Mediaani (stokastiikka)

In stokastiikan, mediaani , jota kutsutaan myös keskeinen arvo, on aseman mitta on todennäköisyysjakaumat ja jakaumat satunnaismuuttujien . Siten, kuten odotettu arvo ja tila, se on indikaattori siitä, missä todennäköisyysjakauman "keskiosa" on. Mediaani on selvästi numero, jolle

• todennäköisyys saada arvo, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin mediaani ja
• todennäköisyys saada arvo, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin mediaani

on yhtä suuri kuin. Tätä intuitiivista käsitystä on useita muotoiluja, jotka eroavat mediaanin olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta.

Vuonna kuvailevia tilastoja , joka on mediaani näytteenottoon määritelty. Nämä kaksi termiä eroavat toisistaan ​​siinä, että toinen on otoksen avainluku (samanlainen kuin aritmeettinen keskiarvo ), toinen on todennäköisyysjakauman luku (samanlainen kuin odotettu arvo ). Nämä kaksi ovat sinänsä erilaisia, mutta ne voidaan yhdistää empiirisen jakauman kautta .

Ensimmäinen määritelmä

Todennäköisyysjakaumille

Todennäköisyysjakauma on annettu , eli todellinen määrä , joka on varustettu Borel n σ-algebran . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}$

Todellista lukua kutsutaan sitten mediaaniksi, jos:${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle P ((- \ infty, m]) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$ja .${\ displaystyle P ([m, + \ infty)) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$

Satunnaismuuttujille

Annetaan todellinen satunnaismuuttuja . ${\ displaystyle X}$

Todellista lukua kutsutaan sitten mediaaniksi, jos:${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle P (X \ leq m) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$ja .${\ displaystyle P (m \ leq X) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$

Siksi satunnaismuuttujan mediaani on täsmälleen sen jakauman mediaani . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P_ {X}}$

Määritelmä jakelutoimintojen kautta

Mediaani voidaan määrittää myös jakelutoimintojen avulla. Jos jakelutoiminto on peräisin tai alkaen , kutsutaan mediaani (alkaen tai alkaen ) jos ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle F (m) \ geq {\ tfrac {1} {2}} \ quad}$ja .${\ displaystyle \ quad \ lim _ {t \ ylöspäin m} F (t) \ leq {\ tfrac {1} {2}}}$

Tässä on raja-arvoa vasemmalla . ${\ displaystyle \ lim _ {t \ ylöspäin m} F (t)}$

Määritys ja esimerkit

Jatkuvalla jakelutoiminnolla

Jos jakelutoiminto on jatkuva , mediaani on vain ja vain, jos yhtälöllä on ratkaisu ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle F (m) = {\ tfrac {1} {2}}}$

On.

Tämä perustuu siihen, että vasemmanpuoleinen raja-arvo yhtyy sitten funktion arvoon.

Esimerkkejä

Jos tarkastellaan eksponentiaalijakaumaa esimerkkinä , sillä on jakelutoiminto

${\ displaystyle F (x) = {\ aloita {tapaukset} 1- \ mathrm {e} ^ {- \ lambda x} & x \ geq 0, \\ 0 & x <0. \ end {tapaukset}}}$

parametrille . Tasaaminen johtaa yhtälöön ${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda m}}$,

mikä on ratkaisu

${\ displaystyle m = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda}}}$

omistaa. Tässä tapauksessa mediaani on selvä.

Mutta mediaani voi olla epäselvä, vaikka jakautumistoiminto olisi vakio. Jos esimerkiksi tarkastellaan Cantorin jakaumaa , jonka jakelutoiminto näkyy oikealla, tämä olettaa arvon koko intervallin rakenteensa vuoksi . Tämän välin kukin piste on siis mediaani. Vakionjakautumisfunktion ollessa kyseessä mediaani on yksiselitteinen, esimerkiksi kun jakautumistoiminto kasvaa tiukasti yksitoikkoisesti. Erityisemmin ainutlaatuisuus pätee jo silloin, kun jakelutoiminto kasvaa tiukasti yksitoikkoisesti siinä ympäristössä, jossa se saa arvon . ${\ displaystyle [{\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {2} {3}})}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Todennäköisyystiheyksillä

Jos satunnaismuuttujalla tai todennäköisyysjakaumalla on todennäköisyystiheysfunktio (se on siis ehdottoman jatkuva jakauma ), mediaani on yhtälön ratkaisu ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {m} f (x) \ mathrm {d} x = {\ tfrac {1} {2}}}$.

Tämä johtuu suoraan siitä, että ehdottomasti jatkuvilla jakaumilla on aina jatkuva jakautumistoiminto, tämä voidaan määrittää integraalin ja yllä olevan osion lauseen avulla.

Useita mediaaneja esiintyy täällä, esimerkiksi jos todennäköisyystiheysfunktio on jatkuvasti nolla tietyllä aikavälillä.

esimerkki

Tarkastellaan todennäköisyysfunktiota

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ quad x \ leq -1 {\ text {tai}} x> 1 \\ {\ tfrac {1} {2} } & {\ text {if}} \ quad x \ in (-1, - {\ tfrac {1} {2}}] {\ text {tai}} x \ in ({\ tfrac {1} {2} }, 1] \\ 0 ja {\ text {if}} \ quad x \ in (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}] \\\ end {tapaukset} }}$,

joten tämä on vakio nolla aikavälillä . Perusintegrointisääntöjen avulla seuraa, että jokainen arvo on mediaanissa. Integraaliyhtälön ratkaiseminen vastaa yleensä vastaavan jakautumistoiminnon määrittämistä, ja sitä voidaan sen vuoksi pitää yllä olevan osan menettelyn erityistapauksena. ${\ displaystyle (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$${\ displaystyle [- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$

Selkeä määritelmä

Annetaan todennäköisyysjakauma tai todellinen satunnaismuuttuja . Antaa olla jakelutoiminto tai . Sitten sitä kutsutaan ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle m = \ inf \ {x \ in \ mathbb {R} \ keskellä F (x) \ geq {\ tfrac {1} {2}} \}}$

tai mediaani . Tämä vastaa seuraavaa määritelmää: Onko kvantiiliesti- toiminto on , mediaani on määritelty ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle m: = Q ({\ tfrac {1} {2}})}$.

Jakelutoiminnon lakisääteisen jatkuvuuden vuoksi infimaatti voidaan myös korvata minimillä kahden määritelmän yläosassa .

ominaisuudet

Mediaani on kvantiili , tarkemmin sanottuna 50%: n kvantiili.

Jos jakauma on symmetrinen , siis nolla on mediaani. Symmetria-akseli on yleisesti symmetrisen jakauman mediaani. ${\ displaystyle P _ {- X} = P_ {X}}$

Jokainen mediaani minimoi absoluuttisen poikkeaman, ts. Jos se on satunnainen muuttuja , tämä pätee aina ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operaattorin nimi {E} (| X |) <\ infty}$

${\ displaystyle \ operaattorin nimi {E} (| Xa |) \ geq \ operaattorin nimi {E} (| Xm |)}$ kaikille ${\ displaystyle a \ sisään \ mathbb {R}}$

ja tasa-arvo pätee vain ja vain, jos se on myös mediaani. ${\ displaystyle a}$

Suhde kuvailevien tilastojen mediaaniin

Mediaani kuvailevia tilastoja (kuten tunnusluku näytteen) voidaan liittyvät mediaanin todennäköisyyden jakauma kautta empiirinen jakauma : Jos näyte on annettu ja empiirinen jakauma on sitten mediaani (merkityksessä todennäköisyys teoreettisesta) Mediaani (kuvailevien tilastojen mielessä) . Eri määritelmien vuoksi voi kuitenkin olla pieniä poikkeamia. ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ pistettä, x_ {n})}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x}$

Muut määritelmät

Mediaania pidetään suorimpana arvona, jolle

${\ displaystyle P (X \ leq m) = {\ frac {1} {2}} = P (X \ geq m)}$

sovelletaan tai määritellään. Mediaanin olemassaoloa ei kuitenkaan taata molemmissa määritelmissä. Niin on ${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}})}$

${\ displaystyle P (X = 0) = 0 {,} 2 = 1-P (X = 1)}$

aina , koska jakelutoiminto ei koskaan ota arvoa . Samoin ei ole , joten yllä oleva yhtälöketju on tyytyväinen: kaikki ovat , kuten kaikki, edelleen pätee. ${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = \ tyhjennä}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m <1}$${\ displaystyle P (X \ leq m) <{\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle m \ geq 1}$${\ displaystyle P (X \ leq m) = 1}$

On myös huomattava, että vanhemman venäjänkielisen kirjallisuuden jakelutoiminnot on määritelty vasemmalle jatkuviksi eikä yhtä oikealle jatkuviksi kuin saksankielisellä alueella. Esimerkiksi tapauksessa oikeudenmukaisen arvonnassa, kerran sijaan . ${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = (0,1]}$${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = [0,1)}$

nettilinkit

• Mediaani (tilastoissa) . Julkaisussa: Michiel Hazewinkel (Toim.): Matematiikan tietosanakirja . Springer-Verlag , Berliini 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englanti, online ). 
• VV Senatov: quantiles . Julkaisussa: Michiel Hazewinkel (Toim.): Matematiikan tietosanakirja . Springer-Verlag , Berliini 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englanti, online ). 
• Eric W.Weisstein : Tilastollinen mediaani . Julkaisussa: MathWorld (englanti).

kirjallisuus

• Christian Hesse : Sovellettu todennäköisyysteoria . 1. painos. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2 , doi : 10.1007 / 978-3-663-01244-3 . 
• Norbert Kusolitsch: Mittaa ja todennäköisyysteoria . Esittely. 2., uudistettu ja laajennettu painos. Springer-Verlag, Berliini Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-45387-8 . 

Yksittäiset todisteet

1. ^ Hans-Otto Georgii: Stokastiikka . Johdanto todennäköisyysteoriaan ja tilastoihin. 4. painos. Walter de Gruyter, Berliini 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , s. 101 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
2. ^ ^{A b} Hans-Otto Georgii: Stokastiikka . Johdanto todennäköisyysteoriaan ja tilastoihin. 4. painos. Walter de Gruyter, Berliini 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , s. 233 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
3. ↑ Norbert Kusolitsch: Mittaa ja todennäköisyysteoria . Esittely. 2., uudistettu ja laajennettu painos. Springer-Verlag, Berliini Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , s. 113 , doi : 10.1007 / 978-3-642-45387-8 .