Aksiomatisaatio

" Teorian aksiomatisointi tarkoittaa sen esittämistä siten, että tietyt tämän teorian lauseet, aksioomat , sijoitetaan alkuun ja niistä johdetaan muita lauseita loogisen deduktion avulla ."

Aksiomatisointi yleensä

Käsite axiomatization palaa Euclid (n. 350-300 eKr), joka pätevästi soveltanut tätä menettelyä ensimmäistä kertaa matemaattista kurinalaisuutta, geometria. Siksi aksiomatisaation on Euclidista lähtien ymmärretty tarkoittavan todellisten lauseiden (johdannaiset, lauseet) luomista ja rakentamista yleisistä periaatteista (määritelmät, postulaatit, aksioomat), mikä johtaa kokonaisuutena täydelliseen ja johdonmukaiseen järjestelmään. Vasta lopulla 19th century, että matemaatikot onnistuivat axiomatising edelleen alueilla oppiaineen (esimerkiksi aritmeettinen luonnolliset luvut jonka Giuseppe Peano vuonna 1899 tai joukko-oppi , jonka Ernst Zermelo vuonna 1908).

Ensimmäisenä arvioina axiomatisaatio koostuu järjestyksen tuomisesta tietyllä alueella sovellettavien lauseiden joukkoon. Tässä järjestyksessä pyritään eristämään mahdollisimman pieni osa kaikista näistä oikeista lauseista, jolla on se ominaisuus, jota muut lauseet seuraavat loogisesti niistä; tässä (pienessä) lausekkeiden, aksiomien, joukossa koko alueesta on tietoa. "

"Alueen aksiomaattisessa esityksessä on kolme asiaa: toisaalta alueellisen tiedon taloudellinen esitys, sitten selvitys alueen lausuntojen keskinäisistä riippuvuuksista ja lopuksi selkeä määritelmä perusteluvelvollisuuksista, jotka oletetaan väittämällä alueella. "Teorian aksiomatisointi edistää sen" selkeyttä ja todennettavuutta ".

"Yksi aksiomatisaation tärkeimmistä seurauksista on määritelmä". Deduktiivisen tieteen rakentamiseksi on lähdettävä määrittelemättömistä peruskäsitteistä, joiden merkitystä ei voida selittää. Samanaikaisesti uutta termiä ei saa ottaa käyttöön ilman, että sitä jäljitetään perustermeihin tai muuten selitetään.

Aksiomatisointia pidetään myös menetelmänä, joka valitsee pienen lausekeryhmän ja käyttää niitä määrittelemättömällä tavalla, jotta vältetään äärettömät regressiot määritettäessä tutkimusalueen peruskäsitteitä , mutta käyttää kaikkia muita lausekkeita vain, kun ne tehdään näiden avulla. valitut peruskäsitteet tai aksioomat määritetään.

Aksiomatisointi matematiikassa

Aksiomatisointi tarkoittaa yritystä pienentää matemaattiset tosiasiat aksioomiksi. Historiallisesti tähän prosessiin on liittynyt lisääntyvä virallistaminen . Seurauksena on moderni universaali kiista .

Vaikka aksiomia on käytetty muinaisista ajoista lähtien, vasta 1900-luvun lopulla yritettiin vakavasti pyrkiä asettamaan kaikki matematiikat aksiomaattisiin perusteisiin. David Hilbert lisäsi tämän tavoitteen luetteloonsa 23 ratkaisemattomasta ongelmasta ja aloitti Hilbert-ohjelman vuonna 1920 sellaisen aksiomajärjestelmän luomiseksi.

Vuodesta 1934 lähtien ranskalaiset matemaatikot Bourbaki- ryhmä yritti systemaattisesti aksiomatisoida kaiken matematiikan.

Vuonna 1931 itävaltalainen matemaatikko Kurt Gödel osoitti, että kaikkea matematiikkaa ei voida aksiomatisoida ( epätäydellisyyslause ).

Katso myös

turvota

  1. ^ Carnap: Johdatus symboliseen logiikkaan. 3. painos, 1968, s. 172.
  2. ↑ Hoyningen-Huene: Logiikka. 1998, s. 240 f.
  3. ↑ Hoyningen-Huene: Logiikka. 1998, s. 241
  4. ^ Bußmann: Kielitieteen sanasto . 3. painos, 2002 / Axiom.
  5. ↑ Bochenski: Nykyaikaiset ajattelutavat. 10. painos, 1993, s. 78.
  6. ↑ Tarski: Johdatus matemaattiseen logiikkaan. 5. painos, 1977, s. 127.