Avaruusryhmä

Peilin symmetria jään kristallirakenteessa

Kristallografinen tila ryhmä tai lyhyen avaruusryhmä matemaattisesti kuvaa symmetria järjestelyn atomien, ionien ja molekyylien kiderakenne . Termi "ryhmä" tulee ryhmän teoriasta .

Esimerkiksi rakenteen komponentti (kuten sulfaatti- ioni) voidaan saada peilaamalla tai kiertämällä toista komponenttia (tässä tapauksessa toista sulfaatti- ionia). Koko kristallirakenteen kuvaamiseksi tarvitaan vain ensimmäisen ionin kuvaus, toinen ioni saadaan peilaus- tai pyörimissymmetrialla. Kuva osoittaa tämän käyttämällä esimerkkiä jään kristallirakenteesta. Oikea kuusi rengasta on vasemman kuuden renkaan peilikuva; avaruusryhmä toistaa (muun muassa) tämän symmetrisen ominaisuuden. Tähän käytetyt symbolit on kuvattu yksityiskohtaisesti kohdassa Hermann Mauguin .

Tila-ryhmä on diskreetti alaryhmä Euclidean liikkeen ryhmä euklidisen (affiini) tila , jossa on rajoitettu perustavanlaatuinen verkkotunnuksen . Avaruusryhmät kuuluvat symmetriaryhmiin, ja ne kuvataan yleensä käyttämällä Hermann Mauguin -symboliaa tai joskus myös Schoenflies-symboliikkaa .

Vaikka kristallografiset pisteryhmät koostuvat ei-translatiivisista symmetriaoperaatioista (esim. Pyörimiset tai heijastukset), määritettäessä eri avaruusryhmiä tämä vaatimus lievennetään translatiivisten symmetriatapahtumien (tämä johtaa esimerkiksi liukuviin peilitasoihin ja ruuvi- akseleihin ) ja hilakäännösten hyväksi. Tuloksena on suuri määrä uusia symmetriaryhmiä, avaruusryhmiä.

Matemaattinen määritelmä

Isometrisen ryhmä on ulotteinen euklidinen avaruus on ryhmä${\ displaystyle \ operaattorin nimi {isom} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ operaattorin nimi {Isom} (\ mathbb {R} ^ {n}) = O (n) \ ltimes \ mathbb {R} ^ {n}}$,

jossa ortogonaalinen ryhmä koostuu heijastuksia ja kierrosta ympäri nollapisteen ja ymmärretään ryhmä siirtymät . ${\ displaystyle O (n)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Kristallografinen ryhmä sijoitus${\ displaystyle n}$ on diskreetti ja yhteistyötä kompakti alaryhmä . (A alaryhmä kutsutaan diskreetti jos ei ole sekvenssin kanssa ja . Sitä kutsutaan cocompact, jos osamäärä tila on kompakti .) ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {isom} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ Gamma \ osajoukko \ operaattorin nimi {isom} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ gamma \ sisään \ Gamma}$${\ displaystyle (\ gamma _ {n}) _ {n} \ osajoukko \ Gamma}$${\ displaystyle \ gamma _ {n} \ not = \ gamma}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ gamma _ {n} = \ gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma \ taaksepäin viiva \ mathbb {R} ^ {n}}$

Bieberbach ryhmä on vääntöä vapaa kristallografinen ryhmä. (Ryhmää, jolla on neutraali elementti, kutsutaan vääntymättömäksi, jos se seuraa aina kohdista ja .) ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ gamma \ not = e}$${\ displaystyle n \ not = 0}$${\ displaystyle \ gamma ^ {n} \ not = e}$

Mahdollisten huoneryhmien lukumäärä

Mahdollisten huoneryhmien määrä riippuu tarkasteltavan huoneen mitasta ja suunnasta. In kolmiulotteisessa avaruudessa , kristallografinen tila ryhmät kuvaavat symmetriat äärettömän laajennettu kide . Symmetriatapahtumat kristallissa ovat (lukuun ottamatta identiteettioperaatiota, joka kartoittaa jokaisen pisteen itselleen) pistepeijastus, heijastus tasossa, kiertyminen akselin ympäri, siirtymä (ns. Translaatio ) ja näiden toimintojen yhdistelmät. Jos ymmärretään symmetriaoperaatioiden suorittaminen peräkkäin multiplikatiivisena operaationa, tunnistetaan, että symmetriatapahtumien joukko on ryhmä (yleensä ei kommutatiivinen ).

Määrittämistä 230 mahdollista tilaa ryhmiä (tai huone ryhmä tyyppiä ) kolmessa ulottuvuudessa suoritettiin 1891 toisistaan riippumatta on työlästä lajittelu työtä Arthur Moritz Schoenflies ja Evgraf Stepanowitsch Fjodorow . William Barlow onnistui myös itsenäisesti, vaikka hän julkaisi sen vasta vuonna 1894. 230 avaruusryhmää (ja kiteitä, joilla on yhden näistä avaruusryhmistä symmetriaelementit) voidaan u. a. voidaan jakaa seitsemään kristallijärjestelmään , 14 Bravais-ristikkoon ja 32 kristalliluokkaan .

Jos huoneen suuntaa ei oteta huomioon , lukumäärä vähennetään 219 eri huoneryhmään. Tämä johtaa yksitoista enantiomorfisten avaruusryhmäparien olemassaoloon . Näissä pareissa symmetriaelementtien, kuten kuvan ja peilikuvan, järjestelyt eroavat toisistaan, joita ei voida muuntaa toisiksi kiertämällä.

Algebrallinen menetelmä avaruusryhmien (myös korkeampien ulottuvuuksien) luokittelemiseksi tulee Johann Jakob Burckhardtilta 1930-luvulla, joka käsitteli myös ongelman historiaa.

nimitys

Huoneryhmien nimitys tehdään yleensä Hermann Mauguin -symbolismissa , joissakin osastoissa Schoenflies-symboliikkaa käytetään edelleen nykyään vaihtoehtona. Väliryhmäsymboli Hermann Mauguin -symboliassa koostuu isosta kirjaimesta, joka ilmaisee Bravaisin tyypin , sekä symbolisarjasta (numerot ja pienet kirjaimet, jotka osoittavat muiden symmetriaelementtien läsnäolon), jotka perustuvat läheisesti pisteryhmien symboliikkaan , mutta myös ottaa huomioon, että myös kääntämisen ja kääntämisen tai peilaamisen yhdistettyjä symmetriaoperaatioita voi olla.

Täydellinen luettelo 230 kolmiulotteisesta huoneryhmästä löytyy huoneryhmien luettelosta .

Katso myös

• Bieberbach-ryhmä
• Sohncke-avaruusryhmä (kutsutaan myös kiraaliseksi avaruusryhmäksi )
• Litteä kristallografinen ryhmä

kirjallisuus

• Johann Jakob Burckhardt : Kristallografian liikeryhmät. 2. painos, Springer, 1966, ISBN 978-3-0348-6931-7 .
• John Horton Conway , Olaf Delgado Friedrichs, Daniel Huson, William Thurston : Kolmiulotteisissa avaruusryhmissä. Julkaisussa: Contributions to Algebra and Geometry. 42, 2001, s. 475-507. ( Online ).
• Hans Zassenhaus : Tietoja algoritmista huoneryhmien määrittämiseksi. Julkaisussa: Comm. Math. Helveticae. 21, 1948, sivut 117-141. ( Online ).
• Harold Brown, J.Neubüser, Hans Wondratschek , R.Bülow , Hans Zassenhaus : Nelidimensionaalisen avaruuden kristallografiset ryhmät. Wiley 1978, ISBN 978-0-471-03095-9 .
• Joachim Neubüser , Hans Wondratschek, Rolf Bülow: Kristallografiasta korkeammissa ulottuvuuksissa. (Osa 1-3) Julkaisussa: Acta Crystallographica A. Nide 27, 1971, s. 517-535 (erityisesti 4 ulottuvuutta).
  • J. Neubüser, H. Wondratschek, R. Bülow: Kristallografiasta korkeammissa ulottuvuuksissa. I. Yleiset määritelmät . In: Acta Crystallographica A jakso . nauha 27 , ei. 6. marraskuuta 1971, s. 517-520 , doi : 10.1107 / S0567739471001165 . 
  • R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek: Kristallografiasta korkeammissa ulottuvuuksissa. II Laskentamenetelmä R 4: ssä . In: Acta Crystallographica A jakso . nauha 27 , ei. 6. marraskuuta 1971, s. 520-523 , doi : 10.1107 / S0567739471001177 . 
  • H. Wondratschek, R. Bülow, J. Neubüser: Kristallografiasta korkeammissa ulottuvuuksissa. III. Tulokset R 4 . In: Acta Crystallographica A jakso . nauha 27 , ei. 6. marraskuuta 1971, s. 523-535 , doi : 10.1107 / S0567739471001189 . 
• Harold Brown: Algoritmi avaruusryhmien määrittämiseen. Julkaisussa: Laskennan matematiikka. Nide 23, 1969, s. 499-514. ( PDF; 1,25 Mt ).

nettilinkit

• Vuorovaikutteinen kuvaus 17 huoneryhmästä tasolla:
  • Koristeiden , Java-sovelman ja sovelluksen piirtäminen . Säilyttää piirretyt viivat ryhmää vaihdettaessa.
  • Escherin Web-luonnos , Java-sovelma. Vapaakäden piirustuksen lisäksi se sallii myös yksittäisten muiden esineiden käytön.

Yksittäiset todisteet

1. ^ ^{A b c d} Will Kleber , Hans-Joachim Bautsch , Joachim Bohm : Johdatus kristallografiaan . Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3 , s. 101 ff . ( rajoitettu esikatselu Google-teoshaulla).