Yksikkö solu

Kristallirakenteen komponentit: ristikko, yksikkö solu ja pohja

Yksikkö solu tai yksikkö solu on kolme perus vektorit , , on ristikko on muodostettu suuntaissärmiön . Niiden määrä on perusvektorien myöhäinen tulo. Matemaattiselta kannalta katsottuna kide on yksikkösolun emäksen ja siirtymän tulo hilan kaikissa kolmessa perussuunnassa perusvektorien kokonaislukukerroilla ( translaation symmetria ). Yksikkösolut peittävät tilan ilman aukkoja tai päällekkäisyyksiä. Kaksiulotteinen ekvivalentti pintakristallografiassa on alkeisverkko . ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} \ kertaa {\ vec {c}})}$

kuvaus

Pisteverkko kristallografisella emäksellä

Kuutiomainen primitiivinen ruudukko, jossa yksikkö solu ja kolme perusvektoria sinisellä

Kiderakenne on kolmiulotteinen määräajoin toistamista pohjan tai aihe. Translaatiovektoreita, jotka tekevät hilasta yhdenmukaisen, kutsutaan pohja- tai ristikkovektoreiksi. Ne muodostavat translaation suhteen symmetrisen pisteverkon . Tämän hilan pisteet eivät edusta atomeja, ne kuvaavat vain rakenteen jaksollisuutta.

Kolme mielivaltainen ristikko vektoreita , , jotka eivät sijaitse samassa tasossa, muodostavat "kristallografinen base". Näiden perusvektorien kaikkien kokonaislukujen lineaaristen yhdistelmien joukko muodostaa hilan B, joka on yleensä kide G: n hilan osajoukko. ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$

${\ displaystyle B: = \ vasen \ {\ left.u {\ vec {a}} + v {\ vec {b}} + w {\ vec {c}} \; \ oikea | \, u, v, w \ sisään \ mathbb {Z} \ right \} \ subseteqq G}$

Kolme kantavektorit myös määritellä tilavuus elementti V perustavanlaatuinen silmäkoko ristikko B:

${\ displaystyle V: = \ left \ {\ left.x {\ vec {a}} + y {\ vec {b}} + z {\ vec {c}} \; \ right | \, 0 \ leq x , y, z <1 \ oikea \}}$

Tämä tilavuus elementti on yksikkö solu vektoreilla , , hila on kuvattu. Sillä on suuntaissärmiön muoto . Jos yksikkö solu sisältää tarkalleen yhden G: n ruudukkopisteen, niin sitä kutsutaan "primitiiviseksi yksikkö soluksi". Tässä tapauksessa ruudukko B on yhtä suuri kuin ruudukko G, muuten se on todellinen osajoukko. ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$

Hilavektorit muodostavat koordinaatiston, jonka kanssa kide kuvataan. Koordinaatit voidaan ilmaista sekä murto-koordinaateina että suorakulmaisina koordinaateina .

G: n vektorit määräävät ainutlaatuisesti kiteen symmetriaominaisuus. Ruudukon B vektoreita käytetään kuvaamaan kide. Siksi voidaan valita ne sopivasti joukosta G. Valinnalle on kuitenkin olemassa standardeja.

sovellus

Kaikki huoneen pisteet voidaan osoittaa selvästi yksikkösolulle. Tämä siirtyy alkuperästä ruudukkovektori. Kaksi avaruuspistettä ovat samankaltaisia ​​hilan suhteen, jos ne ovat samassa asemassa yksikösolun alkuperään nähden. Siten ruudukko jakaa tilan ekvivalenssiluokkiin . Jokainen vastaavuusluokka koostuu kaikista pisteistä, jotka eroavat tietystä pisteestä vain ruudukon translaatiovektorin perusteella. Translaatiovektorin määrä vastaa ristikkoparametriä .

Yksikkösolussa olevat atomit tai molekyylit muodostavat kiteen perustan. Kiteen kuvaamiseksi riittää, kun ilmoitetaan emäsatomien sijainti yksikösolussa. Näitä atomeja voidaan myös pitää vastaavuusluokan edustajina. Kristallirakenteita käsiteltäessä termiä "emäksen atomi" käytetään usein hiljaisesti tässä mielessä.

Alkeellinen yksikkö solu

Kuution primitiivinen yksikkö solu.

Jos perusvektorit on valittu siten, että niiden muodostama ristikko B on identtinen kiteen G hilan kanssa, tätä perustaa kutsutaan "primitiiviseksi". Nämä vektorit kuvaavat sitten primitiivistä yksikkö- solua. Kiteen hilapisteiden koordinaatit ovat kokonaislukuja.

Jokainen primitiivinen yksikkösolu sisältää vain yhden kiteen hilan pisteen. Se on yksikkö solu, jolla on pienin mahdollinen tilavuus.

Kuvassa kaikki ruudukon pisteet näkyvät kristallina. Vain yksi kulmapiste (0,0,0) kuuluu yksikkö soluun.

Keskitetty yksikkö solu

Kuution rungon keskitetty yksikkö

Erityisesti, jos haluat käyttää akselijärjestelmää, joka on sovitettu kiteen avaruusryhmän symmetriaelementteihin, et voi välttää ei-primitiivisten yksikkösolujen käyttöä useimmissa kidejärjestelmissä. Kristallin hilassa on sitten myös pisteitä, joilla ei ole kokonaislukukoordinaatteja. Yksikkösolu sisältää täten useita ruudukon pisteitä.

Näitä yksikkö soluja kutsutaan keskitetyiksi. Niiden tilavuus on primitiivisen yksikkösolun tilavuuden kerroin. Kolmiulotteisten kiteiden kaikkien mahdollisten rakenteiden kuvaamiseksi tavanomaisella solulla tarvitaan 14 erilaista ristikkoa. Nämä ovat Bravais-ristikot .

Kaikki ruudukon pisteet näkyvät kuvassa. Vain yksi kulmapiste (0,0,0) ja sisempi kohta kuuluvat yksikkö soluun. Tässä tapauksessa vektori ( ½, ½, ½ ) on kiteen hilan vektori, jolla ei ole kokonaislukukoordinaatteja.

Muut solut

Esitys kuusikulmainen yksikkö solu (tummat viivat).

Avaruus- ja päällekkäisyydetön tilanjako voidaan saavuttaa myös soluilla, joilla ei ole suuntaissärmän muotoista muotoilua ja jotka eivät siten ole yksikösoluja sanan todellisessa merkityksessä. Tunnetuin näistä soluista on Wigner-Seitz-solu .

Kirjallisuudessa kuusikulmaista prismaa käytetään usein soluna kuvaamaan pallojen kuusikulmaista tiivistä pakkaamista. Tämä prisma ei ole yksikkö solu. Pääsääntöisesti sitä ei käytetä rakenteen kristallografiseen kuvaukseen, vaan vain sen havainnollistamiseen.

Epäsymmetrinen yksikkö

Toistaiseksi käännöstä on pidetty ainoana symmetriaoperaationa. Kiteessä, mutta myös muita symmetriaoperaatioita voi esiintyä kiertäminen , pisteheijastus , pyörimisinversio , ruuvaaminen ja liukuminen . Kristallin kaikkien symmetriaoperaatioiden joukko muodostaa sen avaruusryhmän .

Nämä symmetriatoiminnot kartoittavat myös kiteen itselleen. Erityisesti osa yksikösolusta voidaan myös kartoittaa yksikkö- solun toiseen osaan tällaisella toiminnolla. Tässä tapauksessa yksikösolun kaksi osaa vastaavat symmetrisesti toisiaan. Kiteen tilavuuselementti, josta kide voidaan muodostaa käyttämällä kaikkia avaruusryhmän symmetriatoimintoja, kutsutaan asymmetriseksi yksiköksi. Se on yleensä pienempi kuin primitiivinen yksikkö solu. Asymmetrinen yksikkö on määritelty kansainvälisissä taulukoissa jokaiselle huoneryhmälle.

Eri termien ongelmasta

Kielen käyttö ei ole aina selkeää eikä myöskään kansainvälisesti yhtenäistä. Saksankielisissä kristallografeissa yksikkö solu on yleinen termi, jota käytetään synonyyminä englannin yksikön kanssa . Ranskalainen maille élémentaire ja italialainen cella elementare ovat myös synonyymejä . Näitä termejä käytetään enimmäkseen "tavanomaisen solun" merkityksessä, mutta ne voivat myös osoittaa primitiivisen solun. On huomionarvoista, että ranskankielinen termi ei esiinny vanhemmissa kirjoittajissa: Bravais käytti parallélogramme générateur- tai maille parallélogrammea kahdessa ulottuvuudessa ja parallélopipède générateur tai noyau ("ydin") kolmessa ulottuvuudessa. Mallard kirjoitti juuri maille , Friedel kirjoitti maille yksinkertainen . Vain termit "primitiivinen solu" ja "tavanomainen solu" ovat selkeät. Komissio Kristallografinen nimikkeistön International Union of Crystallo- antanut seuraavat määritelmät:

Primitiivinen solu

Primitiivinen solu (ranskalainen maille primitiivinen ) on yksikkö solu, joka ulottuu suoran ruudukon primitiivisen perustan perusvektoreiden kautta. Tämä tarkoittaa, että kukin ruudukonvektori voidaan esittää kolmen perusvektorin kokonaislukuisena lineaarisena yhdistelmänä.

Yksikkö solu

Alkeiskopin (Saksan yksikkö solu , ranskalainen maille ) on se, että kolme vektorit a, b, c kristallografinen perusteella suoraan hilan kesti suuntaissärmiö. Jos emäs primitiivinen, niin (ts. Yksikkö solu "primitiivinen solu" primitiivinen solu ). Jos emäs ei ole primitiivinen, yksikkö solu on monisoluinen . Monikertaisuus johtuu sen tilavuuden ja primitiivisen solun tilavuuden suhteesta.

Perinteinen solu

Tavanomainen kenno (ranskalainen maille conventionnelle ) on solun kunkin ruudukon, joka täyttää seuraavat ehdot:

• Niiden perusvektorit määrittelevät oikeakätisen akselijärjestelmän.
• Niiden reunat kulkevat ruudukon symmetria-akseleita pitkin.
• Se on pienin solu, joka täyttää edellä mainitut ehdot.

Kiteet, joilla on samantyyppinen tavanomainen solu, kuuluvat samaan kideperheeseen .

kirjallisuus

• D. Schwarzenbach: Kristallographie Springer Verlag, Berliini 2001, ISBN 3-540-67114-5
• Kansainväliset kristallografiataulukot . Osa A: Theo Hahn (Toim.): Avaruusryhmän symmetria. Kluwer Academic Publishing Company, Dordrecht ym. 1983, ISBN 90-277-1445-2 .
• Professori Dr. Helmut Föll, luku 3 "Täydelliset kiteet" Hyperscript TF: n Christian Albrechts University Kielissä

Yksittäiset todisteet

1. ^ IUCr Online Dictionary of Crystallography: Primitive solu
2. ^ IUCr Online Sanakirja crystallography: alkeiskopin
3. ^ IUCr Online Dictionary of Crystallography: Perinteinen solu