Vinossa

Kahden vinon suoran viivan esitys

Paikallinen kuva kahdesta vinosta suorasta viivasta, joissa on yhteinen luoti

Vuonna geometriassa kahta suoraa viivaa kutsutaan vinossa , jos ne eivät leikkaavat eivätkä yhdensuuntaiset keskenään. Tämä ei ole mahdollista kaksiulotteisessa avaruudessa , koska tässä kaikki kuviteltavissa olevat suorat ovat samassa tasossa ja leikkaavat tai ovat yhdensuuntaisia. Kaarevat viivat ovat siis olemassa vain vähintään kolmiulotteisissa tiloissa.

Sana "vinossa" tulee ajatuksesta, että kaksi alun perin yhdensuuntaista suoraa "kierrettiin" yhdistävän akselinsa ympäri (poikittainen).

Sen osoittamiseksi, että kahden suoran ja ovat vinossa, on riittävää osoittaa, että suuntavektorin ja suuntavektorin ja siirtymä vektori , joka piste on piste lineaarisesti riippumattomia ovat. Vastaavasti voidaan osoittaa, ettei ole tasoa, joka sisältää molemmat suorat. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$

Kahden vinon suoran välisen etäisyyden laskeminen

Kahden vinon suoran välinen etäisyys d

Pienimmän pituuden ainutlaatuisesti määritetty etäisyys , joka yhdistää kaksi vinoa suoraa ja jota kutsutaan kahden suoran kohtisuoraksi . Suoraa, jolla yhteinen kohtisuora sijaitsee, kutsutaan kahden suoran vähimmäispoikittaispisteeksi . Tämä on yksilöllisesti määritetty suora, joka on suorassa kulmassa kahteen suoraan. Pituus yhteisen kohtisuoran ja on kahden suoran välinen etäisyys . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle d = d (g, h)}$

Väärät suorat ja tukipisteet ja / tai tukivektorit ja suuntavektorit on annettu . Sitten parametriset muodot ovat suoria yhtälöitä ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ overrightarrow {OA}}, \; {\ vec {b}} = {\ overrightarrow {OB}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {w}}}$

${\ displaystyle g \ kaksoispiste {\ vec {x}} = {\ vec {a}} + r {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle h \ kaksoispiste {\ vec {x}} = {\ vec {b}} + s {\ vec {w}} \ \ \, r, s \ in \ mathbb {R}}$,

jossa sovelletaan, ja kolme vektoria täytyy olla lineaarisesti riippumattomia. ${\ displaystyle {\ vec {a}}, \, {\ vec {b}}, \, {\ vec {v}}, \, {\ vec {w}} \ in \ mathbb {R} ^ {3 }}$${\ displaystyle {\ vec {a}} - {\ vec {b}}, \, {\ vec {v}}, \, {\ vec {w}}}$

Normaalivektori , joka on kohtisuorassa molempiin suuntavektoreihin nähden ja joka voidaan laskea ristitulon avulla : ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {w}}}$

${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ vec {v}} \ times {\ vec {w}}}$ja tuoda pituus 1: .${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {0} = {\ frac {{\ vec {v}} \ times {\ vec {w}}} {| {\ vec {v}} kertaa {\ vec {w}} |}}}$

Etäisyyden laskeminen on mahdollista tukipisteiden yhteysvektorin ortogonaalisen projektion kautta normaalivektorille. Tätä varten normaalivektori tuodaan pituuteen 1. Kahden vinon suoran välinen etäisyys on tällöin

${\ displaystyle d (g, h) = | ({\ vec {a}} - {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {n}} _ {0} |}$.

Merkintä determinantteilla

Kaksi suoraa yhtälöä kirjoitetaan ulos

${\ displaystyle g \ kaksoispiste {\ vec {x}} = \ vasen ({\ begin {smallmatrix} a_ {1} \\ [0.7ex] a_ {2} \\ [0.7ex] a_ {3} \ end { smallmatrix}} \ oikea) + r \ vasen ({\ begin {smallmatrix} v_ {1} \\ [0.7ex] v_ {2} \\ [0.7ex] v_ {3} \ end {smallmatrix}} \ oikea) }$

${\ displaystyle h \ kaksoispiste {\ vec {x}} = \ vasen ({\ begin {smallmatrix} b_ {1} \\ [0.7ex] b_ {2} \\ [0.7ex] b_ {3} \ end { smallmatrix}} \ oikea) + s \ vasen ({\ begin {smallmatrix} w_ {1} \\ [0.7ex] w_ {2} \\ [0.7ex] w_ {3} \ end {smallmatrix}} \ right) \ \ \, r, s \ matematiikassa {R}}$.

Kahden vinon suoran välinen etäisyys determinantin det avulla on tällöin

${\ displaystyle d (g, h) = {\ frac {\ left | \ det {\ begin {pmatrix} a_ {1} -b_ {1} & a_ {2} -b_ {2} & a_ {3} - b_ {3} \\ v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} \\ w_ {1} & w_ {2} & w_ {3} \ end {pmatrix}} \ oikea |} {\ sqrt { {\ begin {vmatrix} v_ {2} & v_ {3} \\ w_ {2} & w_ {3} \ end {vmatrix}} ^ {2} + {\ begin {vmatrix} v_ {3} & v_ { 1} \\ w_ {3} & w_ {1} \ end {vmatrix}} ^ {2} + {\ begin {vmatrix} v_ {1} & v_ {2} \\ w_ {1} & w_ {2} \ end {vmatrix}} ^ {2}}}}}$.

Luistipisteiden määrittäminen

Piirustus luumupisteiden määrittämiseksi

Kohtisuoraan kohta saadaan asettamalla aputasoon . Piste sijaitsee aputasossa ja ulottuu aputasoon. ${\ displaystyle F_ {h}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle E \ kaksoispiste {\ vec {x}} = {\ vec {a}} + r {\ vec {v}} + t {\ vec {n}} \ \, r, t \ mathbb { R}}$,

jossa normaalivektori määritetään

${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ vec {v}} \ times {\ vec {w}}}$.

Pistolinjan leikkaus ja tulokset : ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle F_ {h}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {h} = {\ frac {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {n}} _ {1} - {\ vec {b}} \ cdot { \ vec {n}} _ {1}} {{\ vec {w}} \ cdot {\ vec {n}} _ {1}}} {\ vec {w}} + {\ vec {b}}}$ kanssa ${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {1} = {\ vec {v}} \ times ({\ vec {v}} \ times {\ vec {w}})}$

Samoin koneen ja sen leikkauskohdan kanssa : ${\ displaystyle F_ {g}}$${\ displaystyle E '\ kaksoispiste {\ vec {x}} = {\ vec {b}} + s {\ vec {w}} + t {\ vec {n}} \ \ \, s, t \ in \ matematiikka {R}}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {g} = {\ frac {{\ vec {b}} \ cdot {\ vec {n}} _ {2} - {\ vec {a}} \ cdot { \ vec {n}} _ {2}} {{\ vec {v}} \ cdot {\ vec {n}} _ {2}}} {\ vec {v}} + {\ vec {a}}}$ kanssa ${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {2} = {\ vec {w}} \ times ({\ vec {v}} \ times {\ vec {w}})}$

Tällä menetelmällä etäisyyttä ei tarvitse laskea. ${\ displaystyle d}$

Pystysuuntaiset pisteet voidaan määrittää myös siten, että kaksi (alun perin tuntematonta) pistettä on liitetty toisiinsa:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {h} = {\ vec {a}} + r {\ vec {v}}}$ ja ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {g} = {\ vec {b}} + s {\ vec {w}}}$

ja liu'uta sitten yhtä pitkin ja kohdista se toisen kanssa: ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} + r {\ vec {v}} + u {\ vec {n}} = {\ vec {b}} + s {\ vec {w}}}$.

Rivi riviltä tarkkuudella johtaa järjestelmään, jossa kolme muuttujaa: , ja . Peruspisteet ovat sitten: ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} + r {\ vec {v}}}$ ja .${\ displaystyle {\ vec {b}} + s {\ vec {w}}}$

Etäisyys johtuu${\ displaystyle d}$${\ displaystyle | u {\ vec {n}} |}$

kommentti

• Kun nidottu matematiikan mukaan IN Bronsteinin ja KA Semendjajew ”ylitys”, mainitaan synonyymi ”vinossa”.

kirjallisuus

• M. Jeger, B. Eckmann : Johdatus vektorigeometriaan ja lineaariseen algebraan insinööreille ja luonnontieteilijöille . Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1967. 
• Joachim Köhler et ai.: Analyyttinen geometria ja kuvantamisgeometria vektorin esityksessä . Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
• Joachim Köhler et ai.: Analyyttinen geometria ja kuvantamisgeometria vektorin esityksessä . Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
• Wilmut Kohlmann et ai.: Lineaarialgebra ja analyyttinen geometria . Vieweg-Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-594-10826-0
• Elisabeth ja Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Kuvaileva analyyttinen geometria . Oldenbourg-Verlag, München 1997, ISBN 3-486-03500-2

nettilinkit

Wikisanakirja: vinossa  - selitykset merkityksille, sanojen alkuperä, synonyymit, käännökset

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Meyerin aritmetiikka . Bibliographisches Institut, Mannheim 1960, s.807
2. ↑ DWDS - Saksan kielen digitaalinen sanakirja. Haettu 20. toukokuuta 2021 . 
3. ↑ Osa 3.3.1.1 Kaksi suoraa viivaa Google -kirjoissa etsii matematiikan pehmeää kirjaa