Filip Sasínek esiintyi ensimmäisen kerran vuonna 2011 800 metrin juoksussa kansallisissa kilpailuissa. Vuotta myöhemmin hän oli sekä sisätiloissa että ulkona Tšekin U18-mestari yli 800 metriä ja kilpaili myös U23- ja aikuisten kilpailuissa, joissa hän pystyi myös saavuttamaan korkeimmat kannat. Vuonna 2013 hän osallistui ensimmäistä kertaa kansainvälisiin mestaruuskilpailuihin, U18-maailmanmestaruuskilpailuihin Donetskissa. Siellä hän aloitti ensin 1500 metrin yli, jossa hän ei päässyt etumatkan yli. Päivää myöhemmin hän pääsi finaaliin yli 2000 metrin esteen, jonka hän sijoittui finaalissa kahdeksanneksi 5: 47.90 minuutissa.
Vuotta myöhemmin Sasínek kilpaili myös U20-maailmanmestaruuskilpailuilla näillä reiteillä , ja esterata ylitti yli 3000 metrin ikäryhmän. Hän sijoittui kilpailuihin 25. ja 14. sijalla. Vuonna 2015 hän aloitti ensimmäistä kertaa kansainvälisissä aikuisten mestaruuskilpailuissa. Sisätilojen EM-kisat järjestettiin Prahassa keväällä . Siellä Sasínek kilpaili 800 metrin yli ja saavutti 32. sijan. Jopa U20: n EM- kisoissa Eskilstunassa vuonna 2015 hän ei päässyt esteradan etumatkaan. Kaudesta 2016 Sasínek keskittyi sitten yhä enemmän 1500 metriin. Tämän reitin kautta hän kilpaili Amsterdamin EM-kisoissa . Siellä hän pääsi finaaliin, jossa hän sijoittui kahdeksanneksi 3: 47.76 minuutissa.
Keväällä 2017 hän juhli tähän mennessä suurinta urheilumenestystään voitettuaan pronssimitalin Belgradin sisätilojen EM-kisoissa yli 1500 metrin yli. Kesällä hän aloitti U23-EM-kisoissa Bydgoszczissa, jossa hän voitti hopeamitalin 3: 49.23 minuutissa. Pystynyt kilpailemaan satunnaisesti vasta vuonna 2018, hän sijoittui neljänneksi sisätilojen EM-kisoissa Glasgow'ssa vuonna 2019 . Lokakuussa hän aloitti maailmanmestaruuskilpailuissa Dohassa, jossa hänet pudotettiin ennakkoajunnasta yhdeksänneksi ja sijoittui 27. sijalle. Vuonna 2020 hän voitti toisen kerran jälkeen 2017 Tsekin kisoissa vuonna Pilsen yli 1500 metriä ja asettaa uuden mestaruuden ennätys 3: 36,72 minuuttia. Kuukautta myöhemmin hän paransi yli sekunnilla tasolle 3: 35.02 min. 2021: ssä hän osallistui maaliskuussa Toruńin sisäilman EM-kisoihin , jossa hän sijoittui yhdeksänneksi 1500 metrin finaalissa.