Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö on yhtälö, joka on muodossa

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0 \ quad}$

kanssa kirjoitetaan. Tässä ovat kertoimet ; on tuntematon . Jos on myös , puhutaan puhtaasti neliöyhtälöstä . ${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b = 0}$

Ratkaisusi löytyvät kaavan avulla

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

määrittää. Reaalilukualueella toisen asteen yhtälöllä voi olla nolla, yksi tai kaksi ratkaisua. Jos juuren alla oleva lauseke on negatiivinen, ratkaisua ei ole; jos se on nolla, on ratkaisu; jos se on positiivinen, on kaksi ratkaisua.

Tämän yhtälön vasen puoli on toisen asteen funktion termi (yleisemmin: toisen asteen polynomi ) ,; toiminto kuvaaja Tätä toimintoa karteesisen koordinaatiston on paraabeli . Geometrisesti asteen yhtälö kuvaa nollia tämän paraabelin. ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle f (x) = 0}$

Yleinen muoto - normaalimuoto - nollamuoto

Toisen asteen yhtälön yleinen muoto on

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0 \ qquad (a \ neq 0) \.}$

Tämä tarkoittaa yhtälön toisen asteen termiä , lineaarista termiä ja vakiotermiä (tai myös absoluuttista termiä ). ${\ displaystyle ax ^ {2}}$ ${\ displaystyle bx}$ ${\ displaystyle c}$

Yhtälö on normaalimuodossa, jos toisin sanoen jos toisen asteen termillä on kerroin 1. Normaali muoto voidaan saada yleisestä muotoon vastaavat muunnokset mukaan jakamalla. Määritelmän kanssa ${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle a \ neq 0}$

${\ displaystyle p = {\ frac {b} {a}}}$   ja   ${\ displaystyle \ displaystyle q = {\ frac {c} {a}}}$

normaalilomake voidaan siis kirjoittaa muodossa

${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0 \.}$

Jos on 0 toisella puolella yhtälö, tämä on myös kutsutaan nolla muodossa .

Seuraavassa ensimmäisen asteen yhtälöt, joissa reaaliluvut ovat kertoimet , ja tai ja ja tarkastellaan ensin. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Toisen asteen yhtälön ratkaisut todellisilla kertoimilla

Ratkaisu toisen asteen yhtälöön on luku, joka korvattuaan täyttää yhtälön . Jos kompleksiluvut sallitaan ratkaisuna, jokaisella toisen asteen yhtälöllä on täsmälleen kaksi (mahdollisesti sattumaa) ratkaisua, joita kutsutaan myös yhtälön juuriksi . Jos katsot vain todellisia lukuja, toisen asteen yhtälössä on nollasta kahteen ratkaisua. ${\ displaystyle x}$

Todellisten nollien määrä

Määrä ratkaisuja voidaan määrittää avulla ns erotteluanalyysi (Latinalaisen "discriminare" = "erilaistuminen"). Yleisessä tapauksessa normalisoidussa tapauksessa (katso johdanto alla): ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$${\ displaystyle D = p ^ {2} -4q}$

Kuva näyttää todellisten nollien määrän ja erottelijan välisen suhteen:

• A.Erottelupositiivinen: Paraabelilla on kaksi leikkauspistettä -akselin kanssa, joten on olemassa kaksi eri todellista nollaa ja${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2} \.}$
• B. Diskriminantti nolla: Paraabelilla on täsmälleen yksi kosketuspiste akselin kanssa, nimittäin sen kärki . Siksi on olemassa yksi (kaksinkertainen) todellinen ratkaisu. Toisen asteen yhtälö voidaan pienentää muotoon .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$${\ displaystyle a \ cdot (x-x_ {1}) ^ {2} = 0}$
• C.Negatiivinen erottelija: paraabelilla ei ole leikkausta -akselin kanssa, asteen yhtälölle ei ole todellisia ratkaisuja. Jos sallit kompleksiluvut ratkaisujen perusjoukkoksi, saat kaksi erilaista kompleksista ratkaisua. Nämä ovat konjugoituja toisiinsa , eli niillä on sama todellinen osa ja niiden kuvitteelliset osat eroavat vain merkistään .${\ displaystyle x}$

Yksinkertaisia ​​erikoistapauksia

Jos lineaarisen termin kerroin tai absoluuttinen termi , toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista yksinkertaisilla ekvivalenssimuunnoksilla ilman yleistä kaavaa. ${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle c = 0}$

Lineaarinen linkki puuttuu

Kaikki neliön yhtälö , jossa on vastaava ${\ displaystyle ax ^ {2} + c = 0}$${\ displaystyle a \ neq 0}$

${\ displaystyle x ^ {2} = - {\ frac {c} {a}} \.}$

Ratkaisut ovat

${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {- {\ frac {c} {a}}}} \.}$

Tapauksessa on kaksi ratkaisua. Siinä tapauksessa ei ole olemassa todellisia ratkaisuja. Monimutkaiset ratkaisut ovat silloin ${\ displaystyle a \, c <0 \,}$${\ displaystyle a \, c> 0 \,}$${\ displaystyle {\ tfrac {c} {a}}> 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {c} {a}}} \.}$

Esimerkiksi yhtälö sisältää ratkaisuja . Yhtälöllä ei ole todellisia ratkaisuja, jotka ovat monimutkaisia ​​ratkaisuja${\ displaystyle x ^ {2} -3 = 0}$${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 2x ^ {2} + 8 = 0}$${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm 2 \ mathrm {i}}$

Tapauksessa ja, koska se , toisin sanoen kaksinkertainen ratkaisu, on olemassa vain yhtälöiden tyypin kanssa ja se lukee . ${\ displaystyle a \, c = 0}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle c = 0 \,}$${\ displaystyle ax ^ {2} = 0}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle x_ {1,2} = 0}$

Jatkuva termi puuttuu

Yhtälöstä laskemalla pois , ts. eli sen on tai sovellettava. Joten kaksi ratkaisua ovat ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = 0}$${\ displaystyle x (ax + b) = 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle ax + b = 0}$

${\ displaystyle x_ {1} = 0}$ ja ${\ displaystyle x_ {2} = - {\ tfrac {b} {a}} \.}$

Esimerkiksi yhtälö sisältää ratkaisuja ja${\ displaystyle 3x ^ {2} -2x = 0}$${\ displaystyle x_ {1} = 0}$${\ displaystyle x_ {2} = {\ tfrac {2} {3}} \.}$

Yhtälö kärjen muodossa

Kärki muoto

${\ displaystyle a (xd) ^ {2} + e = 0}$

on muunnelma neliön yhtälöstä . Se voidaan ratkaista näin "taaksepäin laskemalla": ensin vähennä ja jaa . Tämä johtaa ${\ displaystyle ax ^ {2} + c = 0}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle (xd) ^ {2} = - {\ frac {e} {a}} \.}$

Sillä siitä seuraa ${\ displaystyle - {\ frac {e} {a}} \ geq 0}$

${\ displaystyle xd = \ pm {\ sqrt {- {\ frac {e} {a}}}}}$

Liuokset saadaan lisäämällä${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle x_ {1} = d + {\ sqrt {- {\ frac {e} {a}}}}}$ ja ${\ displaystyle x_ {2} = d - {\ sqrt { - {\ frac {e} {a}}}} \.}$

Kaksi monimutkaisia ratkaisuja on vastaavasti saadaan ${\ displaystyle - {\ frac {e} {a}} <0}$

${\ displaystyle x_ {1} = d + \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {e} {a}}}}$ ja ${\ displaystyle x_ {2} = d- \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {e} {a}}} \.}$

Esimerkki:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} 3 (x-2) ^ {2} -5 & = 0 && | +5 ;: 3 \\ (x-2) ^ {2} & = {\ frac {5} {3}} && | \ pm {\ sqrt {\}} \\ x-2 & = \ pm {\ sqrt {\ frac {5} {3}}} && | +2 \\ x & = 2 \ pm {\ sqrt {\ frac {5} {3}}} \ end {aligned}}}$

Ratkaise neliön jatkeella

Ratkaisemaan, jossa toisen asteen loppuun , binomimallia kaavoja käytetään tuomaan toisen asteen yhtälö yleensä muodossa tai normaalissa muodossa on kärki muotoon, joka voidaan sitten helposti ratkaista.

Ensimmäistä tai toista binomikaavaa käytetään lomakkeessa ${\ displaystyle (x \ pm d) ^ {2} = x ^ {2} \ pm 2dx + d ^ {2} \.}$

Tätä varten toisen asteen yhtälö muunnetaan siten, että vasemmalla puolella on muoto . Lisää sitten molemmin puolin . Tämä on "neliön lisäys". Vasen puoli on nyt muotoinen ja voidaan muuttaa binomikaavaksi . Sitten yhtälö on helposti ratkaistavassa kärkipistemuodossa. ${\ displaystyle x ^ {2} \ pm 2dx}$${\ displaystyle d ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2} \ pm 2dx + d ^ {2}}$${\ displaystyle (x \ pm d) ^ {2}}$

Tämä selitetään parhaiten käyttämällä erityistä numeerista esimerkkiä. Toisen asteen yhtälö otetaan huomioon

${\ displaystyle 3x ^ {2} -15x + 18 = 0 \.}$

Ensinnäkin yhtälö normalisoidaan jakamalla johtavalla kertoimella (tässä 3):

${\ displaystyle x ^ {2} -5x + 6 = 0 \.}$

Vakiotermi (tässä 6) vähennetään molemmilta puolilta:

${\ displaystyle x ^ {2} -5x = -6 \.}$

Nyt seuraa varsinainen neliölisäys: Vasen puoli on täytettävä siten, että binomikaavaa (tässä toinen) voidaan soveltaa taaksepäin. Tämä edellä olevasta binomikaavasta on siis , joten yhtälön molemmat puolet on lisättävä: ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}}}$${\ displaystyle d ^ {2} = \ vasen ({\ tfrac {5} {2}} \ oikea) ^ {2}}$

${\ displaystyle x ^ {2} -5x + \ vasen ({\ frac {5} {2}} \ oikea) ^ {2} = \ vasen ({\ frac {5} {2}} \ oikea) ^ { 2} -6 \.}$

Vasen puoli on muotoiltu uudelleen binomikaavan mukaisesti, oikea puoli on yksinkertaistettu:

${\ displaystyle \ left (x - {\ frac {5} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {4}} \.}$

Tämä johtaa

${\ displaystyle x - {\ frac {5} {2}} = \ pm {\ frac {1} {2}}}$ ,

niin kahteen ratkaisuun ja${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {5} {2}} + {\ frac {1} {2}} = 3}$${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {5} {2}} - {\ frac {1} {2}} = 2 \.}$

Yleiset ratkaisukaavat

Voidaan myös ratkaista toisen asteen yhtälöt käyttämällä yhtä yleisestä ratkaisukaavasta, joka on johdettu toisen asteen täydentämisen avulla.

Ratkaisukaava yleiselle toisen asteen yhtälölle ( abc -kaava)

Ratkaisut yleiseen toisen asteen yhtälöön ovat: ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \.}$

Kaava tunnetaan puhekielessä osassa Saksaa ja Sveitsiä ”keskiyön kaavana”, koska opiskelijoiden pitäisi pystyä lausumaan se, vaikka heräisit heidät keskiyöllä ja pyydät kaavaa . Itävallassa käytetään ilmaisua suuri kaava .

Vaihtoehtoiset muodot

Vaihtoehtoisia abc -kaavan formulaatioita, jotka ovat enemmän samankaltaisia ​​kuin alla käsitelty pq -kaava, ovat:

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}}} = -{ \ frac {\ b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ left ( - {\ frac {\ b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {c} {a}}} } \}$

Jos laitat toisen asteen yhtälön muotoon

${\ displaystyle ax ^ {2} +2 \ beta x + c = 0}$

osoittaa (eli kanssa ), saadaan hieman yksinkertaisempi ratkaisukaava: ${\ displaystyle \ beta = b / 2}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac { - \ beta \ pm {\ sqrt {\ beta ^ {2} -ac}}} {a}}}$

Laajentamalla abc -kaavaa termillä saadaan kaava, jota voidaan käyttää myös lineaariseen tapaukseen , mutta joka ei enää pysty tarjoamaan ratkaisun laskentaa, koska jako on nolla. Molemmissa tapauksissa ratkaisukaavaa ei kuitenkaan vaadita. Hyvin pienille määrille vaihtoehtoinen lomake on kuitenkin tehokkaampi numeerisen peruuttamisen kannalta. ${\ displaystyle -b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle x = {\ frac {-b} {a}}}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {\ left (-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} \ right) \ cdot \ left (-b \ mp {\ sqrt { b ^ {2} -4ac}} \ oikea)} {2a \ cdot \ left (-b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} \ right)}} = {\ frac {2c} { -b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}}}$

Abc -kaavan ratkaisu negatiivisen syrjijän tapauksessa

Jos edellä esitetty syrjintä on negatiivinen, on negatiivisten lukujen juuri laskettava ratkaisuille. Tähän ei ole ratkaisuja reaalilukujen lukualueella. Kompleksilukujen alueella pätee seuraava . Tämä termi määrittää kahden konjugaattiliuoksen kuvitteellisen osan , toisessa positiivinen ja toisessa negatiivinen merkki. Termistä ennen kanssa tulee kahden ratkaisun vakio todellinen osa: ${\ displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$${\ displaystyle {\ sqrt {D}} = i {\ sqrt {-D}}}$${\ displaystyle - {\ tfrac {b} {2a}}}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {b} {2a}} \ pm i \ cdot {\ frac {\ sqrt {4ac -b ^ {2}}} {2a}}}$ (monimutkainen tapaus negatiivisen syrjijän kanssa).

${\ displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {\ b} {2a}} \ pm i \ cdot {\ sqrt {{\ Big |} \ left ( - {\ frac {\ b} {2a} } \ oikea) ^ {2} - {\ frac {c} {a}} {\ Iso |}}} \.}$

Johtaminen abc kaava

Yleinen muoto syntyy muotoilemalla uudelleen neliön viimeistelymenetelmän mukaisesti :

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcll} ax ^ {2} + bx + c & = & 0 & | -c \\ [1ex] ax ^ {2} + bx & = & - c & | {} \ cdot 4a \\ [1ex] 4a ^ {2} x ^ {2} + 4abx & = & - 4ac & | + b ^ {2} {\ text {(neliölaajennus)}} \\ [1ex] (2ax ) ^ {2} +2 \ cdot 2ax \, b + b ^ {2} & = & b ^ {2} -4ac & | {\ text {Uudelleenmuotoilu binomikaavalla}} \\ [1ex] (2ax + b ) ^ {2} & = & b ^ {2} -4ac & | \ pm {\ sqrt {\ quad}} \\ [1ex] 2ax + b & = & \ pm {\ sqrt {b ^ {2} - 4ac}} & | -b \\ [1ex] 2ax & = & -b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} & |: (2a) \\ [1ex] x & = & {\ dfrac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} & \ end {array}}}$

Esimerkki laskemisesta

Toisen asteen yhtälö on annettu

${\ displaystyle x ^ {2} -x -1 = 0}$.

Tässä on ja . Jos laitat nämä arvot abc -kaavaan, saat ratkaisut ${\ displaystyle a = 1, b = -1}$${\ displaystyle c = -1}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = {\ frac {- (- 1) \ pm {\ sqrt {(-1) ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot (-1)}}} {2 \ cdot 1}} = {\ frac {1 \ pm {\ sqrt {5}}} {2} }}$.

Ratkaisukaava normaalimuodolle ( pq -kaava )

Jos normaali muoto on läsnä, pq -kaavan mukaiset ratkaisut ovat : ${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {\ vasen ({\ frac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} -q} }}$

Itävallassa tämä kaava tunnetaan pieneen ratkaisukaavaan .

Pq -kaavan ratkaisu negatiivisen syrjijän tapauksessa

Kuten abc -kaavan tapauksessa , jos se on negatiivinen, reaalilukualueella ei ole ratkaisuja. Monimutkaisista ratkaisuista seuraa seuraavaa: ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} D = \ vasen ({\ tfrac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} -q}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {p} {2}} \ pm i \ cdot {\ sqrt {q- \ left ({\ frac {p} {2}} \ right) ^ { 2}}}}$

Johtaminen pq kaava

Kaava saadaan toisen asteen yhtälön normaalimuodosta lisäämällä neliö :

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcll} x ^ {2} + px + q & = & 0 & | -q \\ [1ex] x ^ {2} + px & = & - q & | + \ vasen ({\ dfrac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} {\ text {(neliön muotoinen laajennus)}} \\ [1ex] x ^ {2} +2 \ cdot {\ dfrac {p} { 2}} \ x + \ vasen ({\ dfrac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} & = & \ vasen ({\ dfrac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} - q & | {\ teksti {binomikaava}} \\ [1ex] \ left (x + {\ dfrac {p} {2}} \ right) ^ {2} & = & \ left ({\ dfrac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} -q & | {\ teksti {juurtuu}} \\ [1ex] \ vasen | x + {\ dfrac {p} {2}} \ oikea | & = & { \ sqrt {\ vasen ({\ dfrac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} -q}} & | {\ text {Liuota määrä}} \\ [1ex] x + {\ dfrac {p} {2}} & = & \ pm {\ sqrt {\ vasen ({\ dfrac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} -q}} & | - {\ dfrac {p} {2}} \\ [1ex] x & = & - {\ dfrac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {\ vasen ({\ dfrac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} -q}} \ end {array}}}$

Toinen mahdollisuus saada kaavan, on se, että yksi abc- kaavassa , ja asettaa nimittäjä ja 2 imee juuri. ${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle b = p}$${\ displaystyle c = q}$

Hajoaminen lineaarisiin tekijöihin

Ratkaisuilla toisen asteen normalisoitu polynomi voidaan jakaa lineaarisiin tekijöihin:

${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2})}$

ja standardoimaton vuonna

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ cdot (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2}) \.}$

Vieta -lause

Jos toisen asteen yhtälö on normaalimuodossa ja sillä on ratkaisut ja , pätee ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

${\ displaystyle 0 = x ^ {2} + px + q = (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2}) = x ^ {2}-(x_ {1} + x_ {2} ) x + x_ {1} x_ {2} \.}$

Vuoteen Vertaamalla kertoimia , saadaan vieta lause

${\ displaystyle \, x_ {1} + x_ {2} = - p}$ ja ${\ displaystyle x_ {1} \ cdot x_ {2} = q \.}$

Erityisesti jos ja ovat kokonaislukuja , kokeilemalla, onko jakaja paria tuloksen kuin summa , ratkaisut löytyvät usein nopeasti hieman käytäntö. Esimerkiksi haetaan ratkaisuja ja hajoamisen avulla${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle -p}$${\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 3 = 0}$${\ displaystyle x_ {1} = - 1}$${\ displaystyle x_ {2} = - 3}$${\ displaystyle 3 = (- 1) (- 3)}$${\ displaystyle (-1) + (- 3) =- 4 \.}$

Numeerinen laskenta

Jos ratkaisut määritetään numeerisesti ja ne eroavat suuruusluokista, sukupuuttoon liittyvä ongelma voidaan välttää vaihtamalla yllä olevia kaavoja seuraavasti:

${\ displaystyle x_ {1} = - {\ frac {p} {2}} - \ operaattorinimi {sgn} (p) \ cdot {\ sqrt {\ vasen ({\ frac {p} {2}} \ oikea) ^ {2} -q}}}$

${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {q} {x_ {1}}}}$

Täällä on arvoa varten ja muutenkin on arvo . Ensimmäinen kaava antaa suurimman ratkaisun. Toinen kaava perustuu Vieta -lauseeseen . ${\ displaystyle \ operaattorinimi {sgn} (p)}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle p <0}$${\ displaystyle 1}$

Esimerkkejä

Esimerkki laskemisesta

Yhtälön vuoksi

${\ displaystyle 4x ^ {2} -12x -40 = 0}$

johtaa liuoksina mukaan abc kaava

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-(-12) \ pm {\ sqrt {(-12) ^ {2} -4 \ cdot 4 \ cdot (-40)}}} {2 \ cdot 4}}}$ ,

niin ja${\ displaystyle x_ {1} = - 2}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$

Käyttää pq kaava, yleistä muotoa muutetaan ensin normaaliin muotoon jakamalla yhtälön 4:

${\ displaystyle x ^ {2} -3x -10 = 0 \.}$

Ratkaisut johtuvat pq kaava

${\ displaystyle x_ {1,2} = -{\ frac {-3} {2}} \ pm {\ sqrt {\ vasen ({\ frac {-3} {2}} \ oikea) ^ {2} - (-10)}}}$ ,

siis myös ja${\ displaystyle x_ {1} = - 2}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$

Hajoamisten ja yhden avulla saadaan samat ratkaisut Vieta -lauseella. ${\ displaystyle -10 = ( - 2) \ cdot 5}$${\ displaystyle 5-2 = 3}$

Muita esimerkkejä

• ${\ displaystyle x ^ {2} + 2x-35 = 0}$
  Sillä erotteluanalyysi pätee: . Kaksi todellista ratkaisua ja tulos${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D> 0}$${\ displaystyle x_ {1} = - 7}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$
• ${\ displaystyle x ^ {2} -4x + 4 = 0}$
  Syrjijä on . (Kaksinkertainen) todellinen ratkaisu on${\ displaystyle D = 0}$${\ displaystyle x = 2 \.}$
• ${\ displaystyle x ^ {2} + 12x + 37 = 0}$
  Todellisia ratkaisuja ei ole, koska syrjijä on negatiivinen. Monimutkaiset ratkaisut syntyvät ja${\ displaystyle x_ {1} = - 6 + i}$${\ displaystyle x_ {2} = - 6 -i \.}$

Yleistykset

Monimutkaiset kertoimet

Toisen asteen yhtälö

${\ displaystyle az ^ {2} + bz + c = 0}$

kanssa monimutkaisia kertoimia , on aina kaksi monimutkaisia ratkaisuja , jotka yhtyvät, jos ja vain jos erotteluanalyysi on nolla. ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle b ^ {2} -4ac}$

Kuten todellisessa tapauksessa, ratkaisut voidaan laskea lisäämällä neliö tai käyttämällä yllä annettuja ratkaisukaavoja. Yleensä kompleksiluvun neliöjuuri on kuitenkin laskettava.

esimerkki

Toisen asteen yhtälölle

${\ displaystyle z ^ {2} - (\ mathrm {i} +1) z + \ mathrm {i} = 0}$

syrjijällä on arvo . Kaksi ratkaisua ja tulos${\ displaystyle D = -2 \ mathrm {i} = (\ mathrm {i} -1) ^ {2}}$${\ displaystyle z_ {1} = 1}$${\ displaystyle z_ {2} = \ mathrm {i} \.}$

Toisen asteen yhtälöt yleisissä renkaissa

Yleensä abstraktissa algebrassa kutsutaan muodon yhtälöä

${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

elementtejä p , q elimen tai rengas asteen yhtälö . Kiinteissä aineissa ja yleisemmin eheysalueilla sillä on enintään kaksi ratkaisua, mielivaltaisissa renkaissa voi olla enemmän kuin kaksi liuosta.

Jos ratkaisuja on olemassa, ne saadaan myös kommutatiivinen renkaat kanssa pq kaavan jos ominaisuus rengas ei ole yhtä suuri kuin 2. Tässä on kuitenkin otettava huomioon kaikki mahdolliset syrjijän neliöjuuret. Jos äärellisen kentän tunnusomaisia 2 tehdä lähestymistapa ja kulkee avulla lineaarisen yhtälöryhmän varten n kertoimet _i päässä . ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2 ^ {n}} \ cong \ mathbb {F} _ {2} (\ varrho)}$${\ displaystyle x = \ texttyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ varrho ^ {i}}$${\ displaystyle x ^ {2} = \ texttyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ varrho ^ {2i}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

esimerkki

Toisen asteen yhtälö

${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 0}$

on neljä ratkaisua 1, 3, 5 ja 7 jäljellä olevassa luokassa . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}}$

tarina

Jo 4000 vuotta sitten Vanhassa Babylonian valtakunnassa ratkaistiin toisen asteen yhtälöä vastaavat ongelmat. Esimerkiksi British Museumin varastonumerolla BM 34568 arkistoitu savitaulu Otto Neugebauerin 1930 -luvulla onnistuneen cuneiform -käännöksen mukaan sisältää yhdeksännenä ongelmana suorakulmion sivupituudet, joissa pituus ja leveys on 14 ja alue on 48.

Savitaulussa dokumentoitu liuosreitti ei paljasta mitään perusteluja, mutta väliarvot, kuten ne, jotka näkyvät tavallisessa liuoskaavassa tai vastaavat geometriset näkökohdat:

Tekstissä luetellut väliarvot, jotka on merkitty savitaululle Babylonian Sexigesimal -järjestelmässä, syntyvät myös silloin, kun niihin liittyvä toisen asteen yhtälö ratkaistaan tavallisella ratkaisukaavalla. Saadaan kaksi ratkaisua 8 ja 6, jotka vastaavat geometrisesti suorakulmion kahta haluttua sivupituutta: ${\ displaystyle x ^ {2} -14x + 48 = 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {14 \ pm {\ sqrt {196-192}}} {2}} = {\ frac {14 \ pm 2} {2}} \.}$

Mukaan Høyrup , voidaan olettaa, että lähestymistavan babylonialaiset ratkaista mainittu ja samoja tehtäviä kuin tehtävät geometrisesti motivoituneita.

Muinaiset kreikkalaiset ratkaisivat erilaisia ​​geometrisia tehtäviä, jotka vastaavat toisen asteen yhtälöitä. Esimerkiksi Eukleidesin elementeistä löytyy ongelma:

Nykypäivän merkinnöissä tehtävä vastaa yhtälöä

${\ displaystyle a (ax) = x ^ {2}}$ ,

joka voidaan muuntaa yhtälöksi

${\ displaystyle x ^ {2} + ax = a ^ {2} \.}$

Intialaisen tutkijan Brahmaguptan kirjassa Brāhmasphuṭasiddhānta (" Brahman opetuksen täydellisyys ") , joka kirjoitettiin noin vuoden 628 jKr. , Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmiä kuvattiin sanallisesti. Brahmagupta käytti jo negatiivisia lukuja ja niiden laskentasääntöjä, kuten

Tämän seurauksena Brahmagupta pystyi välttämään tapauseroja käyttäessään toisen asteen yhtälöä, joka on nyt muodossa

${\ displaystyle a {x} ^ {2} + bx = c}$  kanssa ja${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a> 0}$

huomasi, kuvasi seuraavan ratkaisun:

Tämä vastaa ratkaisukaavaa

${\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}} \.}$

Kuten ”arabian” -Indian numeroin , havainnot Intian tutkijat löysivät levittämisen ja edelleen kehittämisen avulla islamilaisten oppineiden. Erityisen merkittävä rooli oli matemaatikolla Al-Chwarizmilla , jonka kirja al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala (" Lyhyt kirja laskentamenetelmistä täydentämällä ja tasapainottamalla") sisältää ensimmäisen kerran ajan yleiset tekniikat yhtälöiden käsittelyyn, vaikka ne on kuvattu edelleen suullisesti. Kun vastaava muutoksia yhtälöitä, että Al-Chwarizmi kuvattu yksityiskohtaisesti, kaikki toisen asteen yhtälö voidaan vähentää yhteen kuusi. Kuusi tyyppiä oli tarpeen, koska toisin kuin Brahmagupta, Al-Khwarizmi ei käyttänyt negatiivisia numeroita.

Al-Chwarizmin kirja sisältää geometrisen ratkaisumenetelmän kaikille tyypeille numeerisen esimerkin perusteella, joten vain positiiviset ratkaisut ovat mahdollisia. Alla olevassa luettelossa juuri tarkoittaa etsimääsi ratkaisua ja resurssi ratkaisun neliötä . Lisäksi ja merkitse ei-negatiivisia kertoimia:${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle c}$

• Mitä tulee omaisuuksiin, jotka vastaavat juuria (tänään :) ,${\ displaystyle ax ^ {2} = bx}$
• Mitä tulee omaisuuksiin, jotka vastaavat lukua (tänään :) ,${\ displaystyle ax ^ {2} = c}$
• Mitä tulee juuriin, jotka ovat yhtä lukuisia (tänään :) ,${\ displaystyle bx = c}$
• Mitä tulee omaisuuksiin ja juuriin, jotka vastaavat lukua (tänään :) ,${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = c}$
• Mitä tulee omaisuuteen ja numeroihin, jotka ovat yhtä suuret kuin juuri (tänään :) ja${\ displaystyle ax ^ {2} + c = bx}$
• Mitä tulee juuriin ja lukuun, jotka vastaavat vaurautta (tänään :) .${\ displaystyle ax ^ {2} = bx + c}$

Toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi al-Chwarizmi ei käyttänyt mitään ekvivalenssimuunnoksia, ts. Ei algebrallisia argumentteja, vaan kreikkalaiseen perinteeseen perustuvia geometrisia argumentteja. Esimerkkinä yhtälö sellaisena kuin se esiintyy al-Khwarizmissa ,

${\ displaystyle x ^ {2} + 10x = 39}$

kuten erityinen tapauksessa se on ratkaistu geometrisesti (katso kuva). Yhtälön vasen puoli ymmärretään neliön muotoiseksi EFIH: ksi, jonka pituus (ja siten pinta -ala) ja kaksi suorakulmiota DEHG ja BCFE sekä sivut ja (ja siten pinta -ala kussakin tapauksessa ). Neliö ja kaksi suorakulmiota yhdistetään kuvan osoittamalla tavalla ja muodostavat gnomonin kulmapisteiden BCIGDE kanssa. Oletuksen mukaan tämän gnomonin pinta -ala on . Jos lisäät sivun pituuden (ja siten alueen ) neliön ABED neliöön ACIG, tällä on alue . Toisaalta rakenteen mukaan tällä neliöllä ACIG on sivun pituus ja siten pinta -ala . Koska yksi sulkeutuu ja näin . Toisen asteen yhtälö "täydennetään" (positiivisella) ratkaisulla . Huomaa, että tämä geometrinen menetelmä ei anna negatiivista ratkaisua . ${\ displaystyle x ^ {2} + px = q}$${\ displaystyle p, q> 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 5x}$${\ displaystyle x ^ {2} + 10x = 39}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle 25}$${\ displaystyle 39 + 25 = 64}$${\ displaystyle 5 + x}$${\ displaystyle (5 + x) ^ {2}}$${\ displaystyle 64 = 8 ^ {2}}$${\ displaystyle 5 + x = 8}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle (x + 5) ^ {2} = 64}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle x = -13}$

Kanssa Heron Aleksandrialainen ja myös al-Khwarizmi, ratkaisu saadaan

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = c}$

kuvattu suullisesti; tämän päivän merkinnässä kuten

${\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {ac + \ vasen ({\ frac {b} {2}} \ oikea) ^ {2}}} - {\ frac {b} {2}}} { a}} \.}$

Heron lisää kuitenkin euklidisen tavan geometriseksi perusteluksi.

Noin vuonna 1145 Robert von Chester ja hieman myöhemmin Gerhard von Cremona käänsivät al-Chwarizmin kirjoitukset latinaksi.

Tämä toi luokituksen ja geometriset ratkaisumenetelmät Eurooppaan.

Michael Stiefel kirjoitti kirjan Arithmetica Integra 1544 AD , joka perustuu kirjan Behend vnnd Hübsch , joka perustuu nerokkaan sääntöjä algebre niin yleisesti kutsutaan COSS mennessä Christoph Rudolff . Tekijä onnistuu välttämään toisen asteen yhtälöiden tapaerot käyttämällä negatiivisia numeroita. Mutta hän ei vielä salli negatiivisia numeroita ratkaisuna, koska hän pitää niitä absurdina.

Uuden lähestymistavan toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi tarjosi Vietan juuren lause , joka julkaistiin postuumisti vuonna 1615 teoksessaan De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo .

Vuonna 1637 René Descartes kuvasi teoksessaan La Géométrie menetelmää toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi kompassien ja hallitsijan avulla . Hän jatkoi osoittamalla, että korkeamman asteen yhtälöitä ei yleensä voida ratkaista pelkällä viivaimella ja kompassilla.

Katso myös

• Lineaarinen yhtälö
• Kuutiomainen yhtälö
• Kvarttaaliyhtälö

kirjallisuus

• Bartel Leendert van der Waerden: Heräävä tiede . Osa 1: Egyptin, Babylonian ja Kreikan matematiikka . 2. painos. Birkhäuser 1966.

nettilinkit

• Video: Toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta - pq -kaava ja keskiyön kaava sekä Vieta -lause . Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, teknisen informaatiokirjaston (TIB) saatavilla, doi : 10.5446 / 17884 .

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Heiko Tallig: Sovellusmatematiikka taloustieteilijöille . Oldenbourg, München, Wien 2006, ISBN 978-3-486-57920-8 , s. 29 ( rajoitettu esikatselu Google -teoshaussa [käytetty 29.12.2020]). 
2. ↑ Guido Walz: Yhtälöt ja eriarvoisuudet: pelkkä teksti ei-matemaatikoille . Springer, 2018, ISBN 9783658216696 , s.14 .
3. ^ ^{A b} Franz Embacher: Toisen asteen yhtälöt . Käsikirjoitus mathe-online.at.
4. ↑ Nämä ovat oikean sarakkeen viisi parasta riviä. Katso kuva British Museumin verkkosivustolta ( täydellinen kuvaus ).
5. ↑ Otto Neugebauer: Lähteet ja tutkimukset matematiikan, tähtitieteen ja fysiikan historiasta, osa A: Lähteet, kolmas osa, kolmas osa , Berliini 1937, s. 14-22 ja taulukko 1.
6. ↑ Savitaulutekstin numeromerkit selitetään julkaisussa Jörg Bewersdorff : Algebra aloittelijoille: Yhtälöiden ratkaisusta Galois-teoriaan , 6. painos, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1 , doi: 10.1007 / 978-3-658 -26152-8 , s. 4 Googlen teoshaussa .
7. ↑ Jens Høyrup: Pituudet, leveydet, pinnat: Muotokuva vanhasta Babylonian algebrasta ja sen sukulaisista. New York 2002, s. 393-395, ISBN 978-1-4419-2945-7 , doi: 10.1007 / 978-1-4757-3685-4 .
8. ^ I. Todhunter : Eukleidesin elementit. Toronto 1869, s. 66, verkossa osoitteessa archive.org.
9. ↑ ^{a b} Lainaus Jörg Bewersdorffin käännöksestä. Algebra aloittelijoille: yhtälöratkaisusta Galois -teoriaan. 6. painos, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1 , doi: 10.1007 / 978-3-658-26152-8 , s.6 f.
10. ↑ Hans Wußing : 6000 vuotta matematiikkaa- nide 1. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , s. 237-241, doi: 10.1007 / 978-3-540-77192-0 .
11. ^ Helmuth Gericke : Matematiikka antiikissa, idässä ja lännessä . 7. painos. Fourier Verlag, 2003, ISBN 3-925037-64-0 , s.198 .
12. ↑ Louis Charles Karpinski: Robert of Chesterin latinalainen käännös al-Khowarizmin algebrasta. Lontoo 1915, s. 77-83, verkossa osoitteessa archive.org .
13. ↑ Hans Wußing : 6000 vuotta matematiikkaa- nide 1. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , s.278 , doi: 10.1007 / 978-3-540-77192-0 .
14. ↑ Hans Wußing : 6000 vuotta matematiikkaa-1. osa. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , s. 341-342, doi: 10.1007 / 978-3-540-77192-0 .