Perusalgebra

Alkeis algebra on yksinkertaisin muoto algebran . Toisin kuin aritmeettinen , ala-algebran, lisäksi numeroita ja peruslaskutoimitukset , muuttujat myös esiintyä. Toisin kuin abstrakti algebra , alkeisalgebra ei ota huomioon algebrallisia rakenteita , kuten vektorivälit .

muuttujia

Muuttujien lisääminen numeroihin ja aritmeettisiin perustoimintoihin on se etu, että yleiset periaatteet voidaan muotoilla tarkasti ja ennen kaikkea selkeästi. Peruslainalaisuudet todelliset luvut ovat, esimerkiksi kommutatiivinen laki , The assosiatiivisia laki tai jakelu lakia .

Voit myös käyttää muuttujia perustaa yhtälöitä tai epätasa ja tutkia niitä varten ratkeavuus . Esimerkki yhtälöstä, jossa on yksi muuttuja, on . Jos joukko määritelmiä varten joukko rationaaliluvut , niin tämä yhtälö on täsmälleen yksi ratkaisu, nimittäin . Jos lisäät tämän luvun yhtälöön, saat todellisen lausunnon ja kaikki muut korvaukset vääriä lausuntoja. Kuitenkin, jos sallitaan vain kokonaislukujen korvaaminen , yhtälöllä ei ole ratkaisua lainkaan. ${\ displaystyle 3x + 2 = 10}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {8} {3}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Toiminnallisten riippuvuuksien kuvaus voidaan esittää myös muuttujien avulla: jos esimerkiksi myyt lippuja 3 euron yksikköhintaan ja sinulla on 10 euron kiinteät kustannukset , saat € voittoa . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle (3x-10)}$

Ehdot

Termi on selvästi merkityksellinen matemaattisten merkkien sarja. Tarkemmin sanottuna algebran termi koostuu numeroista, muuttujista, aritmeettisista operaatioista (näihin kuuluvat neljä aritmeettista perusoperaatiota, eksponentiaatio, neliöjuuren poiminta ja logaritmisointi) ja suluista apusymboleina.

Yksi esimerkki on . Jos termi sisältää muuttujia, se muuttuu useaan kun kaikki muuttujat korvataan elementtejä perusjoukko . Jaettaessa on huomattava, että 0: lla ei saa jakaa. Kun poimitaan juuri, vain ei -negatiiviset luvut voivat näkyä radikaaleina ja vain positiiviset luvut argumentteina logaritmia laskettaessa . ${\ displaystyle x ^ {2} -4}$

Kuten aritmeettisesti, matemaattisten termien tulkitseminen tarkasti on tärkeää algebrassa. Tämä määräytyy toimintojen prioriteettisääntöjen mukaan (esimerkiksi " pistelaskenta ennen viivalaskentaa ", laske ensin hakasulkeet ).

Termi muunnokset vaaditaan ratkaista yhtälöitä ja eriarvoisuutta . Esimerkiksi lause voi olla myös kirjoitetaan. Nämä kaksi termiä vastaavat toisiaan. Tärkeimmät termimuunnokset saadaan soveltamalla numeerisen laskennan lakeja ja sääntöjä. Tällaisia sääntöjä vastaavien termien luomiseksi ovat: ${\ displaystyle 4 (2a -3) -a}$ ${\ displaystyle 7a-12}$

Kommutatiivinen ja assosiatiivinen liitto- ja kertolasku,
jakelulaki (säännöt suluissa),
binomikaavat ,
potenssilaki samoin
logaritminen lait .

Yhtälöt ja eriarvoisuudet

Yhtälö koostuu kahdesta termistä, joiden välissä on yhtäläisyysmerkki . Eriarvoisuus koostuu kahdesta termistä, joiden välissä on eriarvoisuus . Jos ei ole muuttujia molempia termejä, niin (in) yhtälö on toteamus , muuten selvitys lomakkeella . Muuttujille käytettävä elementtijoukko kutsutaan perusjoukkoksi tai määritelmäjoukkoksi . Ne osat määritelmän asetettu, jonka korvaaminen muuttujien kääntää (in) yhtälön todellinen selvitys kutsutaan liuoksia (esillä) yhtälö. Kaikki ratkaisut yhdistetään muodostamaan ratkaisusarja . ${\ displaystyle L}$

Esimerkiksi yhtälö pätee vain arvoihin 2 ja −2 . Ratkaisusarja koostuu siis kahdesta elementistä -2 ja 2 eli . ${\ displaystyle x ^ {2} -4 = 0}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle L = \ vasen \ {- 2; 2 \ oikea \}}$

Joistakin yhtälöistä tulee totta lauseita aina, kun ne korvataan määritelmäjoukolla, kuten esimerkiksi . Tällaisia yhtälöitä kutsutaan universaaleiksi . ${\ displaystyle a + (b + c) = (a + b) + c}$

Päämenetelmä yhtälöiden (eriarvoisuuksien) ratkaisemiseksi on ekvivalenssimuunnosten kautta . Ne eivät muuta yhtälön ratkaisujoukkoa (eriarvoisuus). Esimerkkejä vastaavista muunnoksista ovat:

Korvaa termi vastaavalla termillä.
Yhtälön molempien puolien yhtäläisten lukujen (termien) summaaminen tai vähentäminen (eriarvoisuus).
Yhtälön molempien puolien kertominen tai jakaminen (eriarvoisuus) samalla termillä, jos tämä saa arvon 0 ilman sallittua korvausta. Jos on epätasa -arvoa, eriarvoisuuden "suunta" on käännettävä, jos luku, joka kerrotaan tai jaetaan, on negatiivinen.
Ota logaritmi, jos kaikki termit saavat vain positiiviset arvot kaikille sallituille korvauksille. Jos on epätasa -arvoa, ero voi olla tarpeen erottaa termi -arvoista, jotka ovat suurempia kuin 1, ja termiarvoista, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 1.
Jos otat termien juuren yhtäläisyysmerkin molemmilla puolilla, saat kahden yhtälön disjunktion vastaavana lausekemuotona. Yhtälö vastaa disjunktiota . ${\ displaystyle x ^ {2} -4 = 0}$ ${\ displaystyle x = 2 \ vee x = -2}$

Neliöeroja varten :

{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}, a> 0}

{\ displaystyle x ^ {2}> a \ Leftrightarrow x> {\ sqrt {a}} \ quad {\ text {or}} \ quad x <- {\ sqrt {a}},}

{\ displaystyle x ^ {2} <a \ Vasennuoli - {\ sqrt {a}} <x <{\ sqrt {a}}.}

Neliöinti esimerkiksi ratkaistaan yhtälöitä ei ole vastaava .

Perusalgebrassa tarkastellut yhtälöt ovat esimerkiksi:

lineaariset yhtälöt ,
lineaariset yhtälöjärjestelmät ,
toisen asteen yhtälöt ,
yksinkertaiset kuutioyhtälöt ,
biquadratic yhtälöt ,
Murtoyhtälöt ,
Juuriyhtälöt ,
yksinkertaiset eksponentiaaliset ja logaritmiset yhtälöt
sekä niihin liittyvät eriarvoisuudet.

Vähintään grafiikkaominaisuuksilla varustettujen taskulaskinten tai vielä parempien tietokonealgebrallisella taskulaskimilla varustaminen laajentaa huomattavasti yhtälöiden tai eriarvoisuuksien ratkaisumahdollisuuksia. On mahdollista visualisoida joukko ratkaisuja ja luopua monimutkaisista termimuunnoksista.

Liitännät

Tuote maksaa 140 € netto. Mitä se maksaa brutto 19% arvonlisäverolla? Nettohinnan, bruttohinnan ja arvonlisäveron suhde voidaan ilmaista seuraavasti: Bruttohinta saadaan lisäämällä nettohintaan arvonlisävero (19% nettohinnasta). Sanamuuttujilla ilmaistuna suhde on: bruttohinta = nettohinta + 19% nettohinnasta. Se tulee vieläkin selvemmäksi, jos käytät kirjaimia: B = N + 19% N: stä. Tai muunnettu ekvivalentti: B = 1,19 · N. Tämä yhtälö kuvaa nyt suhdetta siihen liittyviin bruttohintoihin B kaikkien mahdollisten nettohintojen N.

kirjallisuus

Opiskelija Duden: Die Mathematik 1, Dudenverlag Mannheim 1990, ISBN 3-411-04205-2

Languages