Äärimmäinen arvo

Funktion cos (3π x ) / x minimit ja maksimit alueella 0,1≤ x ≤1,1

Vuonna matematiikassa , äärimmäinen arvo (tai Ääriarvo ; monikossa: ääriarvon ) on yleisnimitys paikallisen tai globaalin maksimi- tai minimi . Paikallisen maksimin tai paikallinen minimi on funktion arvo pisteessä , kun toiminto ei ota suurempia tai pienempiä arvoja riittävän pieni ympäristön ; siihen liittyvää pistettä kutsutaan paikalliseksi maksimoijaksi tai paikalliseksi minimoijaksi , maksimipisteeksi tai minimipisteeksi tai yhteenvetona kutsutaan myös ääripisteeksi , pisteen ja arvon äärimmäisen pisteen yhdistelmäksi . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Globaalia maksimia kutsutaan myös absoluuttiseksi maksimiksi ; termiä suhteellinen maksimi käytetään myös paikalliseen maksimiin . Paikalliset ja globaalit minimit määritetään vastaavasti.

Liuos, jossa oli ääriarvon ongelma , on yksinkertainen esitys katso keskustelu käyriä , kutsutaan äärimmäinen ratkaisu .

Yksiulotteinen tapaus

Virallinen määritelmä

Olkoon se osajoukko todellinen määrä (esimerkiksi aikaväli ) ja funktio . ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste U \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f}$ on siinä kohdassa ${\ displaystyle x_ {0} \ U-muodossa$

• paikallinen minimi , jos on olemassa aikaväli , joka sisältää niin, että pätee kaikille ;${\ displaystyle I = (a, b)}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f (x_ {0}) \ leq f (x)}$${\ displaystyle x \ in I \ cap U}$
• globaali minimi , jos sovelletaan kaikkiin ;${\ displaystyle f (x_ {0}) \ leq f (x)}$${\ displaystyle x \ U-muodossa}$
• paikallinen maksimi , jos on olemassa aikaväli , joka sisältää niin, että pätee kaikille ;${\ displaystyle I = (a, b)}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f (x_ {0}) \ geq f (x)}$${\ displaystyle x \ in I \ cap U}$
• kokonaisrahoituksen jos koskee jokaista .${\ displaystyle f (x_ {0}) \ geq f (x)}$${\ displaystyle x \ U-muodossa}$

Jos funktiolla on maksimipiste tässä pisteessä , pistettä kutsutaan korkeimmaksi pisteeksi , jos siinä on minimi, pisteeksi kutsutaan matalinta pistettä . Jos on korkea tai matala piste, puhutaan ääripisteestä . ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0}))}}$

Äärimmäisyyksien olemassaolo

Ovat reaalilukuja ja on jatkuva funktio , sitten olettaa globaali maksimi ja globaali minimi. Nämä voidaan hyväksyä myös syrjäisillä alueilla tai . ${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste [a, b] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Tämä lausunto seuraa Heine-Borelin lauseesta , mutta se on usein nimetty myös K. Weierstrassin tai B. Bolzanon mukaan tai sitä kutsutaan maksimin ja minimin lauseeksi.

Eriytettävien toimintojen ääripisteiden määrittäminen

Se on avoin ja sillä on erilainen toiminto. ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ kaksoispiste U \ to \ mathbb {R}}$

Tarvittava kriteeri

Jos pisteessä on paikallinen ääripää ja se on siellä erottuva, ensimmäinen johdannainen on nolla: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0} \ U-muodossa$

${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0 \,}$.

Riittävät kriteerit

• Jos se on kaksi kertaa differentiable, ja se on myös totta , niin on paikallinen Ääriarvo pisteessä . Jos ja , se on paikallinen minimi, sillä toisaalta se on paikallinen maksimi.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0 \,}$${\ displaystyle f '' (x_ {0}) \ neq 0 \,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0 \,}$${\ displaystyle f '' (x_ {0})> 0 \,}$${\ displaystyle f '' (x_ {0}) <0 \,}$

• Yleisemmin, toisaalta, ja voidaan johtaa mistä mukaisesti Taylorin kaavassa, pätee seuraava: Voidaan johtaa n kertaa ja se on sisällytetty${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f '(x_ {0}) = f' '(x_ {0}) = \ ldots = f ^ {(n-1)} (x_ {0}) = 0 \, \ kiila f ^ {( n)} (x_ {0}) \ neq 0,}$

joten se seuraa:

(1) Jos on tasainen ja (tai ), niin at: lla on suhteellinen maksimiarvo (tai minimi).${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f ^ {(n)} (x_ {0}) <0}$${\ displaystyle f ^ {(n)} (x_ {0})> 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$

(2) Jos kummallakin tavalla ei ole paikallista ääripäätä ( funktion arvo , mutta yksi noususta , joka on käännekohta )${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Tai laittaa sen aivan yleisesti: Jos ensimmäinen ei-nolla-johdannainen funktion kohdassa, jossa on on johdannainen jopa järjestyksessä, ja sitten tässä vaiheessa on äärimmäinen piste, jossa on ei-nolla johdannainen vähintään ja johdannainen varten on enimmäismäärä. (Vertaa lomakkeen toimintoja: , .)${\ displaystyle f ^ {(n)}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {(n)}> 0}$${\ displaystyle f ^ {(n)} <0}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {n}}$${\ displaystyle n \ sisään \ mathbb {N}}$

• Jos ensimmäinen derivaatta on etumerkin muutosta , niin on ääriarvon. Merkin muutos plus-miinus on suurin, ja muutos merkki-miinus plus-merkkiin on vähimmäismäärä.${\ displaystyle x_ {0}}$

• Jatkuville toiminnoille tietyin väliajoin pätee seuraava: Funktion kahden paikallisen minimin välissä on aina paikallinen maksimi ja kahden paikallisen maksimin välillä on aina paikallinen minimi.

• Eriytettävissä oleviin toimintoihin intervallien välillä pätee seuraava: Jos on kaksi numeroa, joiden kanssa , niin että välin ensimmäisellä johdannaisella on vain nolla ja se on myös , niin on: lla on paikallinen minimi. Sovelletaan analogista kunnossa ja niin on on paikallinen maksimi.${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle a <x_ {0} <b}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f (a)> f (x_ {0})}$${\ displaystyle f (b)> f (x_ {0})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f (a) <f (x_ {0})}$${\ displaystyle f (b) <f (x_ {0})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$

On kuitenkin myös toimintoja, joissa mikään edellä mainituista. Kriteerit auttavat (katso alla).

Esimerkkejä

• ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} +3.}$Ensimmäisen johdannaisen arvo on vain nolla. Toinen johdannainen on positiivinen siellä, joten se olettaa paikallisen minimin 0: lla, nimittäin .${\ displaystyle f '(x) = 2x}$${\ displaystyle x_ {0} = 0}$${\ displaystyle f '' (x) = 2}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (0) = 3}$

• ${\ displaystyle f (x) = x ^ {4} +3.}$Ensimmäisen johdannaisen arvo on vain nolla. Toinen johdannainen on myös 0. Voit nyt jatkaa eri tavoin: ${\ displaystyle f '(x) = 4x ^ {3}}$${\ displaystyle x_ {0} = 0}$${\ displaystyle f '' (x) = 12x ^ {2}}$
  • Kolmas johdannainen on myös 0. Neljäs johdannainen on toisaalta ensimmäinen korkeampi johdannainen, joka ei ole 0. Koska tällä johdannaisella on positiivinen arvo ja se on tasainen, kohdan (1) mukaan se pitää funktiolla paikallista minimia siellä.${\ displaystyle f '' '(x) = 24x}$${\ displaystyle f ^ {(4)} (x) = 24}$
  • Ensimmäinen derivaatta on 0 merkki muutos miinus plus, ja on näin ollen on paikallinen minimi.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0} = 0}$
  • Se on niin on paikallinen minimi intervalli . Koska ensimmäisellä johdannaisella on vain nolla tässä välissä , paikallinen minimi on oletettava siellä.${\ displaystyle f (-1) = f (1) = 4> 3 = f (0)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (-1,1)}$${\ displaystyle x_ {0} = 0}$

• Funktiolle , jonka on määrittänyt ja ja jonka on määritellyt seuraavat ominaisuudet: ${\ displaystyle f (x) = \ mathrm {e} ^ {- 1 / x ^ {2}} \ sin ^ {2} {\ frac {1} {x ^ {2}}}}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle f (0) = 0}$
  • Sillä on maailmanlaajuinen minimi.${\ displaystyle x = 0}$
  • Se voidaan erottaa kuinka monta kertaa.
  • Kaikki johdannaiset ovat yhtä kuin 0.${\ displaystyle x = 0}$
  • Ensimmäisellä johdannaisella ei ole merkin muutosta 0: ssa.
  • Kaksi muuta edellä mainittua kriteeriä eivät myöskään ole sovellettavissa.

Sovellusesimerkki

Käytännössä ääriarvolaskelmia voidaan käyttää laskemaan suurimmat tai pienimmät mahdolliset eritelmät, kuten seuraava esimerkki osoittaa (katso myös optimointiongelma ):

• Miltä suorakulmaisen alueen tulisi näyttää, jonka suurin alue on tietyllä kehällä?

Ratkaisu:

Ympärysmitta on vakio, alue tulisi maksimoida, pituus ja leveys ovat: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle 1) \ qquad U = 2 (a + b) \ Rightarrow b = {\ frac {U} {2}} - a}$

${\ displaystyle 2) \ qquad A = a \ cdot b}$

1) kohtaan 2) lisää ja muotoile uudelleen

${\ displaystyle A (a) = - a ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Ua}$

Muodosta johdannaisfunktiot

${\ displaystyle A '(a) = - 2a + {\ frac {1} {2}} U}$

${\ displaystyle A '' (a) = - 2 \ qquad \ Rightarrow}$ Toiminnan korkea piste

On olemassa vain yksi paikallinen maksimi, joka tässä esimerkissä (ilman todentamista) on myös globaali maksimi, koska toinen johdannainen on aina pienempi kuin nolla muuttujasta riippumatta.

Ääriarvon löytämiseksi ensimmäinen johdannainen on asetettava nollaksi (koska tämä kuvaa alkuperäisen funktion kaltevuutta ja tämä kaltevuus on nolla äärimmäisille arvoille. Jos funktion toinen johdannainen ei ole nolla, niin on minimi tai maksimi).

${\ displaystyle A '(a) = - 2a + {\ frac {1} {2}} U = 0 \ Rightarrow}$

${\ displaystyle a = {\ frac {1} {4}} U \ \ Rightarrow \ U = 4a}$

Aseta 1)

${\ displaystyle 4a = 2 (a + b) \ \ Rightarrow \ a = b}$

Tästä seuraa, että suurin mahdollinen suorakulmion alue tietyllä kehällä voidaan saavuttaa, jos molemmat sivupituudet ovat samat (mikä vastaa neliötä). Päinvastoin voidaan kuitenkin sanoa myös, että tietyllä alueella olevan suorakulmion ympärysmitta on pienin, jos

${\ displaystyle a: b = 1: 1}$

varovainen - ts. neliö.

Moniulotteinen tapaus

Se on ja toiminto. Lisäksi anna olla sisempi kohta . Paikallinen minimi / maksimiarvo annetaan, jos on ympäristö , jonka ympärillä mikään piste ei ota pienempää tai suurempaa funktion arvoa. ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste U \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Gradientin katoaminen on analogista yksiulotteisen tapauksen kanssa

${\ displaystyle Df (x) = \ operaattorin nimi {grad} f (x)}$

välttämätön edellytys sille, että piste olettaa äärimmäisyyden. Tässä tapauksessa definiteness on Hessen matriisi on riittävä : jos se on positiivinen selvä, on paikallinen minimi; jos se on negatiivinen, se on paikallinen maksimi; jos se on määrittelemätön, ei ole ääripistettä, vaan satulapiste . Jos se on vain puolidefiniitti, mikään Hessian matriisiin perustuva päätös ei ole mahdollinen (katso Peanos-pinta ). ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle D ^ {2} f (x)}$

Ääretön ulottuvuus

määritelmä

Maksimin ja minimin käsite siirtyy suoraan äärettömän ulottuvuuden tapaukseen. Onko vektoriavaruus ja tämän vektoritilan osajoukko sekä funktionaalinen. Sitten pääsi paikalle${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D \ osajoukko X}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste D \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} \ D: ssä}$

• (globaali) minimi, jos kaikille${\ displaystyle f ({\ tilde {x}}) \ leq f (x)}$${\ displaystyle x \ D: ssä}$
• (globaali) maksimi, jos kaikille${\ displaystyle f ({\ tilde {x}}) \ geq f (x)}$${\ displaystyle x \ D: ssä}$

Lisäys "globaali" jätetään yleensä pois, jos asiayhteydestä on selvää, mitä tarkoitetaan. Se on lisäksi varustettu topologialla , joten topologinen tila on sitten kohdassa${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} \ D: ssä}$

• paikallinen minimi, jos on naapurustossa on sellainen, että koskee kaikkia .${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle f ({\ tilde {x}}) \ leq f (x)}$${\ displaystyle x \ in U \ cap D}$
• paikallinen maksimi, jos on naapurustossa on sellainen, että koskee kaikkia .${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle f ({\ tilde {x}}) \ geq f (x)}$${\ displaystyle x \ in U \ cap D}$

Pistettä kutsutaan (paikalliseksi) ääripääksi, jos se on (paikallinen) minimi tai (paikallinen) maksimi. Jokainen globaali minimi (maksimi) on paikallinen minimi (suurin).

Äärimmäisyyksien olemassaolo, ainutlaatuisuus ja geometria

olemassaolo

Todellisten funktioiden olemassaololausekkeita vastaavasti on myös lauseita funktionaalien ääripäiden olemassaolosta. Jos on normalisoitu tilaa , niin: ${\ displaystyle X}$

• Heikosti osa-puolijatkuvan toiminnallinen on heikosti seuraavat pienikokoinen joukko asettuu vähintään siellä.

Koska tämä versio on usein epäkäytännöllinen sovelluksessa ja tarkistuksessa, tämä heikentyy väitteeseen, jonka mukaan jokainen jatkuva lähes kupera funktionaalisuus edellyttää minimin heijastavan Banach-tilan rajoitetulla, kuperalla ja suljetulla osajoukolla . Tämä lause koskee myös kaikkia kuperia funktionaalisia osia, koska ne ovat aina lähes kuperia. Lopullisessa ulottuvuudessa osajoukon kuperuus voidaan luopua.

Ainutlaatuisuus

Tietyissä olosuhteissa optimaaliset pisteet määritetään jopa selvästi. Tähän sisältyy esimerkiksi tiukka kuperuus .

geometria

Jos rajoitetaan itseään tiettyihin funktionaaliluokkiin, voidaan antaa lausuntoja äärimmäisten pisteiden joukon geometriasta.

• Jos funktionaalisuus on lähes kupera kuperassa joukossa, niin minimijoukko on kupera.
• Jos funktionaalisuus on lähes kovera kuperassa joukossa, niin maksimien joukko on kupera.
• Jos funktionaalisuus on kupera kuperassa joukossa, jokainen paikallinen minimi on globaali minimi.
• Jos funktionaalisuus on kovera kuperassa joukossa, jokainen paikallinen maksimi on globaali maksimi.

Muut ääriarvot

Diskreetti optimointi

Erillisten optimointiongelmien tapauksessa edellä määritelty paikallisen ääripään käsite ei ole sopiva, koska paikallista ääripäätä on tässä mielessä läsnä kaikissa pisteissä. Siksi funktion ääripäissä käytetään erilaista ympäristön käsitettä: Käytetään naapurustofunktiota , joka määrittää naapurijoukkonsa kullekin pisteelle , ${\ displaystyle f \ kaksoispiste D \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle N \ kaksoispiste D \ - {\ mathcal {P}} (D);}$

tarkoittaa , että valta joukko on . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (D)}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle f}$sitten on paikallinen maksimipiste , jos se pätee kaikille naapureille . Paikalliset minimit määritetään vastaavasti. ${\ displaystyle x_ {0} \ D: ssä}$${\ displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0})}$${\ displaystyle x \ in N (x_ {0})}$

Muunnelmien laskenta

Äärimmäiset arvot funktioista, joiden argumentit ovat itse toimintoja B. sadepisaran muoto, jolla on minimaalinen ilmavastus, lasketaan vaihteluiden perusteella .

Katso myös

• paras mahdollinen
• arg max
• Suurin periaate

nettilinkit

Wikisanakirja: äärimmäinen arvo  - selitykset merkityksille, sanan alkuperälle, synonyymeille, käännöksille

• Ääriarvot (selitetty opiskelijoille)

Yksittäiset todisteet

1. ^ W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Pieni matematiikan tietosanakirja. Leipzig 1970, sivut 433-434.