Möbius-nauha

Möbiuksen paperinauha

Möbiuksen nauha graniittia: Sculpture päättymättömään silmukkaan , jonka Max Bill valmistettu Tranas graniitti ; Stadtgarten Essen (osoitteessa Hohenzollernstrasse)

Möbius-kaistale , Möbius-silmukka tai Möbius'sches-nauha kuvaa pintaa, jolla on vain yksi reuna ja toinen sivu. Se ei ole suunnattavissa , toisin sanoen ei voida tehdä eroa alapuolella ja yläpuolella tai sisä- ja ulkopuolella.

Möbius liuska on kuvattu itsenäisesti vuonna 1858, jonka Göttingen luonnontieteilijä Johann Benedict ilmoitus ja Leipzig matemaatikko ja tähtitieteilijä August Ferdinand Möbius .

kuvaus

Toista mediatiedosto

Pallot Möbius-nauhan reunalla vaihtavat sivuja

Möbius-nauha on helppo tehdä liimaamalla pitkä paperinauha molemmista päistä yhteen renkaaseen, mutta kiertämällä toista päätä 180 ° ennen liimaamista yhteen. Tällaisilla Möbius-nauhoilla on keskiviiva, joka ei voi olla ympyrää - ellei nauhaa ole paikallisesti venytetty. Muoto, jonka tällainen nauha voi olettaa venyttämättömäksi, kuvataan kokonaan keskiviivan kulkusuunnassa. Möbius-nauhoja, joiden keskilinja on ympyrä myös rennossa tilassa, ei voida valmistaa suorasta kaksiulotteisesta paperiliuskasta - niiden ympärysmitalla on epätasaisesti muotoiltuja alielementtejä, joista niiden voidaan ajatella olevan koottu.

Möbius-nauhat ovat kiraalisia .

Möbius-kaistale sulautuu itsensä siten, että jos alat värjätä pintaa toisella ilmeisesti kahdella puolella, olet värinnyt koko esineen lopulta.

Möbius-nauha halkaisi kerran

Möbius-nauha raon kahdesti

Muita mielenkiintoisia vaikutuksia syntyy, jos piirrät nauhalle keskiviivan tai kaksi viivaa yhdensuuntaisesti keskilinjan kanssa ja leikkaat nauhan tätä viivaa pitkin, ts. Se näyttää olevan puolittunut tai kolmannes. Ensimmäisessä tapauksessa, ts. Leikkaamalla keskiviivaa pitkin, syntyy kaksinkertaisesti kierretty (720 ° kierretty) rengas, jossa on kaksi sivua ja kaksi reunaa. Toisessa tapauksessa kaksoiskierretty rengas luodaan ulommista kolmansista osista, kuten ensimmäisessä tapauksessa, keskimmäisen kolmanneksen seurauksena siinä roikkuu uusi Möbius-nauha. Tätä peliä voidaan jatkaa millä tahansa määrällä pieniä jakoja: jos "neljännekset" nauhaa, saat kaksi kaksinkertaisesti kierrettyä nauhaa, jotka eivät vain roikkuvat yhdessä, vaan myös silmukoituvat toistensa ympäri useammin; Jos "viides" se, tulos on sama kuvio, jossa on sisempi Möbius-nauha, joka roikkuu kahdessa renkaassa; Jos teet "kuudennen" nauhan, saat kaksi rengasta, jotka on silmukoitettu toistensa ympäri kahdesti ja jotka on kierretty kahdesti toisen renkaan ympäri, jolloin ulompi ja kaksi sisempää rengasta ovat tarpeen mukaan vaihdettavissa; Jos "seitsemäs" se taas, lisätään Möbius-nauha, joka roikkuu kolmessa renkaassa jne. Jos murto-osan nimittäjä, johon nauha on ilmeisesti jaettu, on suora , niin saat renkaita; jos se on outoa, myös Möbius-nauha silmukoidaan renkaiden läpi. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n = 2r}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n = 2r + 1}$

Matemaattisesta näkökulmasta katsottuna Möbius-nauha on ei-suunnattava jakotukki . Toinen tähän luokkaan kuuluva alue on Klein-pullo ; Klein-pullo voidaan jakaa kahteen osaan siten, että siitä muodostuu kaksi Möbius-nauhaa.

Luonnossa

Maan magneettikenttään loukkuun jääneet varatut hiukkaset voivat liikkua Möbius-nauhalla.
Syklinen proteiini Kalata B1, Oldenlandia- kasvin vaikuttava aine . O. affinis , luonnollisena lääkkeenä z. B. työvoiman indusointiin, sillä on Möbius-topologia.

Taiteessa ja kirjallisuudessa

Möbiuksen värimaailma nelivärisarjan muunnoksena

Möbius-huivi

Möbius-veistos - Möbius-nauhat, kukin yhtä paksu kuin leveä, neliön muotoinen, 180 ° kierre.

EU: n neuvoston puheenjohtajavaltion Saksan logo vuodelta 2020

Taiteessa on tunnettuja Möbius-nauhan esityksiä . B. C. Escher (Möbius I ja II, 1963) ja viime aikoina Gideon Möbius-Sherman . Argentiinalainen elokuvan Moebius käsittelee myös aihetta. Möbius nauha on myös käsitelty kirjallisuudessa: rakenne John Barth lyhyt tarina sarja menetetty Funhouse (Fin. "Ambrose im Juxhaus") perustuu ääretön tai toiston periaatteen (esim. Puuttuu) liittyvät Möbiuksen nauha. Kirjan mukana toimitetaan myös Möbius-kaistale, joka heijastaa postmodernia kirjallisuuden lähestymistapaa (”kehystarinaa”). Se on merkitty: "Kerran oli tarina, joka alkoi kerran ...". Tämä muoto itse-viite on tyypillinen ns outo silmukoita . Vuonna runossaan Topologik The sanoittaja Erich Fried viittaa on Möbius strip: ”Olen luonut Möbius sydän, joka leikkaa itsensä toivoton suikaleiksi.” 1930-luvulta alkaen, Max Bill luonut lukuisia veistoksia, jotka vastaavat visuaalisia esityksiä Möbius strip : z. B. Infinite Loop (1935/37), jatkuvuus (Zürichinjärvelle, 1947, tuhoutui 1948) tai päättymättömään silmukkaan (Stadtgartenin Essen puolesta Hohenzollernstrasse, 1974). Hänen veistoksensa Jatkuvuus (1986) ei kuitenkaan edustaa Möbius-kaistaletta, toisin kuin yleinen käsitys.

Saksan kuuden kuukauden Euroopan unionin neuvoston puheenjohtajakaudella 1. heinäkuuta 2020 suunniteltu logo osoittaa Möbiuksen kaistaleen ja symboloi "integroivaa ja innovatiivista Eurooppaa, jossa kaikkein erilaisimmat ihmiset ja kiinnostuksen kohteet muodostavat yhdessä muodostaakseen yhteisen kokonaisuuden". , yrityksen ilmoituksen mukaan liittohallitus esityksen yhteydessä.

Möbiuksen kaistaleella on myös tärkeä rooli englantilaisen kirjailijan Brian Lumleyn Necroscope- romaanisarjassa , joka on ollut voimassa vuodesta 1986 . Se on joidenkin hahmojen symboli, mutta erityisen tärkeä päähenkilölle Harry Keoghille. Hän oppii kyvyn matkustaa ajassa ns. Möbiuksen jatkumon avulla, joka käyttäytyy samanlaisesti kuin Möbiuksen kaistale.

Möbius-kaistale on myös teema Perry-Rhodan-sarjassa ja muodostaa tässä kolmiulotteisen mallikuvauksen kaksiulotteisen maailmankaikkeuden (arresum ja paresum) kahdelle puolelle . ${\ displaystyle n}$

Lars Gustafsson kehittää romaanissaan Frau Sorgedahlin kauniit valkoiset aseet Möbius- kaistaleen Möbiuksen aikapulloksi , johon olemme loukussa. Elämämme ulkopuolella ei ole mitään.

Manga-sarjassa Angel Sanctuary verrataan korkean enkeli Alexielin kohtaloa ja hänen sielunsa jatkuvaa uudestisyntymistä ihmiskehossa, mihin julma ja verinen kohtalo on ennalta määrätty, Möbiuksen silmukkaan.

Vuonna 2011 julkaistu saksan kielellä romaanin kartan ja alue sekä Michel Houellebecq , Möbiuksen kaistale on kaiverrettu hauta levy fiktiivinen Michel Houellebecq.

Vuonna 2011 robotiikan opiskelija Aaron Hoover Kalifornian yliopistosta, Berkeley, loi Möbiuksen vaihdelaatikon teknisenä temppuna käyttäen 3D-tulostusta .

Möbiuksen shakki on muunnos sylinterisakista , jossa ajatellaan myös pelikentän kiertämistä, kun "liitetään" pitkät sivut.

Mario Kart 8 -videopelissä Marios Piste -rata edustaa Möbius-nauhaa , ja logossa 8 on myös Möbius-kaistale.

Möbius-huivit on myös suunniteltu muodilla.

Näytelmässä Solaris perustuu päälle Stanislaw Lem mennessä Bettina Bruinier ja Katja Friedrich klo Münchner Volkstheater (2011), Möbius nauha jonka malli auto ajaa on tärkeä osa tuotannosta (lavastus: Markus Karner).

Commerzbankin ja saksalaisen rakennusten siivoustarvikekaupan logoissa näkyy Möbiuksen kaistale.

DDR Avantgarde Band AG. Geige omisti kappaleen Möbius-yhtyeelle vuoden 1989 Trickbeat- albumilla .

Teknologiassa

mekaniikka

Hihnakäytön hihna voidaan suunnitella Möbiuksen hihnaksi . Vaihteistoissa, joissa on yhdensuuntaisen akselin hihnapyörät, helpottaa hihnan vetämistä päälle ja pois. Tällöin 180 ° siirtymän tulisi tyhjässä säikeessä olla, sitä voidaan ohjata hihnan pituussuuntaiseen keskelle varovasti kahdella rullalla sivuttaisasennossaan. Tämän kiertymisen seurauksena vyöhykkeen reunan lähellä olevat vyöhykkeet venytetään vielä hieman. Jos lepatus muuttuu, "hihnan molemmat puolet" tarttuvat toisiinsa ja hihnan materiaali on kaareva yhteen suuntaan yhden kierroksen aikana ja vastakkaiseen suuntaan seuraavalla.

Viihde-elektroniikka

Tefifonin tapauksessa poimintaneulalla skannattu ääninauha voitaisiin suunnitella Möbius- nauhaksi , mutta tämä on osoittautunut epäkäytännölliseksi.

Sähkötekniikka

Piiri analogi Möbiuksen nauha on rengas laskuri , jossa on inversio ( Johnson laskuri ): Hieman sekvenssi saavuttaa alkutilassa kahden jakson jälkeen, joten muisti soluja voidaan käyttää ja laskea jopa; Pulssien laskeminen nopeasti peräkkäin. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2n}$
Kompaktina resonaattorina, jonka resonanssitaajuus on puolet identtisistä lineaarisista keloista.
Induktiovapana vastuksena, joka tunnetaan myös nimellä Möbius-vastus .

fysiikka

Kuten suprajohde korkean transitiolämpötila.
Stellaraattorikonseptin on eräänlainen ydinfuusioreaktori , jossa plasma on tuotu Möbiuksen muotoista reittiä avulla muotoiltu sopivasti kenttäkäämit.

kemia

" Solmumolekyyleinä ", joilla on erityisiä ominaisuuksia ( solmut , kiraalisuus ).

nanoteknologia

Molekyylimoottoreina.
Koska grafeenin nauha (nano-grafiitti), joilla on uusia elektronisia ominaisuuksia, kuten kierteiset magnetismi.

Matematiikassa

Parametrinen esitys

Juoni Möbius-nauhasta

3D-näkymät
Möbiuksen etanasta

Möbius-nauha voidaan piirtää pintana seuraavalla parametriedustuksella :

{\ displaystyle x (r, \ alpha) = \ cos (\ alpha) \ cdot \ left (1 + {\ frac {r} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) }

{\ displaystyle y (r, \ alpha) = \ sin (\ alpha) \ cdot \ left (1 + {\ frac {r} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) }

{\ displaystyle z (r, \ alpha) = {\ frac {r} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}

kanssa ja . Tämä luo Möbius-nauhan, jonka leveys on 1 ja jonka keskilinja on sama kuin xy-tason yksikköympyrä . Kulman kärki on keskellä; muuttuessaan johtojen vaihtelu pintaan, joka ulottuu yhden reunan välillä. Kuten oikealla olevasta kuvasta helposti näkyy, se ei ole Möbius-nauha, joka tehdään paperiliuskasta - vaakasuorassa osassa elementit muistuttavat symmetrisiä puolisuunnikkaita . ${\ displaystyle 0 \ leq \ alfa <2 \ pi}$ ${\ displaystyle -1 \ leq r \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ alfa}$ ${\ displaystyle r}$

Avulla sylinterimäisen koordinaattien , Möbius nauha voi mennä läpi ${\ displaystyle (r, \ theta, z)}$

{\ displaystyle \ log (r) \ cdot \ sin (\ theta / 2) = z \ cdot \ cos (\ theta / 2)}

tulla eroon.

topologia

Möbius-nauha osamääräavarana

Topologia tarjoaa matemaattisesti tuottaa Möbiuksen nauha liimaamalla päät paperikaistaleen yhdessä vastakkaisiin suuntiin. Siellä Möbius-kaistale on määritetyn neliön osamäärä tila , jossa kaksi vastakkaista sivua ekvivalenttisuhteen perusteella kullekin tunnistetulle . Oikealla oleva kaavio kuvaa tätä. ${\ displaystyle (x, y) \ in [0.1] \ kertaa [0.1]}$ ${\ displaystyle (0, y) \ sim (1,1-y)}$ ${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq 1}$

Möbius-nauha on kompakti topologinen jakokoko , jonka koko on 2.

geometria

Differentiaaligeometrian alueella Möbius-nauha ymmärretään suuntaamattomaksi pinnaksi, jossa on reikä . Se voidaan upottaa . Nauha on tavallinen esimerkki suunnattomasta pinnasta. Möbiuksen nauha mahdollistaa erilaistuvan rakenteen . Se ei kuitenkaan ole Riemannin pinta , koska suuntaamattomat pinnat eivät salli monimutkaisia rakenteita . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Ensimmäisessä osassa käsitelty Möbius-nauhan paperimalli voidaan kehittää tasolle . Siksi tällaisten Möbius-nauhojen Gaussin kaarevuus katoaa . Kuten Möbius-nauhan parametrointia koskevassa osassa on esitetty, on myös Möbius-nauhoja, joita ei voida kehittää tasossa. Täten teoreema egregiumin mukaan kaikki Möbius-nauhat eivät ole isometrisesti isomorfisia toisilleen .

Muunnelmien laskenta

Tutkijat EL Starostin ja GHM van der Heijden julkaisivat uudet havainnot Möbius-nauhan matemaattisesta kuvauksesta . Erityisesti he ovat laskeneet matemaattisesti muodon, jonka nauhasta valmistettu Möbius-nauha pyrkii itsessään ottamaan pienimmän energiatilan.

kirjallisuus

Rainer Herges: Möbius, Escher, Bach - Taiteen ja tieteen ääretön side. Julkaisussa: Naturwissenschaftliche Rundschau . 58, 6, 2005, s. 301-310.
Clifford A. Pickover: Möbiuksen kaistale: Dr. August Möbiuksen upea bändi matematiikassa, peleissä, kirjallisuudessa, taiteessa, tekniikassa ja kosmologiassa. New York 2006.

nettilinkit

Commons : Möbiusband - kokoelma kuvia, videoita ja äänitiedostoja

Eric W.Weisstein : Moebius Strip . Julkaisussa: MathWorld (englanti).
Möbiuksen kaistale - verkkosivu, jossa on elokuvia (englanniksi).
Kiinnitä Möbius-nauha (PDF; 271 kB; englanti).
Logo Saksan EU: n neuvoston puheenjohtajakaudelle 2020 - "vahva side yhdistyneelle Euroopalle"

Yksittäiset todisteet

^ JJ O'Connor, EF Robertson: Johann Benedict Listing. Elämäkerta. Julkaisussa: mathshistory.st-andrews.ac.uk. Haettu 10. huhtikuuta 2020.
B ^a^b Holger Dambeck: Osoittaja. Möbiuksen nauhan mysteeri ratkaistu. Julkaisussa: Spiegel.de . 19. heinäkuuta 2007, luettu 10. huhtikuuta 2020.
↑ SC Hsu, pääministeri Bellan: Magneettisen kierteisyyden injektion tutkimus plasmakuvantamisen avulla nopealla digitaalikameralla . Julkaisussa: IEEE Transactions on Plasma Science . nauha 30 , ei. 1. helmikuuta 2002, s. 10-11 , doi : 10.1109 / TPS.2002.1003898 .
^ VB Gerritsen: Proteiini, jolla on topologinen kierre. Julkaisussa: Protein Spotlight 20th Issue 20, March 2002, käyty 10. huhtikuuta 2020.
↑ Esim. Anne Schloen: Kullan renessanssi. Kulta 1900-luvun taiteessa. (PDF; 1,8 Mt). Julkaisussa: Uni-Koeln.de. Väitös Kölnin yliopiston filosofisessa tiedekunnassa, luku 2.2. Köln 2006, käyty 10. huhtikuuta 2020.
↑ Liittovaltion hallitus esittelee mottonsa, verkkosivuston ja logon. Julkaisussa: eu2020.de. 29. toukokuuta 2020, käyty 12. huhtikuuta 2021 .
↑ Enkelin pyhäkkö . Osa 3. Carlsen Comics, 1995, s. 92.
↑ Charlie Sorrel: Todellinen Möbius-vaihde sulaa mielesi. Julkaisussa: Wired.com. 4. heinäkuuta 2011, luettu 10. huhtikuuta 2020 .
↑ Laventelin noita: Möbius-huivi. Julkaisussa: Lavendelhexe.net. 31. joulukuuta 2009, luettu 10. huhtikuuta 2020 .
^ Anne Steiner: Tuotanto Volkstheaterissa - Bettina Bruinier (suunta). Julkaisussa: Solaris Stanislaw Lemin jälkeen - lavastusmateriaalit. 27. marraskuuta 2011.
↑ Patentti DE400399 : Laite äänten valokuvaamiseksi ja niiden toistamiseksi. Julkaistu 6. elokuuta 1924 , hakija: Dr. Lee de Forest. ‌
↑ NTZ. Painos 1, tammikuu 1964, s.24-34.
^ W. Hilberg: 500 Mc kierretty rengaslaskuri, jonka tarkkuutta rajoittaa vain portin kytkentänopeus . Julkaisussa: Nuclear Instruments and Methods . nauha 33 , 1965, s. 322-324 , doi : 10.1016 / 0029-554X (65) 90064-9 .
↑ JM Pond: Mobius-kaksoismoodiresonaattorit ja kaistanpäästösuodattimet . Julkaisussa: IEEE Trans. Microwave Theory and Tech. nauha 48 , 2000, s. 2465-2471 , doi : 10.1109 / 22.898999 .
↑ Patentti US 3267406 : Ei-induktiivinen sähkövastus. Julkaistu 16. elokuuta 1966 , Keksijä: Richard L. Davis. ‌
^ R. Pérez-Enríquez: Rakenteellinen parametri korkeaan Tc-suprajohtavuuteen oktaedraalisesta Moebius-nauhasta RBaCuO: ssa: 123-tyyppiset perovskiitit . Julkaisussa: Rev. Mex. Fis. 48, täydennysosa 1, maaliskuu 2002, s. 262-267 , ArXiv : cond-matto / 0308019 .
↑ Gaston R.Schaller, Rainer Herges: Möbius-molekyylit kiertämällä ja vääntämällä. Julkaisussa: Chem. Comm. 2013, s. 1254-1260.
^ Oleg Lukin, Fritz Vögtle : Molekyylien solmiminen ja langoittaminen: molekyylisolmujen ja niiden kokoonpanojen kemia ja kiraalisuus . Julkaisussa: Angew. Chem. Int. Toim. nauha 44 , 2005, s. 1456-1477 , doi : 10.1002 / anie.200460312 .
↑ Atsushi Yamashiro, Yukihiro Shimoi, Kikuo Harigaya, Katsunori Wakabayashi: Uudet elektroniset tilat grafeeninauhoissa - kilpailevat pyörimis- ja veloitustilaukset . In: Physica E . nauha 22 , 2006, s. 688-691 , doi : 10.1016 / j.physe.2003.12.100 , arxiv : cond-mat / 0309636v1 .
^ Manfredo Perdigão do Carmo: Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7 , s.106 ( PDF; 18,7 Mt ).
↑ Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic: Sovellettu differentiaaligeometria. Moderni esittely . World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-614-0 , s. 18 .
↑ Möbius-nauha . Julkaisussa: Guido Walz (Toim.): Matematiikan sanasto . 1. painos. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .
↑ EL Starostin, GHM van der Heijden: Möbiuksen nauhan muoto. 2007, tiivistelmä. Julkaisussa: Nature Materials ( PDF; 442 kB ).

[1] JJ O'Connor, EF Robertson: Johann Benedict Listing. Elämäkerta. Julkaisussa: mathshistory.st-andrews.ac.uk. Haettu 10. huhtikuuta 2020.

[Numerator-2] B ^a^b Holger Dambeck: Osoittaja. Möbiuksen nauhan mysteeri ratkaistu. Julkaisussa: Spiegel.de . 19. heinäkuuta 2007, luettu 10. huhtikuuta 2020.

[3] SC Hsu, pääministeri Bellan: Magneettisen kierteisyyden injektion tutkimus plasmakuvantamisen avulla nopealla digitaalikameralla . Julkaisussa: IEEE Transactions on Plasma Science . nauha 30 , ei. 1. helmikuuta 2002, s. 10-11 , doi : 10.1109 / TPS.2002.1003898 .

[4] VB Gerritsen: Proteiini, jolla on topologinen kierre. Julkaisussa: Protein Spotlight 20th Issue 20, March 2002, käyty 10. huhtikuuta 2020.

[5] Esim. Anne Schloen: Kullan renessanssi. Kulta 1900-luvun taiteessa. (PDF; 1,8 Mt). Julkaisussa: Uni-Koeln.de. Väitös Kölnin yliopiston filosofisessa tiedekunnassa, luku 2.2. Köln 2006, käyty 10. huhtikuuta 2020.

[6] Liittovaltion hallitus esittelee mottonsa, verkkosivuston ja logon. Julkaisussa: eu2020.de. 29. toukokuuta 2020, käyty 12. huhtikuuta 2021 .

[7] Enkelin pyhäkkö . Osa 3. Carlsen Comics, 1995, s. 92.

[8] Charlie Sorrel: Todellinen Möbius-vaihde sulaa mielesi. Julkaisussa: Wired.com. 4. heinäkuuta 2011, luettu 10. huhtikuuta 2020 .

[9] Laventelin noita: Möbius-huivi. Julkaisussa: Lavendelhexe.net. 31. joulukuuta 2009, luettu 10. huhtikuuta 2020 .

[10] Anne Steiner: Tuotanto Volkstheaterissa - Bettina Bruinier (suunta). Julkaisussa: Solaris Stanislaw Lemin jälkeen - lavastusmateriaalit. 27. marraskuuta 2011.

[11] Patentti DE400399 : Laite äänten valokuvaamiseksi ja niiden toistamiseksi. Julkaistu 6. elokuuta 1924 , hakija: Dr. Lee de Forest. ‌

[12] NTZ. Painos 1, tammikuu 1964, s.24-34.

[13] W. Hilberg: 500 Mc kierretty rengaslaskuri, jonka tarkkuutta rajoittaa vain portin kytkentänopeus . Julkaisussa: Nuclear Instruments and Methods . nauha 33 , 1965, s. 322-324 , doi : 10.1016 / 0029-554X (65) 90064-9 .

[14] JM Pond: Mobius-kaksoismoodiresonaattorit ja kaistanpäästösuodattimet . Julkaisussa: IEEE Trans. Microwave Theory and Tech. nauha 48 , 2000, s. 2465-2471 , doi : 10.1109 / 22.898999 .

[15] Patentti US 3267406 : Ei-induktiivinen sähkövastus. Julkaistu 16. elokuuta 1966 , Keksijä: Richard L. Davis. ‌

[16] R. Pérez-Enríquez: Rakenteellinen parametri korkeaan Tc-suprajohtavuuteen oktaedraalisesta Moebius-nauhasta RBaCuO: ssa: 123-tyyppiset perovskiitit . Julkaisussa: Rev. Mex. Fis. 48, täydennysosa 1, maaliskuu 2002, s. 262-267 , ArXiv : cond-matto / 0308019 .

[Schaller-17] Gaston R.Schaller, Rainer Herges: Möbius-molekyylit kiertämällä ja vääntämällä. Julkaisussa: Chem. Comm. 2013, s. 1254-1260.

[18] Oleg Lukin, Fritz Vögtle : Molekyylien solmiminen ja langoittaminen: molekyylisolmujen ja niiden kokoonpanojen kemia ja kiraalisuus . Julkaisussa: Angew. Chem. Int. Toim. nauha 44 , 2005, s. 1456-1477 , doi : 10.1002 / anie.200460312 .

[19] Atsushi Yamashiro, Yukihiro Shimoi, Kikuo Harigaya, Katsunori Wakabayashi: Uudet elektroniset tilat grafeeninauhoissa - kilpailevat pyörimis- ja veloitustilaukset . In: Physica E . nauha 22 , 2006, s. 688-691 , doi : 10.1016 / j.physe.2003.12.100 , arxiv : cond-mat / 0309636v1 .

[20] Manfredo Perdigão do Carmo: Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7 , s.106 ( PDF; 18,7 Mt ).

[21] Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic: Sovellettu differentiaaligeometria. Moderni esittely . World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-614-0 , s. 18 .

[22] Möbius-nauha . Julkaisussa: Guido Walz (Toim.): Matematiikan sanasto . 1. painos. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .

[23] EL Starostin, GHM van der Heijden: Möbiuksen nauhan muoto. 2007, tiivistelmä. Julkaisussa: Nature Materials ( PDF; 442 kB ).

Languages