Ennakoiva logiikka

Predikaatti logiikka (myös kvanttoreilla logiikat ) muodostavat perheen loogista järjestelmiä, jotka mahdollistavat käytännössä ja teoriassa monien tieteiden virallistamiseksi tärkeät alueet läpi argumentteja ja niiden voimassaolon tarkistamiseksi. Tämän ominaisuuden vuoksi predikaattilogiikalla on tärkeä rooli logiikassa sekä matematiikassa , tietojenkäsittelytieteessä , kielitieteessä ja filosofiassa .

Gottlob Frege ja Charles Sanders Peirce kehittivät predikaattilogiikan toisistaan ​​riippumatta. Frege kehitti ja virallisti järjestelmänsä vuonna 1879 julkaistussa termissä kirjallisuus . Vanhemmat loogiset järjestelmät, esimerkiksi perinteinen käsitteellinen logiikka , ovat ekspressiivisyydeltään todellisia predikaattilogiikan osajoukkoja. Ne voidaan kääntää kokonaan tähän.

Keskeiset termit

Predikaattilogiikka on ehdotuslogiikan jatke . Ehdotuslogiikassa yhdistelmälausekkeita tutkitaan sen määrittämiseksi, mitkä yksinkertaisemmat lausumat niistä koostuvat. Esimerkiksi lause "Sataa tai maa on litteä" koostuu kahdesta lausunnosta "Sataa" ja "Maa on litteä". Näitä kahta lausuntoa ei voida jakaa muihin alalauseisiin - niitä kutsutaan siksi atomi- tai alkeislausekkeiksi . Predikaattilogiikassa atomilausekkeita tarkastellaan niiden sisäisen rakenteen suhteen.

Predikaattilogiikan keskeinen käsite on predikaatti . Puhekielisessä approksimaatiossa predikaatti on sanoja, jotka avaavat välilyöntejä; tästä seurauksesta tulee oikea tai väärä lause, jos oikea nimi lisätään jokaiseen tilaan. Esimerkiksi sanasarja "... on henkilö" on predikaatti, koska oikean nimen - kuten "Sokrates" - lisääminen luo lausunnon esimerkissä "Sokrates on henkilö". Väite "Maa on levy" voidaan jakaa oikeaan nimeen "maa" ja predikaatti "... on levy". Määritelmän ja esimerkkien perusteella käy ilmi, että termillä "predikaatti" logiikassa, etenkin predikaattilogiikassa, ei ole samaa merkitystä kuin kieliopissa , vaikka sillä olisi historiallinen ja filosofinen yhteys. Varsinaisen nimen sijasta predikaattiin voidaan lisätä myös muuttuja, jolloin predikaatista tulee lausefunktio: φ _{( x )} = " x is a person" on funktio, jota käytetään klassisessa predikaattilogiikassa ne ihmiset, jotka ovat ihmisiä, palauttaa totuuden arvon tosi ja kaikkien muiden osalta totuuden arvon epätosi .

Toinen ominaispiirre käsite predikaattilogiikalla on kvantisointi . Kvantifikaattorit osoittavat, kuinka monella yksilöllä diskurssimaailmassa lausefunktio on täytetty. Kvantifikaattori sitoo lausefunktion muuttujan siten, että lause luodaan uudelleen. Universaalin kvanttorin mukaan predikaatin tulisi koskea kaikkia yksilöitä. Eksistentiaalinen kvantti kertoo, että predikaatti koskee vähintään yhtä yksilöä. Kvantifikaattorit mahdollistavat esimerkiksi "Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia" tai "On ainakin yksi vaaleanpunainen elefantti".

Joskus käytetään myös numeerisia kvanttoreita, joiden avulla voidaan todeta, että predikaatti koskee tiettyä määrää yksilöitä. Nämä eivät kuitenkaan ole ehdottoman välttämättömiä, koska ne voidaan jäljittää yleismaailmalliseen ja eksistentiaaliseen kvantifikaattoriin sekä identiteetin predikaattiin.

Ennusteet

Edellä esitetyn predikaatin määritelmä sanasarjana, jossa on selkeästi määritellyt välilyönnit ja josta tulee lause, kun oikea nimi lisätään jokaiseen tilaan, on puhtaasti muodollinen, sisällötön määritelmä. Sisällön suhteen predikaatit voivat ilmaista hyvin erilaisia termejä :

• Yksilöiden tyypit (lajittelutermit): "_ on henkilö"
• Ominaisuudet : "_ on vaaleanpunainen"
• suhdetermit , d. H. Yksilöiden väliset suhteet: esim. B. "_ ₁  on suurempi kuin _ ₂ " tai "_ ₁  on välillä _ ₂ ja _ ₃ ".

Koska käsitteiden, ominaisuuksien ja suhteiden tarkka luonne ja ontologinen asema tarkastellaan eri tavoin eri filosofisissa suunnissa ja koska käsitteiden, ominaisuuksien ja suhteiden tarkka rajaaminen toisistaan ​​nähdään myös eri tavalla, alussa mainittu muodollinen määritelmä on kaikkein tärkein. käytännöllinen soveltamisen kannalta, koska se mahdollistaa predikaattilogiikan käytön ilman, että hänen on hyväksyttävä tiettyjä ontologisia tai metafyysisiä oletuksia.

Predikaatin eri tilojen määrää kutsutaan sen ariteetiksi. Esimerkiksi predikaatti, jossa on yksi välilyönti, on yksinumeroinen, toinen, jossa on kaksi välilyöntiä, on kaksinumeroinen ja niin edelleen. H. pidetään predikaateina ilman välilyöntejä. Tilat laskettaessa otetaan huomioon vain eri tilat.

Muodollisessa predikaattilogiikassa predikaatit ilmaistaan ​​predikaattikirjaimilla, lähinnä isoilla kirjaimilla latinalaisen aakkoston alusta, esimerkiksi F_ ₁ _ ₂ kaksinumeroiselle predikaatille, G_ ₁ yksinumeroiselle predikaatille tai H_ ₁ _ ₂ _ ₃ kolminumeroiselle predikaatille. Predikaatin argumentit laitetaan usein sulkeisiin ja erotetaan pilkuilla, jotta mainitut esimerkit kirjoitettaisiin F (_ ₁ , _ ₂ ) tai G (_ ₁ ) ja H (_ ₁ , _ ₂ , _ ₃ ) .

Oikeat nimet ja yksilölliset vakiot

Vuonna kielifilosofia ja kielitieteen , aiheena erisnimien on varsin monimutkainen. Predikaattilogiikan johdanto -osassa tapahtuvaa käsittelyä varten riittää, että sellaiset kielen ilmaisut nimetään oikeiksi nimiksi, jotka osoittavat täsmälleen yhden henkilön; sana "yksilö" ymmärretään tässä hyvin yleisessä mielessä ja tarkoittaa kaikkea "asiaa" (fyysinen esine, numero, henkilö ...), joka voidaan erottaa muista asioista millä tahansa kuviteltavalla tavalla. Mainitut oikeat nimet ovat useimmiten todellisia oikeita nimiä (esim. "Gottlob Frege") tai merkintöjä (esim. "Itävallan nykyinen liittokansleri").

Luonnollisen kielen oikeiden nimien vastine ovat predikaattilogiikan yksittäiset vakiot ; yleensä valitset pienet kirjaimet latinalaisen aakkoston alusta, esimerkiksi a, b, c. Toisin kuin luonnollisen kielen oikeat nimet, jokainen yksittäinen vakio nimittää itse asiassa täsmälleen yhden yksilön. Tämä ei tarkoita mitään implisiittisiä metafyysisiä edellytyksiä, vaan ainoastaan ​​määrää, että ilmaistaan ​​vain luonnollisella kielellä varustetut oikeat nimet, joilla on yksilölliset vakiot, jotka todella merkitsevät täsmälleen yhden yksilön.

Predikaattikirjainten ja yksittäisten vakioiden sanaston avulla voidaan jo analysoida ehdotuksen mukaisia ​​atomilauseita, kuten "Sokrates on henkilö" tai "Gottlob Frege on käsitteellisen kirjoituksen kirjoittaja". "kun yksilövakio a, oikea nimi" Gottlob Frege "ja yksilöllinen vakio b, oikea nimi tai kirjan nimi" Concepts script ", jossa on yksilöllinen vakio c ja predikaatit" _ is a person "ja" _ ₁ is the _ ₂ ”kirjoittaja ja predikaattikirjaimet F_ ja G_ ₁ _ ₂ , niin” Sokrates on persoona ”voidaan ilmaista muodossa Fa ja” kiitos Jumalalle Frege on ”käsitteellisen kirjoituksen” kirjoittaja ”Gbc.

Kvantit

Kvanttien avulla voidaan tehdä lausuntoja siitä, koskeeko lausefunktio ketään, kaikkia tai kaikkia diskurssimaailman yksilöitä. Yksinkertaisimmassa tapauksessa lausefunktio on yksinumeroinen predikaatti. Jos lisätään yksittäinen muuttuja predikaattiin ja asetetaan eksistentiaalinen kvantti ja sama muuttuja sen eteen, niin väitetään, että on olemassa ainakin yksi yksilö, jota predikaatti koskee. Joten on oltava ainakin yksi lause muodossa, jossa yksittäinen vakio lisätään predikaattiin, mikä on totta asianomaisessa diskurssin universumissa. Universaali kvantifikaattori sanoo, että predikaatti koskee kaikkia yksilöitä keskustelun universumista. Klassisessa predikaattilogiikassa kaikki atomiset, kaikki kvantifioidut väitteet ovat siis totta, kun diskurssin universumi on tyhjä.

Eksistentiaalinen kvantori ilmaistaan ​​puolimuodollisella kielellä seuraavasti: "on olemassa ainakin yksi asia, joka ..." tai "on olemassa ainakin yksi (muuttujan nimi), jota ..." koskee. Muodollisella kielellä merkkejä tai käytetään. Yleismäärä ilmaistaan ​​puolimuodollisella kielellä "Kaikille (muuttujan nimi): ...", muodollisella kielellä yhdellä merkistä tai . ${\ displaystyle \ olemassa}$${\ displaystyle \ texttyle \ bigvee}$${\ displaystyle \ forall}$${\ displaystyle \ texttyle \ bigwedge}$

Välittömästi nähtävissä on käyttää kvanttorien varten predikaatteihin, kuten "_ on ihminen." THE eksistentiaalisesti määrälliset lausuma ääneen olisi "On ainakin yksi asia on totta, että se on ihminen," virallisissa kieli: . M_ on yksinumeroisen predikaatin "_ on persoona" käännös ja eksistentiaalinen kvantti. Kirjain x ei ole yksittäinen vakio, vaan täyttää saman tehtävän, jonka sana "es" täyttää puolimuodollisessa muotoilussa: Molemmat merkitsevät tilan, johon kvanttiija viittaa. Valitussa esimerkissä tämä vaikuttaa tarpeettomalta, koska se sisältää vain yhden kvanttorin ja vain yhden tilan, joten epäselvyys ei ole mahdollista. Yleisessä tapauksessa, jossa predikaatti voi sisältää useamman kuin yhden välilyönnin ja lause voi sisältää useamman kuin yhden kvantifikaattorin ja useamman kuin yhden predikaatin, yksiselitteistä lukua ei anneta ilman sopivia "ristiviittausmerkkejä". ${\ displaystyle \ olemassa x \ Mx}$${\ displaystyle \ olemassa}$

Yleisimpiä latinalaisen aakkoston lopussa olevia pieniä kirjaimia, kuten x-, y- ja z -kirjaimia, käytetään määrittämään suhde kvanttorin ja sen viittaaman tilan välillä; niitä kutsutaan yksittäisiksi muuttujiksi. Tilaa, johon kvantori viittaa, tai muuttujaa, jota käytetään tämän yhteyden muodostamiseen, kutsutaan kvanttorin sitomaksi .

Jos sidot välilyönnin moninumeroiseen predikaattiin kvantorilla, luodaan predikaatti, jolla on yksi alempi ariteetti. Kaksinumeroisesta predikaatista L_ ₁ _ ₂ , "_ ₁  loves _ ₂ ", joka ilmaisee rakastavan suhteen, tulee yksinumeroinen predikaatti, joka sitoo ensimmäisen tilan universaalisella kvanttorilla , niin sanotusti, ominaisuuden tulla rakastetuksi. kaikille (yleinen kvantifikaattori viittaa ensimmäiseen aihioon, jossa yksilö seisoo, josta rakkaus lähtee). Sitomalla toisen tilan siitä tulee toisaalta yksinumeroinen predikaatti , niin sanotusti, ominaisuus rakastaa kaikkea ja kaikkia (universaali kvantori sitoo toista tilaa, eli tilaa, jossa rooli rakastetuista telineistä). ${\ displaystyle \ koko xLx \ _}$${\ displaystyle \ koko xL \ _x}$

Lauseet, joissa on predikaatteja, joissa kvantifikaattori sitoo useamman kuin yhden tilan, ovat mielenkiintoisia. Mahdollisuus käsitellä tällaisia ​​lauseita tekee predikaattilogiikasta niin voimakkaan, mutta samalla se on kohta, jossa järjestelmä muuttuu tulokkaan kannalta hieman monimutkaiseksi ja vaatii intensiivisempää keskustelua ja harjoittelua. Pienenä käsityksenä predikaattilogiikan mahdollisuuksista kaikki yksinkertaiset kaksinumeroiset predikaatit L_ ₁ _ ₂ on lueteltava kaikki mahdollisuudet sitoa aihiot kvanttoreilla , jotka voidaan lukea esimerkiksi kuten edellä "_ ₁  rakastaa _ ₂ "(seuraavissa kaavioissa on _1" pystysuora "a, b, c, d, e ja _2" vaakasuora "a, b, c, d, e):

Yksikään sarake / rivi ei ole tyhjä: 1 .: Jokainen rakastaa jotakuta.${\ displaystyle \ forall x \ olemassa yLyx}$ 2 .: Kaikki rakastavat jotakuta.${\ displaystyle \ forall x \ olemassa yLxy}$	Lävistäjä ei ole tyhjä / täynnä: 5 : Joku rakastaa itseään.${\ displaystyle \ olemassa xLxx}$ 6 .: Jokainen rakastaa itseään.${\ displaystyle \ forall xLxx}$	Matriisi ei ole tyhjä / täynnä: 7 : Yksi rakastaa. 8 .: Yksi on rakastettu.${\ displaystyle \ olemassa x \ olemassa yLxy}$ ${\ displaystyle \ olemassa x \ olemassa yLyx}$ 9 .: Kaikki rakastavat kaikkia. 10 .: Kaikki rakastavat kaikkia.${\ displaystyle \ forall x \ forall yLxy}$ ${\ displaystyle \ forall x \ forall yLyx}$	Hasse kaavio on seurauksia
Rivi / sarake on täynnä: 3 .: Joku rakastaa kaikkia.${\ displaystyle \ olemassa x \ koko yLxy}$ 4 .: Jokainen rakastaa jotakuta.${\ displaystyle \ olemassa x \ koko yLyx}$

Matriisit kuvaavat kaavat tapauksessa, että viisi henkilöä tulevat kysymykseen ystäville ja ystäville. Lauseiden 6 ja 9/10 lisäksi nämä ovat esimerkkejä. Lauseen 5 matriisi on esim. B. sillä "b rakastaa itseään"; yksi lauseelle 7/8 "c rakastaa b".

On tärkeää ja opettava erottaa lauseet 1 ,, ja 3 ,,: Molemmissa tapauksissa kaikkia rakastetaan; ensimmäisessä tapauksessa joku kuitenkin rakastaa jotakuta, toisessa sama henkilö rakastaa kaikkia. ${\ displaystyle \ forall x \ olemassa yLyx}$${\ displaystyle \ olemassa x \ koko yLxy}$

Joidenkin näiden lauseiden välillä on päättelyyhteyksiä - esimerkiksi lause 1 seuraa lauseesta 3, mutta ei toisinpäin (ks. Hasse -kaavio).

Kolminumeroisilla predikaateilla voidaan muodostaa kaavoja . Predikaatilla "x haluaa yz rakastaa" tämä kaava tarkoittaa "joku haluaa kaikkien rakastavan jotakuta".${\ displaystyle \ olemassa x ~ \ kaikkialla y ~ \ olemassa z ~ Pxyz}$

Luonnollisessa kielessä kvantifikaattorit esiintyvät hyvin erilaisissa koostumuksissa. Usein käytetään sanoja kuten "kaikki", "ei mitään", "jotkut" tai "jotkut", joskus kvantifiointi on tunnistettavissa vain kontekstista - esimerkiksi lause "ihmiset ovat kuolevaisia" tarkoittaa yleensä yleistä lausuntoa siitä, että kaikki ihmiset ovat kuolevainen.

Esimerkkejä (predikaattilogiikka - saksa)

Predicate Logic - saksa	Selitys
${\ displaystyle \ forall x ({\ text {cat}} (x) \ Rightrerow {\ text {nisäkäs}} (x))}$ "Kaikki kissat ovat nisäkkäitä" (Voi olla myös nisäkkäitä, jotka eivät ole kissoja, mutta ei kissoja, jotka eivät ole nisäkkäitä)	${\ displaystyle \ forall x}$ ${\ displaystyle {\ text {cat}} (x)}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ text {Nisäkäs}} (x)}$ Kaikille x: (Koskee) x on kissa sitten olkoon x nisäkäs
${\ displaystyle \ forall x ({\ text {cat}} (x) \ land {\ text {nisäkäs}} (x))}$ "Kaikki on kissa ja nisäkäs"	${\ displaystyle \ forall x}$ ${\ displaystyle {\ text {cat}} (x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ text {Nisäkäs}} (x)}$ Seuraava koskee kaikkia x: x on kissa ja x on nisäkäs
${\ displaystyle \ olemassa x ({\ text {City}} (x) \ land {\ text {north}} (x, {\ text {München}}))}$ "Münchenistä pohjoiseen on ainakin yksi kaupunki"	${\ displaystyle \ olemassa x}$ ${\ displaystyle ({\ text {kaupunki}} (x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ text {north}} (x, {\ text {München}}))}}$ Siellä on ainakin yksi x se on kaupunki ja Münchenin pohjoispuolella
${\ displaystyle \ neg \ olemassa x ({\ text {kaupunki}} (x) \ maa {\ teksti {pohjoinen}} (x, x))}$ "Mikään kaupunki ei ole pohjoisessa itsestään"	${\ displaystyle \ neg \ olemassa x}$ ${\ displaystyle ({\ text {kaupunki}} (x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ teksti {pohjoinen}} (x, x))}$ Ei ole x: ää se on kaupunki ja x: n pohjoispuolella
${\ displaystyle \ olemassa x ({\ text {female}} (x) \ land {\ text {isä}} ({\ text {Tom}}, x) \ land {\ text {mother}} ({\ text {Jenny}}, x))}$ "On ainakin yksi Tomin ja Jennyn tytär"	${\ displaystyle \ olemassa x}$ ${\ displaystyle ({\ text {nainen}} (x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ text {isä}} ({\ teksti {Tom}}, x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ text {mother}} ({\ text {Jenny}}, x))}$ Siellä on ainakin yksi x se on naisellista ja Tomilla on isä ja Jenny on äiti
${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {cats} {\ text {cat}} (x)}$ "Jokainen kissa on kissa"	${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {kissat}}$ ${\ displaystyle {\ text {cat}} (x)}$ Jokaista x: ää sarjasta koskee seuraava:${\ displaystyle \ mathbb {kissat}}$ x on kissa
${\ displaystyle \ neg \ forall x: \ mathbb {Autot} ({\ teksti {vihreä}} (x))}$ "Kaikki autot eivät ole vihreitä" (Joko on ei-vihreitä autoja tai ei lainkaan autoja keskustelun maailmankaikkeudessa )	${\ displaystyle \ neg}$ ${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {Autot}}$ ${\ displaystyle ({\ teksti {vihreä}} (x))}$ ei koskee jokaista autoa: se on vihreä.

Jotkut predikaattilogiikan vastaavuudet

Looginen vastaavuus kahden predikaattilogiikalla lausunnot tulokset kaavamaisen vaihto yleisen kvantisointi ja eksistentiaaliseen kvantisointi. Alla on esimerkkejä joistakin useammin käytetyistä predikaattilogiikan vastaavuuksista.

${\ displaystyle \ neg \ forall xPx \ leftrightarrow \ olemassa x \ neg Px}$	Väitteen "Kaikki on vihreää" kieltäminen voidaan muotoilla joko "Kaikki ei ole vihreää" tai "On jotain, joka ei ole vihreää".
${\ displaystyle \ neg \ olemassa xPx \ leftrightarrow \ forall x \ neg Px}$	Jos väite ”On jotain vihreää” kielletään, niin ”diskurssimaailmassa ei ole yhtä vihreää” tai ”kaikki keskustelun universumissa ei ole vihreää” on totta ja päinvastoin.
${\ displaystyle \ olemassa x (Px \ lor Qx) \ leftrightarrow (\ olemassa xPx \ lor \ olemassa xQx)}$	Eksistentiaalisen kvantifikaattorin jakautuminen TAI.
${\ displaystyle \ forall x (Px \ kiila Qx) \ leftrightarrow (\ forall xPx \ kiila \ forall xQx)}$	Yleisen kvanttorin jakautuminen AND: n yli.
${\ displaystyle \ forall x (P \ land Qx) \ leftrightarrow (P \ land \ forall xQx)}$
${\ displaystyle \ olemassa x (P \ kiila Qx) \ leftrightarrow (P \ kiila \ olemassa xQx)}$
${\ displaystyle (\ olemassa xPx \ rightarrow Q) \ leftrightarrow \ forall x (Px \ rightarrow Q)}$	Jos on esimerkki, joka sisältää lauseen, jokainen esimerkki viittaa siihen.
${\ displaystyle (P \ rightarrow \ forall xQx) \ leftrightarrow \ forall x (P \ rightarrow Qx)}$	Jos lause sisältää yleisen lausuman, se koskee kaikkia esimerkkejä.

Jos on poissuljettu, että keskustelun universumi on tyhjä, sovelletaan myös seuraavaa:

${\ displaystyle (\ koko xPx \ rightarrow Q) \ leftrightarrow \ olemassa x (Px \ rightarrow Q)}$

${\ displaystyle (P \ rightarrow \ olemassa xQx) \ leftrightarrow \ olemassa x (P \ rightarrow Qx)}$

Predikaattilogiikan tyypit

Jos - kuten tähän asti on kuvattu - kvantorit sitovat predikaattien tyhjät kohdat, puhutaan ensimmäisen kertaluvun tai -järjestyksen predikaattilogiikasta , englanti: first order logic , lyhenne sanoista FOL ; se on niin sanottu predikaattilogiikan vakiojärjestelmä.

Predikaattilogiikan ilmeinen muunnelma ei ole vain predikaattien aihioiden sitomista, ts. Ei ainoastaan ​​yksilöiden kvantifiointia, vaan myös olemassaolon ja yleismaailmallisten lausuntojen tekemistä predikaateista . Tällä tavalla voidaan virallistaa sellaisia ​​lausuntoja kuin "On olemassa predikaatti, jota se koskee: se koskee Sokratesta" ja "Jokaista predikaattia varten: se koskee Sokratesia tai ei koske Sokratesia". Ensimmäisen asteen predikaattien yksittäisten aihioiden lisäksi olisimme ottaneet käyttöön predikaattien aihioita, jotka johtavat toisen asteen predikaateihin , esimerkiksi "_ koskee Sokratesia". Tästä eteenpäin on vain pieni askel kolmannen tason predikaateihin, joiden tiloihin voidaan lisätä toisen tason predikaatteja, ja yleensä korkeamman tason predikaateihin. Tässä tapauksessa puhutaan siis logiikan korkeammasta tasosta , englanninkielisestä korkeamman tason logiikasta , lyhenne HOL .

Muodollisesti yksinkertaisin ensimmäisen tason predikaattilogiikan laajennus käsittää kuitenkin keinojen lisäämisen identiteetin käsittelyyn . Tuloksena olevaa järjestelmää kutsutaan ensimmäisen tason predikaattilogikaksi identiteetillä . Identiteetti voidaan määritellä ylemmän tason predikaattilogiikassa, ts. H. hoitaa ilman kielen laajentamista, mutta yritetään toimia mahdollisimman pitkään ja mahdollisimman paljon ensimmäisellä tasolla, koska tähän on olemassa yksinkertaisempia ja ennen kaikkea täydellisiä laskelmia , ts. H. Laskelmat, joista voidaan johtaa kaikki tässä järjestelmässä pätevät kaavat ja argumentit. Tämä ei enää koske ylemmän tason predikaattilogiikkaa, ts. toisin sanoen ylempi taso ei voi johtaa kaikkia päteviä argumentteja yhdellä laskennalla.

Päinvastoin, ensimmäisen tason predikaattilogiikkaa voidaan rajoittaa esimerkiksi rajoittamalla itsensä yksinumeroisiin predikaateihin. Tästä rajoituksesta johtuvan loogisen järjestelmän, monadisen predikaattilogiikan , etuna on se, että se on ratkaistavissa ; Tämä tarkoittaa, että on olemassa mekaanisia proseduureja (algoritmeja), jotka voivat määrittää jokaiselle kaavalle tai jokaiselle monadisen predikaattilogiikan argumentille äärellisen ajan kuluessa, onko se pätevä vai ei. Joihinkin tarkoituksiin monadinen predikaattilogiikka riittää; Lisäksi koko perinteinen käsitteellinen logiikka , nimittäin syllogistiikka , voidaan ilmaista monadisella predikaattilogiikalla.

Rinnakkain jo käsitellyn predikaattilogiikkajärjestelmien erilaistamisen kanssa niiden tason tai järjestyksen mukaan on olemassa klassisia ja ei- klassisia muotoja. Vuodesta klassista predikaattilogiikka tai yleensä klassisen logiikan kutsutaan jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät:

• käsitelty järjestelmä on kaksiarvoinen, ts. Toisin sanoen jokainen väite olettaa täsmälleen yhden tarkasti kahdesta totuusarvosta, enimmäkseen totta ja väärää ( kahden valenssin periaate ); ja
• lauseiden totuusarvo, joka on muodostettu ehdotuslogiikan liittimillä, määräytyy ainutlaatuisesti koostettujen lausuntojen totuusarvojen perusteella ( laajentumisperiaate ).

Jos poiketaan ainakin yhdestä näistä periaatteista, syntyy ei-klassinen predikaattilogiikka . Tietysti ei-klassisen predikaattilogiikan puitteissa on myös mahdollista rajoittua yksinumeroisiin predikaateihin (ei-klassinen monadinen predikaattilogiikka), kvantifioida yksilöiden kautta (ensimmäisen tason ei-klassinen predikaattilogiikka), laajentaa järjestelmä identiteetin mukaan (ensimmäisen tason ei-klassinen predikaattilogiikka identiteetin kanssa) tai laajentaa kvantifiointi predikaateihin (korkeamman tason ei-klassinen predikaattilogiikka). Usein käytetty ei-klassinen predikaattilogiikkajärjestelmä on modaalinen predikaattilogiikka (katso Modal Logic ).

Predikaattilogiikan semantiikka

Muodollinen semantiikka voidaan määrittää jokaiselle predikaattilogiikkajärjestelmälle . Tätä tarkoitusta varten määritellään tulkintatoiminto, matemaattisessa mielessä funktio, joka antaa laajuuden muodollisen predikaattilogiikan kielen predikaateille ja totuusarvon atomilauseille. Ensinnäkin luodaan keskustelun universumi , toisin sanoen niiden erottamiskykyisten esineiden ("yksilöiden") kokonaisuus, joihin tulkittavien predikaattisten logiikkalausuntojen tulisi liittyä. Klassisessa predikaattilogiikassa yksittäiset kielielementit tulkitaan sitten seuraavasti:

Yksittäiset vakiot

Jokaiselle yksittäiselle vakioon on osoitettu täsmälleen yksi elementti diskurssin universumista, eli jokainen yksittäinen vakio nimeää täsmälleen yhden yksilön.

Yksinumeroiset predikaatit

Jokaiselle yksilön joukolle diskurssin universumista on osoitettu kullekin yksinumeroiselle predikaatille. Tällä tavoin määritetään, mihin yksilöihin kyseinen predikaatti koskee. Esimerkiksi, jos laite on määritetty yhden numeron predikaatti , niin silloin määritetään, että sovelletaan on , että ja .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ {a, b, c \}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Moninumeroiset predikaatit

Jokaiselle - sarjoille yksilöistä diskurssimaailmasta määrätään kullekin numeropredikaatille .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

lausunto

Jotta lausuntojen totuusarvo voidaan määrittää, arviointitoiminnon on yhdistettävä kaikkien hyvin muodostettujen lausuntojen joukko totuusarvojen joukkoon, eli jokaisen predikaattilogiikan kielen väitteen on määritettävä, onko se totta tai väärä. Tämä tehdään yleensä rekursiivisesti seuraavan mallin mukaisesti (arviointitoimintoa kutsutaan tässä B: ksi ):

• B ( ) = tosi (tässä on predikaattilogiikka), jos B ( ) = epätosi; muuten B ( ) = epätosi. Toisin sanoen, negaatio väärä väite pitää paikkansa, negaatio totena on epätosi.${\ displaystyle \ neg \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ neg \ varphi}$
• B ( ) = tosi ( ovat predikaattilogiikkalauseita tässä), jos B ( ) = B ( ) = tosi; muuten B ( ) = epätosi. Toisin sanoen: Konjunktio on totta silloin ja vain, jos molemmat konjunktiot ovat totta; muuten se on väärin.${\ displaystyle \ varphi \ land \ psi}$${\ displaystyle \ varphi, \ psi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ varphi \ land \ psi}$
• Analogiset määritelmät koskevat kaikkia muita loogisia operaattoreita .
• B ( ), jossa on yksinumeroinen predikaattikirjain ja joka on yksilövakio, palauttaa totuusarvon "true", jos tulkinta on osa tulkintaa , toisin sanoen: jos yksilö, jonka nimi on, kuuluu predikaatin alle . Muussa tapauksessa B ( ) palauttaa totuusarvon "false".${\ displaystyle \ varphi (\ alpha)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi (\ alpha)}$
• B ( ), jossa on numeroinen predikaatti kirjeen ja jopa ovat yksittäisiä vakioita, palauttaa totuusarvon "tosi", jos -tuple on osa tulkintaa predikaatin kirjain . Muussa tapauksessa B ( ) palauttaa totuusarvon "false".${\ displaystyle \ varphi (\ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n})}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ langle \ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n} \ rangle}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi (\ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n})}$
• B ( ), jossa on yksilöllinen muuttuja ja on yksinumeroinen predikaatti, jonka (yksi tai useampi esiintyvä) tila on syötetty, antaa totuusarvon "true", jos B ( ) antaa totuusarvon "true" - riippumatta yksilöstä, jota edustaa. On yksilövakio, joka ei näy ja on ilmaus, joka syntyy, jos yksittäinen muuttuja korvataan jokaisessa esiintymässä yksilöllisellä vakioilla. Muussa tapauksessa B ( ) = epätosi. Toisin sanoen: B ( ) on tosi jos ja vain pätee että kaikki yksilöt puheessa maailmankaikkeudessa.${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ varphi \ left ({\ beta \ over \ chi} \ right)}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ varphi \ left ({\ beta \ over \ chi} \ right)}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ varphi}$
• B ( ), jossa on yksittäinen muuttuja , ja se on yksi-numeroinen predikaatti, jonka (yksi tai useampi esiintyvä) tilaa merkitään, toimittaa totuusarvo "tosi", jos on ainakin yksi yksilö diskurssi maailmankaikkeus sovelletaan, että on, jos on mahdollista liittää yksilö diskurssimaailmasta yksilölliseen vakioon, joka ei tapahdu niin, että B ( ) antaa totuusarvon "tosi".${\ displaystyle \ olemassa \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ varphi \ left ({\ beta \ over \ chi} \ right)}$

Vaihtoehdot

Ennen kuin ehdotuslogiikka ja predikaattilogiikka kukoistivat, käsitteellinen logiikka hallitsi Aristotelesen kehittämän syllogistiikan muodossa ja siihen perustuvia suhteellisen maltillisia laajennuksia. Kaksi 1960 -luvulla konseptilogiikan perinteessä kehitettyä järjestelmää kuvataan edustajiensa mukaan samaksi kuin predikaattilogiikka (Freytag) tai jopa parempi (Sommers), mutta ne ovat saaneet vain vähän vastausta asiantuntijoilta.

Predikaattilogiikan lakeja sovelletaan vain, jos tutkittujen yksilöiden alue ei ole tyhjä, ts. H. jos on vähintään yksi henkilö (minkä tahansa tyyppinen) ollenkaan. Predikaattilogiikan muutos, joka ei kuulu tämän olemassaolon ehdon piiriin, on vapaa logiikka .

käyttää

Predikaattilogiikka on keskeinen matematiikan eri perusteille .

On myös joitakin erityisiä sovelluksia tietotekniikassa : Se on rooli suunnittelussa ja ohjelmointiin asiantuntijajärjestelmät ja tekoälyä . Loogiset ohjelmointikielet perustuvat osittain - usein rajoitettuihin - predikaattilogiikan muotoihin. Yksi tiedon esitysmuoto voidaan tehdä predikaattilogiikan ilmaisukokoelman avulla.

Relaatio hammaskiven , yksi teoreettiset perusteet tietokantakyselyn kieliä, kuten SQL , käyttää myös predikaattilogiikalla keinona ilmaisun.

In kielitiede , erityisesti muodollinen semantiikka , muotoja predikaattilogiikalla käytetään edustamaan merkitys .

Erikoistyypit, laajennukset ja järjestelmät

Tyypit ja laajennukset

Predikaattilogiikan tyypit ja laajennukset on kuvattu seuraavissa yksityiskohtaisissa yksittäisissä artikkeleissa:

• Klassinen predikaattilogiikka ja sen laajennukset
  • Ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka
  • Toisen kertaluvun predikaattilogiikka
  • Korkean tason predikaattilogiikka

• Predikaattilogiikan ei-klassiset laajennukset
  • Modaalilogiikka (modaalinen predikaattilogiikka)
  • Ajallinen logiikka
  • Toimintalogiikka
  • Kiinteän pisteen logiikka

Laskut predikaattilogiikan järjestelmille

Predikaattilogiikkajärjestelmien laskelmat on esitetty seuraavissa yksittäisissä artikkeleissa:

• Hilbert calculus (aksiomaattinen laskin)
• Luonnollisen päättelyn järjestelmät , esimerkiksi Fitch -laskenta , peräkkäinen laskenta
• Puulaskut
• Resoluutio (logiikka)
• Eksistentiaaliset kaaviot
• Dialoginen logiikka

Katso myös

• Subjunktiivinen kysely

kirjallisuus

Johdanto

• Jon Barwise, John Etchemendy: Kieli, todiste ja logiikka. Osa 1: Lause- ja predikaattilogiikka. Mentis, Paderborn 2005, ISBN 3-89785-440-6 .
• Jon Barwise, John Etchemendy: Kieli, todiste ja logiikka. Osa 2: Sovellukset ja metateoria. Mentis, Paderborn 2006, ISBN 3-89785-441-4 .
• Benson Mates : Elementary Logic - Ensimmäisen tason predikaattilogiikka. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1997, ISBN 3-525-40541-3 .
• Wesley C.Lohvi: Logiikka. Reclam (= Universal Library), Stuttgart 1983, ISBN 3-15-007996-9 .

Tietoja historiasta

• Karel Berka , Lothar Kreiser: Loogisia tekstejä. Kommentoitu valinta modernin logiikan historiasta. 4. painos. Akademie-Verlag, Berliini 1986.
• William Kneale , Martha Kneale : Logiikan kehitys. Clarendon Press, 1962, ISBN 0-19-824773-7 . Vakiotyö logiikan historiassa

nettilinkit

Wikisanakirja: predikaattilogiikka  - merkitysten selitykset, sanan alkuperä, synonyymit, käännökset

• Uschi Robers: Predikaattilogiikan muodollinen esitys . Teknillinen yliopisto Dortmund.
• Klaus Dethloff , Christian Gottschall: Johdatus predikaattilogiikkaan . Wienin yliopisto.
• Video: Predikaattilogiikka . University of Education Heidelberg (PHHD) 2012, teknisen informaatiokirjaston (TIB) saatavilla, doi : 10.5446 / 19823 .

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Eric M. Hammer: Semantics for Existential Graphs . Julkaisussa: Journal of Philosophical Logic , nide 27, numero 5 (lokakuu 1998), s. 489: "Ensimmäisen asteen logiikan kehittäminen Fregesta riippumatta, ennakoiden liitteen ja Skolemin normaalimuodot"
2. ↑ Klassiseen predikaattilogiikkaan on olemassa laajennuksia, jotka tarjoavat lausefunktioiden määrittelyaukkoja tai lisää totuusarvoja, esimerkiksi oikeuttaakseen epämääräiset termit luonnollisella kielellä
3. ↑ Luettelo kaikista korvikkeisiin kolminumeroinen predikaatteja päälle Wikiopistosta .
4. ↑ s. 4, http://www2.informatik.uni-hamburg.de/wsv/teaching/vorlesungen/FGI1SoSe14/PL-Syntax-Semantik.pdf
5. ↑ s. 4, http://www2.informatik.uni-hamburg.de/wsv/teaching/vorlesungen/FGI1SoSe14/PL-Syntax-Semantik.pdf
6. ↑ ilmainen logiikka englanninkielisessä Wikipediassa