Yhtenäisyyslause

Vuonna tasogeometria, kongruenssi Lause on maininta, että voidaan helposti todistaa kongruenssi on kolmioita . Kolmiot ovat yhteneviä, jos ne ovat muodoltaan ja alueeltaan samat. Kolmion yhtäpitävyys (eli yhteneväisyyttä kolmiot) muodostaa vastaavuuden suhteessa , että on, yhtenevä kolmiota voidaan pitää yhtä.

Yhdenmukaisuuslausekkeet

Tavanomaisissa neljän yhteneväislauseen nimityksissä "S" tarkoittaa sivupituuden vastaavuutta ja "W" kulman vastaavuutta:

SSS -lause (ensimmäinen yhteneväislause)

Kaksi kolmioa, jotka vastaavat niiden kolmea sivupituutta, ovat yhteneviä.

SWS -lause (toinen yhteneväislause)

Kaksi kolmiota, jotka vastaavat kahdella sivupituudella ja mukana tulevassa kulmassa, ovat yhteneviä.

WSW -lause (kolmas yhtymälause)

Kaksi kolmiota, jotka yhtyvät toisella puolella ja tämän sivun viereisissä kulmissa, ovat yhteneviä.

Kolmion sisäkulmien summan lauseen lisäksi tämä sisältää myös seuraavan lauseen:

SWW -sarja

Kaksi kolmiota, jotka osuvat yhdelle sivupituudelle, kulma tällä puolella ja kulma vastakkaisella puolella ovat yhteneviä.

Huomautus: Kaksi kolmiota, jotka osuvat kahteen kulmaan ja yhdelle sivupituudelle, eivät kuitenkaan välttämättä ole yhteneviä, jos ei tiedetä, mikä annetuista kulmista on annetulla sivulla. Yhdellä sivulla ja kahdessa kulmassa olevien tietojen avulla voidaan rakentaa kolme yleensä epäyhtenäistä kolmiota sen mukaan, ovatko ensimmäinen, toinen vai molemmat kulmat sivun vieressä.

SSW -lause (neljäs yhdenmukaistamislause)

Kaksi kolmiota, jotka osuvat kahteen pituuteen ja kulmaa pitempää sivua vasten, ovat yhteneviä.

Rajoitus SSW -lauseeseen, jota ei yleensä ole, ilmaistaan ​​vastaavalla oikeinkirjoituksella tai nimityksellä (esim. SsW, Ssw tai SSW _g , katso alla oleva kuva ).

Jos kaksi kolmioa sopii yhteen kahdessa tai kaikissa kolmessa sisäkulmassa , ne eivät välttämättä ole yhteneviä. Ne ovat kuitenkin samanlaisia .

Seuraavassa kuvassa esitetään koot, joissa kahden kolmion on vastattava kutakin neljää yhdenmukaisuusjoukkoa.

Vasemmalta oikealle: SSS, WSW, SWS, SSW.

todisteet

Klassisesti todistetaan yhdenmukaisuuslauseet määrittelemällä rakenteet kompasseilla ja viivaimella, jotka rakentavat toisen kolmion vastaavista annetuista kooista. Jos tämä toimii vain yhdellä tavalla, kaksi kolmiota ovat yhtenevät. Yllä olevan kuvan mukaisilla nimityksillä tämä menee seuraavasti:

SSS

Annettu , ja . Piirrä pituuden venytys ; ympyrä, jonka säde ja sädejärjestys leikkaavat kahdessa pisteessä ja siten kaksi peilisymmetristä (eli yhtenevää) kolmiota ja saanto. Jos sitoudut suuntautumiseen, kolmio on jopa selkeä. Tämä pätee myös seuraaviin rakenteisiin:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle A_ {1} eKr.}$${\ displaystyle A_ {2} eKr.}$

WSW

Annettu , ja . Piirrä pituuden venytys ; puoli-linja (valot), joka, kun käytetään kulma sisältyy, ja että kanssa kulman sisältää leikkaavat pisteessä .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle - \ gamma}$${\ displaystyle A}$

SWS

Annettu , ja . Kaksi puolilinjaa (säteitä), jotka liittyvät kärkikulmaan, sisältävät pituuden pukemisen ja päästä ja löytää.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

SSW -yhtymälause

SSW

Ottaen huomioon , ja (jos ). Rakenna kaksi puolilinjaa, jotka sisältävät kulman pisteinä ; merkitse lyhyempi matka yhdelle jalalle löytääksesi; ympyrä säteellä leikkaa toisen jalan yhdessä kohdassa .${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle c> b}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle B}$

Oikealla oleva kuva osoittaa, että SSW -lauseen kulman on oltava pitempää puolta vastapäätä . Muuten pitäisi kolmioista jotka vastaavat kolmessa osassa (SSW), mutta eivät ole yhteneväisiä: kaksi kolmiota ja vastaavat kannalta puolella pituudet ja sekä kulmassa . Sivujen pituudet ja eroavat kuitenkin. ${\ displaystyle A_ {1} eKr.}$${\ displaystyle A_ {2} eKr.}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ gamma = \ kulma ACB}$${\ displaystyle b_ {1}}$${\ displaystyle b_ {2}}$

Huomautukset

• Vuonna Hilbertin järjestelmän aksioomat Euklidinen geometria , SWS on listalla olevan selviö , toiset ovat osoittautuneet tästä ja muista aksioomat. Hilbert tunnusti tämän tarpeelliseksi, koska Euclidin todistusideoita käytettiin perinteisessä rakenteessa, jota ei voitu johtaa puhtaasti loogisesti hänen aksioomistaan ​​ja postulaateistaan, vaan joka perustui kolmioiden elävästi valaisevaan vapaaseen liikkuvuuteen.

• Tietyissä olosuhteissa on myös mahdollista rakentaa kolmio muista kolmesta determinantista, joiden alla esiintyy esimerkiksi ympyrän säde, kehän säde, alue tai korkeudet. Kuitenkin niihin liittyviä yhdenmukaisuuslausekkeita ei lasketa klassisten yhdenmukaisuuslauseiden joukkoon.

• On pallomainen geometria tilanne vaihtelee osittain. Joten kaksi (pallomaista) kolmiota ovat jo yhdenmukaisia ​​eivätkä vain samanlaisia, jos ne vastaavat kolmea sisäkulmaa. Kolmannen kulman määrittely ei myöskään ole enää tarpeeton ( pallomainen ylimäärä ).

Yhdenmukaisuuden todisteet

Neljä kongruenssiteoriaa muodostavat perustan alkeisgeometriassa usein käytetylle todistusmenettelylle: Yhdenmukaisuustodistuksessa kaksi viivanpituutta tai kahden kulmakoon yhtäläisyyttä perustellaan näyttämällä ensin kahden sopivan kolmion yhdenmukaisuus ja johtamalla sitten yhtälö vastaavista sivupituuksista tai kulmista.

kirjallisuus

• Hans Schupp: Alkeisgeometria. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2 , s.76 .

Yksilöllisiä todisteita

1. ↑ Hartmut Wellstein: Elementary geometria . Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1 , s. 12 .