Holomorfinen toiminnallinen laskenta

Holomorphic toiminnallinen hammaskiven on tärkeä perusasia päässä matemaattinen teoria Banach algebras . Karkeasti ottaen, tämän funktionaalinen hammaskiveä, elementit -Banach algebran lisätään osaksi holomorphic toiminnot , jotka on määritelty naapurustossa spektrin elementin, jolloin työntämistä polynomit on yleistynyt. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

rakentaminen

Olkoon se -Banach algebran yhden elementin . Jos , niin spektri ei ole tyhjä (katso Gelfand-Mazurin lause ). Olkoon lisäksi olla holomorfinen funktio määritelty avoimessa naapurustossa on . Vaikka sitä ei voida käyttää suoraan , mutta Cauchyn integraalikaava antaa esityksen funktion arvoista , tällaisessa asetuksessa se voidaan silti suorittaa. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a \ sisään A}$${\ displaystyle \ sigma (a)}$${\ displaystyle f: U \ oikeanpuoleinen nuoli {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ sigma (a)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

Punaisella esitetty sykli sisältää sinisellä esitetyn spektrin.

On sykli yksinkertaisesti suljettuja polkuja, jotka kulkevat kokonaan sisällä ja käsittävät spektrin. Cauchyn integraalikaava lukee sisällä olevia pisteitä , ja siinä voidaan tosiasiallisesti käyttää Banach-algebraelementtiä. Voidaan osoittaa, että integraali ${\ displaystyle \ Gamma = \ gamma _ {1} + \ ldots + \ gamma _ {n}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ textstyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ zeta)} {\ zeta -z}} d \ zeta }$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} f (\ zeta) (\ zeta ea) ^ {- 1} d \ zeta}$

lähentyy tavanomaisen topologian merkityksessä . Siinä lauseke on määritelty integroidussa ja on jatkuva funktio . Voidaan myös osoittaa, että tämä arvo ei riipu nimenomaisesta valinnasta . Siksi tämän integraalin arvo on merkitty viittaavassa merkinnässä . ${\ displaystyle \ Gamma \ cap \ sigma (a) = \ tyhjennä}$${\ displaystyle (\ zeta ea) ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ zeta \ mapsto f (\ zeta) (\ zeta ea) ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ Gamma \ - A}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle f (a)}$

Jos kyseessä on kompakti joukko, olkoon holomorfisten funktioiden joukko määritelty naapurustossa . Ovat ja kaksi tällaista toimintoa, voimme ja keskimäärin toimialueiden ja selittää. Tämä tulee algebran. Yllä olevien määritelmien avulla saamme kartoituksen . Tätä kartoitusta kutsutaan a: n holomorfiseksi funktionaaliseksi laskelmaksi . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (K)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f \, + \, g}$${\ displaystyle f \ cdot g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (K)}$${\ displaystyle {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ Phi _ {a}: {\ mathcal {H}} (\ sigma (a)) \ oikeanpuoleinen nuoli A, \, \, f \ mapsto f (a)}$

Yksikön vaatimus ei ole olennainen rajoitus, koska tarvittaessa voidaan liittää yksikkö ja soveltaa toiminnallista laskentaa suurennetussa Banach-algebrassa. ${\ displaystyle A}$

ominaisuudet

Elementin holomorfisella toiminnallisella laskennalla on seuraavat ominaisuudet. ${\ displaystyle \ Phi _ {a}}$${\ displaystyle a \ sisään A}$

• ${\ displaystyle \ Phi _ {a}: {\ mathcal {H}} (\ sigma (a)) \ oikeanpuoleinen nuoli A}$on homomorfismi, so. H. soveltaa kaavoja , - .${\ displaystyle (f + g) (a) \, = \, f (a) + g (a)}$${\ displaystyle (f \ cdot g) (a) = f (a) \ cdot g (a)}$
• Jos on potenssisarja esitys , joka on lähellä spektrin , sitten pidetään täysin yhtenevät sarja .${\ displaystyle f \ muodossa {\ mathcal {H}} (\ sigma (a))}$ ${\ displaystyle f (z) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda _ {n} z ^ {n}}$${\ displaystyle f (a) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda _ {n} a ^ {n}}$${\ displaystyle A}$
• Onko ja niin on totta .${\ displaystyle f \ muodossa {\ mathcal {H}} (\ sigma (a))}$${\ displaystyle g \ muodossa {\ mathcal {H}} (\ sigma (f (a)))}$${\ displaystyle (g \ circ f) (a) = g (f (a))}$
• Spektrikartoituksen periaate pätee : kaikille .${\ displaystyle \ sigma (f (a)) \, = \, f (\ sigma (a))}$${\ displaystyle f \ muodossa {\ mathcal {H}} (\ sigma (a))}$

Joten voidaan kuvitella tosiasiallisesti Banach-algebraelementtien käyttämistä holomorfisissa toiminnoissa; ilmeiset algebralliset toiminnot käyttäytyvät odotetusti.

sovellus

Holomorfisen toiminnallisen laskennan tyypillisenä sovelluksena todistamme seuraavan lauseen:

Jos -Banach algebran yhden elementin vastaavat: ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle e}$

• ${\ displaystyle A}$omistaa ennusteiden kanssa .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 0 \ not = p \ not = e}$
• ${\ displaystyle A}$on elementtejä, joilla on epäyhtenäinen spektri.

Koska projektio, jolla on ilmeisesti epäjohdonmukainen, on vain osoitettava, että projektio on erilainen kuin 0 ja milloin spektrin epäjohdonmukainen. Kuten on epäjohdonmukainen, on avoimia sarjaa ja vuonna niin , , ja . Funktio , joka on yhtä suuri kuin 0 ja on 0, on holomorfinen paikallisesti vakiona funktiona eli elementti . Sitten spektrikartoituslauseen mukaan ja siten . Siellä seuraa . Siksi sellainen projektio, jota etsimme. ${\ displaystyle \ sigma (p) = \ {0,1 \}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 0 \ not = p \ not = e}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a \ sisään A}$${\ displaystyle \ sigma (a)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle U \ cap \ sigma (a) \ not = \ emptyyset}$${\ displaystyle V \ cap \ sigma (a) \ not = \ emptyyset}$${\ displaystyle \ sigma (a) \ osajoukko U \ cup V}$${\ displaystyle U \ cap V = \ emptyyset}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ sigma (a))}$${\ displaystyle \ sigma (f (a)) = f (\ sigma (a)) = \ {0,1 \}}$${\ displaystyle 0 \ not = f (a) \ not = e}$${\ displaystyle f = f \ cdot f}$${\ displaystyle f (a) = (f \ cdot f) (a) = f (a) \ cdot f (a)}$${\ displaystyle f (a)}$

Tämä väite voidaan kiristää Schilow'n idempotenttilauseeseen , joka vaatii useiden muuttujien syvemmän holomorfisen toiminnallisen laskennan .

kirjallisuus

• FF Bonsall, J.Duncan : Täydelliset Normed Algebrat . Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2 , Ch. 1, §7: "Funktionaalinen laskelma yhdelle Banach Algebra -elementille"
• J. Dixmier : Les C * -algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, 1969
• RV Kadison , JR Ringrose : Operator Algebrasin teorian perusteet , 1983, ISBN 0-12-393301-3
• M. Takesaki, Operaattori Algebras I -teoria (Springer 1979, 2002)