Marshallin kysyntätoiminto

Marshallian kysyntäfunktio (myös Walrasian kysyntäfunktio ), nimetty taloustieteilijä Alfred Marshall (tai Léon Walras ), on matemaattinen funktio on mikrotalouden ja varsinkin kotitalouksien teoriassa että ilmaisee, kuinka tavaroiden tietyn tavaran hinta ja tietyn tulotason jokainen tavara tulisi kuluttaa, jos haluaa saavuttaa suurimman mahdollisen hyödyn .

Kuva 1. Esimerkki Marshallin kysyntäfunktiosta kahden tavaran tapauksessa: Tuotteen 1 määrä on piirretty vaaka-akselille, tavaran 1 hinta pystyakselille. Ei pidetyn hyvän 2 hinta pidetään kaaviossa vakiona, samoin kuin oma budjettisi .

{\ displaystyle p_ {2}}

{\ displaystyle y}

Marshallilaiseen kysyntofunktioon johtavien näkökohtien lähtökohtana on hyötyn maksimoinnin periaate: kuluttaja (tyypillisesti kotitalous) päättää itsenäisesti varallisuutensa kohdentamisesta tiettyjen hintojen tarjoamien erilaisten tuotteiden kulutukseen. Sen mukaan, miten hän jakaa omaisuutensa, hänen menosuunnitelmansa eroaa. Marshallin kysynnän perusajatus on, että kuluttaja valitsee aina täsmälleen menosuunnitelman, jota hän haluaa kaikille muille kohtuuhintaisille menosuunnitelmille. Marshallilaisten kysyntä kuvaa täsmälleen tätä - optimaalista - menosuunnitelmaa määrittelemällä, kuinka paljon kutakin yksittäistä hyödykettä kulutetaan tämän mukaisesti. Koska se on funktio, Marshallin kysyntä kuvaa tätä menosuunnitelmaa paitsi tietylle omaisuuden määrälle ja tietylle tavarahinnalle, myös kaikille mahdollisille omaisuuden määrille ja tavaroiden hinnoille.

Käsite Marshallian kysynnän toimintoa voidaan yleistää. Yleisemmin puhutaan Marshallin tiedustelukirjeestä (myös Walrasian tiedustelukirjeestä ). Funktion matemaattinen käsite vaihdetaan kirjeenvaihdon käsitteeseen , mikä tekee mahdolliseksi, että kuluttajalla, jolla on tietty varallisuus ja tietyillä taloustieteen hinnoilla, voi joskus olla vain yksi, mutta useita optimaalisia menosuunnitelmia.

Ei-tekninen esittely

Idea hyödyllisyystoiminnosta

On olemassa erilaisia tapoja mallintaa tavaran kuluttajakysyntä. Kumpi on sopiva, riippuu kulutuspäätöksen tekemisestä tehdystä oletuksesta. Voisi esimerkiksi olettaa, että kuluttajat valitsisivat satunnaisesti minkä tahansa tavarayhdistelmän riippumatta siitä, kuinka paljon kyseiset tavarat ovat heille arvoltaan; tai voisi kuvitella, että sosiaalisuunnittelija ottaisi kaikki kuluttajien omaisuuden ja antaisi heille tiettyjä ostoskoria omien kriteeriensä mukaan. Nykyaikaisen hyödyllisyysteorian perusajatuksena on kuitenkin, että kuluttajat tekevät päätöksen tietyn tavaran määrän kulutuksesta mieltymystensä perusteella . Kuluttajilla on henkilökohtaiset etuusjärjestykset ; Tällainen etusijajärjestys sisältää tiedot kaikista tavaroista kaikissa mahdollisissa yhdistelmissä siitä, pidetäänkö yksi tavarapaketti ainakin yhtä toivottavana, yhtä toivottavana vai korkeintaan yhtä toivottavana kuin toinen tavarapaketti (esimerkki tavarapaketista olisi noin "1 omena, 1 banaani, 0 appelsiinia ja 2 mangoa "ja yksilöllinen mieltymysjärjestys voivat sisältää tiedot siitä, kuinka tavara" 2 omenaa, 0 banaania, 1 appelsiini ja 2 mangoa "liittyy tarkasteltavaan kuluttajaan).

Yksinkertaisempi tapa ilmaista tämä tieto on tarkastella yksinkertaista toimintoa monimutkaisten tilausten sijaan. Tietyin edellytyksin hyötyfunktio voidaan rakentaa, että lähdöt tahansa määrä tietyn nippu tavaroita. Tämä numero on sinänsä merkityksetön; niiden merkitys ilmenee vain vertailusta muiden tavarapakettien hyötyarvoihin. Tämä on nimittäin selvää mikä nippu tavaroita, kuluttaja haluaa: vertailu kahden nipun tavaroita, niin hyödyllisyys arvo nippu jos ja ehdottomasti suurempi kuin nippu jos kuluttaja jonka hyötyfunktio pidämme nipun päälle parempana. ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Marshallin vaatimus

Marshallin vaatimus yhdistää tämän ajatuksen siihen liittyvään ajatukseen: Järkevä kuluttaja kuluttaa "suositun" tavarapaketin, mikä edellä mainitulla tavalla merkitsee sitä, että hänelle tarjotaan mahdollisimman suuri hyöty. Sitä ei kuitenkaan voida kuluttaa rajoittamattomassa mittakaavassa. Jokaiselle kuluttajalle on asetettu ns. Budjettirajoitus , mikä tarkoittaa, että hän ei voi kuluttaa sellaisia tavaroita, joita hänellä ei ole varaa vallitsevilla tavarahinnoilla. Niiden tavaroiden joukosta, joilla hänellä on varaa, hän valitsee, kuten mainittiin, juuri sen, mikä antaa hänelle suurimman hyödyn. Kuvittele nyt, että on olemassa vain kaksi tavaraa, joita haluamme kutsua "hyväksi 1" ja "hyväksi 2" mahdollisimman yksinkertaisesti ja joita on saatavana hinnoin tai markkinoilla. Seuraava ongelma kuvaa sitten kuluttajan apuohjelman maksimointiongelman: ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$

{\ displaystyle \ max \; u (x_ {1}, x_ {2})}

rajoitusten alaisena ja

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ geq 0}

käytettävissä olevan varallisuuden , vaaditun määrän hyviä 1 tai 2 ja kuluttajan hyötyfunktion kanssa. Tehdäkseen ongelman hallittavammaksi oletetaan, että apuohjelma on jatkuva . Tämä varmistaa, että jos yhden tai useamman tavaran määrä muuttuu pienessä määrässä tavaroita, tuloksena oleva etu ei äkillisesti hyppää. Yksi huomautus vaikuttaa tarkoituksenmukaiselta: koska hinnat ja tulot ovat muuttujia yllä olevassa maksimointiongelmassa, ongelman ratkaisu ei ole konkreettinen tuotepaketti; Mikä tavarapaketti maksimoi termin, riippuu erityisesti tarkoista tavaroiden hinnoista ja käytettävissä olevasta varallisuudesta, joten ratkaisu riippuu näistä muuttujista (hinnoista ja käytettävissä olevasta varallisuudesta). ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x_ {1,2}}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2})}$

Tavaran optimaalinen kysyntä on 1 ja se riippuu tavaran hinnasta, yksilön käytettävissä olevista tuloista ja tavaran hinnasta 2. Jälkimmäinen voidaan nähdä intuitiivisesti esimerkiksi siitä, että hyötyjä maksimoiva autojen kysyntä on varmasti myös riippuu siitä, maksaako junalippu 500 vai 5 euroa (tämä ei sulje pois sitä, että hinta voi olla erillinen tästä yksittäisissä tapauksissa). Näin ollen optimointiongelma tuottaa optimaaliset arvot kahdelle tuotteelle: (Marshallin kysyntä hyvälle 1) ja vastaavasti (Marshallin kysynnälle hyvälle 2). ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y)}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y)}$

Virallinen määritelmä

Merkitään vaatima tietty määrä kulutustavaroiden , ja yhteenveto vektorin kysyntää kaikkien tavaroiden osalta yhdessä. Jokaisen tavaran hinta on ehdottomasti positiivinen kaikille , ja siitä voidaan sopia talouden hintavektoreina. ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ kohteessa \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {i}> 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) \ kohteessa \ mathbb {R} _ {++} ^ {n}}$

Kuluttajan etu seuraa jatkuvaa etuustoimintoa . Kuluttajan budjetti on . Harkitse nyt kuluttajan hyötyjen maksimoinnin ongelmaa ottaen huomioon budjettirajoitus : ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle y> 0}$

{\ displaystyle \ max _ {\ mathbf {x} \ sisään \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}} u (\ mathbf {x})}

toissijaisessa olosuhteessa

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} + \ ldots + p_ {n} x_ {n} \ leq y}

Määritelmä: Ole tasaisesti , ja . Yksi tarkoittaa vastaavuus määritellään ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {++} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m}: \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y) \ equiv \ arg \ max \ {u (\ mathbf {x}) | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \}}

,

kuten Marshallian kysyntä vastaavuus (myös Walrasian kysynnän vastaavuus ).

Jos maksimointiongelmalla on yksielementtinen ratkaisu kullekin tuplalle ( ts . Ainutlaatuinen ratkaisu), tehtävää kutsutaan Marshallin kysyntäfunktioksi (tunnetaan myös nimellä Walrasian kysyntofunktio ). ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Kirjeenvaihto on asetettu arvo . Kun toiminto kapeammassa mielessä osoittaa yhden elementin kohdjoukosta kullekin määritelmäalueen elementille (tässä tapauksessa tavararyhmien joukko), kirjeenvaihto osoittaa jokaiselle määritelmäalueen elementille kohdijoukon alijoukon . Marshallin kysyntäfunktio voidaan siten ymmärtää kysynnän vastaavuuden erityistapauksena, jossa jokaiselle tuplalle osoitetaan täsmälleen yhden elementin osajoukko kohdjoukosta. ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$

Marshallilaisten kysyntävastaavuuksien määrittelyssä käytetään myös muita kirjoitusasuja. Se on triviaalia

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y) & \ equiv \ arg \ max \ {u (\ mathbf {x}) | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \} \\ & = \ left \ {\ mathbf {x} \ in B _ {\ mathbf {p}, y} \ left | \ left (\ forall \ mathbf {x} '\ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ right): u (\ mathbf {x}')> u (\ mathbf {x}) \ Rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf { x} '> y \ oikea. \ oikea \} \ loppu {tasattu}}}

Kanssa

{\ displaystyle B _ {\ mathbf {p}, y} \ equiv \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ vasen | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf { x} \ leq y \ oikea. \}}

sallittu määrä (budjetin määrä). Sanalla: Marshallilaisten kysyntä tietyllä hintajärjestelmällä ja tietyllä kotitalouden rikkaudella vastaa tarkalleen niiden sallittujen tavarapakettien määrää, joilla on se ominaisuus, että kaikki tiukasti enemmän käytettyjä tavarapaketteja olisivat niin kalliita, että niiden kulutus rikkoo budjettirajoitusta.

Yleiset ominaisuudet

Oleminen ja kompakti

Marshallilaisten kysynnänvaihto ei ole tyhjä ja sillä on kompakti arvo.

Jos haluat nähdä, että kysyntävastaavuus ei ole tyhjä, riittää osoittamaan, että asetettu budjetti on tiivis . Koska Weierstrassin ääriarvolauseen mukaan jatkuvalla toiminnolla kompaktissa joukossa on aina minimi- ja maksimiarvo, eli yllä olevalla hyödyllisyysmaksimointiongelmalla on ainakin yksi ratkaisu kaikille . Osajoukkona (ei-tyhjä) budjettijoukko on kompakti vain ja vain, jos se on rajattu ja suljettu ( Heine-Borel-lause ). Näin on: se on rajallinen, koska hintojen tiukan positiivisuuden vuoksi se on aina ja samalla kaikille ja kaikille ; ja se on suljettu, koska heikko epätasa-arvo määrittelee sen. Molemmat ominaisuudet johtavat myös suoraan Bergen maksimilauseesta, jota käsitellään tarkemmin jäljempänä kohdassa "Jatkuvuusominaisuudet". ${\ displaystyle B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ leq y / p_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ B _ {\ mathbf {p}, y}}$

Kupero ja suorituskyky

1. Olkoon apufunktio lähes kovera . Sitten Marshallin kysynnän kirjeenvaihto on kupera-arvoinen.
2. Olkoon hyötyfunktio ehdottomasti lähes kovera . Tällöin Marshallin kysyntävastaavuus on yksi elementti kaikille , toisin sanoen: se on funktio . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ sisään \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Näiden kahden ominaisuuden osalta on huomattava, että lähes koveran hyötyfunktion taustalla oleva etusijajärjestys on kupera; (2.) että ehdottomasti lähes koveran apuohjelmatoiminnon taustalla oleva etusijajärjestys on tiukasti kupera. Huomaa, että kohdissa (1.) ja (2.) ei riitä olettaa etuusjärjestyksen kuperuutta (tai tiukkaa kuperuutta). Päinvastoin, (tiukka) kuperuus merkitsee sitä, että jokainen edustava hyötyfunktio on (tiukasti) lähes kovera. Jokaiselle (tiukasti) kuperalle etusijajärjestykselle ei kuitenkaan ole todellista arvoa. Esimerkiksi Debreun (1959) kuuluisan esimerkin vuoksi leksikografiset mieltymysjärjestykset ovat tiukasti kuperia, mutta niitä ei voida edustaa apuohjelmatoiminnolla. On kuitenkin mahdollista esitellä tässä esitetyt käsitteet etusijajärjestysten perusteella, joten esitystoiminto ei ole enää tärkeä. Todiste (1) perustuu vastikkeen kahden nipun tavaroita , . Marshallin vaatimuksen määritelmästä seuraa se . Määritä tämä hyötyaste . Saat lähes kovera hyötyfunktiossa määritelmän mukaan se myös koskee kaikkia . Lisäksi koska ja Marshallin kysynnän määritelmän mukaan. Siksi on . Tästä ja siitä seuraa lopulta se . Niin on kupera. To (2): (proof ristiriita :) Tarkastellaan uudelleen kahden nipun tavaroita , . Jälleen määritelmän mukaan . Tiukka kvasi-koveruus merkitsee kaikille ristiriitaa. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ succsim}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ succsim}$ ${\ displaystyle u}$
${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} '\ sisään \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ equiv \ alpha \ mathbf {x} + (1- \ alpha) \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '') \ geq u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ alfa \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '\ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '') \ geq u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ sisään \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$
${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} '\ sisään \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle u (\ alpha \ mathbf {x} + (1- \ alpha) \ mathbf {x} ')> u (\ mathbf {x}')}$ ${\ displaystyle \ alfa \ sisään (0,1)}$

homogeenisuus

Marshallian kysyntä vastaavuus on homogeeninen ja nolla-asteen kohteessa , joka on, kaikkien ja kaikki . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ alpha \ mathbf {p}, \ alpha y) = \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ sisään \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Siksi kulutuspäätöksellä ei ole merkitystä, jos sekä varallisuus että kaikkien tavaroiden hinnat nousevat tai laskevat samalla tekijällä. Tämä sulkee pois myös sen, että valuutalla, jolla varat ja hinnat laskutetaan, ei ole merkitystä. Omaisuus seuraa, koska budjettimäärä on siis sama, kun sitä muutetaan . Varojen ja hintojen samanaikainen muutos ei tietenkään vaikuta maksimointiongelman ratkaisuun. ${\ displaystyle B _ {\ alpha \ mathbf {p}, \ alpha y} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} | \ alpha \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq \ alpha y \} = \ {\ mathbf {x} \ sisään \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \} = B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Jatkuvuusominaisuudet

1. Marshallilaisten tiedustelujen kirjeenvaihto on ylintä.
2. Jos Marshallin kysyntävastaavuus on yksi elementti kaikille ja siten funktio, niin tämä on jatkuvaa . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ sisään \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$

Ominaisuudet johtuvat suoraan maksimilauseesta (Bergen lause), johon viitataan alaviitteeseen. Keskeinen ennakkoedellytys sen soveltamiselle on annetun talousarvion kirjeenvaihdon jatkuvuus , jolloin kirjeenvaihto nimetään jatkuvaksi, jos se on sekä ylempi että alempi (määritelmä ks. Alaviite). Nämä kaksi ominaisuutta puolestaan voidaan näyttää yksi toisensa jälkeen budjetin kirjeenvaihdossa. ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ rightarrow \! \! \! \! \! \! \! \ mapsto B (\ mathbf {p}, y)}$

Eristysominaisuudet

Marshallilaisten kysynnänvaihto on suljettu ja siinä on myös suljettu kaavio.

Periaatteessa riittäisi näyttää suljettu arvo, koska jokaisella ylätason ja suljetun arvon vastaavuudella on myös suljettu kaavio. Lopullinen arvo (kuten jo edellä on esitetty) Bergen lauseesta (katso alaviite).

Seuraavassa esitetään "suora" todiste suljetun kaavion olemassaolosta. Tarkastellaan sekvenssi im raja-arvon ja sekvenssin im raja-arvon . Ole kauempana kaikille . Näyttää: . Marshallilaisten määritelmän mukaan kysyntä on kaikille ja siksi kaikille myös raja-arvossa . Niin on . (Todiste ristiriidalla :) Oletetaan . Sitten määritelmän mukaan olisi a , jolla . Joten ei olisi sopiva ympäristö ympärillä sekä sopiva ympäristö ympärille että kaikille . Ja koska se ei olisi myös kanssa (tasapainoisen ja tiukan positiivisuutta hintojen). Sen jälkeen seuraa, että sillä riittävän suuri , niin että . Samalla seuraa, että riittävän suurille . Yhteenvetona: riittävän suurille . Mutta se on ristiriidassa sen oletuksen kanssa . Niin on mitä näytettiin. ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}) \ oikea \} _ {k \ sisään \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ sisään \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {x} _ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ sisään \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ sisään \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k})}$ ${\ displaystyle k \ sisään \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$
${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {k} \ leq y_ {k}}$ ${\ displaystyle k \ sisään \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ sisään \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle k \ sisään \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ B _ {\ mathbf {p}, y}}$
${\ displaystyle \ mathbf {x} \ notin \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}} \ in B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} ^ {\ text {alt}})> u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle U_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {x} ', \ mathbf {x}' ') \ U_ {0} \ kertaa U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}} \ in B _ {\ mathbf {p}, y} \ Rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {\ text {old}} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' <y}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ rightarrow (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} '' \ leq y_ {k}}$ ${\ displaystyle k \ sisään \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ sisällä B _ {\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}} \ cap U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {x} _ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ rightarrow \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ kielellä U_ {0}}$ ${\ displaystyle k \ sisään \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k \ sisään \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ sisään \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Walrasin laki

Älkää hyödyllisyysfunktion taustalla olevaa etusijajärjestystä kyllästettyä paikallisesti. Sitten Marshallin vaatimus tyydyttää Walrasin lain , eli se pitää paikkansa . ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {m} = y}$

Paikallisen tyydyttymättömyyden ominaisuus on yleinen vaatimus, joka asetetaan etusijajärjestyksille. Suoraan sanottuna se tarkoittaa, että kutakin tavarapakettia voidaan aina muokata minimaalisesti siten, että tuloksena oleva tavarapaketti on ehdottomasti parempi kuin alkuperäinen paketti. Muodollisen määritelmän osalta viitataan alaviitteeseen.

(Proof ristiriita :) Jos tosiaan mistään , niin se seuraa tyydyttymättömyyttä edellytys, jonka on oltava toinen nippu tavaroiden läheisyydessä , jolla myös ja samanaikaisesti . Mutta silloin hyötyjen maksimoinnin ongelmaan ei voi olla ratkaisua, toisin kuin oletetaan. ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '<y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ sisään \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ sisään \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' <y}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$

Paikallinen tyydyttymättömyys on tietysti heikompi vaatimus etusijajärjestykselle kuin tiukka yksitoikkoisuus . Koska jokainen tiukasti monotonisesti kasvava hyödyllisyysfunktio perustuu tiukasti yksitoikkoiseen mieltymysjärjestykseen, edellä mainittu Walrasin lain pätevyyden vaatimus täyttyy siten triviaalisesti tiukasti monotonisesti kasvavan hyödyllisyysfunktion osalta.

Analyyttinen määritys

Tarpeelliset ja riittävät optimaaliset olosuhteet

Olettaen, että hyödyllisyysfunktio on jatkuvasti erilainen , Karush-Kuhn-Tucker-menetelmä (KKT-menetelmä) tarjoaa tarvittavat olosuhteet yllä olevalle hyödyllisyyden maksimointiongelmalle. Nimeä

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x}) + \ lambda (y- \ mathbf {p \ cdot x})}

.

apuohjelman maksimointiongelman pitkän aikavälin funktiona.

KKT-lause sovellettiin apuohjelman maksimointiongelmaan:

1. Ole jatkuvasti erilainen . Sitten pätee seuraava: Jos hyödyllisyyden maksimointiongelmalle on toteutettavissa oleva ratkaisu, niin on välttämättä myös sellainen , että seuraavat ehdot (KKT-ehdot) täyttyvät: ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$

i)

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {*} \ leq y}

ii) kaikille (täynnä tasa-arvoa aina )

{\ displaystyle \ vasen. {\ frac {\ partituali u (\ mathbf {x})} {\ osittainen x_ {i}}} \ oikea | _ {\ mathbf {x} ^ {*}} \ leq \ lambda p_ {i}}

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle x_ {i} ^ {*}> 0}

iii)

{\ displaystyle \ lambda ^ {*} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {*} - y) = 0}

2. Ole jatkuvasti erilainen, lähes kovera ja ole kaltevuus kaikille . Sitten: Tyydytä ja ehdot (1) (i) - (iii) ovat sitten ratkaisu hyödyllisyyden maksimointiin. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ nabla u (\ mathbf {x}) \ neq \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ sisään \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$

3. Ole jatkuvasti erilainen ja kovera. Sitten: Tyydytä ja ehdot (1) (i) - (iii) ovat sitten ratkaisu hyödyllisyyden maksimointiin. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$

Huomautukset:

Jos verrataan (1) epälineaarisen ohjelman yleiseen muotoiluun, on havaittavissa, ettei ns. Rajoitettua pätevyyttä ole (saksalaisessa käytössä usein luokiteltu termiin ”säännöllisyysedellytys”). Syynä on, että tämä toteutuu aina apuohjelman maksimointiongelmassa. Jos me muuntaa täydellisen hyödyn maksimointi ongelman vain vakiolomakkeella, se lukee alle rajoitusten ja varten . Joten kaikki rajoitukset ovat lineaarisia. Siten KKT-lauseen yhteistä seurausta käyttäen KKT-ehtojen (1) (i) - (iii) sovellettavuutta koskevat vaatimukset täyttyvät. ${\ displaystyle \ max u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle g_ {1} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} -y \ leq 0}$ ${\ displaystyle g_ {1 + j} (\ mathbf {x}) = - x_ {j} \ leq 0}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$
Edellä on jo osoitettu, että Marshallin kysyntä ei ole tyhjä (katso osio Yleiset ominaisuudet ). Siten on aina olemassa yksi, joka täyttää KKT-ehdot (1) (i) - (iii). ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$
Kohdan (2) kaltevuusolosuhteilla on hyvin matala kynnys; tarvitaan vain, että jotkut hyödyt tarjoavat ehdottomasti positiivisen rajahyödyn.

Optimaalisuusolosuhteiden tulkinta

Kuva 2. Hyödyllisyyden maksimointi kahden tavaran tapauksessa, sisäinen ratkaisu. Punainen alue on budjettimäärä, jota budjettikohta rajoittaa. Tähän sijoitetaan kaikki määräyhdistelmät, jotka täyttävät budjettirajoituksen tasa-arvoisesti.

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

Kuva 3. Hyödyllisyyden maksimointi kahden tavaran tapauksessa, marginaalinen ratkaisu.

Kuva 4. Marshallilaisten kiinteiden tuottojen kysyntäfunktioiden rakentaminen kahden tavaran tapauksessa.

Sisäinen ratkaisu

Jos on sisäinen optimaali, toisin sanoen kaikille , tässä sovelletaan ensimmäisen asteen optimaalisuusehtoa kohdan (1) (ii) mukaisesti ${\ displaystyle x_ {i} ^ {*}> 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$

{\ displaystyle \ vasen. {\ frac {\ partituali u (\ mathbf {x})} {\ osittainen x_ {i}}} \ oikea | _ {\ mathbf {x} ^ {*}} = \ lambda p_ { i}}

kaikille .

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

Jos tarkastellaan tapausta (kahden tavaran tapaus), niin se tarkoittaa ${\ displaystyle n = 2}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partituali u (x_ {1}, x_ {2}) / \ osittainen x_ {1}} {\ osallinen u (x_ {1}, x_ {2}) / \ osittainen x_ {2}}} \ oikea | _ {(x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*})} = {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Tämän yhtälön vasen puoli on hyvän 1 korvauskerroin (MRS) hyvään 2 suhteessa hyvään 2 ( välinpitämättömyyskäyrällä ), oikea puoli on kahden tavaran hintasuhde. Kuva 2 havainnollistaa tätä ehtoa: Marshallilaisten kysyntä tietylle tavarahinnalle ja annetulle tulolle vastaa täsmälleen tavarapakettia, jonka korkein mahdollinen välinpitämättömyyskäyrä (tässä :) koskettaa edelleen budjettikohtaa. Tässä tangentiaalipisteessä välinpitämättömyyskäyrän kaltevuus - ts. Tavaran 1 korvaamisen negatiivinen raja-arvo hyvään 2 nähden - vastaa tarkalleen budjettikohdan kaltevuutta, joka on. Jos tätä ehtoa ei sovellettaisi, kuluttajalla voisi olla parempi tilanne muuttamalla kulutustaan marginaalisesti. Olisi esimerkiksi ${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})}$ ${\ displaystyle I ^ {1}}$ ${\ displaystyle -p_ {1} / p_ {2}}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partituali u (x_ {1}, x_ {2}) / \ osittainen x_ {1}} {\ osallinen u (x_ {1}, x_ {2}) / \ osittainen x_ {2}}} \ oikea | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})}> {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

,

silloin budjettirajoitusten puitteissa olisi mahdollista lisätä tavaran 1 kulutusta ja vähentää samalla tavaran 2 kulutusta . Tämä kääntäisi hyödyn ympäri ${\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {1}}$ ${\ displaystyle (p_ {1} / p_ {2}) \ mathrm {d} x_ {1}}$

{\ displaystyle \ vasen. {\ frac {\ partituali u (x_ {1}, x_ {2})} {\ osittainen x_ {1}}} \ oikea | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})} \ mathrm {d} x_ {1} - \ vasen. {\ Frac {\ partituali u (x_ {1}, x_ {2})} {\ osittainen x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ mathrm {d} x_ { 1}> 0}

suurentaa. Mutta sitten alun perin pidetty tavararyhmä ei voinut olla hyötyä maksimoiva.

Edge-ratkaisu

Kuten kuvassa 3 on esitetty kahden tavaran tapauksessa, optimaali voi olla myös marginaalinen ratkaisu; tässä olet budjettimäärän "reunalla" tässä esimerkissä . Edellä mainittua tasa-arvoehtoa ei pääsääntöisesti sovelleta siellä, kuten tarvittavista ehdoista voidaan nähdä (1) (ii). Itse asiassa tämä näkyy myös kuvassa 3 : Löydettyyn optimaaliseen pisteeseen pätee seuraava ${\ displaystyle x_ {2} ^ {0} = 0}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partituali u (x_ {1}, x_ {2}) / \ osittainen x_ {1}} {\ osallinen u (x_ {1}, x_ {2}) / \ osittainen x_ {2}}} \ oikea | _ {(x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*})}> {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Marginaaliratkaisussa tämä on mahdollista, koska kuluttaja ei enää kykene vähentämään tavaransa 2 kulutusta voidakseen käyttää vapautettua omaisuutta 1.

rakentaminen

Kuvio 4 kuvaa Marshallin kysynnän graafista rakennetta kahden tavaran tapauksessa ja olettaen, että hyödyllisyyden maksimointiongelmalle on sisäinen ratkaisu. Jotta ongelma olisi graafisesti hallittavissa, korjaa ensin ja . Sitten käydään läpi kysynnän vaikutukset, jotka johtuvat hyvistä hinnoista 1. Esimerkissä hinnanalennukseen alkaen siitä on harkittu. Tämä muuttaa aluksi budjettikohdan kaltevuutta siten, että tuloksena on uusi, optimaalinen tuotepaketti. Tämä voidaan sitten siirtää alla olevaan kaavioon muutetulla hinnalla. Jos otamme tämän käyttöön kaikenlaisille hinnoille, saadaan Marshallin kysyntäfunktio (kiinteille ja ) . ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {0}}$ ${\ displaystyle p_ {1} '}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, {\ overline {p_ {2}}}, {\ overline {y}})}$

Esimerkki kahden tavaran tapauksessa

Ole . Tarkastellaan omenoiden (hyvä 1) ja banaanien (hyvä 2) markkinoita, joiden määrät on merkitty - tai . Olkoon omenan hinta banaanin hinta . Talouden budjetti on, ja hän kuluttaa vain omenoita ja banaaneja. Kotitalouden hyödyllisyys noudattaa Cobb-Douglas -apuohjelmaa . Apuohjelman maksimointiongelma on ${\ displaystyle n = 2}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} = 2}$ ${\ displaystyle p_ {2} = 4}$ ${\ displaystyle y = 40}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {0 {,} 4} \ cdot x_ {2} ^ {0 {,} 6}}$

{\ displaystyle \ max _ {(x_ {1}, x_ {2}) \ sisään \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}} u (x_ {1}, x_ {2})}

toissijaisessa olosuhteessa .

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

Joten Lagrangian on

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}) = u (x_ {1}, x_ {2}) - \ lambda (p_ {1} x_ {1} + p_ {2 } x_ {2} -y)}

.

Optimaalisen hyödyllisyyden välttämättömät ehdot ovat (katso kohta "Tarvittavat ja riittävät optimaaliset olosuhteet"):

${\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partitali {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2})} {\ partituali x_ {1}}} = {\ frac {\ osio u (x_ {1} , x_ {2})} {\ osittainen x_ {1}}} - \ lambda p_ {1} = 0 {,} 4x_ {1} ^ {- 0 {,} 6} x_ {2} ^ {0 {, } 6} -p_ {1} \ lambda \ leq 0}$ (tasa-arvoisesti jos ) ${\ displaystyle x_ {1}> 0}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partitali {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2})} {\ partituali x_ {2}}} = {\ frac {\ osio u (x_ {1} , x_ {2})} {\ osittainen x_ {2}}} - \ lambda p_ {2} = 0 {,} 6x_ {1} ^ {0 {,} 4} x_ {2} ^ {- 0 {, } 4} -p_ {2} \ lambda \ leq 0}$ (tasa-arvoisesti jos ) ${\ displaystyle x_ {2}> 0}$
${\ displaystyle \ lambda (p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} -y) = 0}$ ja . ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$

Huomaa, että nämä optimaaliset olosuhteet ovat myös riittäviä hyötyfunktion koveruuden vuoksi. Budjettirajoitus sitoo optimaalisesti, koska hyödyllisyysfunktio kasvaa tiukasti yksitoikkoisesti ja tästä syystä sovelletaan Walrasin lakia. Ehdoista 1 ja 2 seuraa se jakamalla

{\ displaystyle {\ frac {0 {,} 6x_ {1} ^ {0 {,} 4} x_ {2} ^ {- 0 {,} 4}} {0 {,} 4x_ {1} ^ {- 0 {,} 6} x_ {2} ^ {0 {,} 6}}} = {\ frac {p_ {2} \ lambda} {p_ {1} \ lambda}} \ Rightarrow {\ frac {3} {2 }} \ cdot {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ Rightarrow x_ {2} = 1 {,} 5x_ { 1} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Jos asetat tämän muutettuun budjettiehtoon, tulos on

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} = y-p_ {2} x_ {2} = y-p_ {2} \ cdot 1 {,} 5x_ {1} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ Rightarrow {\ color {BrickRed} x_ {1} ^ {*} = {\ frac {y} {2 {,} 5p_ {1}}} = 0 {,} 4 {\ frac {y} {p_ {1}}}}}

,

jonka kanssa sitten taas

{\ displaystyle {\ color {BrickRed} x_ {2} ^ {*} = {\ frac {1 {,} 5} {2 {,} 5}} {\ frac {y} {p_ {2}}} = 0 {,} 6 {\ frac {y} {p_ {2}}}}}

Kaksi viimeistä lauseketta ja eivät ole mitään muuta kuin vastaavat Marshallin kysyntäfunktiot hyvälle 1 ja hyvälle 2. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {*}}$

Huomautukset:

Esimerkki koskee erityistapausta, jossa banaanien ja omenoiden kysyntä riippuu vain kyseisen tavaran hinnasta, mutta ei toisen tavaran hinnasta; banaanien kysyntä on siten riippumaton esimerkiksi omenoiden hinnasta . Näin ei yleensä ole. ${\ displaystyle p_ {1}}$
On havaittavissa, että Marshallin kyselyissä olevat multiplikatiiviset termit vastaavat tarkalleen apuohjelmatoiminnon vastaavaa eksponenttia. Tämä ei ole sattumaa, kuten seuraava osa osoittaa.

Hintojen ja tulojen lisääminen näihin toimintoihin osoittaa, että kotitaloudessa optimaalisesti kysytään 8 omenaa ja 6 banaania.

Marshallin kysyntätoiminnot yleisille apuohjelmatoiminnoille

Apuohjelma-toiminto	Marshallin vaatimus
Cobb-Douglas-apuohjelma (vakio palaa mittakaavaan ): ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdot x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}}}$ , Kanssa ${\ displaystyle \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} = 1}$	Mille : ${\ displaystyle i = 1,2}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {i} y / p_ {i}}$
CES-apuohjelma: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ vasen (x_ {1} ^ {\ rho} + x_ {2} ^ {\ rho} \ oikea) ^ {1 / \ rho}}$ Kanssa ${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$ , ${\ displaystyle \ rho <1}$	Mille : ${\ displaystyle i = 1,2}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ frac {p_ {i} ^ {r-1} y} {p_ {1} ^ {r} + p_ {2} ^ {r}}}}$ Kanssa ${\ displaystyle r = {\ frac {\ rho} {\ rho -1}}}$
Lineaarinen apuohjelma: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ aloita {tapaukset} y / p_ {1} ja {\ text {if}} \ quad p_ {1 } <p_ {2} \\\ xi \ kohteessa [0, y / p_ {1}] \ quad \ mathrm {any} & \ mathrm {if} \ quad p_ {1} = p_ {2} \\ 0 & { \ text {fall}} \ quad p_ {1}> p_ {2} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {fall}} \ quad p_ {1} <p_ {2} \\\ xi \ muodossa [0, y / p_ {1}] \ quad {\ text {any}} ja {\ text {if}} \ quad p_ {1} = p_ {2} \\ y / p_ { 2} & {\ text {fall}} \ quad p_ {1}> p_ {2} \ end {cases}}}$
Leontief-apuohjelma: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ min \ {x_ {1}, x_ {2} \}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ frac {y} {p_ {1} + p_ {2}}}}$
Stone Geary -apuohjelma: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} - \ alpha _ {1}) ^ {\ beta _ {1}} \ cdot (x_ {2} - \ alpha _ { 2}) ^ {\ beta _ {2}}}$ Kanssa ${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ beta _ {2} \ geq 0}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {1} + {\ frac {\ beta _ {1}} {p_ {1}}} (y- \ alfa _ {2} p_ {2})}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {2} + {\ frac {\ beta _ {2}} {p_ {2}}} (y- \ alfa _ {1} p_ {1})}$

Suhde asiaan liittyviin käsitteisiin

Epäsuora apuohjelma

Jos saatu Marshallin kysyntä laitetaan takaisin alkuperäiseen hyötyfunktioon , saadaan hyötyfunktio, joka riippuu tavaroiden ja tulojen hinnoista . Sitä kutsutaan epäsuoraksi hyödyllisyysfunktioksi . Annetulla hintatulo-kokoonpanolla epäsuora hyödyllisyysfunktio osoittaa erityisen hyödyllisyystason, jonka hyötyä maksimoiva kotitalous saavuttaa kysyntänsä kautta. ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle v (\ mathbf {p}, y) \ equiv u [\ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)]}$

Hicksin kysyntätoiminto

Kuva 5. Tässä tarkastellun hyötyjen maksimointiongelman ja menojen minimointiongelman välinen korrelaatio.

Vaikka Marshallin kysyntä, kuten on esitetty, johtuu kotitalouden hyötyjen maksimointiongelmasta ja osoittaa tavaroiden määrän - riippuen tavaroiden hinnoista -, joka vaaditaan korkeimman mahdollisen hyödyllisyyden saavuttamiseksi tietyillä tuloilla , Hicksian kysyntä johtuu kustannusten minimointiongelmasta Kotitalous ja ilmoittaa tavaroiden määrän - riippuen tavaroiden hinnoista -, joka tarvitaan tietyn hyötyasteen saavuttamiseksi mahdollisimman halvalla . ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle {\ overline {u}}}$

Käsitteellisestä erosta huolimatta Marshallin ja Hicksin kysynnän välillä on läheinen toiminnallinen suhde, johon viitataan edellä mainittuun pääartikkeliin.

Esimerkki kahden tavaran tapauksessa (jatkoa)

(Jatkoa yllä olevaa esimerkkiä.)

Epäsuora apuohjelma

Epäsuora hyödyllisyysfunktio on

{\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, y) \ equiv u \ left [x_ {1} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, y), x_ {2} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, y) \ oikea] = \ vasen (x_ {1} ^ {*} \ oikea) {} ^ {0 {,} 4} \ cdot \ vasen (x_ {2} ^ {*} \ oikea) {} ^ {0 {,} 6}}

Lisätään vastaanotetut Marshallian tiedustelulistat

{\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ vasen ({\ color {BrickRed} 0 {,} 4 {\ frac {y} {p_ {1}}}} \ oikea) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ color {BrickRed} 0 {,} 6 {\ frac {y} {p_ {2}}}} \ right) ^ {0 {,} 6} = \ vasen ({\ frac {0 {,} 4} {p_ {1}}} \ oikea) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ vasen ({\ frac {0 {,} 6} {p_ {2} }} \ oikea) ^ {0 {,} 6} \ cdot y}

Tavaroiden hinnat ja tulot huomioon ottaen epäsuora hyödyllisyysfunktio ilmoittaa suurimman mahdollisen hyödyllisyystason. Yksi voi tarkistaa vastaavasti, jotka johtavat se tarjoaa kanssa arvot , ja sopivat edellä . Tämä antaa ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle v \ noin 6 {,} 73}

.

Ja itse asiassa yllä olevilla optimaalisilla tavaroilla ja : ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*} = 8}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {*} = 6}$

{\ displaystyle u (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}) = 8 ^ {0 {,} 4} \ cdot 6 ^ {0 {,} 6} \ noin 6 {,} 73}

.

Hicksin kysyntätoiminto

Marshallin kysyntäfunktioista ja vastaavista Hicksin kysyntäfunktioista päästäkseen asetetaan epäsuora apuohjelmafunktio millä tahansa apuohjelmatasolla ja sitten muunnetaan funktiot tulojen mukaan: ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = 0 {,} 4 (y / p_ {1})}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = 0 {,} 6 (y / p_ {2})}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {0 {,} 4} {p_ {1}}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} { p_ {2}}} \ oikea) ^ {0 {,} 6} \ cdot y = {\ overline {u}} \ Rightarrow y = {\ frac {\ overline {u}} {\ left ({\ frac { 0 {,} 4} {p_ {1}}} \ oikea) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ vasen ({\ frac {0 {,} 6} {p_ {2}}} \ oikea) ^ {0 {,} 6}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ oikea) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ right) ^ {0 {,} 6}}

Tämä on kustannustoiminto . Käyttämällä Shephardin lemmaa se seuraa välittömästi ${\ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}})}$

{\ displaystyle x_ {1} ^ {h} (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}}) = {\ frac {\ osittainen e (p_ {1}, p_ {2}, { \ overline {u}})} {\ part p_ {1}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {- 0 {,} 6} \ cdot \ vasen ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ oikea) ^ {0 {,} 6}}

tai.

{\ displaystyle x_ {2} ^ {h} (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}}) = {\ frac {\ osittainen e (p_ {1}, p_ {2}, { \ overline {u}})} {\ part p_ {2}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ vasen ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ oikea) ^ {- 0 {,} 4}}

.

Eriyttävyys

Kuluttajakysynnän matriisiyhtälö

Koska se on tärkeää seuraavaa huomioon ottaen, (matriisi) vektorituotteiden lyhennetystä edustuksesta luovutaan lyhyeksi ajaksi ja muotoillaan nimenomaisesti, onko kyseessä sarake vai rivivektori. ja olkoon molemmat sarakevektorit. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Harkitse ensimmäisen tilauksen ehtoja

{\ displaystyle {\ frac {\ osal {{mathcal {L}} (\ mathbf {x})} {\ partituali x_ {i}}} = 0 \ Oikea nuoli {\ frac {\ osio u (\ mathbf {x} )} {\ osa x_ {i}}} = \ lambda p_ {i}}

kaikille

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle \ Leftrightarrow \ nabla u (\ mathbf {x}) = \ lambda \ mathbf {p}}

(jossa gradientilla hyötyfunktion) ja toissijaisen kunto ${\ displaystyle \ nabla u (\ mathbf {x})}$

{\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} \ mathbf {x} = y}

Kokonaisero muodostuu näistä olosuhteista :

{\ displaystyle U \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ mathbf {p} \ mathrm {d} \ lambda + \ lambda \ mathrm {d} \ mathbf {p}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} \ mathrm {d} \ mathbf {x} + \ mathbf {x} ^ {T} \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathrm {d} y}

kanssa - Hessenin matriisin apuohjelma toiminnon, nnen elementin , joka on annettu mukaan , ja muuntaa tämän järjestelmän matriisinotaatiolla: ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle (n \ kertaa n)}$ ${\ displaystyle (i, j)}$ ${\ displaystyle \ osallinen ^ {2} u (\ mathbf {x}) / \ osittainen x_ {i} \ osittainen x_ {j}}$

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right) \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ - \ mathrm {d} \ lambda \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right) \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} y \ \\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ end {array}} \ right)}

Bartenin (1966) jälkeen tätä yhtälöä kutsutaan joskus " kuluttajien kysynnän perusmatriisiyhtälöksi". Nimeä tämä lauseke (a). Harkitse myös kysyntäjärjestelmää

{\ displaystyle x_ {i} = x_ {i} (\ mathbf {p}, y)}

kaikille

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle \ lambda = \ lambda (\ mathbf {p}, y)}

.

Muodosta myös tämän kokonaisero:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ - \ mathrm {d} \ lambda \ end {array}} \ right) = \ left ({\ aloita {array} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {array}} \ right) \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} y \\\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ end {array}} \ right)}

kanssa , , ja matriisi : nnen elementin . Nimeä tämä lauseke (b). ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {p}} = (\ osittainen \ lambda / \ osittainen p_ {1}, \ ldots, \ osittainen \ lambda / \ osittainen p_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {y} = \ osittainen \ lambda / \ osittainen y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {y} = (\ osittainen x_ {1} / \ osittainen y, \ ldots, \ osittainen x_ {n} / \ osittainen y) ^ {T}}$ ${\ displaystyle X _ {\ mathbf {p}}}$ ${\ displaystyle (n \ kertaa n)}$ ${\ displaystyle (i, j)}$ ${\ displaystyle \ osittainen x_ {i} / \ osittainen p_ {j}}$

(b) kohdassa (a) saadaan

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array } {cc} \ mathbf {x} _ {y} ja X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {taulukko }} \ oikea) = \ vasen ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right)}

tai - säännöllisyys ja edellytti - muotoiltu eri tavalla ${\ displaystyle U}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {array}} \ right) & = \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} ja 0 \ end {array}} \ right) ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ { T} \ end {array}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}}} \ vasen ({\ begin {taulukko} {cc} (\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}) U ^ {- 1} -U ^ {- 1} \ mathbf {p} (U ^ { -1} \ mathbf {p}) ^ {T} & U ^ {- 1} \ mathbf {p} \\ (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} & - 1 \ end {taulukko }} \ oikea) \ vasen ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}}} \ vasemmalle ({\ begin {array} {cc} U ^ {- 1} \ mathbf {p} & (\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}) \ lambda U ^ {- 1} - \ lambda (U ^ {- 1} \ mathbf {p} ) (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} -U ^ {- 1} \ mathbf {p} \ mathbf {x} ^ {T} \\ - 1 & \ lambda (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} + \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right) \ end {kohdistettu}}}

Eriyttävyysominaisuus

1. Lause (Katzner 1968): Marshallilaisten tiedustelujen järjestelmää voidaan jatkuvasti erottaa vain ja vain, jos: ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p} ^ {0}, y ^ {0})}$

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right)}

on säännöllisesti pisteessä . ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} ^ {0}, y ^ {0})}$

2. Lemma: Kohdan (1) edellytys täyttyy ja vain, jos seuraava koskee:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ nabla u (\ mathbf {x}) \\\ left [\ nabla u (\ mathbf {x}) \ right] ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right)}

on säännöllinen. Tämä matriisi on hyötyfunktion modifioitu Hessian-matriisi .

Ideohistorian luokittelu

Marshallilaisten kysynnän perustana oleva yleiskäsite hyödyllisyydestä ulottuu Vilfredo Pareton seuraajaan "nykyaikaiseen" taloudelliseen käsitykseen hyödyllisyydestä . Pareto (1906) rakensi Edgeworthin (1881) käsitteen, otti sen eteen ja jatkoi sitä , eri tavaroille välinpitämättömyyskäyrät , jolloin - joskaan ei enää tarvitsisi - hän toisinaan olettaa edelleen edun kardinaalin määritettävyyden; Siitä huolimatta tehdään selvä ero (perus) mieltymysten ja (vain edustavien) etujen välillä. Toisin kuin Edgeworth, hän ei halua, että välinpitämättömyyskäyrät muodostetaan graafiseksi esitykseksi kardinaalisesta hyödyllisyysfunktiosta, vaan päinvastoin, kehittää hyödyllisyysteoriansa vain välinpitämättömyyskäyrien perusteella (perustuu havaittavuuteen). Jo Pareto (1896) osoittaa - samoin kuin itsenäisesti Fisher (1892) - että hyödyllisyyden mitattavuus kysyntfunktioiden rakentamiseksi ei ole välttämätöntä.

Marshallin kysynnän toinen käsitteellinen rakennusosa - kysyntofunktion rakentaminen hyödyllisyysteorian perusteella - voidaan jäljittää Léon Walrasiin . Walras kehitti jo vuonna 1872 mallin, jossa jälleenmyyjät yrittävät maksimoida hyödyllisyytensä, jolloin yksittäiset apuohjelmatoiminnot ovat toisistaan riippumattomia ja additiivisia. Hänen pyynnöstään Antoine Paul Piccard (1844–1920), joka Walrasin tavoin oli professori Lausannen yliopistossa , tarjosi lopulta tavan rakentaa tasapainofunktio käyttämällä rajoitettua maksimointiongelmaa. Alkaen kaksi rajahyödyn käyrät kaksi tavaroita ja ja tietty positiivinen alkuperäiset määrärahat tietyllä hinnoin, Piccard konstruoi optimaalisuusehdot edellytys kulutuksen ja , jotka voidaan ilmaista eräänlainen kysyntäkäyrän, joka ei vielä noudata moderni käsitys Kysyntäkäyrää, jossa se katsotaan kahden tavaran tapaus liittyy. Tämä laajennettu malli syntyi myös erityisesti Walrasin tiedosta marginaalisen hyödyllisyyden ( Walrasin terminologiassa: rereté ) ja tavaroiden hintojen suhteellisuudesta , joka läpäisee modernin kysynnän käsitteen. Marshall (1890) tarjoaa paljon yksinkertaisemman ja suoremman tavan saada kysyntäkäyrä kysyntäfunktiosta. Kuten Walrasin tapauksessa, oletetaan, että hyödyllisyysfunktion riippumattomuus ja additiivisuus sekä rajahyöty vähenevät. Tämän perusteella Marshall voi todellakin rakentaa kysyntäkäyrän modernin muotoilun tavaroiden hintojen ja tulojen funktiona; Hän onnistuu kuitenkin tekemään tämän vain olettaen "jatkuvan" tulojen marginaalisen hyödyn. Tämä oletus sai kritiikkiä, kun periaatteet julkaistiin , mukaan lukien Pareto. Marshall jakoi Walrasin kanssa myös perustavanlaatuisen hyötykonseptin perustan, jonka annostelukyvyn Pareto myöhemmin pystyi osoittamaan. ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Jevgeni Slutskilla oli keskeinen rooli metodologisten komponenttien yhdistämisessä . Hän (1915) hahmottaa jo pitkälti Marshallin kysyntäfunktion modernin käsitteen. John Hicks ja RGD Allen (1934a, 1934b) tarjoavat hieman yleisemmän version (tietämättä Slutskyn panoksesta).

kirjallisuus

Anton Barten ja Volker Böhm: Kuluttajateoria. Julkaisussa: Kenneth J.Arrow ja Michael D. Intrilligator (Toim.): Handbook of Mathematical Economics. Vuosikerta 2. Pohjois-Hollanti, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6 , sivut 382-429 (myös verkossa: doi : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02004-9 ).
Friedrich Breyer: Mikrotalous. Esittely. 5. painos. Springer, Heidelberg a. a. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7 (myös verkossa: doi : 10.1007 / 978-3-642-22150-7 ). [Luku 4]
Arthur S.Goldberger: Toiminnallinen muoto ja hyödyllisyys. Katsaus kuluttajakysynnän teoriaan. Westview Press, Boulder 1987, ISBN 0-8133-7489-8 .
Donald W.Katzner: Staattinen kysyntoteoria. Macmillan, New York 1970.
David M. Kreps: Mikrotaloudelliset perustukset I. Valinta ja kilpailumarkkinat. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8 .
Andreu Mas-Colell, Michael Whinston ja Jerry Green: mikrotalouden teoria. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1 . [Luku 3]
Efe A.Ok: Todellinen analyysi taloudellisten sovellusten kanssa. Princeton University Press, Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11768-3 .
Eugene Silberberg: Hicksianin ja Marshallian vaatimukset. Julkaisussa: Steven N.Durlauf ja Lawrence E.Blume (Toim.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. painos. Palgrave Macmillan 2008, doi : 10.1057 / 9780230226203.0731 (verkkopainos).
Mark Voorneveld: Mikrotalouden teorian matemaattiset perusteet: etusija, hyödyllisyys ja valinta. Script, Tukholman kauppakorkeakoulu, 2009, Internet https://studentweb.hhs.se/courseweb/CourseWeb/Public/PhD501/0701/notes2.pdf , luettu 5. toukokuuta 2014.

Huomautukset

↑ on asetettu kaikkien tuples reaalilukujen kanssa ; kaikkien reaalilukujen joukko joukolla . ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {++} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {i}> 0}$
↑ tarkoittaa maksimiarvoa . ${\ displaystyle \ arg \ max (\ cdot)}$
↑ Katso James C.Moore: Yleinen tasapaino ja hyvinvointitalous. Esittely. Springer, Berliini a. a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (myös verkossa: doi : 10.1007 / 978-3-540-32223-8 ), s. 88.
↑ Be ja kaksi metristä välilyöntiä. Vastaavuus kutsutaan kompakti-arvo , jos on kompakti osajoukko on kaikille . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma: X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ X: ssä}$ ${\ displaystyle Y}$
↑ Seuraavista esimerkiksi Kreps 2012, s.53; Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s. 50 f.
↑ Katso esimerkiksi Kreps 2012, s.34.
↑ Kreps 2012, s.34.
^ Gerard Debreu : Arvoteoria . Taloudellisen tasapainon aksiomaattinen analyysi. Yale University Press, New Haven ja Lontoo 1959, täällä s. 72 f.
↑ vrt. esimerkiksi James C. Moore: Yleinen tasapaino ja hyvinvointitalous. Esittely. Springer, Berliini a. a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (myös verkossa: doi : 10.1007 / 978-3-540-32223-8 ), luku 4; Ariel Rubinstein : Luentomerkinnät mikrotalouden teoriasta. Luento 5. Internet http://press.princeton.edu/rubinstein/lecture5.pdf , käyty 6. toukokuuta 2014.
↑ ^b Se viittaa vastaavuus kuin oberhemistetig, jos missään vaiheessa seuraavaa sovelletaan: Kunkin avoin sarja , joka sisältää ympäristö olemassa on sellainen, että kaikki . Kirjeenvaihtoa kutsutaan subhemistiksi, jos kussakin kohdassa noudatetaan seuraavaa: Aina ja vastakkaisen lähentyvän sekvenssin kautta annetaan, on olemassa luonnollinen luku ja sekvenssi , jossa ne yhtenevät, missä kaikki . Katso Knut Sydsæter et ai. a.: Lisää matematiikkaa taloudelliseen analyysiin. 2. toim. Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9 , s. 504 f. Huomaa, että kirjallisuudessa käytetty terminologia eroaa joskus tästä. Toisinaan termiä (alempi / ylempi) puoli jatkuvuutta käytetään (alemman / ylemmän) puoli jatkuvuuden sijasta (esim.Kreps 2012; Gerard Debreu: arvoteoria. Taloudellisen tasapainon aksiomaattinen analyysi. Yale University Press, New Haven ja Lontoo 1959 ), joka törmää toisiinsa liittyvään mutta silti erilaiseen määritelmään reaaliarvoisten funktioiden termille (vrt. tälle monien Forster: Analysis. Osa 3. 5. painos. Springer, Berlin ym. 2009, ISBN 978-3-8348- 0704-5 , s. 39 f.; Dean Corbae, Maxwell B.Stinchcombe ja Juraj Zeman: Johdatus talousteorian ja ekonometrian matemaattiseen analyysiin. Princeton University Press, Princeton ja Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867- 3 , s. 349). ${\ displaystyle \ Gamma: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ X: ssä}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x} ^ {0})}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x}) \ subseteq U}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ muodossa N _ {\ epsilon} \ korkki X}$
${\ displaystyle \ Gamma: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ X: ssä}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0} \ Gammassa (\ mathbf {x} ^ {0})}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle k_ {0}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {y} _ {k} \} _ {k = k_ {o}} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ Gammassa (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k \ geq k_ {0}}$
↑ ^a^b Be ja kaksi metristä välilyöntiä . Määrittelevät jatkuvan, kompakti-arvo ja ei-tyhjä vastaavuus on ja olla jatkuva funktio. Sitten ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ rightarrow \! \! \! \! \! \! \! \! \ mapsto \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle u: X \ kertaa Y \ rightarrow \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}) \ equiv \ sup \ {u (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) | \ mathbf {y} \ Gammassa (\ mathbf {x}) \ }}$
jatkuva toiminto ja
${\ displaystyle \ mu (\ mathbf {x}) \ equiv \ {\ mathbf {y} \ Gammassa (\ mathbf {x}) | u (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ varphi (\ mathbf {x}) \}}$
määrittelee ei-tyhjän, kompaktin ja ylätason kirjeenvaihdon. Katso myös todisteeksi Dean Corbae, Maxwell B.Stinchcombe ja Juraj Zeman: Johdatus matemaattiseen analyysiin talousteoriassa ja ekonometriassa. Princeton University Press, Princeton ja Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867-3 , s. 268 f. Ok 2007, s. 306 ja sitä seuraavia; James C. Moore: Matemaattiset menetelmät talousteoriaan. Vuosikerta 2. Springer, Berliini a. a. 1999, ISBN 3-540-66242-1 , s.280 .
↑ Yläpuoliskon todistamiseksi vrt. Ok 2007, s. 292 ja Kreps 2012, s. 55 f. epäinhimillisyyden todistamiseksi vrt. Ok 2007, s.229 ja Kreps 2012, s.56.
↑ Be ja kaksi metristä välilyöntiä. Kirjeenvaihdon sanotaan olevan suljettu, jos kaikille on suljettu osajoukko . Katso Ok 2007, s.289. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma: X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ X: ssä}$ ${\ displaystyle Y}$
↑ vastaavuus on suljetun kuvaajan jos seuraavat implisiittisesti pätee kaikissa pisteissä : Ole ja jossa sekä mielivaltaisia seurauksia ja sovelletaan kaikkiin . Sitten on . Katso esim. Ok 2007, s.294. ${\ displaystyle \ Gamma: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ X: ssä}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {y} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ rightarrow \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ rightarrow \ mathbf {y} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ Gammassa (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0} \ Gammassa (\ mathbf {x} ^ {0})}$
↑ Vrt. Myös todisteeksi, Ok 2007, s.295 f.
↑ Perustuu Voorneveld 2009, s. 24; Charalambos D.Aliprantis: Tasapainoteorian ongelmat. Springer, Berliini a. a. 1996, ISBN 3-540-60753-6 , s. 39 f.
↑ Etusija tilaus kutsutaan ei-tyydyttyneet paikallisesti, jos kaikki ja jokaisen ympäristössä on olemassa, kanssa . Katso artikkeli Etusija-asetukset . ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ X: ssä}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ succ \ mathbf {x} ^ {0}}$
↑ Katso Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s. 53 f. Kreps 2012, s. 57 ja 480 ja seuraavia (todisteeksi); lauseen yleiseksi todisteeksi myös Knut Sydsæter et ai. a.: Lisää matematiikkaa taloudelliseen analyysiin. 2. painos Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9 , s.143 f.
↑ Katso myös todisteeksi Michael Carter: Matemaattisen taloustieteen perusteet. MIT Press, Cambridge 2001, ISBN 0-262-03289-9 , s. 577 ja sitä seuraavaa (siellä oleva argumentti säännöllisyysedellytyksen pätevyydelle hyödyllisyysmaksimointiongelman esimerkillä on kuitenkin virheellinen.); Peter Kall: Analyysi taloustieteilijöille. BG Teubner, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-02355-5 , s. 178 (Lemma 5.20).
↑ Tästä esimerkiksi Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s.54.
↑ Tästä ja seuraavasta Goldberger 1987, s. 3 ja sitä seuraavat; William A. Barnett ja Apostolos Serletis: Differential Approach to Demand Analysis ja Rotterdamin malli. Julkaisussa: Daniel J.Slottje (Toim.): Kuluttaja-asetusten kvantifiointi . Emerald, Bingley 2009, ISBN 978-1-84855-312-5 , s. 61–81, tässä s. 63 ja sitä seuraavia.
^ Anton Barten: Theory en Empirie van een Volledig Stelsel van Vraagvergelijkingen. Väitöskirja, Alankomaiden kauppakorkeakoulu, Rotterdam.
↑ Katso Goldberger 1987, s. 6; Barten / Böhm 1982, s.410.
↑ Donald W. Katzner: Huomautus kuluttajien kysyntätoimintojen erilaistuvuudesta. Julkaisussa: Econometrica. 36, nro 2, 1968, s. 415-418 ( JSTOR 1907498 ).
↑ Katso Barten / Böhm 1982, s.411.
↑ Katso Barten / Böhm 1982, s.411; Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s.95.
^ Vilfredo Pareto: Manuale di ekonomia politica. Con una käyttöönotto alla scienza sociale. Societa editrice libraria, Milano 1906. Tässä viitataan poliittisen talouden käsikirjan englanninkieliseen käännökseen . Kääntäjä Ann S.Schwier. Augustus M.Kelley, New York 1971.
^ Francis Y. Edgeworth : Matemaattinen psyyke. Essee matematiikan soveltamisesta moraalitieteisiin. CK Paul & Co, 1881.
↑ Katso Christian E.Weber: Pareto ja 53%: n yleinen hyötysuhde. Julkaisussa: Political Economy historia. 33, nro 3, 2001, sivut 541 - 576; George J. Stigler : Hyödyliteorian kehitys. II julkaisussa: Journal of Political Economy. 58, nro 5, 1950, s. 373-396 ( JSTOR 1825710 ), tässä s. 380 f.
↑ "Käsitteet käyttöarvosta, hyödyllisyydestä, avoimuudesta, epäselvyyden indeksit jne. Helpottavat suuresti taloudellisen tasapainoteorian esittelyä, mutta ne eivät ole välttämättömiä tämän teorian rakentamiseksi. Matematiikan käytön ansiosta tämä koko teoria […] ei perustu pelkästään kokemuksen tosiseikkaan, toisin sanoen sellaisten tavaramäärien määrittämiseen, jotka muodostavat yhdistelmiä, joiden välillä yksilö on välinpitämätön. " (Vilfredo Pareto: Manuale di ekonomia politica. Con una introduzione alla scienza sociale. Societa editrice libraria, Milano 1906, lainattu englanninkielisestä käännöskeskuksesta . Kääntäjä Ann S. Schwier. Augustus M. Kelley, New York 1971. ) Katso myös Kerrie L.Mitchener: Preference and Utility in Economic Theory and History of Economic Thought. Väitöskirja, Queenslandin yliopisto, 2007, luku 6; Ghanshyam B.Mehta: Etusija ja hyöty. Julkaisussa: Salvador Barberà, Peter J.Hammond ja Christian Seidl (toim.): Handbook of Utility Theory. Nide 1. Kluwer, Dordrecht u. a. 1998, ISBN 0-7923-8174-2 , s. 1-47, s. 2 f.
^ Vilfredo Pareto: Cours d'économie politique. Rouge, Lausanne 1896.
^ Irving Fisher: Matemaattiset tutkimukset arvon ja hintateoriassa. Julkaisussa: Connecticutin taide- ja tiedeakatemian tapahtumat. 9, 1892.
↑ Vrt. George J. Stigler : Hyödyketeorian kehitys. II julkaisussa: Journal of Political Economy. 58, nro 5, 1950, s. 373-396 ( JSTOR 1825710 ); Roberto Marchionatti ja Enrico Gambino: Pareto ja poliittinen talous kuin tiede: metodologinen vallankumous ja analyyttiset edistykset talousteoriassa 1890-luvulla. Julkaisussa: Journal of Political Economy. 105, nro 6, 1997, s. 1322-1348 ( JSTOR ), tässä s. 1335 f.
↑ Katso Katzner 1970, s.8.
↑ Tästä Donald A. Walker: Walras, Léon (1834-1910). Julkaisussa: Steven N.Durlauf ja Lawrence E.Blume (Toim.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. painos. Palgrave Macmillan 2008, doi : 10.1057 / 9780230226203.1814 (verkkopainos); Donald A. Walker: Walrasin markkinamallit. Cambridge University Press, Cambridge 2005, ISBN 9780521022958 , s.41 .
↑ Tästä yksityiskohtaisemmasta William Jaffésta: Léon Walrasin rooli 1870-luvun marginaalivallankumouksessa. Julkaisussa: Political Economy historia. 4, nro 2, 1972, doi : 10.1215 / 00182702-4-2-379 , s. 379-405, tässä s. 397 f.
^ Alfred Marshall: Taloustieteen periaatteet. 1. painos Macmillan, 1890 (myös verkossa: https://archive.org/details/principlesecono00marsgoog ).
↑ Katso myös Peter C.Dooley: Kuluttajan ylijäämä: Marshall ja hänen arvostelijansa. Julkaisussa: The Canadian Journal of Economics / Revue canadienne d'Economique. 16, nro 1, 1983, sivut 26-38 ( JSTOR 134973 ), sivut 28 ja sitä seuraavat; erityisesti Pareton kanssa käytävä kiista: EB Wilson: Pareto Versus Marshall. Julkaisussa: The Quarterly Journal of Economics. 53, nro 4, 1939, s. 645-650 ( JSTOR 1883289 ).
^ Jevgeni Slutsky: Sulla teoria del bilancio del consumerator. Julkaisussa: Giornale degli ekonomisti. 1915, s. 1-26. Tässä viitataan englanninkieliseen käännökseen Kuluttajan budjetin teoriasta. Julkaisussa: George J. Stigler ja KE Boalding (Toim.): Lukutietoja hintateoriassa . Irwin, Homewood 1952, s. 27-56.
↑ Katso Katzner 1970, s.7.
↑ John R.Hicks ja RGD Allen: Arvon teorian uudelleentarkastelu. Osa I. julkaisussa: Economica. 1, nro 1, 1934, s. 52-76 ( JSTOR 2548574 ).
↑ John R.Hicks ja RGD Allen: Arvon teorian uudelleentarkastelu. Osa II: Matemaattinen teoria yksilöllisistä kysyntätoiminnoista julkaisussa: Economica. 1, nro 2, 1934, s. 196-219 ( JSTOR 2548749 ).
↑ Näiden kirjoitusten ja Slutskyn (1915) välisestä suhteesta vrt. RGD Allen: Professori Slutskyn teoria kuluttajien valinnasta. Julkaisussa: Review of Economics Studies. 3, nro 2, 1936, s. 120-129, doi : 10.2307 / 2967502 . Slutskyn (1915) synty- ja vastaanottohistoriasta vrt. John S. Chipman ja Jean-Sébastien Lenfant: Slutskyn 1915 artikkeli: Kuinka se löydettiin ja tulkittiin. Julkaisussa: Political Economy historia. 34, nro 3, 2002, s. 553-597, doi : 10.1215 / 00182702-34-3-553 .