. 263

kirjallisuus

Johdanto muistiinpanoja maallikoille
Erikoiskirjallisuutta
Erityisempää
  • Hermann Weyl : Matematiikan ja luonnontieteiden filosofia , 6. painos, Oldenbourg Verlag 1990 (englantilainen Princeton University Press 1949) (filosofian käsikirjasta 1927).
  • Eugene Wigner : Matematiikan kohtuuton tehokkuus luonnontieteissä , julkaisussa: Communications on Pure and Applied Mathematics, voi. 13, Ei. I (1960), doi : 10.1002 / cpa.3160130102 .
  • Christian Thiel : Filosofia ja matematiikka: johdanto niiden vuorovaikutukseen ja matematiikan filosofiaan , Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1995
  • John R. Lucas : Matematiikan käsitteelliset juuret . Routledge Lontoo / New York (2000). ISBN 0-415-20738-X .
  • Saunders Mac Lane : Matematiikka: muoto ja toiminta . Springer, New York (1986). ISBN 0-387-96217-4 .

nettilinkit