Ortodromit

Ortodromit maapallolla Los Angelesin ja Lontoon välillä

Lyhin polku pallomaisella pinnalla pisteiden A ja B välillä on ortodromi.

Orthodrome ( kreikkalainen orthos varten "suora", Dromos varten "run") on lyhin yhteys kahden pistettä on pallomainen pinta .

Ortodromi on geodeettinen pallomaisen pinnan erikoistapaukselle. Ortodromi on aina osa suurta ympyrää . Vuonna ilmailun yksi yleensä lentää pitkin näitä orthodromes jotta pystyä kattamaan pienin lennon etäisyyttä. Puhekielessä usein käytetyt muut synonyymit ovat suora viiva .

laskeminen

Pallomaisen trigonometrian kaavat ovat perustana seuraaville laskelmille .

Käytetyt muuttujat	merkitys
${\ displaystyle \, \ phi}$	Maantieteellinen leveysaste
${\ displaystyle \, \ lambda}$	Maantieteellinen pituusaste
${\ displaystyle \, A (\ phi _ {A}, \ lambda _ {A})}$	Lähtökohta
${\ displaystyle \, B (\ phi _ {B}, \ lambda _ {B})}$	Päätepiste
${\ displaystyle \, P_ {N} (\ phi _ {N}, \ lambda _ {N})}$	Ortodromien pohjoisin kohta
${\ displaystyle \, \ alpha}$	Kulkukulma kohdassa A.
${\ displaystyle \, \ beta}$	Kulkukulma kohdassa B.
${\ displaystyle \, \ zeta}$	Keskuskulma (etäisyys AB ilmaistuna kulmana)

Suunta länteen on negatiivinen, suunta itään on positiivinen; on positiivinen pohjoisen pallonpuoliskon leveysasteille ja negatiivinen eteläiselle pallonpuoliskolle. ${\ displaystyle \, \ lambda}$${\ displaystyle \, \ phi}$

reitti

Etäisyys voidaan määrittää kulmaksi seuraavasti:

${\ displaystyle \, \ zeta = \ arccos \ left (\ sin (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B}) + \ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ cos (\ phi _ {B}) \ cdot \ cos (\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}) \ oikea)}$

Voit laskea etäisyyttä kahden pisteen välillä, se on kerrottava maapallon säde (noin 6370 km) (jos on radiaaneina , jos sille annetaan asteina, se on myös kerrottava °). ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ pi / 180}$

Kulma voidaan laskea käyttämällä aseman vektorien ja . Yllä oleva kaava saadaan sitten muunnoksista sinin ja kosinin geometristen lisäyslausekkeiden avulla. Vaihtoehtoisesti kaavan voidaan johtaa soveltamalla puolella kosini laki on Pallotrigonometria , että kolmio on muodostettu pisteiden välillä ja ja pohjoisnapa. ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Kurssikulmat ja lakikurssit

Suuntakulma

${\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ left ({\ frac {\ sin (\ phi _ {B}) - \ sin (\ phi _ {A}) \ cdot \ cos (\ zeta)} {\ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ zeta)}} \ oikea)}$

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left ({\ frac {\ sin (\ phi _ {A}) - \ sin (\ phi _ {B}) \ cdot \ cos (\ zeta)} {\ cos (\ phi _ {B}) \ cdot \ sin (\ zeta)}} \ oikea)}$

Kaksi parametrit ja voidaan määrittää myös suoraan leveys- ja pituusaste tai ja tai : ${\ displaystyle \ alfa}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ phi _ {A}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}}$${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle \ lambda _ {B}}$

${\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B})) - \ cos (\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}) \ cdot \ cos (\ phi _ {B}) \ cdot \ sin (\ phi _ {A})} {\ sqrt {1 - (\ cos (\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}) \ cdot \ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ cos (\ phi _ {B}) + \ sin (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B })) ^ {2}}}} \ oikea)}$

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos (\ phi _ {B}) \ cdot \ sin (\ phi _ {A}) - \ cos (\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}) \ cdot \ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B})} {\ sqrt {1 - (\ cos (\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}) \ cdot \ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ cos (\ phi _ {B}) + \ sin (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B} )) ^ {2}}}} \ oikea)}$

lakikurssit A ​​→ B

${\ displaystyle \, rwK_ {A} = \ alpha}$

${\ displaystyle \, rwK_ {B} = 180 ^ {\ circ} - \ beta}$

lakikurssit B → A

${\ displaystyle \, rwK_ {B} = 360 ^ {\ circ} - \ beta}$

${\ displaystyle \, rwK_ {A} = 180 ^ {\ circ} + \ alfa}$

Pohjoisin kohta

Eräässä gnomoninen projektio , orthodromes näkyvät aina suoraviivaisesti

Ortodromin pohjoisimman pisteen laskeminen lähtöpisteelle A ja alkukulman kulmalle α:

${\ displaystyle \, \ phi _ {N} = \ arccos \ left (\ sin (| \ alpha _ {A} |) \ cdot \ cos (\ phi _ {A}) \ right)}$

${\ displaystyle \ lambda _ {N} = \ lambda _ {A} + \ operaattorin nimi {sgn} (\ alpha _ {A}) \ cdot \ left | \ arccos \ left ({\ frac {\ tan (\ phi _ {A})} {\ tan (\ phi _ {N})}} \ oikea) \ oikea |}$

Esimerkki etäisyydestä Berliini - Tokio etäisyydestä

Aloitus- ja loppupisteiden maantieteelliset koordinaatit:

• Berliini
  • 52 ° 31 '0 "N = 52,517 °
  • 13 ° 24 '0 "E = 13,40 °
• Tokio
  • 35 ° 42 '0 "N = 35,70 °
  • 139 ° 46 '0 "E = 139,767 °

Kulman laskeminen

${\ displaystyle \, \ phi _ {A} = 52 {,} 517 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle \, \ lambda _ {A} = 13 {,} 40 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle \, \ phi _ {B} = 35 {,} 70 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle \, \ lambda _ {B} = 139 {,} 767 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} \, \ zeta & = \ arccos {\ Big (} \ sin (\ phi _ {A}) \ sin (\ phi _ {B}) + \ cos (\ phi _ { A}) \ cos (\ phi _ {B}) \ cos (\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}) {\ Big)} \\ & = \ arccos {\ Big (} sin (52) {,} 517 ^ {\ circ}) \ sin (35 {,} 70 ^ {\ circ}) + \ cos (52 {,} 517 ^ {\ circ}) \ cos (35 {,} 70 ^ {\ circ}) \ cos (139 {,} 767 ^ {\ circ} -13 {,} 40 ^ {\ circ}) {\ Big)} \\ & = \ arccos (0 {,} 79353 \ cdot 0 {, } 58354 + 0 {,} 60853 \ cdot 0 {,} 81208 \ cdot (-0 {,} 59296)) \\ & = \ arccos (0 {,} 1700) \\ & = 80 {,} 212 ^ { \ circ} \ end {tasattu}}}$

tai in radiaaneina${\ displaystyle \, \ zeta = 1 {,} 400}$

Reitin laskenta

Asioiden yksinkertaistamiseksi oletamme maapallon, jonka ympärysmitta on 40 000 km tai säde 6370 km.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} L & = {\ frac {\ zeta} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot 40 \, 000 \ \ mathrm {km} \\ & = {\ frac {80 { ,} 212 ^ {\ circ}} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot 40 \, 000 \ \ mathrm {km} \\ & = 8912 \ \ mathrm {km} \ end {tasattu}}}$

Tai in rad : ${\ displaystyle \, \ zeta}$

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} L & = \ zeta \ cdot 6370 \ \ mathrm {km} \\ & = 8918 \ \ mathrm {km} \ end {tasattu}}}$

Idealisoitujen geotietojen vuoksi nämä ovat tietysti vain kahta likiarvoa. Ne eroavat toisistaan ​​vain 6 km, koska pyöristetty maapallon säde 6370 km johtaa maapallon ympärysmittaan lähes 40 024 km 40 000 km: n sijasta. Todellinen etäisyys kahden pisteen Berliinin ja Tokiossa, käytettäessä WGS84 - vertausellipsoidin on laskettu 8941,2 km tarkemmin, ts poikkeama on noin 23 km tai 0,26% verrattuna toiseen approksimaatio.

Tarkempi kaava maan etäisyyden laskemiseksi

Seuraavia kaavoja voidaan käyttää kahden maan välisen etäisyyden laskemiseen 50 metrin tarkkuudella , katso myös Thaddeus Vincenty . Se ei perustu palloon, vaan WGS84- ellipsoidiin. Jos käytetään toisen vertailuelipsoidin koordinaatteja , parametrit (säde) ja ( litistys ) on muutettava. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$

Anna ja olla leveys- ja pituusasteet paikan A, ja leveys- ja pituusasteet sijainti B astetta. Kahden sijainnin välinen etäisyys lasketaan seuraavasti: ${\ displaystyle \ phi _ {A}}$${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}}$${\ displaystyle \ lambda _ {B}}$

Maan tasoittuminen: ${\ displaystyle f = {\ frac {1} {298 {,} 257 \, 223 \, 563}}}$

Maan ekvatoriaalinen säde: ${\ displaystyle a = 6378 {,} 137 \ \ mathrm {km}}$

${\ displaystyle F = {\ frac {\ phi _ {A} + \ phi _ {B}} {2}}}$, ,${\ displaystyle G = {\ frac {\ phi _ {A} - \ phi _ {B}} {2}}}$${\ displaystyle l = {\ frac {\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}} {2}}}$

Ensin määritetään karkea etäisyys D:

${\ displaystyle S = (\ sin {G}) ^ {2} \ cdot (\ cos {l}) ^ {2} + (\ cos {F}) ^ {2} \ cdot (\ sin {l}) ^ {2}}$

${\ displaystyle C = (\ cos {G}) ^ {2} \ cdot (\ cos {l}) ^ {2} + (\ sin {F}) ^ {2} \ cdot (\ sin {l}) ^ {2}}$

${\ displaystyle w = \ arctan {\ sqrt {\ frac {S} {C}}}}$

${\ displaystyle D = 2 \ cdot w \ cdot a}$

Sitä on tarkoitus käyttää vuonna radiaaneina . ${\ displaystyle w}$

Etäisyys korjataan tekijöillä ja : ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {\ sqrt {S \ cdot C}} {w}}}$

${\ displaystyle H_ {1} = {\ frac {3 \ cdot T-1} {2 \ cdot C}}}$

${\ displaystyle H_ {2} = {\ frac {3 \ cdot T + 1} {2 \ cdot S}}}$

Etäisyys kilometreinä lasketaan sitten seuraavasti: ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle s = D \ cdot \ left (1 + f \ cdot H_ {1} \ cdot (\ sin {F}) ^ {2} \ cdot (\ cos {G}) ^ {2} -f \ cdot H_ {2} \ cdot (\ cos {F}) ^ {2} \ cdot (\ sin {G}) ^ {2} \ oikea)}$

Laskentaesimerkki Berliini - Tokio

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ phi _ {A} & = & 52 {,} 516666666666667 ^ {\ circ} \\\ lambda _ {A} & = & 13 {,} 400 ^ {\ circ} \\\ phi _ {B} & = & 35 {,} 700 ^ {\ circ} \\\ lambda _ {B} & = & 139 {,} 766666666666667 ^ {\ circ} \\\\ f & = & 0 {,} 00335281066474748 \\ a & = & 6378 {,} 137 \ \ mathrm {km} \\ F & = & 44 {,} 108333333333333 ^ {\ circ} \\ G & = & 8 {,} 408333333333333 ^ {\ circ} \\ l & = & - 63 {,} 183333333333333 ^ {\ circ} \\ S & = & 0 {,} 41498261872684 \\ C & = & 0 {,} 58501738127316 \\ w & = & 0 {,} 699965690768276 \\ D & = & 8928 {,} 9541420394 \ \ mathrm {km} \\ T & = & 0 {,} 70391883329502 \\ H_ {1} & = & 0 {,} 95019099899696 \\ H_ {2} & = & 3 {,} 74926124548527 \\\\ s & = & 8941 {,} 20250458698 \ \ mathrm {km} \ end {array}}}$

Siksi etäisyydeksi on määritetty 8941,2 km noin 50 metrin tarkkuudella. ${\ displaystyle s}$

Loxodrome

Loksodromin (punainen) ja ortodromin (sininen) vertailu

polku	Lox.	Orth.	Ero.
NY-MO	8359 km	7511 km	10,1%
NY-DA	6207 km	6150 km	00,9%
DA-MO	6596 km	6509 km	01,3%

Loksodromin venymä suhteessa ortodromiin 50. rinnan suuntaisesti prosentteina.

Kun navigoit pisteestä A kompassilla B: hen , Loxodrome on parempi, koska se ylittää meridiaanit aina samassa kulmassa, joten voit yksinkertaisesti pitää asetetun (kompassin) kurssin.

Lyhyillä etäisyyksillä loksodromi on vain hieman pidempi kuin ortodromi. Suurilla leveysasteilla ja alle 30 pituusasteen etäisyydellä suhteellinen pituusero on alle 1%. Sitten se kasvaa merkittävästi. Matka 50. rinnakkaista pituutta pitkin 180 astetta on 45% pidempi kuin matka suuren ympyrän yli, joka sitten kulkee navan yli.

Katso myös

• Geodeettinen viiva (geodeettinen)
• Levenee

nettilinkit

• Mahdollisten pallojen etäisyyden ja avaushinnan laskeminen (englanti)
• Suuri ympyräkartta - Suuri ympyräkartta, mukaan lukien ETOPS- alueet
• Kahden maan välisen etäisyyden laskenta - perustuu ihanteelliseen palloon, jonka säde on 6378,388 km.

lähteet

Kaava tarkempaan etäisyyden laskemiseen:

• J. Meeus: Tähtitieteelliset algoritmit. 2. painos. Willmann-Bell, Richmond 2000, ISBN 0-943396-61-1 , s.85 .
• Loxodrome