Odotettu arvo

Odotettu arvo (harvoin ja epäselvästi keskiarvo ), joka on usein lyhennettä, on perus termi stokastiikan . Satunnaismuuttujan odotettu arvo kuvaa lukua, jonka satunnaismuuttuja olettaa keskimäärin. Jos esimerkiksi taustalla oleva kokeilu toistetaan loputtomiin, se on tulosten keskiarvo. Suurten lukujen laki kuvaa juuri siinä muodossa, jossa tulosten keskiarvon pyrkivät kohti odotettu arvo kokeiden lukumäärän kasvaessa, tai, toisin sanoen, kuinka näyte välineet suppenevat kohti odotettu arvo , kun näytteen koko kasvaa . ${\ displaystyle \ mu}$

Se määrittää lokalisointi (asento) ja jakelun satunnaismuuttujien ja on verrattavissa empiirinen aritmeettinen keskiarvo taajuus jakelu on kuvailevia tilastoja. Se lasketaan satunnaismuuttujan oletusten arvojen todennäköisyyspainotteisena keskiarvona. Sen ei kuitenkaan tarvitse olla yksi näistä arvoista. Erityisesti odotettu arvo voi olettaa arvot . ${\ displaystyle \ pm \ infty}$

Koska odotettu arvo riippuu vain todennäköisyysjakaumasta , puhumme jakauman odotetusta arvosta viittaamatta satunnaismuuttujaan. Satunnaismuuttujan odotusarvoa voidaan pitää todennäköisyysmassan painopisteenä, ja siksi sitä kutsutaan sen ensimmäiseksi momentiksi .

motivaatio

Noppun numeroita voidaan pitää satunnaismuuttujan eri ominaisuuksina . Koska (tosiasiallisesti havaitut) suhteelliset taajuudet lähestyvät yksittäisten numeroiden teoreettisia todennäköisyyksiä suurten lukujen lain mukaan, kun otoskoko kasvaa , keskiarvon on pyrittävä kohti odotettua arvoa . Tämän laskemiseksi mahdolliset arvot painotetaan niiden teoreettisella todennäköisyydellä. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ operaattorinimi {E} (X) & = & 1 \ cdot P (X = 1) +2 \ cdot P (X = 2) +3 \ cdot P (X = 3) +4 \ kertaa P (X = 4) +5 \ kertaa P (X = 5) +6 \ kertaa P (X = 6) \\ & = & (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \ cdot {\ tfrac {1} {6}} = 3 {,} 5. \ end {array}}}$

Kuten suutinrullien tulokset, keskiarvo on satunnainen . Sitä vastoin odotettu arvo on satunnaismuuttujien jakauman kiinteä indikaattori . ${\ displaystyle X}$

Odotetun arvon määritelmä on analoginen empiirisesti havaittujen lukujen painotetun keskiarvon kanssa. Jos esimerkiksi kymmenen noppapyrityksen sarja palautti tulokset 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5, vastaava keskiarvo voi

${\ displaystyle {\ bar {x}} = (4 + 2 + 1 + 3 + 6 + 3 + 3 + 1 + 4 + 5) \ cdot {\ tfrac {1} {10}} = 3 {,} 2 }$

vaihtoehtoisesti voidaan laskea tekemällä ensin yhteen samat arvot ja punnitsemalla ne suhteellisen taajuuden mukaan :

${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ tfrac {2} {10}} \ cdot 1 + {\ tfrac {1} {10}} \ cdot 2 + {\ tfrac {3} {10}} \ cdot 3 + {\ tfrac {2} {10}} \ cdot 4 + {\ tfrac {1} {10}} \ cdot 5 + {\ tfrac {1} {10}} \ cdot 6 = 3 {,} 2 }$.

Yleensä heittojen numeroiden keskiarvo voi olla ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle 1 \ cdot h_ {n} (1) +2 \ cdot h_ {n} (2) +3 \ cdot h_ {n} (3) +4 \ cdot h_ {n} (4) +5 \ cdot h_ {n} (5) +6 \ cdot h_ {n} (6),}$

kirjoittaa, jossa on pisteiden määrän suhteellinen taajuus . ${\ displaystyle h_ {n} (k)}$${\ displaystyle k}$

Käsite ja merkintä

ilmaisu

Odotetun arvon käsite juontaa juurensa Christiaan Huygensiin . Huygens kuvailee onnenpelejä käsittelevässä julkaisussa 1656, "Van rekeningh in spelen van geluck", pelin odotetun voiton muodossa "het on my soo veel weerdt". Frans van Schooten käytti odotusarvoa käännöksessään Huygensin tekstistä latinaksi . Ars -käsityksessään Bernoulli omaksui van Schootenin esittämän termin valor odotuksen muodossa .

merkintä

Odotetun arvon tai odotuksen symboli E otettiin käyttöön englantilaisessa kirjallisuudessa 1900 -luvulle asti. Nykyään Englannin ja Saksan matemaattisessa kirjallisuudessa käytetään usein oikeinkirjoitusta tai hakasulkeilla tai satunnaismuuttujan odotettua arvoa . Toisinaan käytetään myös kiharaa.${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ vasen (X \ oikea)}$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ vasen (X \ oikea)}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ vasen [X \ oikea]}$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ vasen [X \ oikea]}$${\ displaystyle X}$

Termi löytyy venäläisestä kirjallisuudesta .${\ displaystyle M (X)}$

Satunnaisesti satunnaismuuttujan ympäriltä jätetään pois hakasulkeet, jotka vastaavat operaattoreiden merkintöjä : tai . Kun esiintyy myös merkintöjä , ei ole vaaraa, että käyttäjä sekoitetaan satunnaismuuttujaan. Hakasulkeissa oleva merkintä korostaa erityisesti sitä, että tämä on toiminnallinen . ${\ displaystyle \ operaattorinimi {\ it {E}} X}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {\ it {M}} X}$${\ displaystyle \ mathbb {E} X}$${\ displaystyle \ mathbb {E}}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ vasen [X \ oikea]}$

Nimeäminen odotusarvo satunnaismuuttujan korostaa omaisuutta ensimmäisenä hetki, joka ei ole riippuvainen mahdollisuutta. Bra-Ket-merkintää käytetään fysiikassa . Erityisesti sen sijaan , että kirjoitettaisiin määrän odotettu arvo . ${\ displaystyle \ mu _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ langle X \ rangle}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X)}$${\ displaystyle X}$

Määritelmät

Jos satunnaismuuttuja on diskreetti tai sillä on tiheys , odotetulle arvolle on olemassa seuraavat kaavat.

Diskreetin todellisen satunnaismuuttujan odotettu arvo

Todellisessa diskreetti tapauksessa odotettu arvo lasketaan summa tuotteiden että todennäköisyydet kunkin mahdollisen kokeen tuloksia ja ”arvot” nämä tulokset.

Jos todellinen erillinen satunnaismuuttuja, joka hyväksyy arvot vastaavilla todennäköisyyksillä ( laskettavana indeksijoukkona ), odotusarvo olemassaolon tapauksessa lasketaan seuraavasti: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X)}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ summa _ {i \ in I} x_ {i} p_ {i} = \ summa _ {i \ in I} x_ {i} P (X = x_ {i })}$

On huomattava, että summauksen järjestyksestä ei puhuta mitään (ks. Summaava perhe ).

On , silloin on rajallinen odotus, jos ja vain jos lähentymisehto${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X)}$

${\ displaystyle \ lim _ {a \ rightarrow \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {a} | x_ {i} | p_ {i} = \ summa _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | p_ {i} <\ infty}$on täyttynyt, eli odotusarvon sarja on ehdottomasti yhtenevä .

Seuraava ominaisuus on usein hyödyllinen ei -negatiivisille kokonaislukuisille satunnaismuuttujille

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {\ infty} P (X \ geq i).}$

Tämä ominaisuus on osoitettu osiossa, joka koskee ei-negatiivisen satunnaismuuttujan odottamista.

Todellisen satunnaismuuttujan odotettu arvo tiheysfunktiolla

Jos todellinen satunnaismuuttujan on tiheysfunktion , eli jos kuva toimenpide on tämä tiheys suhteessa Lebesguen mitta , sitten odotusarvo tapauksessa olemassaolo on laskettu ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle P ^ {X}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

(1) ${\ displaystyle \ displaystyle \ quad \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {\ mathbb {R}} xf (x) \, \ mathrm {d} \ lambda (x).}$

Monissa sovelluksissa on (yleensä virheellinen ) Riemannin integroitavuus ja seuraava pätee:

(2) ${\ displaystyle \ displaystyle \ quad \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, \ mathrm {d} x.}$

Se vastaa tämä yhtälö, jos kertymäfunktio ja on: ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle X}$

(3) ${\ displaystyle \ displaystyle \ quad \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {0} ^ {\ infty} (1-F (x)) \, \ mathrm {d} x- \ int _ {- \ infty} ^ {0} F (x) \, \ mathrm {d} x.}$

(2) ja (3) ovat samanarvoisia yleisellä oletuksella ( on tiheysfunktio ja jakautumisfunktio ), mikä voidaan todistaa koulupohjaisilla keinoilla.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$

Ei -negatiivisten satunnaismuuttujien kannalta tärkeä suhde luotettavuusfunktioon seuraa tästä ${\ displaystyle R (t) = 1-F (t)}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {0} ^ {\ infty} (1-F (t)) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ infty } R (t) \, \ mathrm {d} t.}$

yleinen määritelmä

Odotettu arvo on vastaa suurin Lebesgue kiinteä suhteessa todennäköisyys toimenpide on määritelty: Onko mitta suhteellisen integroidaan tai lähes integroituva satunnaismuuttujan on todennäköisyys tila , jossa arvot , jolloin Borel σ algebran yli , se on määritelty ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$${\ displaystyle ({\ overline {\ mathbb {R}}}, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, \ infty \}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {\ Omega} X \, \ mathrm {d} P = \ int _ {\ Omega} X (\ omega) \ mathrm {d} P (\ omega ) \,}$.

Satunnaismuuttujalla on odotettu arvo juuri silloin, kun se on lähes integroitava eli integraalit ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} X ^ {+} (\ omega) \, \ mathrm {d} P (\ omega)}$ ja ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} X ^ {-} (\ omega) \, \ mathrm {d} P (\ omega)}$

eivät molemmat ääretön, missä ja tarkoittavat positiiviset ja negatiiviset osat on . Tässä tapauksessa tai voi hakea. ${\ displaystyle X ^ {+}}$${\ displaystyle X ^ {-}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ infty}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = - \ infty}$

Odotusarvo on rajallinen silloin ja vain, jos se on integroitava, eli edellä mainitut integraalit ovat päättyneet ja molemmat ovat äärellisiä. Tämä vastaa ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X ^ {+}}$${\ displaystyle X ^ {-}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | X (\ omega) | \, \ mathrm {d} P (\ omega) <\ infty.}$

Tässä tapauksessa monet kirjoittajat kirjoittavat, että odotettu arvo on olemassa tai että se on satunnaismuuttuja, jolla on olemassa odotettu arvo , ja jättävät siten tapauksen tai vastaavasti pois . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$

Kahden satunnaismuuttujan odotettu arvo, joilla on yhteinen tiheysfunktio

On integroituva satunnaismuuttujien ja yhteisen todennäköisyyden tiheysfunktio , sitten odotusarvon funktion laskettu päässä ja mukaan joukko Fubini kohteeseen ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle g (X, Y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (g (X, Y)) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x, y) f (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$

Odotus on vain rajallinen, jos integraali ${\ displaystyle g (X, Y)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ vasen | g (x, y) \ oikea | f (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$

on rajallinen.

Erityisesti:

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x, y) \, \ mathrm {d } x \, \ mathrm {d} y}$

Odotettu arvo lasketaan reunatiheydestä kuten muuttuvien jakaumien tapauksessa:

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf_ {X} (x) \, \ mathrm {d} x}$

Reunatiheys on annettu ${\ displaystyle f_ {X} (x)}$

${\ displaystyle f_ {X} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) \, \ mathrm {d} y}$

Perusominaisuudet

Lineaarisuus

Odotusarvo on lineaarinen , joten kaikille satunnaismuuttujille, jotka eivät välttämättä ole riippumattomia , se ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (aX_ {1} + bX_ {2}) = a \ operaattorinimi {E} (X_ {1}) + b \ operaattorinimi {E} (X_ {2})}$

On. Erikoistapauksia on

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (cX + d) = c \ operaattorinimi {E} (X) + d}$,

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (cX) = c \ operaattorinimi {E} (X)}$

ja

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (d) = d}$.

Lineaarisuus voidaan laajentaa myös rajallisiin summiin:

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ right) = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ operaattorinimi {E} (X_ {i})}$

Odotetun arvon lineaarisuus seuraa integraalin lineaarisuudesta.

yksitoikkoisuus

On melkein varmaa , ja on niin totta ${\ displaystyle X \ leq Y}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X), \ operaattorinimi {E} (Y)}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) \ leq \ operaattorinimi {E} (Y)}$.

Todennäköisyydet odotetuina arvoina

Todennäköisyydet tapahtumia voidaan ilmaista myös käyttäen odotusarvo. Jokaista tapahtumaa sovelletaan ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {P} (A) = \ operaattorinimi {E} (\ chi _ {A}) \,}$,

jossa on indikaattori funktio on . ${\ displaystyle \ chi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

Tämä yhteys on usein hyödyllinen esimerkiksi todistamaan Chebyshevin eriarvoisuus .

Kolmion epätasa -arvo

Sitä sovelletaan

${\ displaystyle \ left | \ operaattorinimi {E} (X) \ oikea | \ leq \ operaattorinimi {E} (| X |)}$

ja

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (| X + Y |) \ leq \ operaattorinimi {E} (| X |) + \ operaattorinimi {E} (| Y |)}$

Esimerkkejä

heitä noppaa

Kokeilu on nopan heitto . Pidämme pisteiden lukumäärää satunnaismuuttujana , ja jokainen numeroista 1–6 vieritetään todennäköisyydellä 1/6. ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ summa _ {i = 1} ^ {6} i \ cdot {\ frac {1} {6}} = 3 {,} 5}$

Jos esimerkiksi heität noppaa 1000 kertaa eli toistat satunnaiskokeita 1000 kertaa ja lasket yhteen heitetyt luvut ja jaat 1000: lla, tuloksena on suurella todennäköisyydellä lähellä arvoa 3,5 oleva arvo. Tätä arvoa on kuitenkin mahdotonta saada yhdellä nopanheitolla.

Pietarin paradoksi

Pietari Paradox kuvaa uhkapeliä joiden satunnainen voitto on ääretön odotusarvo. Klassisen päätösteorian mukaan, joka perustuu odotettuun arvosääntöön, on siksi riskattava mielivaltaisesti suuri panos. Koska todennäköisyys osuuden menettämisestä on kuitenkin 50%, tämä suositus ei vaikuta järkevältä. Yksi ratkaisu paradoksiin on käyttää logaritmista hyödyllisyysfunktiota . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ succcurlyeq Y \ Leftrightarrow \ operaattorinimi {E} (X) \ geq \ operatornimi {E} (Y)}$

Satunnaismuuttuja tiheydellä

Todellinen satunnaismuuttuja annetaan tiheysfunktiolla ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {x}}, & 3 \ leq x \ leq 3 \ mathrm {e}, \\ & \\ 0 ja {\ text {muuten}} \ loppu {tapaukset}}}$

jossa on Eulerin vakio. ${\ displaystyle \ mathrm {e}}$

Odotettu arvo lasketaan muodossa ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operaattorinimi {E} (X) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {3} x \ cdot 0 \, \ mathrm {d} x + \ int _ {3} ^ {3 \ mathrm {e}} x \ cdot {\ frac {1} {x}} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {3 \ mathrm {e}} ^ {\ infty} x \ cdot 0 \, \ mathrm {d} x \\ & = 0+ \ int _ {3} ^ {3 \ mathrm {e}} 1 \, \ mathrm {d} x + 0 = [x] _ {3} ^ {3 \ mathrm {e}} = 3 \ mathrm {e} -3 = 3 (\ mathrm {e } - 1). \ Lopeta {tasattu}}}$

yleinen määritelmä

Annettu, on todennäköisyys tila kanssa , asetetulla teholla ja ja varten . Odotettu arvo satunnaismuuttujan kanssa ja on ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$${\ displaystyle \ Omega = \ {\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3} \}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle P (\ {\ omega _ {i} \}) = {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle i = 1,2,3}$${\ displaystyle X \ kaksoispiste \ Omega \ \ \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X (\ omega _ {1}) = X (\ omega _ {2}) = 1}$${\ displaystyle X (\ omega _ {3}) = 2}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {\ Omega} X \, \ mathrm {d} P = X (\ omega _ {1}) P (\ {\ omega _ {1} \} ) + X (\ omega _ {2}) P (\ {\ omega _ {2} \}) + X (\ omega _ {3}) P (\ {\ omega _ {3} \}) = 1 \ cdot {\ frac {1} {3}} + 1 \ cdot {\ frac {1} {3}} + 2 \ cdot {\ frac {1} {3}} = {\ frac {4} {3}} }$

Koska se on diskreetti satunnaismuuttuja ja , odotettu arvo voidaan vaihtoehtoisesti laskea muodossa ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P (X = 1) = P (\ {\ omega _ {1}, \ omega _ {2} \}) = {\ tfrac {2} {3}}}$${\ displaystyle P (X = 2) = P (\ {\ omega _ {3} \}) = {\ tfrac {1} {3}}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = 1 \ cdot P (X = 1) +2 \ cdot P (X = 2) = 1 \ cdot {\ frac {2} {3}} + 2 \ cdot { \ frac {1} {3}} = {\ frac {4} {3}}}$

Muut ominaisuudet

Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan odotettu arvo

Jos on ja on lähes varmasti ei-negatiivinen, niin Fubini-Tonellin lauseen mukaan (hakasulkeet tarkoittavat predikaattikartoitusta ) ${\ displaystyle p> 0}$${\ displaystyle X \ in L ^ {p}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X ^ {p}) = \ int _ {\ Omega} X (\ omega) ^ {p} \, \ mathrm {d} P (\ omega) = \ int _ {\ Omega} \ int _ {0} ^ {\ infty} px ^ {p-1} [x \ leq X (\ omega)] \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} P (\ omega) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {\ Omega} px ^ {p-1} [x \ leq X (\ omega)] \, \ mathrm {d} P (\ omega) \, \ mathrm {d} x = p \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} P {\ big (} \ {\ omega \ in \ Omega \ mid x \ leq X (\ omega) \} {\ iso)} \, \ mathrm {d} x}$

Niin on myös

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X ^ {p}) = p \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} P (X \ geq x) \, \ mathrm {d} x = p \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} P (X> x) \, \ mathrm {d} x.}$

(Viimeinen tasa -arvo on oikea, melkein kaikille .) ${\ displaystyle P (X = x) = 0}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$

Seuraavat tunnettu erikoistapaus tulokset: ${\ displaystyle p = 1}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ int _ {0} ^ {\ infty} P (X \ geq x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} P (X> x) \, \ mathrm {d} x.}$

Kokonaislukuisille, ei -negatiivisille satunnaismuuttujille seuraava pätee, koska

${\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} P (X> x) \, \ mathrm {d} x = P (X \ geq n + 1)}$

yllä oleva kaava:

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = \ summa _ {i = 0} ^ {\ infty} \ int _ {i} ^ {i + 1} P (X> x) \, \ mathrm {d} x = \ summa _ {i = 0} ^ {\ infty} P (X \ geq i + 1) = \ summa _ {i = 1} ^ {\ infty} P (X \ geq i).}$

Sigma -additiivisuus

Jos kaikki satunnaismuuttujat ovat lähes varmasti ei -negatiivisia , äärellinen additiivisuus voidaan laajentaa jopa -additiivisuuteen: ${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} X_ {i} \ right) = \ summa _ {i = 1} ^ {\ infty} \ operaattorinimi {E} (X_ {i})}$

Tuotteen odotettu arvo n stokastisesti riippumattomasta satunnaismuuttujasta

Jos satunnaismuuttujat ovat stokastisesti toisistaan riippumattomia ja ne voidaan integroida, sovelletaan seuraavaa: ${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \! \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ right) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {E} (X_ {i})}$

varsinkin myös

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \! \ left (X_ {i} X_ {j} \ right) = \ operatiivinen_nimi {E} \! \ left (X_ {i} \ right) \ cdot \ operatorname {E} \ ! \ vasen (X_ {j} \ oikea)}$ varten ${\ displaystyle i \ neq j}$

Odotettu arvo satunnaismuuttujista, jotka eivät ole stokastisesti riippumattomia

Jos satunnaismuuttujat ja eivät ole tilastollisesti riippumattomia lausekkeita sovelletaan tuotteeseen: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \! \ vasen (XY \ oikea) = \ operaattorinimi {E} \! \ vasen (X \ oikea) \ operaattorinimi {E} \! \ vasen (Y \ oikea) + \ operaattorinimi { Cov} \! \ Vasen (X, Y \ oikea)}$

Se on kovarianssi välillä ja . ${\ displaystyle \ operaattorinimi {Cov} \! \ left (X, Y \ right)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Yhdistetyn satunnaismuuttujan odotettu arvo

On yhdistetty satunnaismuuttuja, sanovat ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja samoin jakautuneita ja päälle määritelty, se voidaan edustettuina ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle N, X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Y: = \ summa _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$.

Jos ensimmäiset hetket ovat olemassa , sovelletaan ${\ displaystyle N, X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (Y) = \ operaattorinimi {E} (N) \ operaattorinimi {E} (X_ {1})}$.

Tämä lausunto tunnetaan myös nimellä Waldin kaava . Hän on z. B. käytetään vakuutusmatematiikassa .

Monotoninen lähentyminen

Jos ei -negatiiviset satunnaismuuttujat kasvavat lähes varmasti monotonisesti pisteestä pisteeseen ja lähes varmasti lähentyvät toista satunnaismuuttujaa , seuraava pätee ${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ lim _ {i \ to \ infty} \ operaattorinimi {E} (X_ {i}) = \ operaattorinimi {E} (X)}$.

Tämä on lause monotonisesta lähentymisestä todennäköisyysmuotoilussa.

Laskenta käyttämällä kumulatiivista generointitoimintoa

Cumulant generoiva funktio satunnainen muuttuja määritellään

${\ displaystyle g_ {X} (t) = \ ln \ operaattorinimi {E} (e ^ {tX})}$.

Jos se johdetaan ja arvioidaan 0: ksi, odotettu arvo on:

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = g '_ {X} (0)}$.

Ensimmäinen kumulantti on siis odotettu arvo.

Laskenta ominaisfunktion avulla

Karakteristinen funktio satunnainen muuttuja on määritelty . Niiden avulla satunnaismuuttujan odotettu arvo voidaan määrittää johtamalla: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ varphi _ {X} (t): = \ operaattorinimi {E} (e ^ {itX})}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = {\ frac {\ varphi _ {X} '(0)} {\ mathrm {i}}}}$.

Laskenta momentinmuodostustoiminnon avulla

Kuten ominaistoiminto, vääntömomentin generointitoiminto määritellään seuraavasti

${\ displaystyle M_ {X} (t): = \ operaattorinimi {E} \ vasen (e ^ {tX} \ oikea)}$.

Tässäkin odotettu arvo voidaan helposti määrittää

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (X) = M_ {X} '(0)}$.

Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että odotettu arvo on ensimmäinen hetki ja momentinmuodostusfunktion k-nnen johdannaiset kohdassa 0 ovat täsmälleen k-hetkiä.

Laskeminen todennäköisyysgeneraattorin avulla

Jos vain luonnollisia lukuja oletetaan arvoiksi, odotettu arvo voidaan määrittää myös todennäköisyyttä tuottavan funktion avulla${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle m_ {X} (t): = \ operaattorinimi {E} \ vasen (t ^ {X} \ oikea)}$.

laskea. Sitä sovelletaan sitten

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ vasen [X \ oikea] = \ lim _ {t \ uparrow 1} m_ {X} '(t)}$,

jos vasemmanpuoleinen raja on olemassa.

Paras likimäärä

Jos satunnaismuuttuja on todennäköisyysavaruudessa , paras approksimaatio kuvaa minimoinnin merkitystä , jossa a on todellinen vakio. Tämä seuraa parhaasta lähentämislauseesta, da ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ vasen (X \ oikea)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ vasen (\ vasen (Xa \ oikea) ^ {2} \ oikea)}$

${\ displaystyle \ langle X- \ operaattorinimi {E} (X), b \ rangle = 0}$

kaikki vakiot , jossa standardi normaali skalaaritulon tarkoittaa. Tämä näkemys odotusarvo tekee määritelmä varianssi kuin pienimmän keskineliövirheen etäisyys mielekästä, katso myös Fréchet periaatetta . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ langle.,. \ rangle}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

Satunnaismuuttujien funktioiden odotetut arvot

Jos satunnaismuuttuja on jälleen olemassa, odotettu arvo voidaan määrittää myös käyttämällä kaavaa määritelmän sijaan: ${\ displaystyle Y = g (X)}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (Y) = \ operaattorinimi {E} (g (X)) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, \ mathrm {d} x.}$

Tässäkin tapauksessa odotettu arvo on olemassa vain, jos

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ vasen | g (x) \ oikea | f_ {X} (x) \, \ mathrm {d} x}$

yhtyy.

Diskreetille satunnaismuuttujalle käytetään summaa:

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (Y) = \ operaattorinimi {E} (g (X)) = \ summa _ {i} g (x_ {i}) p_ {X} (x_ {i}).}$

Jos summa ei ole äärellinen, sarjan täytyy lähentyä ehdottomasti , jotta odotusarvo olisi olemassa.

Liittyvät käsitteet ja yleistykset

Sijaintiparametrit

Jos odotettu arvo ymmärretään satunnaismuuttujan jakauman painopisteenä, se on tilanneparametri. Tämä osoittaa, missä jakelun pääosa sijaitsee. Muita sijaintiparametreja ovat

1. Tila : Tila osoittaa, missä vaiheessa jakaumalla on maksimi, ts. Erillisten satunnaismuuttujien tapauksessa ominaisuus, jolla on suurin todennäköisyys, ja jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksessa tiheysfunktion enimmäisasemat. Toisin kuin odotettu arvo, tila on aina olemassa, mutta sen ei tarvitse olla ainutlaatuinen. Esimerkkejä epäselvistä tiloista ovat bimodaaliset jakaumat .
2. Mediaani on toinen yhteinen sijaintiparametriksi. Se osoittaa, mikä x-akselin arvo erottaa todennäköisyystiheyden siten, että puolet todennäköisyydestä löytyy mediaanin vasemmalta ja oikealta puolelta. Mediaani on myös aina olemassa, mutta sen ei tarvitse olla yksiselitteistä (määritelmästä riippuen).

Hetkiä

Jos odotettu arvo ymmärretään ensimmäisenä hetkenä , se liittyy läheisesti ylemmän asteen hetkiin. Koska nämä puolestaan ​​määritellään funktion yhteydessä odotetulla arvolla , ne ovat ikään kuin erikoistapaus. Joitakin tuttuja hetkiä ovat: ${\ displaystyle g (\ cdot)}$

• Varianssi : keskitetty toinen hetki . Tässä on odotettu arvo.${\ displaystyle g (X) = (X- \ mu _ {X}) ^ {2}}$${\ displaystyle \ mu _ {X}}$
• Vinous : keskitetty kolmas hetki, normalisoida kolmanteen potenssiin keskihajonta . Se on .${\ displaystyle \ sigma _ {X}}$${\ displaystyle g (X) = {\ frac {(X- \ mu _ {X}) ^ {3}} {\ sigma _ {X} ^ {3}}}}$
• Kaarevuus : keskitetty neljäs hetki, normalisoitu . Se on .${\ displaystyle \ sigma _ {X} ^ {4}}$${\ displaystyle g (X) = {\ frac {(X- \ mu _ {X}) ^ {4}} {\ sigma _ {X} ^ {4}}}}$

Ehdollinen odotettu arvo

Ehdollinen odotusarvo on yleistys odotusarvo, että tietyt tulokset satunnainen kokeen ovat jo tunnettuja. Tällä tavalla ehdolliset todennäköisyydet voidaan yleistää ja ehdollinen varianssi myös määritellä. Ehdollisella odotusarvolla on tärkeä rooli stokastisten prosessien teoriassa .

Kvanttimekaaniset odotukset

Jos aalto funktio hiukkasen on tietyssä tilassa , ja se on operaattori, niin on ${\ displaystyle \ psi (r, t) = \ langle r | \ psi (t) \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}$${\ displaystyle {\ hattu {O}}}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {O}} \ rangle _ {| \ psi (t) \ rangle}: = \ langle \ psi (t) | {\ hat {O}} | \ psi (t) \ rangle = \ int _ {M ^ {2}} \ mathrm {d} ^ {n} r \, \ mathrm {d} ^ {n} r ^ {\ prime} \, \ psi ^ {\ star} (r, t) \ langle r | {\ hat {O}} | r ^ {\ prime} \ rangle \ psi (r ^ {\ prime}, t)}$

kvanttimekaanisen odotuksia ja valtion . on tässä avaruustila, jossa hiukkanen liikkuu, on ulottuvuus ja yläindeksi tarkoittaa monimutkaista konjugaatiota . ${\ displaystyle {\ hattu {O}}}$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$

Jos se voidaan kirjoittaa muodollisena voimasarjana (ja näin on usein), käytetään kaavaa ${\ displaystyle {\ hattu {O}}}$ ${\ displaystyle O ({\ hat {r}}, {\ hat {p}})}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {O}} \ rangle _ {\ psi} = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ {n} r \, \ psi ^ {\ star} (r, t) O (r, {\ frac {\ hbar} {i}} \ nabla _ {r}) \ psi (r, t).}$

Odotusarvoluokan indeksiä ei vain lyhennetä kuten tässä, vaan joskus myös jätetään kokonaan pois.

esimerkki

Paikan esityksen olinpaikan odotettu arvo on

${\ displaystyle \ langle {\ hat {r}} \ rangle = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ {n} r \, \ psi ^ {\ star} (r, t) r \ psi (r , t) = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ {n} r \, r | \ psi (r, t) | ^ {2} = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ { n} r \, rf (r, t).}$

Vauhdin esityksen olinpaikan odotettu arvo on

${\ displaystyle \ langle {\ hat {r}} \ rangle = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ {n} p \, \ Psi ^ {\ star} (p, t) i \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {p} \ Psi (p, t),}$

jossa olemme tunnistaneet kvanttimekaniikan todennäköisyystiheysfunktion avaruudessa.

Matriisien ja vektoreiden odotettu arvo

Antaa olla stokastinen - matriisi , jolla on stokastinen muuttujien elementteinä, sitten odotusarvo on määritelty seuraavasti: ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle m \ kertaa n}$${\ displaystyle (X_ {i, j})}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ left (\ mathbf {X} \ right) = \ operaattorinimi {E} {\ begin {pmatrix} X_ {1,1} & X_ {1,2} & \ cdots & X_ { 1, n} \\ X_ {2,1} & X_ {2,2} & \ cdots & X_ {2, n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ X_ {m, 1} & X_ {m, 2} & \ cdots & X_ {m, n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ operaationimi {E} (X_ {1,1}) & \ operaationimi {E} ( X_ {1,2}) & \ cdots & \ operaattorinimi {E} (X_ {1, n}) \\\ operaattorinimi {E} (X_ {2,1}) & \ toiminimi {E} (X_ {2, 2}) & \ cdots & \ operaattorinimi {E} (X_ {2, n}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ operaattorinimi {E} (X_ {m, 1}) & \ operaattorinimi {E} (X_ {m, 2}) & \ cdots & \ operaattorinimi {E} (X_ {m, n}) \ end {pmatrix}}}$.

Jos on - satunnainen vektori : ${\ displaystyle n \ kertaa 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} (\ mathbf {X}) = \ operaattorinimi {E} {\ begin {pmatrix} X_ {1} \\ X_ {2} \\\ vdots \\ X_ {n} \ end { pmatrix}} = {\ aloita {pmatrix} \ operaattorinimi {E} (X_ {1}) \\\ operaattorinimi {E} (X_ {2}) \\\ vdots \\\ operaattorinimi {E} (X_ {n} ) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mu _ {1} \\\ mu _ {2} \\\ vdots \\\ mu _ {n} \ end {pmatrix}} = {\ boldsymbol {\ mu}}}$.

Katso myös

• Odotusapuohjelma
• Odotettu arvosääntö

kirjallisuus

• Krishna B.Atreya , Soumendra N.Lahiri : Mittateoria ja todennäköisyysteoria (=  Springer Texts in Statistics ). Springer Verlag , New York 2006, ISBN 0-387-32903-X ( MR2247694 ). 
• Heinz Bauer : Todennäköisyysteoria (=  De Gruyter -oppikirja ). Viides, uudistettu ja parannettu painos. de Gruyter , Berliini, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 ( MR1902050 ). 
• Kai Lai Chung : Todennäköisyysteorian kurssi . Academic Press, Inc. , San Diego (et ai.) 2001, ISBN 0-12-174151-6 ( R1796326 ). 
• Walter Greiner : Kvanttimekaniikka . 6. tarkistettu ja exp. Painos. Kustantaja Harri Deutsch , Zürich [u. a.] 2005, ISBN 3-8171-1765-5 . 
• Erich Härtter : Todennäköisyyslaskelma taloustieteilijöille ja luonnontieteilijöille . 10. painos. Vandenhoeck & Ruprecht , Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9 . 
• Norbert Henze : Stokastiikka aloittelijoille . 10. painos. Springer Spectrum , Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6 , doi : 10.1007 / 978-3-658-03077-3 . 
• Achim Klenke : Todennäköisyysteoria . Kolmas, tarkistettu ja täydennetty painos. Springer Spectrum , Berliini, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-36018-6 . 
• Norbert Kusolitsch : Mitta- ja todennäköisyysteoria . Johdanto (=  Springer -oppikirja ). Toinen, tarkistettu ja laajennettu painos. Springer-Verlag, Berliini, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 . 
• M. Loève : Todennäköisyysteoria I (=  Graduate Texts in Mathematics . Volume 45 ). 4. painos. Springer Verlag, Berliini, Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4 ( MR0651017 ). 
• Vladimir Spokoiny , Thorsten Dickhaus : Modern Mathematical Statisticsin perusteet (=  Springer Texts in Statistics ). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, Lontoo 2015, ISBN 978-3-642-39908-4 ( MR3289985 ). 

nettilinkit

• Interaktiivinen kuutioesimerkin visualisointi

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Norbert Henze: Stokastiikka aloittelijoille . Vieweg + Teubner, 2008. ISBN 978-3-8348-9465-6 . S.79.
2. ↑ https://jeff560.tripod.com/stat.html
3. ↑ Baden-Württembergin opettajat käyttävät oikeinkirjoitusta [1]${\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ vasen (X \ oikea)}$
4. ↑ David Meintrup ja Stefan Schäffler - Stokastiikka: teoria ja sovellukset. Springer-Verlag 2005.
5. ^ Eugen-Georg Woschni: Tietotekniikka: signaali, järjestelmä, tieto . 1981
6. ↑ Katso esimerkiksi (saksaksi käännös) Širjaev : Todennäköisyys 1988, s. 52 ff!
7. ↑ Katso Ilʹja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 23. painos. 1987, ISBN 3-87144-492-8 . Tässä operaattori on asetettu kursiivilla.
8. ^ John Aldrich: Symbolien varhaisimmat käyttötodennäköisyydet ja tilastot . verkossa
9. ↑ Ross, SM: Johdatus todennäköisyysmalleihin , Academic Press, 2007, 9. painos, s. 143, ISBN 0-12-598062-0 .
10. ↑ H. Wirths: Odotusarvo - luonnoksia käsitteiden kehittämiseksi luokista 8–13. In: Mathematik in der Schule 1995 / Heft 6, s. 330–343.