Newtonin painovoiman laki

Kahden massan vastaavat vetovoimat

Newtonin yleinen painovoima on fysiikan lait on klassisen fysiikan , jonka mukaan jokaisen maadoituskohta joka toinen Massapisteen houkutteleva painovoiman vaikuttaa. Tämä painovoima kohdistuu pitkin kahta massapistettä yhdistävää viivaa ja sen lujuus on verrannollinen kahden massan tuloon ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. Kun kyseessä on laajennettu elinten tätä lakia sovelletaan kaikkiin massan pisteen yksi ruumis suhteessa jokaiseen massan pisteen toisen kappaleen, yksittäiset joukot lisätä enintään yhteensä voima.

Newtonin gravitaatiolaki on yksi klassisen fysiikan peruslakeista. Sen perusti Isaac Newton teoksessaan 1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Tällä Newton onnistui samalla perustamansa klassisen mekaniikan puitteissa, ensimmäinen yhteinen selitys maan painovoimalle , kuun kiertoradalle maan ympäri ja planeettojen liikkeelle auringon ympäri. Newtonin gravitaatioteoria selittää nämä ja muut gravitaatioon liittyvät ilmiöt, kuten maan vuorovesi ja kuun ja planeettojen kiertoratahäiriöt . Albert Einsteinin kehittämä yleinen suhteellisuusteoria selvitti jäljellä olevat ristiriidat vasta 1900 -luvun alussa .

tarina

Kuva gravitaation asteen pienenemisestä etäisyyden mukaan Martin Wagenscheinin mukaan ( Kuu ja sen liike )

Newtonin ensimmäinen, intensiivisempi miehitys planeettojen kiertoradan fyysisellä kuvauksella ja painovoiman roolilla, joka tapahtui hänen annus mirabilis 1665/66 -kirjassaan, sisälsi osittain kvadratiivisesti vähenevän painovoiman käsitteen. Newton ei kuitenkaan perustellut tätä tai nojautui vääriin oletuksiin, erityisesti ei vielä ajatukseen painovoiman yleismaailmallisesta (eli maan ulkopuolisesta) vaikutuksesta.

Vuodesta 1678 lähtien Newton työskenteli yhteistyössä Hooken ja Flamsteedin kanssa intensiivisesti mekaniikan, erityisesti Keplerin lakien, parissa. Kirjeenvaihdossa Newtonin kanssa Hooke mainitsi teoriansa planeettojen liikkeestä, jossa puhuttiin vetovoimasta, joka vähenee etäisyyden myötä; Newtonin vastauksessa se oletti jatkuvan painovoiman. Tämä kirjeenvaihto oli lähtökohta Hooken myöhemmälle väitteelle plagioinnista Newtonille. Newton myönsi, että Hooke oli johtanut hänet oikealle tielle: sekä ajatus siitä, että kiertoradan ellipsi johtuu gravitaatiovoimasta, joka vähenee (etäisyyden neliön kanssa polttopisteestä), tulee Hookelta, sekä ajatus, että tämä käsite soveltuu myös planeettojen liikkeisiin. Hooken ehdotus painovoiman vähentämisestä perustui kuitenkin intuitioon eikä - kuten Newtonin - havaintoon ja loogiseen päättelyyn.

Newton julkaisi alustavat tulokset vuonna 1684 otsikolla De Motu Corporum. Tämän pohjalta hän loi perustan klassiselle mekaniikalle kolmiosaisessa teoksessaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Luonnonfilosofian matemaattinen perusta) vuonna 1687 . Siinä Newton muotoili Newtonin kolme liikelakia ja painovoimalakia, mutta jälkimmäinen ei kuitenkaan tämän artikkelin alussa annetussa tiiviissä muodossa, vaan jaettuna useisiin osiin. Hän perusteli lait yksityiskohtaisesti käyttämällä hänen ensimmäistä kertaa luomansa äärettömän pienen laskennan geometrista muotoa . Työn kolmas osa, nimeltään Tietoja maailmanjärjestelmästä, käsittelee uusien lakien soveltamista taivaankappaleiden todellisiin liikkeisiin, jolloin Newton vertaa laskelmiaan lukuisiin muiden luonnontieteilijöiden mittaustietoihin ja todistaa tällä tavalla teoreettisten johtopäätösten oikeellisuudesta.

Henry Cavendish onnistui ensimmäisenä vuonna 1797 kokeessa, jossa oli herkkä pyörivä vaaka, jolla mitattiin kokeellisesti kahden tunnetun massan kappaleen keskinäinen vetovoima, kuten Newtonin gravitaatiolaki seuraa. Mittalaite on samanlainen kuin vääntövaaka, jolla Charles Augustin de Coulomb tutki sähköstaattista vetovoimaa ja karkottumista vuonna 1785; sen suunnitteli alun perin geologi John Michell . Painovoiman todistamiseksi Cavendish joutui sulkemaan pois pienimpien häiriöiden vaikutuksen, esimerkiksi hän toimi kokeessaan toisesta huoneesta ja teki lukemat kaukoputkella.

Nykyään käytetyssä nimenomaisessa muodossa painovoiman lakia ei muotoillut Newton itse, vaan vasta vuonna 1873, eli 200 vuotta myöhemmin, Alfred Cornu ja Jean-Baptist Baille . Siihen asti Newtonin painovoimalakia oli käytetty vain alkuperäisessä muodossaan; H. suhteellisuuksien muodossa ja ilman "painovoiman vakion" määritelmää. ${\ displaystyle F \ propto m_ {1} \, \ F \ propto m_ {2} \, \ F \ propto r ^ {- 2}}$

Newtonin painovoimalaki mahdollisti planeettojen sijainnin laskemisen paljon tarkemmin kuin ennen. Ptolomewin tai Kopernikuksen mukaan lasketut sijainnit poikkeavat usein (tämä vastaa 1/3 kuun halkaisijasta) havainnoista, jotka laskettiin Keplerin lakien mukaan enintään . Toisaalta Newtonin taivaallisen mekaniikan avulla oli mahdollista liittää nämä poikkeamat , jotka tunnetaan kiertoratahäiriöinä , muiden planeettojen vetovoimaksi. Uranuksen tapauksessa pääteltiin jopa , että siellä oli aiemmin tuntematon planeetta Neptunus , jonka likimääräisen sijainnin Urbain Le Verrier laski ensin kiertoratahäiriön tarkista arvoista. Pian tämän jälkeen Johann Gottfried Galle löysi uuden planeetan vain yhden kaaren etäisyydellä ennusteesta. Myöhemmin löydetty elohopean kiertoradan perihelio voidaan kuitenkin selittää vain noin 90 prosentille samalla menetelmällä. Täydellisen selityksen saamiseksi ensin oli kehitettävä yleinen suhteellisuusteoria . Tämä paljon kattavampi teoria sisältää Newtonin painovoimalain rajoittavana tapauksena, joka koskee vain riittävän pieniä massatiheyksiä ja nopeuksia. ${\ displaystyle 10 ^ {\ prime}}$${\ displaystyle 1 ^ {\ prime}}$

Matemaattinen muotoilu

Massapisteet

Määrä on voimassa kahden massan pistettä ja etäisyys on ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle F = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

Koko on painovoima . Molempiin massoihin vaikuttavilla voimilla on sama määrä ja kukin osoittaa toiseen massapisteeseen (katso kuva). Toisin kuin matemaattisesti vastaava Coulombin laki, Newtonin painovoimalaki kuvaa aina vetovoimaa. ${\ displaystyle G}$

Vectorial

Vektorimuodossa sovelletaan massapisteeseen 1 vaikuttavaa voimaa ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {3}}} {\ vec {r}} _ {12} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {| {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1} | ^ {3}}} ({\ vec { r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1})}$,

missä ja ovat asemissa (asento vektorit ) kahden massan pistettä.${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}$pistettä massa kohdassa 1, ja on päinvastainen vektori on :${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$.

Jos massapiste 1 vetää puoleensa useita massapisteitä 2, 3, ..., n, yksittäiset voimat yhdistetään massapisteeseen 1 vaikuttavaan kokonaisvoimaan

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = Gm_ {1} \ sum _ {i = 2} ^ {n} m_ {i} {\ frac {{\ vec {r}} _ {i} - {\ vec {r}} _ {1}} {| {\ vec {r}} _ {i} - {\ vec {r}} _ {1} | ^ {3}}}}$

Painovoimainen kiihtyvyys

Newtonin toisen aksiooman mukaan tämä johtaa kiihtyvyyteen absoluuttisella arvolla

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {F_ {1}} {m_ {1}}}}$,

jota kutsutaan myös painovoiman kiihtyvydeksi tai painovoimakentän voimakkuudeksi massan sijainnissa (katso painovoimakenttä ). ${\ displaystyle m_ {1}}$

Kaksi pistemassaa ja kokea kiihtyvyydet etäisyydellä muiden voimien puuttuessa Newtonin painovoimalain kautta: ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {F} {m_ {1}}} = G {\ frac {m_ {2}} {r ^ {2}}} \ qquad {\ text {or}} \ qquad a_ {2} = {\ frac {F} {m_ {2}}} = G {\ frac {m_ {1}} {r ^ {2}}}}$

Massa houkuttelee massaa ja päinvastoin. Molemmat massat kiihdytetään kohti yhteistä painopistettä . Toisesta kappaleesta katsottuna toinen liikkuu kiihtyvyydellä, joka on yksittäisten kiihtyvyyksien summa: ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$

${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} = G \, {\ frac {m_ {1} + m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

Jos toinen massa on paljon pienempi kuin toinen, riittää suunnilleen vain suuremman massan huomioon ottaminen. Maalla on paljon enemmän massaa kuin omenalla, ihmisellä tai kuorma -autolla, joten riittää, että kaikki nämä esineet lisäävät maan massan kiihtyvyysyhtälöön. Jos ne ovat samassa paikassa, kaikki kolme kohdetta kiihdytetään yhtä voimakkaasti kohti maan keskipistettä. Ne putoavat samaan nopeuteen ja samaan suuntaan. Kuitenkin kun tarkastellaan kaksoistähti järjestelmässä sekä tähtien massat on otettava huomioon, koska ne ovat suunnilleen samankokoisia.

Jos kohde muuttuu vain hyvin vähän liikkeen aikana, painovoimakiihtyvyys on käytännössä vakio, esimerkiksi kun kyseessä on maapallon lähellä oleva esine, joka putoaa vain muutaman metrin syvyyteen, eli häviävän vähän verrattuna maan säteeseen r = noin 6370 km. Riittävän pienellä alueella painovoimakenttää voidaan siis pitää homogeenisena. Jos painovoiman muutosta etäisyyden kanssa ei voi sivuuttaa, on mahdollista laskea esimerkiksi vapaasti putoavan kappaleen iskunopeus integraalilaskennan avulla, ts. H. noin painovoiman potentiaali${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ Phi (r) = - {\ frac {Gm} {r}}}$.

Laajat elimet

Todelliset kappaleet eivät ole pistemassaa, vaan niillä on avaruudellinen laajennus. Koska painovoima on massoissa lineaarinen, kappale voidaan jakaa pieniksi osiksi, joiden osuudet voidaan lisätä vektorisuuntaisesti, kuten edellisessä osassa esitetään. Kun raja ylitetään äärettömän pieniin osiin, tuloksena on integraali summan sijasta .

Tällä tavoin voidaan muun muassa osoittaa, että esineellä, jolla on pallomaisesti symmetrinen massajakauma ulkoavaruudessa, on sama gravitaatiovaikutus kuin jos koko massa olisi yhdistetty sen painopisteeseen. Siksi laajoja taivaankappaleita voidaan käsitellä suunnilleen massapisteinä. Kun sisällä olevan elliptinen tai pallomainen symmetrinen homogeenisen massan jakautuminen, z. B. ontto pallo , tästä massasta lähtevä painovoima on nolla. Tästä seuraa, että millä tahansa etäisyydellä pallomaisesti symmetrisen massajakauman keskipisteestä painovoima syntyy täsmälleen säteen sisältävän pallon sisällä olevan kokonaismassan osuuden perusteella . Newton todisti tämän lauseen (joka tunnetaan myös nimellä Newtonin kuorilause) filosofiassaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Yleensä lause ei koske kappaleita, jotka eivät ole elliptisesti symmetrisiä, tai epähomogeenisia massajakaumia. On myös huomattava, että painovoimalla ei ole vastavoimaa, joten sitä ei voida suojata. Todellinen painovoimakenttä ontossa pallossa ei siis olisi nolla, koska kaikkien muiden universumin massojen painovoimat toimisivat luonnollisesti sisällä - vain pallomainen kuori itse ei vaikuttaisi mihinkään. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Teorian rajat

Vaikka Newtonin gravitaatiolaki on riittävän tarkka käytännön tarkoituksiin, se on vain likimääräinen arvio heikoille ja ajasta riippumattomille painovoimakentille. Vahvoille kentille käytetään tarkempaa kuvausta yleisen suhteellisuusteorian avulla , josta klassisen gravitaatioteorian Poisson -yhtälö ja siten myös Newtonin gravitaatiolaki voidaan johtaa suoraan, jos vain oletetaan, että painovoima on konservatiivinen kenttä . Siksi lakia kutsutaan nykyään usein pienten alojen rajoittavaksi tapaukseksi. Yleinen suhteellisuusteoria ratkaisee myös Newtonin tässä kuvatun painovoimateorian ongelmat.

Teoreettiset rajat

• Newtonin teoria on tehokas teoria, mikä tarkoittaa, että se ei anna syytä painovoimalle eikä selitä, miten painovoima voi toimia etäisyydellä. Monet aikalaiset, mukaan lukien Newton itse ja myös Leonhard Euler , hylkäsivät mahdollisuuden välittömään pitkän matkan vaikutukseen tyhjän tilan kautta. Tämän selittävän aukon sulkemiseksi kehitettiin malliksi niin kutsuttu Le Sage -gravitaatio , joka ei kuitenkaan koskaan tarttunut.
• Newtonin teoria olettaa, että painovoima leviää äärettömän nopeasti, joten Keplerin lait täyttyvät. Tämä johtaa ristiriitoihin suhteellisuusteorian kanssa . Tämä edellyttää, että painovoima leviää myös vain valon nopeudella.
• Vastaavuus inertti ja raskas massa ei ole selitetty Newtonin mekaniikka.

Havaintojen ristiriidat

• Newtonin teoria ei täysin selitä perihelissä planeettojen radat, erityisesti elohopeaa . Tässä tapauksessa Newtonin teorian mukaan lasketun perihelionkierron ja havaitun perihelionkierron välinen ero on 43 kaarisekuntia vuosisataa kohti.
• Newtonin teorian mukaan, suuntautuvatko valot painovoimakenttään vai eivät, riippuu valon luonteesta. Jos se ymmärretään sähkömagneettiseksi aaltoksi , taipumaa ei ole. Jos kuitenkin kehon teorian mukaan se ymmärretään hiukkasena, jolla on massa, niin Newtonin gravitaatiolain mukaan syntyy valon taipuma , jolloin massasta riippumaton liikeyhtälö voidaan ennustaa pysyy voimassa myös katoavan massan rajoissa. Tämä arvo on kuitenkin vain puolet todellisesta havaitusta taipumasta. Mitattu arvo saadaan oikein yleisen suhteellisuusteorian yhtälöistä.

kirjallisuus

• Wolfgang Demtröder : Kokeellinen fysiikka 1 . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-26034-9 . 

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Jürgen Ready: Isaac Newtonin ensimmäinen kuutesti, joka ei ollut! (PDF; 4,5 Mt). Julkaisussa: Saksan geofysiikan seuran ilmoitukset eV 1/2016.
2. ^ Henry Cavendish: Kokeita maan tiheyden määrittämiseksi. (PDF) 1798 (englanti).
3. ↑ Clive Speake, Terry Quinn: Newtonin vakion etsiminen . Julkaisussa: Physics Today . nauha 67 , ei. 7 , 2014, s. 27 , doi : 10.1063 / PT.3.2447 . 
4. ↑ A. Cornu, J. Baille : Détermination nouvelle de la Constante de l'attraction et de la densité moyennede la Terre . Julkaisussa: Comptes Rendus Hebd. Seances Acad. Sei. nauha 76 , 1873, s. 954 ( verkossa [käytetty 3. huhtikuuta 2019]). 
5. ↑ Gearhart, CA: Episyklit, epäkeskot ja ellipsit: Kopernikaanisten planeetamallien ennustuskyvyt . Julkaisussa: Archive for Exact Sciences . nauha 32 , ei. 3 , 1985, s. 207-222 , doi : 10.1007 / BF00348449 . 
6. ↑ James Lequeux: Le Verrier - upea ja inhottava tähtitieteilijä. Springer Verlag, 2013. s.23.
7. ↑ Thomas Bührke: Tähtitieteen suuria hetkiä. Copernicuksesta Oppenheimeriin. München 2001, s.150.
8. ↑ Walter Greiner: Klassinen mekaniikka 1. Pistehiukkasten kinematiikka ja dynamiikka. Suhteellisuus . 8., tarkistettu. ja exp. Painos. Harri Deutsch, Frankfurt 2008, ISBN 978-3-8171-1815-1 , s. 4 .