Peetren eriarvoisuus

Peetre eriarvoisuus , nimetty Jaak Peetre , on epätasa päässä matemaattinen alikunta ja funktionaalista analyysia , tarkemmin teoriasta Hilbertin avaruus .

Se on Hilbertin unelma. Sitten eriarvoisuus koskee kaikkia ja kaikkia reaalilukuja${\ displaystyle H}$${\ displaystyle x, y \ H: ssä}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {(1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {t}} {(1+ \ | y \ | ^ {2}) ^ {t}}} \ leq 2 ^ { | t |} \ cdot (1+ \ | xy \ | ^ {2}) ^ {| t |} \,.}$

Tämän epätasa-arvon todisti J. Peetre vuonna 1959, ja sitä käytetään numeerisiin ja teoreettisiin arvioihin. Jos otetaan huomioon edellä mainittu eriarvoisuus

${\ displaystyle (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {t} \ leq 2 ^ {| t |} \ cdot (1+ \ | xy \ | ^ {2}) ^ {| t |} \ cdot (1+ \ | y \ | ^ {2}) ^ {t}}$

Um, tunnustetaan, että tämä arvio voi olla hyödyllinen Sobolevin todellisessa järjestyksessä olevissa tiloissa , koska siellä jopa muodon toiminnot esiintyvät integraalin alla . Sovellus Peetren eriarvoisuudesta tähän suuntaan löytyy alla olevasta oppikirjasta, kun tarkastellaan Sobolev-tilojen kertolaskuoperaattoreita. ${\ displaystyle (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {t}}$

Yksittäiset todisteet

1. ^ J. Heine: Topologia ja toiminnallinen analyysi , Oldenbourg Verlag (2002), ISBN 3-486-24914-2 , lause 1.1-10
2. ↑ J. Peetre: Une Characterization Abstraite the Surgeon Differentiels , Math Scandinavica, Volume 7 (1959), sivut 211-118 (J. Peetre: Rectification à l'article "Une Characterization abstraite the Surgeon differentiels" , Math Scandinavica, Volume 8 ( 1960), sivut 116-120)
3. ^ Herbert Schröder: toiminnallinen analyysi , Harri Deutsch Verlag (2000), ISBN 3-8171-1623-3 , lause 6.1.7